Θέματα Σωστό – Λάθος 

GMATHS – Θέματα
1. Κλασική ανάλυση
1📋
Κάθε κατακόρυφη ευθεία αν τέμνει τη γραφική παράσταση μίας συνάρτησης την τέμνει το πολύ σε ένα σημείο.
ΣΩΣΤΟ

Από τον ορισμό της συνάρτησης, σε κάθε τιμή του \(x\) αντιστοιχίζεται το πολύ μία τιμή του \(y\).

Αν μια κατακόρυφη ευθεία \(x=c\) τέμνει μια γραφική παράσταση σε περισσότερα από ένα σημεία, τότε στο ίδιο \(x\) αντιστοιχούν περισσότερες από μία τιμές του \(y\), άρα δεν πρόκειται για συνάρτηση.

2📋
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης −f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα x′x της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f.
ΣΩΣΤΟ

Αν \(y=f(x)\) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της \(f\), τότε το αντίστοιχο σημείο της \( -f \) είναι \( (x,-f(x)) \).

Τα σημεία \( (x,f(x)) \) και \( (x,-f(x)) \) είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα \(x′x\). Άρα η γραφική παράσταση της \( -f \) είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της \(f\) ως προς τον άξονα \(x′x\).

3📋
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης |f| αποτελείται από τα τμήματα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f που βρίσκονται πάνω από τον x′x ή σε αυτόν και από τα συμμετρικά ως προς τον x′x των τμημάτων της γραφικής παράστασης της f που βρίσκονται κάτω από τον x′x.
ΣΩΣΤΟ

Για \(f(x)\ge 0\) ισχύει \( |f(x)|=f(x) \), άρα τα σημεία της γραφικής παράστασης της \(f\) που βρίσκονται πάνω από τον άξονα \(x′x\) παραμένουν ίδια.

Για \(f(x)<0\) ισχύει \( |f(x)|=-f(x) \), επομένως τα σημεία κάτω από τον άξονα \(x′x\) αντικαθίστανται από τα συμμετρικά τους ως προς τον άξονα \(x′x\).

4📋
Η διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο του ℝ αντιστοιχίζεται με ένα στοιχείο ενός συνόλου Α, λέγεται συνάρτηση από το Α στο ℝ.
ΛΑΘΟΣ

Η διατύπωση είναι αντίστροφη. Συνάρτηση από το \(A\) στο \(ℝ\) είναι μια διαδικασία με την οποία σε κάθε στοιχείο του \(A\) αντιστοιχίζεται ένα στοιχείο του \(ℝ\).

Εδώ αναφέρεται ότι κάθε στοιχείο του \(ℝ\) αντιστοιχίζεται σε στοιχείο του \(A\), άρα πρόκειται για συνάρτηση από το \(ℝ\) στο \(A\), όχι από το \(A\) στο \(ℝ\).

5📋
Μία διαδικασία αντιστοίχησης f : A → ℝ λέγεται συνάρτηση αν για οποιαδήποτε x₁, x₂ ∈ A με x₁ = x₂ είναι f(x₁) = f(x₂).
ΣΩΣΤΟ

Η συνθήκη αυτή εκφράζει τη βασική ιδιότητα της συνάρτησης: σε κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού αντιστοιχίζεται μία και μοναδική τιμή.

Αν δύο στοιχεία του πεδίου ορισμού είναι ίσα, τότε υποχρεωτικά έχουν και ίσες εικόνες.

6📋
Για τις f : A → ℝ και g : B → ℝ το πεδίο ορισμού της f / g είναι το A ∩ B.
ΛΑΘΟΣ

Για να ορίζεται το πηλίκο \( \frac{f}{g} \), πρέπει εκτός από το \(x \in A \cap B\) να ισχύει και \( g(x) \ne 0 \).

Άρα το πεδίο ορισμού είναι υποσύνολο του \(A \cap B\), όχι κατ’ ανάγκη ολόκληρο το \(A \cap B\).

7📋
Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g ∘ f αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της f για τα οποία τα f(x) ανήκουν στο πεδίο ορισμού της g.
ΣΩΣΤΟ

Για να ορίζεται η σύνθεση \( g(f(x)) \), πρέπει πρώτα να ορίζεται το \(f(x)\) και στη συνέχεια το \(g\) στο \(f(x)\).

Επομένως απαιτείται \( x \in D_f \) και \( f(x) \in D_g \), όπως ακριβώς αναφέρει η διατύπωση.

8📋
Αν f²(x) = x², x ∈ ℝ, τότε είναι βέβαιο ότι ή μόνο f(x) = x ή μόνο f(x) = −x.
ΛΑΘΟΣ

Η σχέση \( f^2(x)=x^2 \) σημαίνει \( |f(x)|=|x| \), όχι ότι ισχύει υποχρεωτικά μία από τις δύο μορφές σε όλο το πεδίο.

Μπορεί για ορισμένες τιμές του \(x\) να ισχύει \( f(x)=x \) και για άλλες \( f(x)=-x \).

9📋
Αν f : A → ℝ και f(x) ≥ 0, είναι βέβαιο ότι η f έχει ελάχιστο το 0.
ΛΑΘΟΣ

Το γεγονός ότι \( f(x) \ge 0 \) δεν σημαίνει ότι η τιμή 0 λαμβάνεται από τη συνάρτηση.

Μπορεί όλες οι τιμές της \(f\) να είναι θετικές, χωρίς η συνάρτηση να παίρνει την τιμή 0.

10📋
Αν f : A → ℝ και f(x) > 0, είναι βέβαιο ότι η f δεν έχει ελάχιστο.
ΛΑΘΟΣ

Μια συνάρτηση μπορεί να έχει ελάχιστο θετικό αριθμό.

Για παράδειγμα, \( f(x)=x^2+1 \) έχει ελάχιστο το 1, παρότι ισχύει \( f(x)>0 \) για κάθε \(x\).

11📋
Αν η f ορίζεται στο [0,1] και η g ορίζεται στο [2,3], τότε η f · g δεν ορίζεται.
ΣΩΣΤΟ

Το γινόμενο δύο συναρτήσεων ορίζεται μόνο στα κοινά σημεία των πεδίων ορισμού τους.

Εδώ τα διαστήματα [0,1] και [2,3] δεν έχουν κοινά στοιχεία, άρα το f·g δεν ορίζεται.

12📋
Αν f, g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού A, B και f(A) ⊆ B, τότε η g ∘ f ορίζεται στο A.
ΣΩΣΤΟ

Για να ορίζεται η σύνθεση \( g\circ f \) στο A, πρέπει για κάθε \(x\in A\) να ισχύει \(f(x)\in B\).

Αυτό ισοδυναμεί με τη συνθήκη \( f(A)\subseteq B \).

13📋
Μία διαδικασία αντιστοίχησης f : A → ℝ λέγεται συνάρτηση αν για οποιαδήποτε x₁, x₂ ∈ A με f(x₁) ≠ f(x₂) είναι x₁ ≠ x₂.
ΣΩΣΤΟ

Η πρόταση αυτή είναι λογικά ισοδύναμη με τον ορισμό της συνάρτησης.

Αν δύο στοιχεία έχουν διαφορετικές εικόνες, τότε δεν μπορεί να είναι ίσα.

14📋
Αν οι f, g ορίζονται στο A = [0,1] και έχουν σύνολο τιμών το [2,3], τότε η f ∘ g δεν ορίζεται.
ΣΩΣΤΟ

Για να ορίζεται η σύνθεση \( f \circ g \), πρέπει οι τιμές της \(g\) να ανήκουν στο πεδίο ορισμού της \(f\).

Εδώ όμως \( g(x) \in [2,3] \) ενώ η \(f\) ορίζεται μόνο στο [0,1], άρα η σύνθεση δεν ορίζεται.

15📋
Αν για δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται οι συναρτήσεις f∘g και g∘f στο ℝ, τότε είναι βέβαιο ότι f∘g = g∘f.
ΛΑΘΟΣ

Το ότι ορίζονται και οι δύο συνθέσεις δεν συνεπάγεται ότι είναι ίσες. Γενικά η σύνθεση συναρτήσεων δεν είναι αντιμεταθετική.

16📋
Αν η συνάρτηση f ορίζεται στο ℝ, ορίζεται και η f∘f και μάλιστα στο ℝ.
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ Η ΑΣΚΗΣΗ
Να εξεταστεί αν από το ότι η f ορίζεται στο ℝ προκύπτει ότι ορίζεται και η σύνθεση f∘f στο ℝ.

ΘΕΩΡΙΑ
Για να ορίζεται η σύνθεση f∘g, πρέπει για κάθε x του πεδίου ορισμού της g να ισχύει g(x)∈Df.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗ f(x)
Εδώ έχουμε f∘f, άρα για κάθε x∈ℝ πρέπει να ισχύει f(x)∈ℝ.
Όμως η f ορίζεται στο ℝ και παίρνει τιμές στο ℝ, δηλαδή f:ℝ→ℝ.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η f∘f ορίζεται στο ℝ.
17📋
Αν η συνάρτηση f∘f ορίζεται στο ℝ, τότε η f ορίζεται στο ℝ.
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ Η ΑΣΚΗΣΗ
Να εξεταστεί αν από τον ορισμό της f∘f στο ℝ προκύπτει ότι η f ορίζεται στο ℝ.

ΘΕΩΡΙΑ
Για να ορίζεται η f∘f σε ένα x, πρέπει να ορίζεται πρώτα η f(x).

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Αν η f∘f ορίζεται για κάθε x∈ℝ, τότε για κάθε x∈ℝ πρέπει να ορίζεται η f(x).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η f ορίζεται στο ℝ.
18📋
Αν για τις συναρτήσεις f, g, h ορίζεται η (h∘g)∘f, θα ορίζεται πάντοτε και η h∘(g∘f) και είναι (h∘g)∘f = h∘(g∘f) = h∘g∘f.
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ Η ΑΣΚΗΣΗ
Να εξεταστεί η προσεταιριστική ιδιότητα της σύνθεσης.

ΘΕΩΡΙΑ
Η σύνθεση συναρτήσεων είναι προσεταιριστική, δηλαδή όταν ορίζονται οι συνθέσεις, ισχύει (h∘g)∘f = h∘(g∘f).

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Αφού δίνεται ότι (h∘g)∘f ορίζεται, τότε οι ενδιάμεσες τιμές ανήκουν στα κατάλληλα πεδία, άρα ορίζεται και η h∘(g∘f).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Ισχύει (h∘g)∘f = h∘(g∘f).
19📋
Μία συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, αν για κάθε x₁, x₂∈Δ με x₁<x₂ ισχύει f(x₁)<f(x₂).
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ Η ΑΣΚΗΣΗ
Να αναγνωριστεί ο ορισμός της γνησίως αύξουσας συνάρτησης.

ΘΕΩΡΙΑ
Μία συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ αν για κάθε x₁<x₂ ισχύει f(x₁)<f(x₂).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι ακριβώς ο ορισμός, άρα σωστή.
20📋
Αν η f : ℝ → ℝ είναι γνησίως αύξουσα, η −f είναι γνησίως φθίνουσα.
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ Η ΑΣΚΗΣΗ
Να εξεταστεί πώς επηρεάζει ο πολλαπλασιασμός με −1 τη μονοτονία.

ΘΕΩΡΙΑ
Αν f είναι γνησίως αύξουσα, τότε για x₁<x₂ ισχύει f(x₁)<f(x₂).
Πολλαπλασιάζοντας με −1, προκύπτει −f(x₁)>−f(x₂).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η −f είναι γνησίως φθίνουσα.
21📋
Η συνάρτηση f(x)=ημx έχει μόνο μία θέση ολικού μεγίστου.
ΛΑΘΟΣ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να εξεταστεί πόσες θέσεις ολικού μεγίστου έχει η ημx.

ΘΕΩΡΙΑ
Η ημx είναι περιοδική με περίοδο 2π.
Το μέγιστό της είναι 1.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
ημx = 1 ⇔ x = π/2 + 2kπ, k∈ℤ.
Άρα το μέγιστο επαναλαμβάνεται άπειρες φορές.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Δεν υπάρχει μόνο μία θέση μεγίστου ⇒ ΛΑΘΟΣ.
22📋
Μία συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x₀ όταν f(x)≥f(x₀) για κάθε x.
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να αναγνωριστεί ο ορισμός ολικού ελαχίστου.

ΘΕΩΡΙΑ
Ολικό ελάχιστο στο x₀ ⇔ f(x)≥f(x₀) για κάθε x του πεδίου.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Πρόκειται για τον ακριβή ορισμό ⇒ ΣΩΣΤΟ.
23📋
Η γραφική παράσταση της f(x)=x³ έχει κέντρο συμμετρίας το O(0,0).
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να εξεταστεί συμμετρία γραφικής παράστασης.

ΘΕΩΡΙΑ
Αν f(−x)=−f(x), τότε η f είναι περιττή και έχει κέντρο το Ο(0,0).

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
f(−x)=(-x)³ = -x³ = -f(x).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η f είναι περιττή ⇒ συμμετρία ως προς Ο.
24📋
Η γραφική παράσταση της f(x)=√|x| έχει άξονα συμμετρίας τον y′y.
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να εξεταστεί αν η συνάρτηση είναι άρτια.

ΘΕΩΡΙΑ
Αν f(−x)=f(x), τότε η f είναι άρτια και έχει άξονα συμμετρίας τον y′y.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
√|−x| = √|x| ⇒ f(−x)=f(x).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η συνάρτηση είναι άρτια ⇒ ΣΩΣΤΟ.
25📋
Μία συνάρτηση f είναι 1−1, αν και μόνο αν για κάθε y του συνόλου τιμών της, η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση.
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ Η ΑΣΚΗΣΗ
Να εξεταστεί αν η πρόταση αποτελεί ισοδύναμο ορισμό της 1−1 συνάρτησης.

ΘΕΩΡΙΑ
Μία συνάρτηση f λέγεται 1−1 αν για κάθε y του συνόλου τιμών της, υπάρχει μοναδικό x ώστε f(x)=y.

Ισοδύναμα:
f(x₁)=f(x₂) ⇒ x₁=x₂.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Η πρόταση λέει ότι κάθε εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση.
Δηλαδή κάθε τιμή y “παράγεται” από ένα και μόνο ένα x.

Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν δύο διαφορετικά x που να δίνουν την ίδια τιμή y.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι ακριβώς ο ορισμός της 1−1 ⇒ ΣΩΣΤΟ.
26📋
Μία συνάρτηση f : A → ℝ λέγεται 1−1, αν x₁≠x₂ ⇒ f(x₁)≠f(x₂).
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να ελεγχθεί αν η πρόταση είναι σωστός ορισμός της 1−1.

ΘΕΩΡΙΑ
Μία συνάρτηση είναι 1−1 αν διαφορετικά στοιχεία έχουν διαφορετικές εικόνες.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Αν x₁≠x₂ τότε f(x₁)≠f(x₂).
Δηλαδή δεν υπάρχουν δύο διαφορετικά x με ίδια τιμή f(x).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Αυτός είναι ακριβώς ο ορισμός ⇒ ΣΩΣΤΟ.
27📋
Μία συνάρτηση f : A → ℝ λέγεται 1−1, αν f(x₁)=f(x₂) ⇒ x₁=x₂.
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να εξεταστεί αν η πρόταση είναι ισοδύναμη μορφή του ορισμού.

ΘΕΩΡΙΑ
Οι δύο μορφές είναι ισοδύναμες:
x₁≠x₂ ⇒ f(x₁)≠f(x₂)
⇔
f(x₁)=f(x₂) ⇒ x₁=x₂

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Η πρόταση λέει: αν δύο τιμές της f είναι ίσες, τότε προέρχονται από το ίδιο x.

Δηλαδή κάθε τιμή f(x) αντιστοιχεί σε μοναδικό x.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Ισοδύναμος ορισμός ⇒ ΣΩΣΤΟ.
28📋
Αν f : ℝ → ℝ είναι 1−1, κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική της το πολύ σε ένα σημείο.
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να συνδεθεί η 1−1 ιδιότητα με τη γεωμετρική ερμηνεία.

ΘΕΩΡΙΑ
Horizontal line test:
Μία συνάρτηση είναι 1−1 ⇔ κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική το πολύ σε ένα σημείο.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Αν υπήρχαν δύο σημεία τομής, θα είχαμε f(x₁)=f(x₂) με x₁≠x₂, άρα δεν θα ήταν 1−1.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
29📋
Αν μία συνάρτηση f είναι 1−1, τότε δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της με ίδια τεταγμένη.
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να ερμηνευτεί η 1−1 ιδιότητα γεωμετρικά.

ΘΕΩΡΙΑ
1−1 ⇒ f(x₁)=f(x₂) ⇒ x₁=x₂.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Αν υπήρχαν δύο σημεία με ίδια τεταγμένη, θα υπήρχαν x₁≠x₂ με f(x₁)=f(x₂).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Αυτό αποκλείεται ⇒ ΣΩΣΤΟ.
30📋
Κάθε συνάρτηση που είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ είναι 1−1.
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να εξεταστεί αν η μονοτονία συνεπάγεται 1−1.

ΘΕΩΡΙΑ
Γνησίως αύξουσα: x₁ Γνησίως φθίνουσα: x₁f(x₂)

Και στις δύο περιπτώσεις: x₁≠x₂ ⇒ f(x₁)≠f(x₂).

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Άρα δεν μπορούν να υπάρξουν δύο διαφορετικά x με ίδια εικόνα.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η συνάρτηση είναι 1−1 ⇒ ΣΩΣΤΟ.
31📋
Κάθε συνάρτηση που είναι 1−1 στο πεδίο ορισμού της, είναι πάντα και γνησίως μονότονη.
ΛΑΘΟΣ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να εξεταστεί αν η 1−1 ιδιότητα συνεπάγεται μονοτονία.

ΘΕΩΡΙΑ
Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι 1−1.
Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει γενικά.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1−1 αλλά δεν είναι μονότονες σε όλο το πεδίο ορισμού τους.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
32📋
Αν η f : ℝ → ℝ δεν είναι 1−1, τότε υπάρχει οριζόντια ευθεία που τέμνει τη γραφική της παράσταση σε περισσότερα από ένα σημεία.
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να συνδεθεί η μη 1−1 ιδιότητα με τη γραφική παράσταση.

ΘΕΩΡΙΑ
Μία συνάρτηση είναι 1−1 ⇔ κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική της το πολύ σε ένα σημείο.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Αν η f δεν είναι 1−1, τότε υπάρχουν x₁≠x₂ με f(x₁)=f(x₂).
Άρα η ευθεία y=f(x₁) τέμνει τη γραφική σε δύο σημεία.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
33📋
Μία συνάρτηση f : A → ℝ δεν είναι 1−1, αν υπάρχει y∈f(A) ώστε f(x)=y έχει πάνω από μία λύση.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Ορισμός μη 1−1 συνάρτησης: υπάρχει y που αντιστοιχεί σε περισσότερα από ένα x.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
34📋
Αν η συνάρτηση f δεν αντιστρέφεται, είναι βέβαιο ότι δεν είναι 1−1.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αντιστρεψιμότητα ⇔ 1−1.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Αν δεν αντιστρέφεται ⇒ δεν είναι 1−1.
35📋
Αν η f έχει αντίστροφη και η γραφική της τέμνει την y=x στο A, τότε το A ανήκει και στη f⁻¹.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Οι γραφικές των f και f⁻¹ είναι συμμετρικές ως προς y=x.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Τα σημεία της ευθείας y=x μένουν σταθερά στη συμμετρία.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Το σημείο ανήκει και στις δύο γραφικές.
36📋
Η συνάρτηση f⁻¹, όταν ορίζεται, είναι πάντα 1−1.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Η αντίστροφη μιας συνάρτησης είναι πάντα 1−1, γιατί κάθε τιμή της έχει μοναδική προεικόνα.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
37📋
Οι γραφικές παραστάσεις των f και f⁻¹ είναι συμμετρικές ως προς την y=x.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Η αντίστροφη προκύπτει από συμμετρία ως προς y=x.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
38📋
Αν M(α,β) ανήκει στη f, τότε M′(β,α) ανήκει στη f⁻¹.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Η αντίστροφη ανταλλάσσει τετμημένη και τεταγμένη.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Το σημείο ανήκει στη f⁻¹.
39📋
Για κάθε αντιστρέψιμη f : A → ℝ ισχύει f⁻¹(f(x)) = x, x∈A.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Η f⁻¹ αναιρεί τη δράση της f στο πεδίο ορισμού.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
40📋
Για κάθε αντιστρέψιμη f : A → ℝ ισχύει f(f⁻¹(x)) = x, x∈A.
ΛΑΘΟΣ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να εξεταστεί το πεδίο ορισμού της σύνθεσης f∘f⁻¹.

ΘΕΩΡΙΑ
Η σχέση f(f⁻¹(x)) = x ισχύει για x που ανήκουν στο σύνολο τιμών της f (όχι γενικά στο A).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
41📋
Αν η f : ℝ → ℝ δεν είναι 1−1, τότε δεν αντιστρέφεται.
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ Η ΑΣΚΗΣΗ
Να εξεταστεί αν μια συνάρτηση που δεν είναι 1−1 μπορεί να έχει αντίστροφη.

ΘΕΩΡΙΑ
Μία συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη αν και μόνο αν είναι 1−1, δηλαδή αν για κάθε y υπάρχει μοναδικό x με f(x)=y.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Αν η f δεν είναι 1−1, τότε υπάρχουν x₁≠x₂ με f(x₁)=f(x₂).
Άρα μία τιμή y αντιστοιχεί σε δύο διαφορετικά x, επομένως δεν μπορεί να οριστεί αντίστροφη συνάρτηση.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
42📋
Η σταθερή συνάρτηση δεν αντιστρέφεται.
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να εξεταστεί αν η σταθερή συνάρτηση είναι 1−1.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Αν f(x)=c, τότε για κάθε x ισχύει f(x)=c.
Άρα για οποιαδήποτε x₁≠x₂ ισχύει f(x₁)=f(x₂).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η f δεν είναι 1−1 ⇒ δεν αντιστρέφεται.
43📋
Αν η f αντιστρέφεται, τότε (f⁻¹)⁻¹ = f.
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να εξεταστεί ιδιότητα της αντίστροφης συνάρτησης.

ΘΕΩΡΙΑ
Αν f είναι αντιστρέψιμη, τότε ισχύει: f⁻¹(f(x))=x και f(f⁻¹(x))=x.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Η f⁻¹ αναιρεί τη δράση της f, επομένως η αντίστροφη της αντίστροφης επαναφέρει την αρχική συνάρτηση.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
(f⁻¹)⁻¹ = f.
44📋
Αν η f αντιστρέφεται στο A, τότε f⁻¹(f(A)) = A.
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να εξεταστεί η εικόνα συνόλου μέσω σύνθεσης.

ΘΕΩΡΙΑ
Για αντιστρέψιμη f ισχύει: f⁻¹(f(x))=x για κάθε x∈A.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Τα στοιχεία του συνόλου f(A) όταν εφαρμοστεί η f⁻¹ επιστρέφουν στο A.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
f⁻¹(f(A)) = A.
45📋
Αν f είναι 1−1 και f(x)≠0, τότε 1/f = f⁻¹.
ΛΑΘΟΣ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να συγκριθούν οι συναρτήσεις 1/f και f⁻¹.

ΘΕΩΡΙΑ
Η συνάρτηση 1/f ορίζεται ως: x → 1/f(x).
Η f⁻¹ είναι η αντίστροφη της f, δηλαδή ικανοποιεί: f(f⁻¹(x)) = x.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Αν f(x)=2x, τότε:
f⁻¹(x)=x/2,
ενώ 1/f(x)=1/(2x).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Οι δύο συναρτήσεις δεν ταυτίζονται, άρα η πρόταση είναι λανθασμένη.
46📋
\( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=L \) ⇔ \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} (f(x)-L)=0 \)
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να αποδειχθεί ισοδυναμία δύο ορίων.

ΘΕΩΡΙΑ
Αν lim f(x)=L, τότε f(x)−L → 0.
Αντίστροφα, αν f(x)−L → 0, τότε f(x) → L.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Πρόκειται για απλή μεταφορά κατά σταθερά: f(x) = (f(x)−L)+L.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Οι δύο προτάσεις είναι ισοδύναμες.
47📋
Έστω η f ορισμένη σε περιοχή του x₀. Ισχύει ότι το όριο υπάρχει μόνο αν τα πλευρικά όρια είναι ίσα.
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να δοθεί συνθήκη ύπαρξης ορίου.

ΘΕΩΡΙΑ
lim υπάρχει ⇔ lim από αριστερά = lim από δεξιά.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Αν τα πλευρικά όρια διαφέρουν, η συνάρτηση δεν συγκλίνει σε μία τιμή.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
48📋
Αν f(x) ≤ g(x) κοντά στο x₀ και υπάρχουν τα όρια, τότε lim f(x) ≤ lim g(x).
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να εξεταστεί διατήρηση ανισότητας στα όρια.

ΘΕΩΡΙΑ
Αν f(x) ≤ g(x) και υπάρχουν τα όρια, τότε η ανισότητα διατηρείται στο όριο.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
f(x) ≤ g(x) ⇒ lim f(x) ≤ lim g(x).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση ισχύει.
49📋
Αν \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} |f(x)| = 0 \), τότε \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=0 \).
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να εξαχθεί όριο από την απόλυτη τιμή.

ΘΕΩΡΙΑ
Ισχύει: −|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)|.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Αν |f(x)|→0, τότε και τα δύο άκρα →0, άρα με το θεώρημα παρεμβολής f(x)→0.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
lim f(x)=0.
50📋
Αν \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) > 0 \), τότε κοντά στο x₀ ισχύει f(x) > 0.
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να συνδεθεί το πρόσημο του ορίου με το πρόσημο της συνάρτησης κοντά στο σημείο.

ΘΕΩΡΙΑ
Αν lim f(x)=L>0, τότε υπάρχει περιοχή του x₀ όπου f(x)>L/2>0.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Οι τιμές της f παραμένουν θετικές κοντά στο x₀.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
f(x)>0 κοντά στο x₀.
51📋
Αν \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=0 \) και κοντά στο x₀ είναι \( f(x)>0 \), τότε \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{1}{f(x)}=+\infty \).
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ Η ΑΣΚΗΣΗ
Να εξεταστεί τι συμβαίνει στο αντίστροφο μιας συνάρτησης, όταν η συνάρτηση τείνει στο 0 και παραμένει θετική κοντά στο x₀.

ΘΕΩΡΙΑ
Αν μια συνάρτηση f(x) τείνει στο 0 και οι τιμές της είναι θετικές κοντά σε ένα σημείο, τότε οι τιμές της γίνονται αυθαίρετα μικρές θετικές ποσότητες. Το αντίστροφο μιας πολύ μικρής θετικής ποσότητας είναι πολύ μεγάλο θετικό μέγεθος.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Από την υπόθεση \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=0 \) έχουμε ότι οι τιμές της f(x) πλησιάζουν το 0.
Επειδή επιπλέον κοντά στο x₀ ισχύει \( f(x)>0 \), η f(x) πλησιάζει το 0 μόνο από θετικές τιμές.

Άρα για κάθε πολύ μεγάλο θετικό αριθμό M, μπορούμε να πάρουμε τις τιμές της f(x) τόσο μικρές, ώστε \( 0 Τότε, παίρνοντας αντίστροφα μέλη, προκύπτει \( \frac{1}{f(x)}>M \).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Επομένως \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{1}{f(x)}=+\infty \). Η πρόταση είναι σωστή.
52📋
Αν \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=+\infty \), τότε κοντά στο x₀ ισχύει \( f(x)>0 \).
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ Η ΑΣΚΗΣΗ
Να συνδεθεί το ότι η f(x) τείνει στο +∞ με το πρόσημο των τιμών της κοντά στο x₀.

ΘΕΩΡΙΑ
Η σχέση \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=+\infty \) σημαίνει ότι για κάθε πραγματικό αριθμό M>0, υπάρχει περιοχή του x₀ τέτοια ώστε \( f(x)>M \) για κάθε x της περιοχής αυτής.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Επιλέγουμε ειδικά \( M=0 \).
Τότε, από τον ορισμό του ορίου στο +∞, υπάρχει περιοχή του x₀ τέτοια ώστε \( f(x)>0 \) για κάθε x της περιοχής αυτής.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Άρα κοντά στο x₀ η συνάρτηση παίρνει θετικές τιμές. Η πρόταση είναι σωστή.
53📋
Αν υπάρχει το όριο \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) \) και \( f(x)\ge 0 \) κοντά στο x₀, τότε \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} \sqrt{f(x)} = \sqrt{\lim_{x\to x_0} f(x)} \).
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ Η ΑΣΚΗΣΗ
Να εξεταστεί αν το όριο «περνάει» μέσα από τη ρίζα.

ΘΕΩΡΙΑ
Η συνάρτηση \( \sqrt{x} \) είναι συνεχής στο διάστημα [0,+∞). Άρα, αν μια συνάρτηση f(x) παίρνει μη αρνητικές τιμές κοντά σε ένα σημείο και \( f(x)\to L \) με \( L\ge 0 \), τότε \( \sqrt{f(x)} \to \sqrt{L} \).

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Από την υπόθεση, κοντά στο x₀ ισχύει \( f(x)\ge 0 \), άρα η παράσταση \( \sqrt{f(x)} \) έχει νόημα.
Εφόσον υπάρχει το όριο της f(x), έστω \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=L \).
Επειδή οι τιμές της f(x) κοντά στο x₀ είναι μη αρνητικές, το L δεν μπορεί να είναι αρνητικό.

Άρα, λόγω συνέχειας της ρίζας στο [0,+∞), έχουμε \( \displaystyle \lim_{x\to x_0}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L} \), δηλαδή \( \displaystyle \lim_{x\to x_0}\sqrt{f(x)} =\sqrt{\lim_{x\to x_0}f(x)} \).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
54📋
Αν \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=+\infty \), τότε \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} (-f(x))=-\infty \).
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ Η ΑΣΚΗΣΗ
Να εξεταστεί πώς μεταβάλλεται ένα άπειρο όριο όταν πολλαπλασιάζουμε τη συνάρτηση με −1.

ΘΕΩΡΙΑ
Ο πολλαπλασιασμός με αρνητικό αριθμό αλλάζει το πρόσημο των τιμών μιας συνάρτησης. Επομένως, αν f(x) γίνεται αυθαίρετα μεγάλη θετική, τότε η −f(x) γίνεται αυθαίρετα μεγάλη αρνητική.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Από την υπόθεση \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=+\infty \), για κάθε M>0 υπάρχει περιοχή του x₀ τέτοια ώστε \( f(x)>M \).
Πολλαπλασιάζοντας με −1, παίρνουμε \( -f(x)<-M \).

Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση −f(x) παίρνει τελικά τιμές μικρότερες από κάθε αρνητικό αριθμό, δηλαδή τείνει στο −∞.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
\( \displaystyle \lim_{x\to x_0}(-f(x))=-\infty \). Η πρόταση είναι σωστή.
55📋
Αν \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=+\infty \) ή \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=-\infty \), τότε \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{1}{f(x)}=0 \).
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ Η ΑΣΚΗΣΗ
Να εξεταστεί τι συμβαίνει στο αντίστροφο μιας συνάρτησης, όταν η συνάρτηση τείνει στο +∞ ή στο −∞.

ΘΕΩΡΙΑ
Αν το μέτρο μιας ποσότητας γίνεται αυθαίρετα μεγάλο, τότε το αντίστροφό της γίνεται αυθαίρετα μικρό, δηλαδή τείνει στο 0.

Πράγματι, αν \( |f(x)| \to +\infty \), τότε \( \displaystyle \frac{1}{|f(x)|}\to 0 \), και επομένως και \( \displaystyle \frac{1}{f(x)}\to 0 \).

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Αν \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=+\infty \), τότε το \( |f(x)| \) τείνει στο +∞.
Το ίδιο συμβαίνει και αν \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=-\infty \), γιατί τότε πάλι \( |f(x)|\to +\infty \).

Άρα και στις δύο περιπτώσεις \( \displaystyle \frac{1}{|f(x)|}\to 0 \), οπότε και \( \displaystyle \frac{1}{f(x)}\to 0 \).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
56📋
Αν \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=-\infty \), τότε \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} |f(x)|=+\infty \).
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ Η ΑΣΚΗΣΗ
Να συνδεθεί το όριο της f(x) στο −∞ με το όριο της απόλυτης τιμής της.

ΘΕΩΡΙΑ
Όταν μια συνάρτηση τείνει στο −∞, οι τιμές της γίνονται αυθαίρετα μεγάλες αρνητικές.
Η απόλυτη τιμή μετατρέπει τις αρνητικές αυτές τιμές σε αντίστοιχες θετικές μεγάλες τιμές.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Από \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=-\infty \) έχουμε ότι για κάθε M>0, υπάρχει περιοχή του x₀ τέτοια ώστε \( f(x)<-M \).
Τότε \( |f(x)|>M \).

Άρα η απόλυτη τιμή της f(x) γίνεται μεγαλύτερη από κάθε θετικό αριθμό M, δηλαδή τείνει στο +∞.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
\( \displaystyle \lim_{x\to x_0}|f(x)|=+\infty \). Η πρόταση είναι σωστή.
57📋
\( \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^{2n+1}} = +\infty \), \( n=1,2,3,\ldots \)
ΛΑΘΟΣ
ΤΙ ΖΗΤΑ Η ΑΣΚΗΣΗ
Να εξεταστεί αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης \( \displaystyle \frac{1}{x^{2n+1}} \) όταν \( x\to 0 \).

ΘΕΩΡΙΑ
Για να υπάρχει το όριο σε ένα σημείο, πρέπει να υπάρχουν και να είναι ίσα το αριστερό και το δεξιό όριο.

Επειδή ο εκθέτης \( 2n+1 \) είναι περιττός, το \( x^{2n+1} \) έχει το ίδιο πρόσημο με το x.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Αν \( x\to 0^+ \), τότε \( x^{2n+1}\to 0^+ \), άρα \( \displaystyle \frac{1}{x^{2n+1}}\to +\infty \).

Αν \( x\to 0^- \), τότε \( x^{2n+1}\to 0^- \), άρα \( \displaystyle \frac{1}{x^{2n+1}}\to -\infty \).

Τα πλευρικά όρια είναι διαφορετικά, άρα το όριο δεν υπάρχει.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Το όριο \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2n+1}} \) δεν υπάρχει, άρα η πρόταση είναι λανθασμένη.
58📋
Αν υπάρχει το όριο \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} (f(x)+g(x)) \), τότε υπάρχουν κατ’ ανάγκη τα όρια \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) \), \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x) \).
ΛΑΘΟΣ
ΤΙ ΖΗΤΑ Η ΑΣΚΗΣΗ
Να εξεταστεί αν από την ύπαρξη του ορίου του αθροίσματος προκύπτει υποχρεωτικά η ύπαρξη των ορίων των όρων χωριστά.

ΘΕΩΡΙΑ
Είναι γνωστό ότι αν υπάρχουν τα όρια των f(x) και g(x), τότε υπάρχει και το όριο του αθροίσματός τους και ισχύει \( \lim(f+g)=\lim f+\lim g \).
Όμως το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Θα δώσουμε αντιπαράδειγμα.
Θέτουμε \( f(x)=\frac{1}{x} \) και \( g(x)=-\frac{1}{x} \), για \( x\neq 0 \).

Τότε: \( f(x)+g(x)=0 \), άρα \( \displaystyle \lim_{x\to 0}(f(x)+g(x))=0 \).

Όμως: \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x} \) δεν υπάρχει, και επίσης \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\left(-\frac{1}{x}\right) \) δεν υπάρχει.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Μπορεί να υπάρχει το όριο του αθροίσματος χωρίς να υπάρχουν τα επιμέρους όρια. Άρα η πρόταση είναι λανθασμένη.
60📋
Αν \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=0 \) και \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x)=+\infty \), τότε \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=0 \).
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ Η ΑΣΚΗΣΗ
Να εξεταστεί το όριο ενός πηλίκου, όταν ο αριθμητής τείνει στο 0 και ο παρονομαστής τείνει στο +∞.

ΘΕΩΡΙΑ
Αν ο αριθμητής παραμένει τελικά φραγμένος και ο παρονομαστής γίνεται αυθαίρετα μεγάλος, τότε το πηλίκο τείνει στο 0.

Επίσης, από το ότι \( f(x)\to 0 \), προκύπτει ότι η f(x) είναι φραγμένη κοντά στο x₀.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Εφόσον \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=0 \), υπάρχει περιοχή του x₀ τέτοια ώστε \( |f(x)|<1 \).

Εφόσον επίσης \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x)=+\infty \), κοντά στο x₀ ισχύει \( g(x)>0 \) και μάλιστα μπορεί να γίνει όσο μεγάλο θέλουμε.

Άρα κοντά στο x₀: \[ \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| = \frac{|f(x)|}{g(x)} \le \frac{1}{g(x)}. \] Επειδή \( \displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)}=0 \), με το θεώρημα παρεμβολής παίρνουμε \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0. \]

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
61📋
Αν \(a>1\), τότε \( \displaystyle \lim_{x\to -\infty} a^x = 0 \).
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να υπολογιστεί το όριο εκθετικής όταν \(x\to -\infty\).

ΘΕΩΡΙΑ
Για \(a>1\), η \(a^x\) είναι γνησίως αύξουσα.
Όταν \(x\to -\infty\), οι τιμές της γίνονται πολύ μικρές θετικές.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Γράφουμε \(a^x = \frac{1}{a^{-x}}\) και \( -x\to +\infty\).
Άρα \(a^{-x}\to +\infty\) ⇒ \(a^x\to 0\).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Το όριο είναι 0 ⇒ ΣΩΣΤΟ.
62📋
Αν \(0
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Για \(0
ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Καθώς \(x\to -\infty\), τότε \( -x\to +\infty\).
Επειδή \(0 Άρα \(a^x = \frac{1}{a^{-x}} \to +\infty\).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Το όριο είναι +∞ ⇒ ΣΩΣΤΟ.
63📋
\( \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1-\text{συν}x}{x} = 1 \).
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
\(1-\text{συν}x \sim \frac{x^2}{2}\).

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
\[ \frac{1-\text{συν}x}{x} \sim \frac{x^2/2}{x} = \frac{x}{2} \to 0 \]
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Το όριο είναι 0 ⇒ ΛΑΘΟΣ.
64📋
\( \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{\text{ημ}x}{x} = 1 \).
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
\(|\text{ημ}x|≤1\).

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
\[ \left|\frac{\text{ημ}x}{x}\right|\le \frac{1}{x}\to 0 \]
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Το όριο είναι 0 ⇒ ΛΑΘΟΣ.
65📋
\( \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\text{ημ}x}{x} = 0 \).
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Κλασικό όριο: \[ \lim_{x\to 0}\frac{\text{ημ}x}{x}=1 \]
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Άρα ΛΑΘΟΣ.
66📋
Αν \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=0 \), τότε κοντά στο \(x_0\) είναι \(f(x)=0\).
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Όριο 0 σημαίνει «πλησιάζει το 0», όχι «είναι 0».

ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
\(f(x)=x\) ⇒ \( \lim_{x\to 0}f(x)=0\), αλλά \(f(x)\neq 0\) κοντά στο 0.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
ΛΑΘΟΣ.
67📋
Αν κοντά στο \(x_0\) είναι \(f(x)<0\) και υπάρχει το \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) \), τότε \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)\le 0 \).
ΛΑΘΟΣ

Από το ότι κοντά στο \(x_0\) ισχύει \(f(x)<0\), δηλαδή η συνάρτηση είναι αρνητική σε μια περιοχή του \(x_0\), και υπάρχει το όριο, προκύπτει ότι:

\( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)\le 0 \).

Το όριο δεν μπορεί να είναι θετικό, γιατί οι τιμές της συνάρτησης κοντά στο \(x_0\) είναι αρνητικές. Άρα το όριο είναι μικρότερο ή ίσο του 0.

Επομένως η πρόταση του θέματος είναι σωστή και όχι λανθασμένη.

68📋
Ισχύει \( |\text{ημ}x|<|x| \), για κάθε \(x\ne 0\).
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Γνωστή ανισότητα: \( |\text{ημ}x|\le |x| \) με ισότητα μόνο στο 0.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Για x≠0 ισχύει αυστηρή ανισότητα ⇒ ΣΩΣΤΟ.
69📋
Αν \( \lim f(x)=0 \), τότε \( \lim \frac{1}{f(x)}=\pm\infty \).
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν αλλάζει πρόσημο η f(x), το 1/f(x) δεν έχει όριο.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Δεν ισχύει γενικά ⇒ ΛΑΘΟΣ.
70📋
Αν υπάρχει το όριο και είναι αριθμός, τότε lim f(x)=f(x₀).
Σωστή απάντηση: ΛΑΘΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ
Αυτό ισχύει μόνο αν η f είναι συνεχής στο x₀.

ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
f(x)=0 για x≠0, f(0)=1 ⇒ lim=0 αλλά f(0)=1.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
ΛΑΘΟΣ.
71📋
\( \lim_{x\to 1} f(x)=1 \Leftrightarrow \lim_{h\to 0} f(1+h)=1 \)
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να δούμε αν οι δύο μορφές ορίου είναι ίδιες.

ΘΕΩΡΙΑ
Θέτουμε πάντα \(x=x_0+h\). Τότε \(h\to 0\) όταν \(x\to x_0\).

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Εδώ \(x=1+h\). Άρα το όριο στο 1 γίνεται όριο στο 0.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Ισοδύναμες μορφές ⇒ ΣΩΣΤΟ.
72📋
Αν \( \lim_{x\to +\infty} f(x)=0 \), τότε \( \lim_{x\to +\infty} f(-x)=0 \).
ΣΩΣΤΟ
ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Θέτουμε \(t=-x\). Τότε \(x→+∞ ⇒ t→-∞\).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Το όριο μεταφέρεται ⇒ ΣΩΣΤΟ.
73📋
\( \lim |f(x)| = |\lim f(x)| \)
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Η απόλυτη τιμή είναι συνεχής συνάρτηση.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Περνάει το όριο μέσα ⇒ ΣΩΣΤΟ.
74📋
Αν \( \lim |f(x)|=1 \), τότε \( \lim f(x)=±1 \)
ΛΑΘΟΣ
ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
\(f(x)=\text{ημ}(1/x)\).

ΕΞΗΓΗΣΗ
|f(x)|→1 αλλά f(x) ταλαντώνεται.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Δεν υπάρχει όριο ⇒ ΛΑΘΟΣ.
75📋
\( \lim_{x\to 0} x^{\kappa}=0 \)
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Για αρνητικό εκθέτη: \(x^{\kappa}=\frac{1}{x^{|\kappa|}}\).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Το όριο είναι άπειρο ⇒ ΛΑΘΟΣ.
76📋
Αν lim f(x)≠0 τότε lim 1/f(x) υπάρχει.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν το όριο δεν είναι 0, η f δεν μηδενίζεται κοντά στο x₀.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Το 1/f έχει όριο ⇒ ΣΩΣΤΟ.
77📋
Αν υπάρχουν lim f και lim g, τότε υπάρχει lim(f+g).
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Κανόνας ορίων: lim(f+g)=lim f + lim g.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
ΣΩΣΤΟ.
78📋
Αν lim f(x)=+∞, τότε υπάρχει r με f(r)>0.
Σωστή απάντηση: ΣΩΣΤΟ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Αφού τείνει στο +∞, παίρνει μεγάλες θετικές τιμές.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
ΣΩΣΤΟ.
79📋
Απροσδιόριστες μορφές: ∞−∞, 0·∞, ∞/∞, 0/0 κ.λπ.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Δεν καθορίζουν μοναδικό αποτέλεσμα.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
ΣΩΣΤΟ.
80📋
Το lim 1/x δεν υπάρχει, ενώ lim 1/x² υπάρχει.
ΣΩΣΤΟ
ΕΦΑΡΜΟΓΗ
1/x → +∞ ή −∞ (διαφορετικά πλευρικά)
1/x² → +∞ και από τις δύο πλευρές

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
ΣΩΣΤΟ.
81📋
Το όριο \( \lim_{x\to x_0} f(x) \) είναι ανεξάρτητο των α,β στο \((α,x_0)\cup(x_0,β)\).
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Να καταλάβουμε από τι εξαρτάται το όριο.

ΘΕΩΡΙΑ
Το όριο εξαρτάται μόνο από τη συμπεριφορά της f κοντά στο x₀, όχι από το πόσο μεγάλο είναι το διάστημα.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Τα α,β δεν επηρεάζουν το όριο ⇒ ΣΩΣΤΟ.
82📋
Αν h≤f≤g, lim h=-1, lim g=1, τότε δεν υπάρχει lim f.
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Το Θεώρημα Παρεμβολής απαιτεί ίδια όρια.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Εδώ τα όρια είναι διαφορετικά (−1 και 1).
Η f μπορεί να συγκλίνει σε οποιαδήποτε τιμή μεταξύ τους.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Το όριο μπορεί να υπάρχει ⇒ ΛΑΘΟΣ.
83📋
Αν \(h(x)\le f(x)\le g(x)\), \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=1 \) και \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x)=1 \), τότε \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} h(x)=1 \).
ΛΑΘΟΣ

Από την ανισότητα \(h(x)\le f(x)\le g(x)\) και τα όρια των \(f(x)\) και \(g(x)\), προκύπτει μόνο ότι οι τιμές της \(h(x)\) είναι μικρότερες ή ίσες από ποσότητες που τείνουν στο 1. Αυτό όμως δεν υποχρεώνει την \(h(x)\) να τείνει στο 1.

Για να συμπεράνουμε ότι ένα όριο ισούται με 1 με το Θεώρημα Παρεμβολής, η συνάρτηση πρέπει να βρίσκεται ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις που και οι δύο τείνουν στο 1. Δηλαδή θα έπρεπε να ισχύει:

\( f(x)\le h(x)\le g(x) \) και \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)= \displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x)=1 \).

Εδώ όμως το \(h(x)\) είναι μόνο από κάτω, άρα δεν «παρεμβάλλεται» ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις με ίδιο όριο.

Αντιπαράδειγμα:
Θέτουμε \(f(x)=1\), \(g(x)=1\) και \(h(x)=0\). Τότε \(h(x)\le f(x)\le g(x)\), αλλά \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} h(x)=0\ne 1 \).

Συμπέρασμα: Η πρόταση είναι λανθασμένη.


3. Συνέχεια
84📋
Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής στο ℝ.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Τα πολυώνυμα είναι άθροισμα/γινόμενο συνεχών συναρτήσεων.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Συνεχή παντού ⇒ ΣΩΣΤΟ.
85📋
Αν f συνεχής στο x₀ και lim f(x)=0 ⇒ f(x₀)=0
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Συνέχεια ⇒ f(x₀)=lim f(x).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
f(x₀)=0 ⇒ ΣΩΣΤΟ.
86📋
Αν lim f(x)=0 ⇒ f συνεχής στο 0
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Συνέχεια απαιτεί και f(0)=lim f(x).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Δεν αρκεί το όριο ⇒ ΛΑΘΟΣ.
87📋
lim f(x)=f(0) ⇒ f συνεχής στο 0
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αυτός είναι ο ορισμός της συνέχειας.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
ΣΩΣΤΟ.
88📋
Κάθε συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.
ΛΑΘΟΣ
ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
f(x)={ 1 αν x≠0 0 αν x=0 }

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Υπάρχουν ασυνέχειες ⇒ ΛΑΘΟΣ.
89📋
f(x)=1/x συνεχής στο ℝ*
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Πηλίκο συνεχών συναρτήσεων όπου ο παρονομαστής ≠0.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Συνεχής στο ℝ* ⇒ ΣΩΣΤΟ.
90📋
f(x)=1/x δεν είναι συνεχής στο 0
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Για συνέχεια πρέπει να υπάρχει το σημείο.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Η f δεν ορίζεται στο 0.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Δεν μπορεί να είναι συνεχής ⇒ ΣΩΣΤΟ.
91📋
f(x)= {1/x αν x≠0, 0 αν x=0} δεν είναι συνεχής στο 0.
Σωστή απάντηση: ΣΩΣΤΟ

ΤΙ ΖΗΤΑ
Έλεγχος συνέχειας στο 0.

ΘΕΩΡΙΑ
Συνέχεια ⇔ lim f(x)=f(0).

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Το lim 1/x δεν υπάρχει στο 0.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Δεν υπάρχει ισότητα ⇒ ΣΩΣΤΟ.
92📋
Αν f δεν είναι συνεχής σε σημείο, τότε δεν υπάρχει το όριό της.
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Ασυνέχεια μπορεί να υπάρχει ακόμη κι αν υπάρχει όριο.

ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
f(x)=0 για x≠0, f(0)=1.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Το όριο υπάρχει αλλά όχι συνέχεια ⇒ ΛΑΘΟΣ.
93📋
Αν f συνεχής στο A ⇒ γραφική είναι συνεχής γραμμή.
ΣΩΣΤΟ
ΕΞΗΓΗΣΗ
Συνέχεια σημαίνει χωρίς «σπασίματα» ή άλματα.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η γραφική είναι ενιαία ⇒ ΣΩΣΤΟ.
94📋
f συνεχής στο [0,1] ⇒ συνεχής στα άκρα.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Στα άκρα ισχύει μονόπλευρη συνέχεια.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
ΣΩΣΤΟ.
95📋
f συνεχής στο [0,1] ⇒ συνεχής στο 0 και 1.
ΣΩΣΤΟ
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η συνέχεια στο διάστημα περιλαμβάνει άκρα.
96📋
f συνεχής στο x₀ και g συνεχής στο x₀ ⇒ f∘g συνεχής στο x₀.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Απαιτείται f συνεχής στο g(x₀).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Δεν αρκεί το x₀ ⇒ ΛΑΘΟΣ.
97📋
f² συνεχής ⇒ |f| συνεχής
Σωστή απάντηση: ΣΩΣΤΟ

ΘΕΩΡΙΑ
|f|=√(f²) και √x συνεχής για x≥0.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Σύνθεση συνεχών ⇒ ΣΩΣΤΟ.
98📋
f συνεχής ⇒ |f| συνεχής, και αντίστροφα.
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Η πρώτη πρόταση ισχύει, η δεύτερη όχι.

ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
f(x)={ 1 αν x>0 −1 αν x<0 }
|f(x)|=1 (συνεχής)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Όχι αντίστροφα ⇒ ΛΑΘΟΣ.
99📋
f συνεχής και f+g όχι ⇒ g όχι συνεχής
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Άθροισμα συνεχών είναι συνεχές.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Άτοπο ⇒ g μη συνεχής.
100📋
Αν f, g δεν είναι συνεχείς ⇒ f+g δεν είναι συνεχής
ΛΑΘΟΣ
ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
f(x)=1 αν x≠0, f(0)=0 g(x)=−1 αν x≠0, g(0)=0

f+g=0 (συνεχής)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Μπορεί να «ακυρωθούν» ⇒ ΛΑΘΟΣ.
101📋
f ορισμένη στο [α,β] και συνεχής στο (α,β) ⇒ έχει μέγιστο
ΛΑΘΟΣ
ΤΙ ΖΗΤΑ
Έλεγχος εφαρμογής Weierstrass.

ΘΕΩΡΙΑ
Για μέγιστο απαιτείται συνέχεια σε όλο το [α,β].

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Αν δεν είναι συνεχής στα άκρα, μπορεί να «ξεφύγει».

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Δεν εξασφαλίζεται ⇒ ΛΑΘΟΣ.
102📋
f συνεχής και μη σταθερή στο [α,β] ⇒ έχει max και min
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Θεώρημα Weierstrass.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Παίρνει και τα δύο ⇒ ΣΩΣΤΟ.
103📋
f συνεχής στο [α,β] και δεν μηδενίζεται ⇒ διατηρεί πρόσημο
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Αν άλλαζε πρόσημο ⇒ θα μηδενιζόταν.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Άτοπο ⇒ ΣΩΣΤΟ.
104📋
Συνεχής f ⇒ διατηρεί πρόσημο μεταξύ διαδοχικών ριζών
ΣΩΣΤΟ
ΛΟΓΙΚΗ
Δεν μπορεί να αλλάξει πρόσημο χωρίς να περάσει από 0.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
ΣΩΣΤΟ.
105📋
Η εικόνα διαστήματος μέσω συνεχούς f είναι διάστημα
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Δεν υπάρχουν «κενά» ⇒ ΣΩΣΤΟ.
106📋
f(α)<0 και f(ξ)=0 ⇒ f(β)>0
Σωστή απάντηση: ΛΑΘΟΣ

ΠΑΓΙΔΑ
Το μηδενισμό δεν σημαίνει αλλαγή πρόσημου.

ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
f(x)=−x²

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Μπορεί να παραμείνει αρνητική ⇒ ΛΑΘΟΣ.
107📋
f γνησίως αύξουσα και συνεχής ⇒ f(R)=(A,B)
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Μονοτονία + συνέχεια ⇒ παίρνει όλες τις τιμές.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Ακριβώς το (A,B).
108📋
Συνεχής και μη σταθερή f ⇒ f(Δ) είναι διάστημα
ΣΩΣΤΟ
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.
109📋
Αν δεν ισχύει Bolzano ⇒ δεν έχει ρίζες
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Bolzano = ικανή, όχι αναγκαία συνθήκη.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Μπορεί να έχει ρίζες ⇒ ΛΑΘΟΣ.
110📋
Συνεχής σε ανοικτό διάστημα ⇒ δεν έχει max/min
ΛΑΘΟΣ
ΠΑΓΙΔΑ
Δεν αποκλείεται.

ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Σταθερή συνάρτηση.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Μπορεί να έχει ⇒ ΛΑΘΟΣ.
111📋
f συνεχής στο [0,1] ⇒ f([0,1])=ℝ
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Συνεχής σε κλειστό διάστημα ⇒ εικόνα είναι επίσης κλειστό και φραγμένο σύνολο.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Το ℝ δεν είναι φραγμένο.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Αδύνατο ⇒ ΛΑΘΟΣ.
112📋
f συνεχής στο ℝ ⇒ f(ℝ)=ℝ*
ΣΩΣΤΟ
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
f(x)=e^x ⇒ f(ℝ)=(0,+∞)=ℝ*.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Είναι δυνατό ⇒ ΣΩΣΤΟ.
113📋
f συνεχής και μονότονη ⇒ παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Συνέχεια ⇒ παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές.

ΕΠΙΠΛΕΟΝ
Μονοτονία ⇒ τις παίρνει μία φορά.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
ΣΩΣΤΟ.
114📋
f συνεχής στο ℝ και f(x)≠0 ⇒ διατηρεί πρόσημο
ΣΩΣΤΟ
ΛΟΓΙΚΗ
Αν άλλαζε πρόσημο ⇒ θα μηδενιζόταν.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Άτοπο ⇒ ΣΩΣΤΟ.
115📋
Μοναδική ρίζα στο 0 και f(-1)=f(1)=1 ⇒ ελάχιστο στο 0
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Μοναδική ρίζα ⇒ μόνο εκεί μηδενίζεται.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Αλλού f(x)>0.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Ελάχιστο στο 0.
116📋
f συνεχής ⇒ f(x)=0 έχει πάντα λύση
ΛΑΘΟΣ
ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
f(x)=e^x >0.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Δεν μηδενίζεται ⇒ ΛΑΘΟΣ.
117📋
f συνεχής στο [α,β] ⇒ έχει min και max
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Weierstrass.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Υπάρχουν x₁,x₂.
118📋
f συνεχής και δεν τέμνει x'x ⇒ ίδιο πρόσημο
ΣΩΣΤΟ
ΛΟΓΙΚΗ
Αν άλλαζε πρόσημο ⇒ θα μηδενιζόταν.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
ΣΩΣΤΟ.
119📋
f μη συνεχής ⇒ δεν παίρνει ενδιάμεσες τιμές
ΛΑΘΟΣ
ΠΑΓΙΔΑ
Η ιδιότητα ενδιάμεσων τιμών δεν είναι ισοδύναμη με συνέχεια.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Μπορεί να ισχύει ⇒ ΛΑΘΟΣ.
120📋
f συνεχής και αύξουσα στο (0,1) ⇒ lim₀ f(x) < lim₁ f(x)
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Γνησίως αύξουσα ⇒ διατηρεί αυστηρή ανισότητα.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
lim(αριστερά) < lim(δεξιά).

4. Παράγωγοι
121📋
Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε ένα σημείο x₀ του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x₀, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η συνέχεια σημαίνει ότι η γραφική παράσταση δεν έχει «σπάσιμο». Η παραγωγισιμότητα απαιτεί επιπλέον να υπάρχει μοναδική εφαπτομένη (ομαλή συμπεριφορά).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Η f(x)=|x| είναι συνεχής στο x=0 αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη, γιατί παρουσιάζει γωνία στο σημείο αυτό.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
122📋
Αν η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x₀, δεν είναι συνεχής στο x₀.
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια, αλλά όχι το αντίστροφο.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Από το ότι μία συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη, δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι δεν είναι συνεχής.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Η f(x)=|x| είναι συνεχής στο x=0 αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
123📋
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x₀, η f΄ είναι συνεχής στο x₀.
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, τότε είναι συνεχής. Όμως η παράγωγός της δεν είναι απαραίτητα συνεχής.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Υπάρχουν συναρτήσεις που έχουν παράγωγο αλλά η παράγωγος παρουσιάζει ασυνέχεια.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
124📋
Αν η συνάρτηση f έχει δεύτερη παράγωγο στο x₀, η f΄ είναι συνεχής στο x₀.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν υπάρχει δεύτερη παράγωγος f΄΄ σε ένα σημείο, τότε η πρώτη παράγωγος είναι συνεχής στο σημείο αυτό.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η ύπαρξη δεύτερης παραγώγου σημαίνει ότι η πρώτη παράγωγος μεταβάλλεται ομαλά, χωρίς ασυνέχειες.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
125📋
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x₀, τότε η συνάρτηση f·g είναι παραγωγίσιμη στο x₀ και ισχύει πάντα (f·g)΄(x₀)=f΄(x₀)·g΄(x₀).
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες σε ένα σημείο, τότε και το γινόμενό τους είναι παραγωγίσιμο.
Ο σωστός κανόνας είναι: (f·g)΄ = f΄·g + f·g΄.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η πρόταση δίνει λανθασμένο τύπο, καθώς θεωρεί ότι η παράγωγος του γινομένου είναι το γινόμενο των παραγώγων, κάτι που δεν ισχύει.
Στην πραγματικότητα, πρέπει να παραγάγουμε κάθε συνάρτηση ξεχωριστά και να εφαρμόσουμε τον κανόνα του γινομένου.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Έστω f(x)=x και g(x)=x².
Τότε: f·g = x³ ⇒ (f·g)΄ = 3x².
Ενώ: f΄·g΄ = 1·2x = 2x, που είναι διαφορετικό αποτέλεσμα.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
126📋
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x₀, τότε η συνάρτηση f·g είναι παραγωγίσιμη στο x₀ και ισχύει (f·g)΄(x₀)=f΄(x₀)·g(x₀)+f(x₀)·g΄(x₀).
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν δύο συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες σε ένα σημείο x₀, τότε και το γινόμενό τους είναι παραγωγίσιμο στο σημείο αυτό.
Ο κανόνας παραγώγισης γινομένου είναι: (f·g)΄ = f΄·g + f·g΄.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Για να βρούμε την παράγωγο του γινομένου, δεν πολλαπλασιάζουμε απλώς τις παραγώγους. Αντίθετα, παραγάγουμε κάθε συνάρτηση ξεχωριστά και εφαρμόζουμε τον κανόνα του γινομένου.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Έστω f(x)=x και g(x)=x².
Τότε: (f·g)(x)=x³ ⇒ (f·g)΄=3x².
Με τον τύπο: f΄·g + f·g΄ = 1·x² + x·2x = x² + 2x² = 3x².

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
127📋
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x₀, τότε και η f/g είναι παραγωγίσιμη στο x₀ και ισχύει (f/g)΄(x₀)= (f΄(x₀)·g(x₀)−f(x₀)·g΄(x₀))/g²(x₀), αν g(x₀)≠0.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες και g(x₀)≠0, τότε το πηλίκο f/g είναι παραγωγίσιμο.
Ισχύει: (f/g)΄ = (f΄·g − f·g΄) / g².

ΑΝΑΛΥΣΗ
Ο κανόνας του πηλίκου προκύπτει από τον ορισμό της παραγώγου και δεν είναι απλό πηλίκο παραγώγων.
Απαραίτητη προϋπόθεση είναι ο παρονομαστής να μην μηδενίζεται.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Έστω f(x)=x² και g(x)=x.
Τότε: f/g = x ⇒ (f/g)΄ = 1.
Με τον τύπο: (2x·x − x²·1)/x² = (2x² − x²)/x² = 1.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
128📋
(συνx)΄ = ημx, x∈R
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Η παράγωγος της συνάρτησης συνx είναι: (συνx)΄ = −ημx.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η πρόταση παραλείπει το αρνητικό πρόσημο, που είναι βασικό χαρακτηριστικό της παραγώγου του συνημιτόνου.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
129📋
(3ˣ)΄ = x·3ˣ⁻¹, x∈R
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Για εκθετική συνάρτηση ισχύει: (αˣ)΄ = αˣ·lnα, με α＞0 και α≠1.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Ο τύπος που δίνεται αντιστοιχεί σε δύναμη xⁿ, όχι σε εκθετική συνάρτηση.
Για το 3ˣ έχουμε: (3ˣ)΄ = 3ˣ·ln3.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
130📋
(αˣ)΄ = x·αˣ⁻¹, x∈R και α＞0
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Η παράγωγος εκθετικής συνάρτησης είναι: (αˣ)΄ = αˣ·lnα, με α＞0 και α≠1.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Ο δοσμένος τύπος είναι λανθασμένος και αντιστοιχεί σε παραγώγιση δύναμης xⁿ.
Στις εκθετικές συναρτήσεις, η βάση παραμένει και εμφανίζεται ο παράγοντας lnα.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
131📋
(εφx)΄ = 1/ημ²x, x∈R−{κπ+π/2, κ∈Z}
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Ισχύει: (εφx)΄ = 1/συν²x.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η εφαπτομένη γράφεται: εφx = ημx/συνx.
Με παραγώγιση πηλίκου προκύπτει: (εφx)΄ = 1/συν²x.
Δεν ισχύει ότι είναι 1/ημ²x.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
132📋
Αν f(x)=ln|x|, τότε f΄(x)=1/|x|, για κάθε x≠0
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Ισχύει: (ln|x|)΄ = 1/x, για κάθε x≠0.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η παράγωγος δεν είναι 1/|x|, γιατί το πρόσημο παίζει ρόλο.
Για x＜0, το 1/x είναι αρνητικό, ενώ το 1/|x| είναι θετικό.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
133📋
Για κάθε συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α)=f(β), υπάρχει πάντα ένα ακριβώς x₀∈(α,β), ώστε f΄(x₀)=0
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Το θεώρημα Rolle εγγυάται ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x₀∈(α,β) τέτοιο ώστε f΄(x₀)=0.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Δεν εγγυάται μοναδικότητα. Μπορεί να υπάρχουν περισσότερα από ένα σημεία όπου η παράγωγος μηδενίζεται.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
134📋
Κάθε συνάρτηση f για την οποία είναι f΄(x)=0, για κάθε x∈R−{0}, είναι σταθερή στο R−{0}
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν f΄(x)=0 σε ένα διάστημα, τότε η συνάρτηση είναι σταθερή στο διάστημα αυτό.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Το σύνολο R−{0} αποτελεί ένωση δύο διαστημάτων: (-∞,0) και (0,+∞).
Σε καθένα από αυτά, η συνάρτηση είναι σταθερή.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
135📋
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα Δ και f(x)=g(x), τότε θα είναι και f΄(x)=g΄(x), για κάθε x∈Δ
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν δύο συναρτήσεις είναι ίσες σε ένα διάστημα, τότε έχουν και ίσες παραγώγους στο διάστημα αυτό.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Από f(x)=g(x) για κάθε x, προκύπτει ότι έχουν την ίδια μεταβολή, άρα και ίδιες παραγώγους.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
136📋
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα Δ και f΄(x)=g΄(x) για κάθε x από το εσωτερικό του Δ, τότε θα είναι f(x)=g(x), για κάθε x∈Δ
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν f΄(x)=g΄(x) σε ένα διάστημα, τότε η διαφορά τους είναι σταθερή: f(x)−g(x)=c.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Δεν προκύπτει απαραίτητα ότι f(x)=g(x), αλλά ότι διαφέρουν κατά μία σταθερά.
Για να ισχύει f=g, πρέπει να έχουν και κοινή τιμή σε ένα σημείο.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
137📋
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και δεν είναι 1–1, υπάρχει κλειστό διάστημα στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. Rolle
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν f(x₁)=f(x₂) με x₁≠x₂, τότε στο [x₁,x₂] ισχύουν οι προϋποθέσεις του Rolle, εφόσον η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η μη 1–1 σημαίνει ότι υπάρχουν δύο διαφορετικά σημεία με ίδια τιμή συνάρτησης, άρα εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
138📋
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει διάστημα [α,β] στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. Rolle
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Μία συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη αν και μόνο αν είναι 1–1.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Αν δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε δεν είναι 1–1, άρα υπάρχουν x₁≠x₂ με f(x₁)=f(x₂).
Επομένως εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο [x₁,x₂].

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
139📋
Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, συνεχής στο Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ, τότε η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του Δ
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν f είναι γνησίως αύξουσα, τότε ισχύει f΄(x) ≥ 0.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η παράγωγος μπορεί να είναι μηδέν σε μεμονωμένα σημεία, χωρίς να χάνεται η γνησίως αύξουσα συμπεριφορά.
Άρα δεν είναι απαραίτητο να είναι πάντα θετική.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
140📋
Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα Δ. Αν f΄(x)＞0, για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν f΄(x)＞0 σε ένα διάστημα, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η θετική παράγωγος σημαίνει ότι η συνάρτηση αυξάνεται, όχι ότι φθίνει.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
141📋
Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ=[α,β]. Αν αυτή στο x₀∈Δ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο, τότε υποχρεωτικά f΄(x₀)=0
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν μία συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε εσωτερικό σημείο x₀ και είναι παραγωγίσιμη, τότε f΄(x₀)=0.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η πρόταση είναι λανθασμένη γιατί το x₀ μπορεί να είναι άκρο του διαστήματος. Στα άκρα δεν ισχύει απαραίτητα ότι η παράγωγος μηδενίζεται.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
142📋
Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, θα είναι πάντα f΄(x)＞0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ.
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν f είναι γνησίως αύξουσα, τότε f΄(x) ≥ 0.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η παράγωγος μπορεί να μηδενίζεται σε μεμονωμένα σημεία, χωρίς να χάνεται η γνησίως αύξουσα συμπεριφορά.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
143📋
Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ και x₀ ένα εσωτερικό σημείο του Δ στο οποίο f΄(x₀)=0, τότε είναι βέβαιο ότι στο x₀ η f έχει τοπικό ακρότατο.
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Η συνθήκη f΄(x₀)=0 είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή για ύπαρξη τοπικού ακροτάτου.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Μπορεί το σημείο να είναι σημείο καμπής. Δηλαδή η συνάρτηση να αλλάζει κυρτότητα αλλά όχι μονοτονία.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
f(x)=x³ ⇒ f΄(0)=0 αλλά δεν υπάρχει ακρότατο.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
144📋
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και δεν παρουσιάζει ακρότατα, τότε είναι βέβαιο ότι f΄(x)≠0, για κάθε x∈R.
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν f΄(x)=0 σε ένα σημείο, δεν σημαίνει απαραίτητα ότι υπάρχει ακρότατο.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Μπορεί να υπάρχει σημείο με f΄(x)=0 που δεν είναι ακρότατο αλλά σημείο καμπής.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
f(x)=x³ ⇒ f΄(0)=0 χωρίς ακρότατο.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
145📋
Ένα τοπικό μέγιστο μίας συνάρτησης μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Τα τοπικά ακρότατα συγκρίνονται μόνο τοπικά, όχι σε όλο το διάστημα.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να βρίσκεται σε χαμηλότερο ύψος από ένα τοπικό ελάχιστο άλλου σημείου, γιατί αφορούν διαφορετικές περιοχές της συνάρτησης.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
146📋
Τα εσωτερικά σημεία στα οποία μία συνεχής συνάρτηση δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της ισούται με μηδέν λέγονται κρίσιμα σημεία αυτής.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης είναι τα εσωτερικά σημεία όπου είτε f΄(x)=0 είτε η f δεν είναι παραγωγίσιμη.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Τα σημεία αυτά είναι σημαντικά γιατί εκεί μπορεί να εμφανιστούν τοπικά ακρότατα ή αλλαγές συμπεριφοράς της συνάρτησης.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
147📋
Έστω η παραγωγίσιμη f στο (α,β) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x₀ στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f΄(x)＞0 στο (α,x₀) και f΄(x)＜0 στο (x₀,β), τότε η f στο x₀ έχει τοπικό μέγιστο.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από θετική σε αρνητική, τότε η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η f αυξάνεται πριν το x₀ και μειώνεται μετά το x₀, άρα στο x₀ εμφανίζεται κορυφή (μέγιστο), ακόμη και αν δεν υπάρχει παράγωγος στο σημείο αυτό, αρκεί να υπάρχει συνέχεια.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
148📋
Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε ένα σημείο της C_f βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική παράσταση, τότε η f είναι κοίλη.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Μία συνάρτηση είναι κοίλη όταν η εφαπτομένη της βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Αυτό αποτελεί γεωμετρικό χαρακτηρισμό της κοίλης συνάρτησης και συνδέεται με το ότι f΄΄(x)＜0.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
149📋
Αν μία συνάρτηση είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν μία συνάρτηση είναι κοίλη σε ένα διάστημα, τότε σε κάθε σημείο η εφαπτομένη βρίσκεται πάνω από τη γραφική της παράσταση.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η ισότητα ισχύει μόνο στο σημείο επαφής, ενώ στα υπόλοιπα σημεία η εφαπτομένη βρίσκεται αυστηρά πάνω.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
150📋
Αν μία συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει f΄΄(x)＞0.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν f΄΄(x)＞0 σε ένα διάστημα, τότε η συνάρτηση είναι κυρτή (στρέφει τα κοίλα προς τα άνω).

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η θετική δεύτερη παράγωγος σημαίνει ότι η κλίση αυξάνεται, δηλαδή η γραφική παράσταση «ανοίγει προς τα πάνω».

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
151📋
Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β) με εξαίρεση ένα σημείο του x₀. Αν η f είναι κυρτή στο (α,x₀) και κοίλη στο (x₀,β) ή αντιστρόφως, τότε το σημείο A(x₀,f(x₀)) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Σημείο καμπής υπάρχει όταν η συνάρτηση αλλάζει κυρτότητα και είναι συνεχής στο σημείο αυτό.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η f αλλάζει από κυρτή σε κοίλη ή το αντίστροφο, άρα υπάρχει αλλαγή καμπυλότητας.
Ακόμη και αν δεν υπάρχει παράγωγος στο x₀, το σημείο είναι σημείο καμπής εφόσον υπάρχει συνέχεια.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
152📋
Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού ν ≥ 2 της οποίας η γραφική παράσταση δέχεται ασύμπτωτη ευθεία.
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Μία πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού ν≥2 δεν έχει ασύμπτωτες.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις τείνουν στο άπειρο χωρίς να προσεγγίζουν ευθεία.
Μόνο οι συναρτήσεις 1ου βαθμού ταυτίζονται με ευθεία, όχι όμως ως ασύμπτωτη αλλά ως ίδια γραφική παράσταση.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
153📋
Η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f: R → R μπορεί να τέμνει μία ασύμπτωτή της.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Μία συνάρτηση μπορεί να τέμνει την ασύμπτωτή της σε πεπερασμένο πλήθος σημείων.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η ασύμπτωτη περιγράφει τη συμπεριφορά της συνάρτησης στο άπειρο και όχι απαραίτητα κοντά στο μηδέν.
Άρα μπορεί να υπάρχουν τομές σε συγκεκριμένα σημεία.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
154📋
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R → R. Η γραφική της παράσταση είναι πάνω από τον x΄x. Αν υπάρχει σημείο A(x₀,f(x₀)) της C_f του οποίου η απόσταση από τον x΄x είναι μέγιστη ή ελάχιστη, τότε στο σημείο αυτό η εφαπτομένη της C_f είναι οριζόντια.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Ακρότατο συνάρτησης σε εσωτερικό σημείο συνεπάγεται f΄(x₀)=0.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η απόσταση από τον άξονα x΄x είναι |f(x)|. Επειδή η f είναι πάνω από τον άξονα, η απόσταση είναι f(x).
Άρα το πρόβλημα γίνεται εύρεση ακροτάτου της f, οπότε f΄(x₀)=0 και η εφαπτομένη είναι οριζόντια.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
155📋
Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και f΄(x)≠0 για κάθε x∈(α,β), τότε f(α)≠f(β).
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν f(α)=f(β), τότε από το θεώρημα Rolle υπάρχει x₀∈(α,β) με f΄(x₀)=0.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Δίνεται ότι f΄(x)≠0 για κάθε x, άρα δεν μπορεί να υπάρξει τέτοιο x₀.
Επομένως δεν μπορεί να ισχύει f(α)=f(β).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
156📋
Για κάθε συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο R, ισχύει f΄(x)＞0 για κάθε x∈R.
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, τότε ισχύει f΄(x) ≥ 0.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η παράγωγος μπορεί να μηδενίζεται σε μεμονωμένα σημεία, χωρίς να χάνεται η μονοτονία.
Άρα δεν είναι απαραίτητο να ισχύει f΄(x)＞0 παντού.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
157📋
Για τη συνάρτηση f(x)=a+b+c+…+z, είναι προφανές ότι f΄(x)=0, όπου a,b,c,…,z γράμματα της αγγλικής αλφαβήτου.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Η παράγωγος σταθερής συνάρτησης είναι μηδέν.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Το άθροισμα a+b+…+z είναι σταθερός αριθμός, άρα η f είναι σταθερή συνάρτηση.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
158📋
Αν το άθροισμα f+g δύο συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση, τότε οι συναρτήσεις f και g είναι και αυτές πάντα παραγωγίσιμες.
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Η παραγωγισιμότητα του αθροίσματος δεν συνεπάγεται παραγωγισιμότητα των επιμέρους συναρτήσεων.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Μπορεί οι μη παραγωγίσιμες συμπεριφορές να «ακυρώνονται» στο άθροισμα.
Δηλαδή το f+g να είναι ομαλή, ενώ καθεμία από τις f και g να μην είναι.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
159📋
Αν ο ρυθμός μεταβολής ενός μεγέθους είναι αρνητικός, το μέγεθος μειώνεται.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Ο ρυθμός μεταβολής εκφράζεται από την παράγωγο.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Αν f΄(x)＜0, τότε η συνάρτηση είναι φθίνουσα, δηλαδή το μέγεθος μειώνεται.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
160📋
Αν η ευθεία (ε): y=1 τέμνει τη γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης σε 2 σημεία, αυτή δέχεται μία οριζόντια εφαπτομένη.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν f(x₁)=f(x₂), τότε από το θεώρημα Rolle υπάρχει x₀ με f΄(x₀)=0.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η τομή με την ευθεία y=1 σημαίνει ότι υπάρχουν x₁≠x₂ με f(x₁)=f(x₂)=1.
Άρα υπάρχει ενδιάμεσο σημείο όπου η εφαπτομένη είναι οριζόντια.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
161📋
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και f΄(x)≠0 για κάθε x∈R, τότε η f είναι 1–1.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν f΄(x)＞0 ή f΄(x)＜0 σε ένα διάστημα, τότε η f είναι γνησίως μονότονη.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Αφού f΄(x)≠0 για κάθε x, η παράγωγος έχει σταθερό πρόσημο.
Άρα η f είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα, και επομένως 1–1.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
162📋
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [α,β] στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Μία συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη αν και μόνο αν είναι 1–1.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Αν δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε δεν είναι 1–1, άρα υπάρχουν α≠β με f(α)=f(β).
Με παραγωγισιμότητα και συνέχεια στο R, εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο [α,β].

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
163📋
Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής και άρτιας συνάρτησης έχει μία τουλάχιστον οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο M(0,f(0)).
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν μία συνάρτηση είναι άρτια, τότε f(−x)=f(x).

ΑΝΑΛΥΣΗ
Οι άρτιες πολυωνυμικές συναρτήσεις περιέχουν μόνο άρτιες δυνάμεις, άρα η παράγωγος περιέχει μόνο περιττές δυνάμεις.
Επομένως f΄(0)=0 και η εφαπτομένη είναι οριζόντια.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
164📋
Αν f : R* = R − {0} → R και f΄(x)=0, x∈R*, τότε η f είναι σταθερή στο R*.
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν f΄(x)=0 σε ένα διάστημα, τότε η f είναι σταθερή στο διάστημα αυτό.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Το R* δεν είναι διάστημα αλλά ένωση δύο διαστημάτων: (−∞,0) και (0,+∞).
Η f μπορεί να είναι σταθερή σε καθένα από αυτά, αλλά με διαφορετική τιμή.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
165📋
Έστω οι παραγωγίσιμες στο R συναρτήσεις f και g. Αν lim f(x)=lim g(x)=0 και lim (f′(x)/g′(x))=0, τότε lim (f(x)/g(x))=0.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Ο κανόνας de l’Hôpital εφαρμόζεται σε μορφή 0/0.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Δίνεται ότι f(x)→0 και g(x)→0, άρα έχουμε απροσδιόριστη μορφή 0/0.
Εφόσον lim(f′/g′)=0, από τον κανόνα de l’Hôpital προκύπτει ότι lim(f/g)=0.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
166📋
Αν για την παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f, με f(R)=[1,+∞), είναι βέβαιο ότι υπάρχει r, ώστε f′(r)=0.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν μία συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ακρότατο σε εσωτερικό σημείο και είναι παραγωγίσιμη, τότε f΄(x₀)=0.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Δίνεται ότι f(R)=[1,+∞), άρα η f έχει ελάχιστη τιμή το 1.
Επομένως υπάρχει r με f(r)=1.
Το r είναι εσωτερικό σημείο, άρα από το θεώρημα Fermat προκύπτει f΄(r)=0.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
167📋
Έστω συνεχής και μη σταθερή στο κλειστό διάστημα D συνάρτηση f. Η f έχει ολικό μέγιστο, που είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά ακρότατα, καθώς και ολικό ελάχιστο, που είναι το μικρότερο από τα τοπικά ακρότατα.
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Μία συνεχής συνάρτηση σε κλειστό διάστημα έχει ολικό μέγιστο και ελάχιστο.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Τα ολικά ακρότατα μπορεί να βρίσκονται είτε σε εσωτερικά σημεία είτε στα άκρα του διαστήματος.
Δεν είναι απαραίτητα τοπικά ακρότατα.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
168📋
Αν για την παραγωγίσιμη στο ℝ συνάρτηση f είναι f′(x)＜0 για κάθε x＜0 και f′(x)＞0 για κάθε x＞0, τότε f′(0)=0.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από αρνητική σε θετική, τότε η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η f είναι φθίνουσα στο (−∞,0) και αύξουσα στο (0,+∞).
Άρα στο x=0 έχει τοπικό ελάχιστο.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ
Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, άρα από το θεώρημα Fermat ισχύει: f΄(0)=0.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
169📋
Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση f. Αν f″(x)≠0, τότε η συνάρτηση f διατηρεί το ίδιο είδος κυρτότητας.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν f″(x) έχει σταθερό πρόσημο, τότε η συνάρτηση διατηρεί την ίδια κυρτότητα.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Εφόσον f″(x)≠0 για κάθε x, δεν αλλάζει πρόσημο.
Άρα η συνάρτηση είναι είτε συνεχώς κυρτή είτε συνεχώς κοίλη.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
170📋
Αν lim (f(x)−x)=L∈R, τότε η καμπύλη C_f δέχεται ασύμπτωτη ευθεία.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν lim (f(x)−(ax+b))=0, τότε η ευθεία y=ax+b είναι ασύμπτωτη.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Εδώ έχουμε: lim (f(x)−x)=L ⇒ lim (f(x)−(x+L))=0.
Άρα η ευθεία y=x+L είναι πλάγια ασύμπτωτη.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
171📋
Αν για τις ορισμένες στο R συναρτήσεις f,g είναι f′(x)=g′(x) και τα διαγράμματά τους C_f, C_g τέμνονται, τότε αυτά ταυτίζονται.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν f′(x)=g′(x) σε ένα διάστημα, τότε f(x)−g(x)=c (σταθερά).

ΑΝΑΛΥΣΗ
Δίνεται ότι οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται, άρα υπάρχει x₀ με f(x₀)=g(x₀).
Τότε f(x₀)−g(x₀)=0 ⇒ c=0.
Επομένως f(x)=g(x) για κάθε x, άρα οι γραφικές παραστάσεις ταυτίζονται.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
172📋
Αν f″(x)＞0 για x＜0 και f″(x)＞0 για x＞0 και η f′ είναι συνεχής στο R, τότε η f είναι κυρτή στο R.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Αν f″(x)≥0 σε ένα διάστημα, τότε η συνάρτηση είναι κυρτή στο διάστημα αυτό.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Δίνεται ότι f″(x)＞0 για x＜0 και x＞0, άρα η συνάρτηση είναι κυρτή σε κάθε πλευρά του 0.
Η συνέχεια της f′ στο 0 εξασφαλίζει ότι δεν υπάρχει αλλαγή στη συμπεριφορά της κλίσης.
Άρα η κυρτότητα διατηρείται σε όλο το R.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.

5. Ολοκληρώματα
173📋
Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και F είναι μία παράγουσά της, τότε \( \displaystyle \int_{α}^{β} f(x)\,dx = F(β)-F(α) \).
ΣΩΣΤΟ
ΤΙ ΛΕΕΙ Η ΑΣΚΗΣΗ
Σου δίνει μια συνάρτηση f και μια παράγουσά της F και σε ρωτά αν το ολοκλήρωμα ισούται με F(β)-F(α).

ΘΕΩΡΙΑ
Αν f είναι συνεχής στο [α,β], τότε: \( \int_{α}^{β} f(x)\,dx = F(β)-F(α) \), όπου F είναι παράγουσα της f.

ΑΠΛΑ ΛΟΓΙΑ
Το ολοκλήρωμα «αναιρεί» την παράγωγο.
Δηλαδή πάμε από f πίσω σε F.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η πρόταση είναι σωστή.
174📋
Τα ολοκληρώματα \( \int_{0}^{1} f(x)\,dx \) και \( \int_{0}^{1} f(t)\,dt \) συμβολίζουν το ίδιο ολοκλήρωμα.
ΣΩΣΤΟ
ΘΕΩΡΙΑ
Η μεταβλητή ολοκλήρωσης είναι τυπική (dummy variable).

ΑΝΑΛΥΣΗ
Το x ή το t δεν αλλάζουν τίποτα.
Είναι απλώς ένα «όνομα».

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Είναι σαν να λες: 2+3 = 2+3 → δεν αλλάζει αν γράψεις τα νούμερα αλλιώς.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Τα δύο ολοκληρώματα είναι ίδια.
175📋
Αν η f είναι συνεχής στο [0,1], τότε \( \left(\int_{0}^{1} f(x)\,dx\right)' = 0 \).
ΣΩΣΤΟ
ΚΛΕΙΔΙ
Το ολοκλήρωμα αυτό είναι αριθμός!

ΑΝΑΛΥΣΗ
Δεν εξαρτάται από x, άρα είναι σταθερά.

ΘΕΩΡΙΑ
Παράγωγος σταθεράς = 0.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Σωστό.
176📋
Για συνεχή f στο [0,1] ισχύει \( \int_{0}^{1} f(x)\,dx = [f'(x)]_{0}^{1} \).
ΛΑΘΟΣ
ΠΑΓΙΔΑ!
Μπερδεύει το f με το F.

ΣΩΣΤΟ
\( \int f(x)dx = F(x) \) όπου F′=f

ΑΝΑΛΥΣΗ
Δεν βάζουμε f′ αλλά παράγουσα F.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Λάθος.
177📋
Δεν ορίζεται το ολοκλήρωμα \( \int_{-1}^{1} \ln|x|\,dx \).
ΛΑΘΟΣ
ΤΙ ΣΥΜΒΑΙΝΕΙ
Στο x=0 υπάρχει πρόβλημα.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Είναι ακατάλληλο ολοκλήρωμα, αλλά συγκλίνει.

ΙΔΕΑ
Η συνάρτηση είναι άρτια ⇒ διπλασιάζουμε.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Ορίζεται ⇒ άρα ΛΑΘΟΣ.
178📋
Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο ℝ, τότε έχει αριστερές και δεξιές παραγώγους σε κάθε σημείο.
ΛΑΘΟΣ
ΒΑΣΙΚΟ
Συνέχεια ≠ παραγωγισιμότητα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
f(x)=|x| στο 0

ΑΝΑΛΥΣΗ
Είναι συνεχής αλλά δεν έχει παράγωγο.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Λάθος.
179📋
Αν η f είναι συνεχής στο [α,β], τότε \( \int_{α}^{β} f(x)\,dx = \int_{α}^{γ} f(x)\,dx + \int_{γ}^{β} f(x)\,dx \) μόνο αν α<γ<β.
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Το ολοκλήρωμα είναι προσθετικό.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Ισχύει για κάθε γ, ακόμη και εκτός διαστήματος.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Τότε αλλάζει πρόσημο.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Λάθος.
180📋
Αν η f είναι συνεχής στο [0,1] και f(x)≥0, τότε \( \int_{0}^{1} f(x)\,dx ≥ 0 \).
ΣΩΣΤΟ
ΙΔΕΑ
Το ολοκλήρωμα = εμβαδόν

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η f είναι πάνω από τον άξονα ⇒ θετικό εμβαδόν

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Σωστό.
181📋
Ισχύει \( \int_{α}^{β} f(x)\,dx = -\int_{β}^{α} f(x)\,dx \).
ΣΩΣΤΟ
ΙΔΕΑ
Το ολοκλήρωμα έχει «φορά».

ΑΝΑΛΥΣΗ
Αν πας από α → β έχεις μία κατεύθυνση.
Αν πας από β → α πας ανάποδα.

ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ
Το ίδιο εμβαδόν αλλά με αντίθετο πρόσημο.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Αλλάζω τα όρια ⇒ αλλάζει πρόσημο.
182📋
Αν \( α＜γ＜β \), τότε \( \int_{α}^{β} f(x)\,dx = \int_{α}^{γ} f(x)\,dx + \int_{γ}^{β} f(x)\,dx \).
ΣΩΣΤΟ
ΙΔΕΑ
«Σπάω» το διάστημα στα δύο.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Το εμβαδόν από α μέχρι β = εμβαδόν από α μέχρι γ + εμβαδόν από γ μέχρι β.

ΟΠΤΙΚΑ
Είναι σαν να κόβεις ένα σχήμα στη μέση.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Ισχύει πάντα.
183📋
Αν \( c \in \mathbb{R} \), τότε \( \int_{α}^{β} c f(x)\,dx = c\int_{α}^{β} f(x)\,dx \).
ΣΩΣΤΟ
ΙΔΕΑ
Ο αριθμός c είναι σταθερός.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Σταθερός παράγοντας βγαίνει έξω από το ολοκλήρωμα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
\( \int 2x dx = 2\int x dx \)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Σωστό.
184📋
Ισχύει πάντα \( \int_{α}^{β} (f(x)+g(x))\,dx = \int_{α}^{β} f(x)\,dx + \int_{α}^{β} g(x)\,dx \).
ΣΩΣΤΟ
ΙΔΕΑ
Το ολοκλήρωμα «σπάει» στο άθροισμα.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Όπως: (a+b)+(c+d) = (a+c)+(b+d)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Το ολοκλήρωμα είναι γραμμικό.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Σωστό.
185📋
Αν \( \int_{0}^{1} f(x)\,dx = 0 \), τότε \( f(x)=0 \) για κάθε \( x\in[0,1] \).
ΛΑΘΟΣ
ΠΑΓΙΔΑ!
Το ολοκλήρωμα δεν είναι «απόλυτο» εμβαδόν.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Μπορεί: πάνω από άξονα → θετικό
κάτω από άξονα → αρνητικό

ΤΙ ΓΙΝΕΤΑΙ
Μπορούν να αλληλοαναιρεθούν.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
f(x)=x−0.5 στο [0,1]
→ ολοκλήρωμα = 0 αλλά f≠0

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Λάθος.
186📋
Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και παραγωγίσιμη, τότε \( \int_{0}^{1} f'(x)\,dx＞0 \).
ΣΩΣΤΟ
ΚΛΕΙΔΙ
Ολοκλήρωμα της παραγώγου ⇒ διαφορά τιμών.

ΘΕΩΡΙΑ
\( \int_{0}^{1} f'(x)\,dx = f(1)-f(0) \)

ΑΝΑΛΥΣΗ
Η f είναι γνησίως αύξουσα ⇒ f(1)＞f(0)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Το ολοκλήρωμα είναι θετικό.
187📋
Αν f είναι συνεχής στο [α,β] και \( \int_{α}^{β} f(x)\,dx = 0 \), τότε \( f(x)=0 \) για κάθε \(x∈[α,β]\).
ΛΑΘΟΣ
ΠΑΓΙΔΑ!
Το ολοκλήρωμα είναι προσημασμένο εμβαδόν.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Θετικά και αρνητικά εμβαδά μπορεί να ακυρωθούν.

ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ
Μόνο αν f(x)≥0 ⇒ τότε f=0.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Δεν συνεπάγεται f(x)=0 ⇒ Λάθος.
188📋
Αν \( f(x)≥ g(x) \) στο [α,β], τότε \( \int_{α}^{β} f(x)\,dx ≥ \int_{α}^{β} g(x)\,dx \).
ΣΩΣΤΟ
ΙΔΕΑ
Μεγαλύτερη συνάρτηση ⇒ μεγαλύτερο εμβαδόν.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Αν f είναι πάνω από g, τότε έχει περισσότερο «χώρο».

ΚΑΝΟΝΑΣ
Το ολοκλήρωμα διατηρεί τη σειρά.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Σωστό.
189📋
Αν \( f(x)≥0 \) στο [α,β], τότε \( \int_{α}^{β} f(x)\,dx = 0 \) ⇔ \( f(x)=0 \) για κάθε x.
ΣΩΣΤΟ
ΙΔΕΑ
Εδώ έχουμε μόνο θετικό εμβαδόν.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Αν το εμβαδόν είναι 0, τότε δεν υπάρχει καθόλου «επιφάνεια».

ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ
Αυτό συμβαίνει μόνο αν f(x)=0 παντού.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Σωστό.
190📋
Αν \( f(x)≤ g(x) \) στο [α,β], τότε \( \int_{α}^{β} |f(x)|\,dx ≤ \int_{α}^{β} |g(x)|\,dx \).
ΛΑΘΟΣ
ΠΑΓΙΔΑ!
Η ανισότητα δεν περνάει στην απόλυτη τιμή.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Μπορεί f≤g αλλά |f|＞|g|.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
f=-10, g=-1 ⇒ f≤g αλλά |f|＞|g|

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Δεν ισχύει γενικά ⇒ Λάθος.
191📋
Ισχύει \( \displaystyle \left|\int_{α}^{β} f(x)\,dx\right| \le \int_{α}^{β} |f(x)|\,dx \).
ΣΩΣΤΟ

Το ορισμένο ολοκλήρωμα εκφράζει προσημασμένο εμβαδόν, ενώ το ολοκλήρωμα της απόλυτης τιμής εκφράζει ολικό εμβαδόν.

Το ολικό εμβαδόν είναι πάντα μεγαλύτερο ή ίσο από το προσημασμένο, άρα:

\( \displaystyle \left|\int_{α}^{β} f(x)\,dx\right| \le \int_{α}^{β} |f(x)|\,dx \).

192📋
Αν \( |f(x)|\le M \) στο [α,β], τότε \( \displaystyle \left|\int_{α}^{β} f(x)\,dx\right| \le M(\beta-\alpha) \).
ΣΩΣΤΟ

Από την υπόθεση \( |f(x)|\le M \) για κάθε \(x\in[α,β]\), ολοκληρώνοντας κατά μέλη προκύπτει:

\( \displaystyle \int_{α}^{β} |f(x)|\,dx \le \int_{α}^{β} M\,dx =M(\beta-\alpha) \).

Εφαρμόζοντας την ανισότητα του προηγούμενου ερωτήματος, έχουμε:

\( \displaystyle \left|\int_{α}^{β} f(x)\,dx\right| \le \int_{α}^{β} |f(x)|\,dx \le M(\beta-\alpha) \).

193📋
Αν f είναι συνεχής στο [α,β], τότε \( \displaystyle \int_{α}^{β} f(x)\,dx = (\beta-\alpha)\,f(\xi) \) για κάποιο \( \xi\in(α,β) \).
ΣΩΣΤΟ

Πρόκειται για το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Ολοκληρωτικού Λογισμού.

Εφόσον η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β], παίρνει ελάχιστη και μέγιστη τιμή και ισχύει:

\( \displaystyle \min f \le \frac{1}{\beta-\alpha} \int_{α}^{β} f(x)\,dx \le \max f \).

Άρα υπάρχει \( \xi\in(α,β) \) ώστε:

\( \displaystyle \int_{α}^{β} f(x)\,dx =(\beta-\alpha)\,f(\xi) \).

194📋
Αν f είναι συνεχής στο [α,β], τότε υπάρχει \( \xi\in[α,β] \) ώστε \( \displaystyle \int_{α}^{β} f(x)\,dx = (\beta-\alpha)\,f(\xi) \).
ΛΑΘΟΣ

Το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Ολοκληρωτικού Λογισμού εξασφαλίζει \( \xi\in(α,β) \), δηλαδή εσωτερικό σημείο του διαστήματος.

Δεν εξασφαλίζεται ότι το σημείο αυτό μπορεί να είναι ένα από τα άκρα \(α\) ή \(β\).

195📋
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] και \( f(x)>0 \) για κάθε \( x\in[α,β] \), τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες \(x=α\), \(x=β\) με \(α<β\) και τον άξονα \(x'x\) ισούται με \( \displaystyle E=\int_{α}^{β} f(x)\,dx \).
ΣΩΣΤΟ

Αφού η συνάρτηση είναι θετική σε όλο το διάστημα [α,β], το ορισμένο ολοκλήρωμα εκφράζει το γεωμετρικό εμβαδόν του χωρίου Ω χωρίς ανάγκη απόλυτης τιμής.

196📋
Αν f συνεχής στο [α,β], τότε \( \int_{α}^{β} f(x)\,dx ≤ (β−α)\max f \).
ΣΩΣΤΟ
ΙΔΕΑ
Η f δεν ξεπερνά ποτέ τη μέγιστη τιμή της.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Για κάθε x: f(x) ≤ max f

ΟΛΟΚΛΗΡΩΝΩ
\( \int f(x) dx ≤ \int \max f dx \)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ
\( \int_{α}^{β} f(x)dx ≤ (β−α)\max f \)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Σωστό.
197📋
Από το ότι \( \int |f(x)|dx ≥ \int f(x)dx \), προκύπτει ότι το εμβαδόν είναι \( \int f(x)dx \).
ΛΑΘΟΣ
ΠΑΓΙΔΑ!
Μπερδεύει ολοκλήρωμα με εμβαδόν.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Το ολοκλήρωμα είναι προσημασμένο εμβαδόν.

ΣΩΣΤΟ
Εμβαδόν = \( \int |f(x)|dx \)

ΜΟΝΟ ΑΝ
f(x)≥0 ⇒ τότε χωρίς απόλυτη τιμή.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Λάθος.
198📋
Ισχύει πάντα \( \left|\int f(x)dx\right| = \int |f(x)|dx \).
ΛΑΘΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ
Πάντα ισχύει: \( |\int f| ≤ \int |f| \)

ΑΝΑΛΥΣΗ
Αν αλλάζει πρόσημο η f, τότε υπάρχει ακύρωση.

ΙΣΟΤΗΤΑ
Μόνο όταν f δεν αλλάζει πρόσημο.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Λάθος.
199📋
Το εμβαδόν μεταξύ καμπύλης και άξονα στο [1,2] είναι \( E = \left|\int_{1}^{2} f(x)dx\right| \).
ΣΩΣΤΟ
ΙΔΕΑ
Θέλουμε πάντα θετικό εμβαδόν.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Το ολοκλήρωμα μπορεί να είναι αρνητικό.

ΛΥΣΗ
Βάζουμε απόλυτη τιμή.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Σωστό.
200📋
Το εμβαδόν δίνεται από \( \int_{α}^{β} f(x)dx \).
ΛΑΘΟΣ
ΠΑΓΙΔΑ!
Δεν ισχύει πάντα.

ΑΝΑΛΥΣΗ
Αν f αλλάζει πρόσημο, έχουμε ακύρωση εμβαδών.

ΣΩΣΤΟ
Εμβαδόν = \( \int |f(x)|dx \)

ΕΞΑΙΡΕΣΗ
Αν f≥0 ⇒ τότε χωρίς απόλυτη τιμή.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Λάθος.


Γενικά Θέματα
201📋
Αν το 0 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της f, η γραφική παράσταση Cf δεν τέμνει τον άξονα y′y.
ΣΩΣΤΟ

Ο άξονας y′y αντιστοιχεί στην τιμή \(x=0\).

Για να τέμνει η γραφική παράσταση τον άξονα y′y, πρέπει να υπάρχει το σημείο \((0,f(0))\).

Αν όμως το 0 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της f, η τιμή \(f(0)\) δεν ορίζεται.

Επομένως, η γραφική παράσταση δεν μπορεί να τέμνει τον άξονα y′y.

202📋
Αν f(x)=0 ⇔ x=1 ∈ Af, τότε Cf ∩ x′x = {(1,0)}.
ΣΩΣΤΟ

Τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα x′x είναι εκείνα για τα οποία \(f(x)=0\).

Από την υπόθεση, η εξίσωση \(f(x)=0\) έχει μοναδική λύση το \(x=1\).

Άρα η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα x′x μόνο στο σημείο \((1,0)\).

Επομένως: \( C_f \cap x′x = \{(1,0)\} \).

203📋
Αν \( f(x)=g(x) \iff x=1 \in A_f \cap A_g \), τότε \( C_f \cap C_g = \{(1,f(1))\} \).
ΣΩΣΤΟ

Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων \(C_f\) και \(C_g\) αντιστοιχούν στις λύσεις της εξίσωσης \(f(x)=g(x)\).

Από την υπόθεση, η εξίσωση αυτή έχει μοναδική λύση το \(x=1\).

Στο σημείο αυτό, οι δύο συναρτήσεις έχουν κοινή τιμή \(f(1)=g(1)\).

Άρα το μοναδικό κοινό σημείο είναι \((1,f(1))\).

204📋
Όταν λέμε ότι «η f είναι ορισμένη σε σύνολο A», εννοούμε ότι το A είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της. Όταν γράφουμε f:A→ℝ, το A είναι το μέγιστο σύνολο ορισμού.
ΣΩΣΤΟ

Μία συνάρτηση μπορεί να εξετάζεται σε υποσύνολο του πεδίου ορισμού της.

Όταν όμως γράφουμε \(f:A\to\mathbb{R}\), το σύνολο A δηλώνεται ρητά ως το πεδίο ορισμού της f.

Στην περίπτωση αυτή, το A είναι το μέγιστο σύνολο στο οποίο ορίζεται η f.

205📋
Αν Af ∩ Ag = ∅, τότε δεν ορίζεται η συνάρτηση f+g.
ΣΩΣΤΟ

Το άθροισμα f+g ορίζεται μόνο στα x για τα οποία ορίζονται και οι δύο συναρτήσεις.

Το πεδίο ορισμού του f+g είναι το \(A_f \cap A_g\).

Αν η τομή αυτή είναι κενή, δεν υπάρχει κανένα x για το οποίο να ορίζεται το f+g.

206📋
Αν g(Ag) ∩ Af = ∅, τότε δεν ορίζεται η σύνθεση f∘g.
ΣΩΣΤΟ

Η σύνθεση f∘g ορίζεται μόνο όταν οι τιμές της g ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f.

Αν \(g(A_g)\cap A_f=\varnothing\), τότε καμία τιμή της g δεν μπορεί να εισαχθεί στη f.

Άρα η σύνθεση δεν ορίζεται.

207📋
Αν {x∈Ag : g(x)∈Af} ≠ ∅, τότε ορίζεται η f∘g.
ΛΑΘΟΣ

Για να ορίζεται η σύνθεση f∘g, πρέπει για κάθε x του πεδίου ορισμού της σύνθεσης να ισχύει \(g(x)\in A_f\).

Το να ισχύει αυτό για ένα μόνο x δεν αρκεί.

Άρα η ύπαρξη ενός τέτοιου x δεν εξασφαλίζει τον ορισμό της σύνθεσης.

208📋
Αν g(Ag) ∩ Af ≠ ∅, τότε {x∈Ag : g(x)∈Af} ≠ ∅.
ΣΩΣΤΟ

Αν υπάρχει κοινό στοιχείο στο \(g(A_g)\cap A_f\), τότε υπάρχει τιμή y της μορφής \(y=g(x)\) που ανήκει στο \(A_f\).

Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα \(x\in A_g\) τέτοιο ώστε \(g(x)\in A_f\).

Επομένως, το σύνολο \(\{x\in A_g : g(x)\in A_f\}\) δεν είναι κενό.

209📋
Αν η f:A→ℝ είναι γνησίως αύξουσα, τότε \(x_1\le x_2 \iff f(x_1)\le f(x_2)\), για \(x_1,x_2\in A\). Το «=» ισχύει ταυτόχρονα.
ΣΩΣΤΟ

Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, για κάθε \(x_1

Επίσης, αν \(x_1=x_2\), τότε προφανώς \(f(x_1)=f(x_2)\).

Αντίστροφα, αν \(f(x_1)\le f(x_2)\), τότε δεν μπορεί να ισχύει \(x_1>x_2\), γιατί τότε θα είχαμε \(f(x_1)>f(x_2)\), άτοπο.

Επομένως, \(x_1\le x_2 \iff f(x_1)\le f(x_2)\), και η ισότητα ισχύει ταυτόχρονα και στα δύο μέλη.

210📋
Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση δεν μπορεί να έχει δύο διαφορετικές ρίζες.
ΣΩΣΤΟ

Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι 1–1.

Αν είχε δύο διαφορετικές ρίζες \(x_1\neq x_2\), θα ίσχυε \(f(x_1)=f(x_2)=0\), πράγμα που αντιφάσκει με το ότι είναι 1–1.

Άρα μία γνησίως μονότονη συνάρτηση μπορεί να έχει το πολύ μία ρίζα.

211📋
Αν f₁, f₂ : D→ℝ είναι γνησίως αύξουσες, τότε η f₁+f₂ είναι πάντα γνησίως αύξουσα.
ΣΩΣΤΟ

Έστω \(x_1

Επειδή οι f₁ και f₂ είναι γνησίως αύξουσες, ισχύει: \(f_1(x_1)

Προσθέτοντας κατά μέλη, παίρνουμε: \((f_1+f_2)(x_1) < (f_1+f_2)(x_2)\).

Άρα η f₁+f₂ είναι γνησίως αύξουσα.

212📋
Αν το σύνολο τιμών της f:ℝ→ℝ είναι το [0,1], τότε η f έχει ακρότατα.
ΛΑΘΟΣ

Το σύνολο τιμών δείχνει ποιες τιμές μπορεί να προσεγγίζει η f, όχι απαραίτητα ποιες λαμβάνει.

Είναι δυνατόν η f να έχει σύνολο τιμών το [0,1], χωρίς να λαμβάνει ούτε την τιμή 0 ούτε την τιμή 1.

Σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχουν ακρότατα.

213📋
Αν το σύνολο τιμών της f:ℝ→ℝ είναι το (0,1), τότε η f δεν έχει ακρότατα.
ΣΩΣΤΟ

Τα άκρα 0 και 1 δεν ανήκουν στο σύνολο τιμών.

Άρα η f δεν λαμβάνει ούτε ελάχιστη ούτε μέγιστη τιμή.

Επομένως, δεν παρουσιάζει ακρότατα.

214📋
Αν η συνάρτηση f:ℝ→ℝ είναι γνησίως μονότονη, τότε δεν έχει ακρότατα.
ΣΩΣΤΟ

Σε ανοιχτό διάστημα μία γνησίως μονότονη συνάρτηση δεν μπορεί να παρουσιάζει ακρότατα.

Κάθε σημείο μπορεί να ξεπεραστεί προς τη μία κατεύθυνση.

215📋
Αν η συνάρτηση f:[0,1]→ℝ είναι γνησίως μονότονη, τότε έχει ακρότατα.
ΣΩΣΤΟ

Σε κλειστό διάστημα κάθε μονότονη συνάρτηση λαμβάνει ελάχιστη και μέγιστη τιμή.

Τα ακρότατα βρίσκονται στα άκρα του διαστήματος.

216📋
Αν το σύνολο τιμών της f είναι \([0,1]\cup[2,2018]\), τότε η f παίρνει μόνο ελάχιστη τιμή.
ΛΑΘΟΣ

Από το σύνολο τιμών προκύπτει ότι η f λαμβάνει την ελάχιστη τιμή 0 και τη μέγιστη τιμή 2018.

Άρα η f έχει και ολικό ελάχιστο και ολικό μέγιστο.

217📋
Αν μια μη σταθερή συνάρτηση έχει ολικά ακρότατα, τότε το ολικό μέγιστό της είναι μεγαλύτερο από το ολικό ελάχιστό της.
ΣΩΣΤΟ

Αν τα δύο ακρότατα ήταν ίσα, η συνάρτηση θα ήταν σταθερή.

Εφόσον είναι μη σταθερή, το μέγιστο είναι μεγαλύτερο από το ελάχιστο.

218📋
Αν για κάθε a,b∈ℝ με a≠b ισχύει f(a)≠f(b), τότε η f αντιστρέφεται.
ΣΩΣΤΟ

Η συνθήκη \(a\neq b \Rightarrow f(a)\neq f(b)\) σημαίνει ότι η f είναι 1–1.

Κάθε 1–1 συνάρτηση έχει αντίστροφη.

219📋
Αν η f:A→ℝ είναι 1–1, τότε f−1(f(A))=A.
ΣΩΣΤΟ

Η f απεικονίζει το σύνολο A στο σύνολο f(A).

Η αντίστροφη συνάρτηση επαναφέρει κάθε στοιχείο στο αρχικό του.

Άρα \(f^{-1}(f(A))=A\).

220📋
Αν f(x)=y ⇔ x=y³+y, x,y∈ℝ, τότε είναι βέβαιο ότι f−1(x)=x³+x.
ΛΑΘΟΣ

Για να βρεθεί η αντίστροφη, πρέπει να λυθεί ως προς y η εξίσωση \(x=y^3+y\).

Αυτό δεν δίνει απλώς \(y=x^3+x\).

Η αντίστροφη δεν προκύπτει με απλή αντικατάσταση.

221📋
Αν f,g:ℝ→ℝ δεν είναι ίσες, τότε f(x)≠g(x) για κάθε x∈ℝ.
ΛΑΘΟΣ

Το ότι δύο συναρτήσεις δεν είναι ίσες σημαίνει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x για το οποίο \(f(x)\neq g(x)\).

Δεν αποκλείεται όμως να ισχύει \(f(x)=g(x)\) για πολλά ή και για άπειρα x.

Άρα δεν απαιτείται να διαφέρουν σε κάθε x.

222📋
Αν f,g:D→ℝ και f(D)=g(D), τότε f=g.
ΛΑΘΟΣ

Το σύνολο τιμών δείχνει ποιες τιμές λαμβάνει μία συνάρτηση, όχι πώς τις λαμβάνει.

Δύο διαφορετικές συναρτήσεις μπορεί να έχουν το ίδιο σύνολο τιμών, αλλά διαφορετικούς τύπους.

Επομένως, \(f(D)=g(D)\) δεν συνεπάγεται \(f=g\).

223📋
Αν η f:A→ℝ αντιστρέφεται, τότε (f−1(x))² = f−2(x), για κάθε x∈f(A).
ΛΑΘΟΣ

Η παράσταση \((f^{-1}(x))^2\) σημαίνει το τετράγωνο της τιμής της αντίστροφης συνάρτησης.

Αντίθετα, \(f^{-2}\) σημαίνει σύνθεση της αντίστροφης με τον εαυτό της: \(f^{-2}=f^{-1}\circ f^{-1}\).

Οι δύο έννοιες δεν ταυτίζονται.

224📋
Αν η συνάρτηση f ορίζεται στο ℝ και είναι περιττή, τότε f(0)=0.
ΣΩΣΤΟ

Για περιττή συνάρτηση ισχύει: \(f(-x)=-f(x)\).

Θέτοντας \(x=0\), παίρνουμε: \(f(0)=-f(0)\), άρα \(f(0)=0\).

225📋
Αν \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=0 \) και \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x)=L \), τότε \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} (f(x)+g(x)) =\lim f(x)+\lim g(x) \).
ΣΩΣΤΟ

Όταν υπάρχουν τα όρια δύο συναρτήσεων, τότε υπάρχει και το όριο του αθροίσματός τους.

Ισχύει: \[ \lim(f+g)=\lim f+\lim g. \]

Εδώ: \(0+L=L\).

226📋
Αν \( \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=L \), τότε \( \displaystyle \lim_{x\to 0} |f(x)|=|L| \) και αντίστροφα.
ΛΑΘΟΣ

Αν υπάρχει το \( \lim f(x) \), τότε πράγματι υπάρχει και το \( \lim |f(x)| \) και ισχύει \( \lim |f(x)|=|L| \).

Όμως το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα.

Μπορεί να υπάρχει \( \lim |f(x)| \) χωρίς να υπάρχει \( \lim f(x) \).

227📋
Η συνάρτηση \( f(x)=\dfrac{1}{x^2-x} \) έχει μόνο δύο σημεία στα οποία δεν είναι συνεχής.
ΣΩΣΤΟ

Η συνάρτηση είναι ρητή, άρα είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της.

Δεν ορίζεται όταν \( x^2-x=0 \), δηλαδή για \( x=0 \) και \( x=1 \).

Στα σημεία αυτά η συνάρτηση δεν μπορεί να είναι συνεχής, αφού δεν ορίζεται.

Επομένως, η f δεν είναι συνεχής μόνο στα σημεία \( x=0 \) και \( x=1 \), ενώ είναι συνεχής σε κάθε άλλο σημείο του \( \mathbb{R} \).

228📋
Αν η f δεν είναι συνεχής στο 0 και η g είναι συνεχής στο 0, τότε η f+g δεν είναι συνεχής στο 0.
ΣΩΣΤΟ

Άθροισμα συνεχούς με μη συνεχή δεν μπορεί να είναι συνεχές.

229📋
Αν η f είναι συνεχής στο ℝ και οι αριθμοί −1 και 1 ανήκουν στο σύνολο τιμών της, τότε και το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών της.
ΣΩΣΤΟ

Από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.

230📋
Αν η συνάρτηση \(f^2\) είναι συνεχής, τότε και η f είναι πάντα συνεχής.
ΛΑΘΟΣ

Από τη συνέχεια της \(f^2\) δεν συνεπάγεται η συνέχεια της f.

Παράδειγμα:

Ορίζουμε \[ f(x)= \begin{cases} 1, & x>0 \\ -1, & x<0 \end{cases} \] (και π.χ. \(f(0)=1\)).

Η f δεν είναι συνεχής στο 0, αφού το αριστερό και δεξιό όριο διαφέρουν.

Όμως \( f^2(x)=1 \) για κάθε \(x\), άρα η \(f^2\) είναι σταθερή και συνεχής στο \(\mathbb{R}\).

231📋
Υπάρχει συνάρτηση f που δεν είναι συνεχής στο 0, αλλά είναι συνεχής στο [0,+∞).
ΣΩΣΤΟ

Η συνέχεια της f στο διάστημα \([0,+\infty)\) απαιτεί:

– να ορίζεται η f στο 0
– να υπάρχει το δεξιό όριο στο 0
– και να ισχύει \( \displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=f(0) \)

Δεν απαιτείται ύπαρξη αριστερού ορίου στο 0.

Άρα μπορεί η f να είναι συνεχής στο \([0,+\infty)\), αλλά να μην είναι συνεχής στο 0 ως σημείο του \(\mathbb{R}\), επειδή δεν υπάρχει ή δεν συμφωνεί το αριστερό όριο.

232📋
Αν η f είναι συνεχής στα \((-\infty,0]\) και \([0,+\infty)\), τότε είναι συνεχής στο ℝ.
ΛΑΘΟΣ

Η συνέχεια της f στο \((-\infty,0]\) εξασφαλίζει ότι:

\( \displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x)=f(0) \).

Η συνέχεια της f στο \([0,+\infty)\) εξασφαλίζει ότι:

\( \displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=f(0) \).

Όμως για να είναι η f συνεχής στο ℝ, πρέπει στο 0 να ισχύει:

\( \displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^+} f(x) = f(0) \).

Από τα δεδομένα δεν προκύπτει ότι τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα.

Επομένως, η συνέχεια της f στο ℝ δεν εξασφαλίζεται.

233📋
Αν \( \displaystyle \lim_{x\to 0} x f(x)=2020 \), αποκλείεται η f να είναι συνεχής στο 0.
ΣΩΣΤΟ

Υποθέτουμε ότι η f είναι συνεχής στο 0.

Τότε υπάρχει το όριο \( \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=f(0) \) και είναι πεπερασμένο.

Επειδή \( \displaystyle \lim_{x\to 0} x=0 \), από τον κανόνα ορίων γινομένου προκύπτει:

\( \displaystyle \lim_{x\to 0} x f(x) = \left(\lim_{x\to 0} x\right) \left(\lim_{x\to 0} f(x)\right) = 0\cdot f(0) = 0. \)

Όμως από την υπόθεση ισχύει:

\( \displaystyle \lim_{x\to 0} x f(x)=2020\neq 0 \),

πράγμα που οδηγεί σε αντίφαση.

Επομένως, η f δεν μπορεί να είναι συνεχής στο 0.

234📋
Αν η f είναι συνεχής στο ℝ και \( \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=f(1) \), τότε η f δεν αντιστρέφεται.
ΣΩΣΤΟ

Εφόσον η f είναι συνεχής στο ℝ, ισχύει: \( \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=f(0) \).

Από την υπόθεση έχουμε: \( f(0)=f(1) \).

Άρα υπάρχουν δύο διαφορετικά σημεία 0 και 1 με ίδια τιμή.

Επομένως η f δεν είναι 1–1 και άρα δεν αντιστρέφεται.

235📋
Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ και \(x_0\inℝ\), τότε \((f(x))'=f'(x)\) και \((f(x_0))'=f'(x_0)\).
ΛΑΘΟΣ

Η παράγωγος της συνάρτησης \(f(x)\) είναι πράγματι \(f'(x)\).

Όμως το \(f(x_0)\) είναι σταθερός αριθμός.

Η παράγωγος κάθε σταθεράς είναι 0, δηλαδή: \( (f(x_0))'=0 \).

Επομένως, η δεύτερη ισότητα είναι λανθασμένη.

236📋
Ισχύει \( f''(x)=\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h} =\big(f'(x)\big)' =\dfrac{df'(x)}{dx} \).
ΣΩΣΤΟ

Η δεύτερη παράγωγος ορίζεται ως το όριο:

\( \displaystyle f''(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}. \)

Επίσης, είναι η παράγωγος της πρώτης παραγώγου: \( (f'(x))' \).

Τέλος, η γραφή \( \dfrac{df'(x)}{dx} \) είναι ισοδύναμος συμβολισμός.

Άρα όλοι οι τύποι εκφράζουν την ίδια έννοια.

237📋
Αν η f είναι 4 φορές παραγωγίσιμη στο ℝ, τότε \( \big(f^{(3)}(x)\big)'=(f'(x))^{(3)} \).
ΣΩΣΤΟ

Η παράγωγος της τρίτης παραγώγου είναι η τέταρτη παράγωγος: \( (f^{(3)}(x))'=f^{(4)}(x) \).

Επίσης, η τρίτη παράγωγος της πρώτης παραγώγου είναι πάλι: \( (f'(x))^{(3)}=f^{(4)}(x) \).

Άρα οι δύο εκφράσεις είναι ίσες.

238📋
Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ, τότε \((f(0)f(1))'=f'(0)f(1)+f(0)f'(1)\).
ΛΑΘΟΣ

Το γινόμενο \( f(0)f(1) \) είναι σταθερός αριθμός.

Η παράγωγος οποιασδήποτε σταθεράς είναι 0.

Ο κανόνας παραγώγισης γινομένου εφαρμόζεται μόνο σε συναρτήσεις του x, όχι σε αριθμούς.

239📋
Αν \( \dfrac{d(\text{ημ}(2x))}{dx}=2\text{συν}(2x) \) και \( \dfrac{d^2(\text{ημ}(2x))}{dx^2}=\text{συν}(2x) \).
ΛΑΘΟΣ

Η πρώτη παράγωγος είναι:

\( (\text{ημ}(2x))' =2\text{συν}(2x) \).

Παραγωγίζοντας ξανά:

\( (\text{ημ}(2x))'' =2\cdot(-\text{ημ}(2x))\cdot 2 =-4\text{ημ}(2x) \).

Άρα η δεύτερη παράγωγος δεν είναι \( \text{συν}(2x) \).

240📋
Αν \(f(0)=0\) και \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0 \), τότε \( f'(0)=0 \).
ΣΩΣΤΟ

Από τον ορισμό της παραγώγου στο 0 έχουμε:

\( \displaystyle f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}. \)

Επειδή \(f(0)=0\), ο τύπος γίνεται:

\( \displaystyle f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}. \)

Από την υπόθεση, το όριο αυτό είναι 0.

Άρα \(f'(0)=0\).

241📋
Η γραφική παράσταση μιας παραγωγίσιμης και άρτιας συνάρτησης έχει τουλάχιστον μία οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο \(M(0,f(0))\).
ΣΩΣΤΟ

Για άρτια συνάρτηση ισχύει: \( f(-x)=f(x) \).

Αν η f είναι και παραγωγίσιμη, τότε: \( f'(0)=0 \).

Μηδενική παράγωγος σημαίνει οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο \(M(0,f(0))\).

242📋
Αν ο άξονας \(x'x\) εφάπτεται στη γραφική παράσταση \(C_f\), τότε υπάρχει \(x_0\inℝ\) ώστε \(f'(x_0)=0\).
ΣΩΣΤΟ

Ο άξονας \(x'x\) έχει κλίση 0.

Αν είναι εφαπτομένη της γραφικής, τότε η εφαπτομένη στο σημείο επαφής έχει επίσης κλίση 0.

Άρα \( f'(x_0)=0 \).

243📋
Για τη συνάρτηση \(f(x)=x\), αφού \(f(1)=1\), ισχύει \(f'(1)=(1)'=0\).
ΛΑΘΟΣ

Η παράγωγος της συνάρτησης \( f(x)=x \) είναι: \( f'(x)=1 \) για κάθε x.

Επομένως: \( f'(1)=1 \) και όχι 0.

Το \( (1)'=0 \) αφορά τον αριθμό 1, όχι τη συνάρτηση.

244📋
Αν ισχύει το θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση f στο [0,2], τότε ισχύει και το Θεώρημα Μέσης Τιμής για τη f στο [0,1].
ΛΑΘΟΣ

Το θεώρημα Rolle απαιτεί: \( f(0)=f(2) \).

Το Θεώρημα Μέσης Τιμής στο [0,1] απαιτεί άλλες υποθέσεις, που δεν εξασφαλίζονται.

Η ισχύς του Rolle σε μεγαλύτερο διάστημα δεν συνεπάγεται την ισχύ του Θ.Μ.Τ. σε υποδιάστημα.

245📋
Αν για μια πολυωνυμική συνάρτηση δεν εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο [0,1], τότε εφαρμόζεται το θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών στο [0,1].
ΣΩΣΤΟ

Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής στο ℝ.

Το θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών απαιτεί μόνο συνέχεια, όχι παραγωγισιμότητα ούτε ισότητα τιμών στα άκρα.

Άρα εφαρμόζεται στο [0,1].

246📋
Αν f, g είναι πολυωνυμικές συναρτήσεις με \(f(0)=g(0)=0\), \(f'(0)=g'(0)=1\), τότε \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=1 \).
ΣΩΣΤΟ

Έχουμε μορφή \( \frac{0}{0} \).

Οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες και ισχύει: \( \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=1 \).

Εφαρμόζεται ο κανόνας de l’Hôpital, άρα: \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1 \).

247📋
Αν f, g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις, με \( \lim_{x\to +\infty}f(x)=0 \), \( \lim_{x\to +\infty}g(x)=0 \), και υπάρχει το \( \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} \), τότε \( \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)} \) υπάρχει και είναι ίσο.
ΣΩΣΤΟ

Έχουμε απροσδιόριστη μορφή \( \frac{0}{0} \).

Υπάρχει το όριο των παραγώγων.

Επομένως εφαρμόζεται ο κανόνας de l’Hôpital και το όριο υπάρχει και είναι ίσο.

248📋
Αν f, g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις με \( \lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}g(x)=0 \), και υπάρχουν τα \( \lim_{x\to +\infty}f'(x) \), \( \lim_{x\to +\infty}g'(x) \), τότε \( \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} \).
ΛΑΘΟΣ

Η ύπαρξη των ορίων των παραγώγων δεν αρκεί.

Για να εφαρμοστεί ο κανόνας de l’Hôpital, πρέπει να υπάρχει το όριο του λόγου των παραγώγων.

249📋
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο ℝ, με f(0)=g(0)=0 και \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=1 \), τότε \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1 \).
ΣΩΣΤΟ

Έχουμε απροσδιόριστη μορφή \( \frac{0}{0} \).

Υπάρχει το όριο του λόγου των παραγώγων και είναι ίσο με 1.

Άρα, από τον κανόνα de l’Hôpital: \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1 \).

250📋
Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, αυτό είναι το μικρότερο από όλα τα τοπικά ελάχιστα, ενώ αν παρουσιάζει ολικό μέγιστο, αυτό είναι το μεγαλύτερο από όλα τα τοπικά μέγιστα.
ΣΩΣΤΟ

Ολικό ελάχιστο σημαίνει μικρότερη τιμή της συνάρτησης σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.

Κάθε τοπικό ελάχιστο είναι μικρότερο από τις γειτονικές τιμές, αλλά όχι απαραίτητα από όλες τις τιμές της f.

Άρα το ολικό ελάχιστο είναι το μικρότερο από όλα τα τοπικά ελάχιστα.

Αντίστοιχα, το ολικό μέγιστο είναι το μεγαλύτερο από όλα τα τοπικά μέγιστα.

251📋
Το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα μιας συνάρτησης δεν είναι πάντα και ολικό μέγιστο, όπως και το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα δεν είναι πάντα και ολικό ελάχιστο.
ΣΩΣΤΟ

Τα τοπικά ακρότατα συγκρίνονται μόνο με κοντινές τιμές της συνάρτησης.

Μπορεί να υπάρχουν μεγαλύτερες ή μικρότερες τιμές της f σε άλλα σημεία.

Επομένως, ένα τοπικό ακρότατο δεν είναι υποχρεωτικά και ολικό.

252📋
Αν η συνάρτηση \( f:[α,β]\toℝ \) είναι παραγωγίσιμη και μη σταθερή, τότε έχει σίγουρα ολικό ελάχιστο και ολικό μέγιστο, τα οποία είναι αντίστοιχα το μικρότερο και το μεγαλύτερο από τα τοπικά ακρότατα.
ΛΑΘΟΣ

Από το θεώρημα Weierstrass η f έχει ολικό ελάχιστο και ολικό μέγιστο στο [α,β].

Όμως τα ολικά ακρότατα μπορεί να βρίσκονται στα άκρα του διαστήματος.

Τα άκρα δεν είναι τοπικά ακρότατα.

Επομένως, τα ολικά ακρότατα δεν είναι απαραίτητα τοπικά ακρότατα.

253📋
Ένα τοπικό μέγιστο είναι πάντα μεγαλύτερο από ένα τοπικό ελάχιστο.
ΛΑΘΟΣ

Τοπικό μέγιστο και τοπικό ελάχιστο αναφέρονται σε διαφορετικές περιοχές του πεδίου ορισμού.

Δεν υπάρχει γενική σύγκριση μεταξύ των τιμών τους.

Μπορεί ένα τοπικό ελάχιστο να έχει μεγαλύτερη τιμή από ένα τοπικό μέγιστο σε άλλο σημείο.

254📋
Ένα ολικό ακρότατο είναι πάντα και τοπικό, ενώ ένα τοπικό ακρότατο δεν είναι πάντα και ολικό.
ΣΩΣΤΟ

Το ολικό ακρότατο υπερέχει όλων των τιμών της συνάρτησης, άρα υπερέχει και των κοντινών τιμών.

Επομένως είναι και τοπικό.

Αντίθετα, ένα τοπικό ακρότατο μπορεί να μην είναι το μεγαλύτερο ή μικρότερο συνολικά.

255📋
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [1,2], με \(f(1)=1,\ f(2)=2,\ f(\tfrac{4}{3})=0,\ f(\tfrac{5}{3})=3\), τότε η f έχει ακρότατα που δεν βρίσκονται στα άκρα του διαστήματος, και άρα υπάρχουν \(x_1
ΣΩΣΤΟ

Η τιμή \(f(\tfrac{4}{3})=0\) είναι μικρότερη από τις τιμές στα άκρα.

Η τιμή \(f(\tfrac{5}{3})=3\) είναι μεγαλύτερη από τις τιμές στα άκρα.

Άρα τα ακρότατα δεν βρίσκονται στα άκρα, αλλά στο εσωτερικό.

Εφόσον η f είναι παραγωγίσιμη, από το θεώρημα Fermat υπάρχουν δύο σημεία όπου \(f'(x)=0\).

256📋
Αν \( \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}>0 \), για κάθε \(x\inℝ\), τότε η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα.
ΣΩΣΤΟ

Το όριο αυτό είναι ο ορισμός της παραγώγου.

Άρα \(f'(x)>0\) για κάθε x.

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ.

Γνησίως αύξουσα συνάρτηση δεν παρουσιάζει ακρότατα.

257📋
Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο \([α,β]\), με f′ συνεχής και \(f'(x)\neq 0\) για κάθε \(x\in(α,β)\). Αν \(f(α)<f(β)\), τότε το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα \(f(Δ)=[f(α),f(β)]\).
ΣΩΣΤΟ

Από τη συνεχή παράγωγο και το \(f'(x)\neq 0\) προκύπτει ότι η f είναι γνησίως μονότονη.

Εφόσον \(f(α)<f(β)\), η f είναι γνησίως αύξουσα.

Η f είναι συνεχής στο [α,β], άρα εφαρμόζεται το θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών.

Το σύνολο τιμών είναι το διάστημα \([f(α),f(β)]\).

258📋
Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ συνάρτηση f. Αν η f έχει μοναδική καμπή στο 0, τότε είναι βέβαιο ότι \(f''(2020)\neq 0\).
ΣΩΣΤΟ

Στην καμπή μηδενίζεται η δεύτερη παράγωγος και αλλάζει πρόσημο.

Αν η f είχε \(f''(2020)=0\), τότε θα υπήρχε και δεύτερο υποψήφιο σημείο καμπής.

Αυτό έρχεται σε αντίθεση με τη μοναδικότητα της καμπής.

259📋
Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει στο 0 τη μοναδική καμπή της, τότε η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο \(M(0,f(0))\) τέμνει τη γραφική παράσταση εκατέρωθεν του σημείου.
ΣΩΣΤΟ

Στην καμπή αλλάζει η κυρτότητα της καμπύλης.

Πριν και μετά το σημείο η γραφική βρίσκεται σε διαφορετική πλευρά της εφαπτομένης.

Άρα η εφαπτομένη τέμνει τη γραφική παράσταση εκατέρωθεν του σημείου.

260📋
Οι γραφικές παραστάσεις των πολυωνυμικών συναρτήσεων βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 δεν έχουν ασύμπτωτες.
ΣΩΣΤΟ

Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι ορισμένη και συνεχής σε όλο το ℝ.

Για \( |x|\to +\infty \) η τιμή της πολυωνυμικής συνάρτησης αυξάνεται ή μειώνεται απεριόριστα, ανάλογα με τον βαθμό και τον συντελεστή του ανώτερου όρου.

Επομένως, η γραφική της παράσταση δεν πλησιάζει καμία ευθεία όταν \(x\to\pm\infty\).

Άρα δεν υπάρχουν οριζόντιες ή πλάγιες ασύμπτωτες.

261📋
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f(x)=c\) έχει ασύμπτωτη την ευθεία \(y=c\).
ΛΑΘΟΣ

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f(x)=c\) είναι ακριβώς η ευθεία \(y=c\).

Μία ευθεία λέγεται ασύμπτωτη όταν η γραφική παράσταση την πλησιάζει χωρίς να ταυτίζεται με αυτήν.

Εδώ υπάρχει πλήρης ταύτιση, άρα δεν υπάρχει ασύμπτωτη.

262📋
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f(x)=ax+β\) έχει ασύμπτωτη την ευθεία \(y=ax+β\).
ΛΑΘΟΣ

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f(x)=ax+β\) είναι η ίδια η ευθεία \(y=ax+β\).

Δεν υπάρχει προσέγγιση αλλά ταύτιση.

Επομένως, η ευθεία δεν είναι ασύμπτωτη.

263📋
Σε μία περιοχή του \( -\infty \) ή του \( +\infty \) δεν είναι δυνατόν να συνυπάρχουν οριζόντια και πλάγια ασύμπτωτη.
ΣΩΣΤΟ

Η οριζόντια ασύμπτωτη είναι ειδική περίπτωση πλάγιας ασύμπτωτης με μηδενική κλίση.

Σε κάθε άκρο του άξονα μπορεί να υπάρχει το πολύ μία ασύμπτωτη.

Άρα δεν μπορούν να συνυπάρχουν και οι δύο.

264📋
Μία ασύμπτωτη ευθεία αποκλείεται να τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.
ΛΑΘΟΣ

Η έννοια της ασύμπτωτης αφορά τη συμπεριφορά της γραφικής παράστασης στο άπειρο.

Μπορεί η ασύμπτωτη να τέμνει τη γραφική παράσταση σε πεπερασμένα σημεία.

Το κριτήριο είναι η προσέγγιση στο άπειρο, όχι η τομή σε πεπερασμένο σημείο.

265📋
Αν \( \displaystyle \lim_{x\to +\infty}(f(x)-x) = \lim_{x\to -\infty}(f(x)-x) =L\inℝ \), τότε η γραφική παράσταση της f έχει ασύμπτωτη τόσο στο \(+\infty\) όσο και στο \(-\infty\).
ΣΩΣΤΟ

Από τον ορισμό της πλάγιας ασύμπτωτης ισχύει ότι αν \( \lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-ax)=b \), τότε η ευθεία \(y=ax+b\) είναι ασύμπτωτη.

Εδώ έχουμε \(a=1\) και στα δύο άκρα.

Άρα η ευθεία \(y=x+L\) είναι πλάγια ασύμπτωτη τόσο στο \(+\infty\) όσο και στο \(-\infty\).

266📋
Αν \(f:[0,1]\toℝ\) και \(f'(x_0)=1\), τότε στο \(x_0\) δεν μπορεί να υπάρχει ακρότατο.
ΣΩΣΤΟ

Σε εσωτερικό σημείο ακροτάτου μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης ισχύει αναγκαστικά \(f'(x_0)=0\).

Εδώ έχουμε \(f'(x_0)=1\neq 0\), άρα δεν μπορεί να υπάρχει ακρότατο στο σημείο αυτό.

267📋
Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ. Αν \( \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}=1 \), για κάθε \(x\inℝ\), τότε η f στρέφει τα κοίλα άνω.
ΛΑΘΟΣ

Το όριο αυτό είναι ο ορισμός της δεύτερης παραγώγου.

Άρα \(f''(x)=1>0\) για κάθε x.

Όταν \(f''(x)>0\), η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα κάτω.

268📋
Μία συνεχής σε διάστημα συνάρτηση έχει άπειρες παραγώγους.
ΛΑΘΟΣ

Η συνέχεια δεν συνεπάγεται παραγωγισιμότητα.

Υπάρχουν συνεχείς συναρτήσεις που δεν είναι παραγωγίσιμες σε κανένα σημείο.

Άρα η πρόταση δεν ισχύει.

269📋
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0,1], τότε επειδή \((f(x)-1)^2\ge 0\), ισχύει \( \displaystyle \int_0^1 f^2(x)\,dx +1 \ge 2\int_0^1 f(x)\,dx \).
ΣΩΣΤΟ

Από την ανισότητα \((f(x)-1)^2\ge 0\) προκύπτει:

\(f^2(x)-2f(x)+1\ge 0\).

Ολοκληρώνοντας στο [0,1], έχουμε:

\( \displaystyle \int_0^1 f^2(x)\,dx -2\int_0^1 f(x)\,dx +1\ge 0 \).

Ισοδύναμα:

\( \displaystyle \int_0^1 f^2(x)\,dx +1 \ge 2\int_0^1 f(x)\,dx \).

270📋
Έστω f η συνάρτηση του διπλανού σχήματος και F μία παράγουσά της. Τότε \(F(6)-F(0)=12\), αφού \( \displaystyle \int_0^6 f(x)\,dx = F(6)-F(0) \) δίνει το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου.
ΣΩΣΤΟ

Από το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού, αν η F είναι μία παράγουσα της f, ισχύει:

\( \displaystyle \int_0^6 f(x)\,dx = F(6)-F(0) \).

Το ορισμένο ολοκλήρωμα εκφράζει το προσημασμένο εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα x′x.

Από το σχήμα προκύπτει ότι το γραμμοσκιασμένο χωρίο έχει εμβαδόν ίσο με 12.

Επομένως: \(F(6)-F(0)=12\).

271📋
Έστω η συνεχής στο \(D=[0,1]\) συνάρτηση f. Αν η f είναι κυρτή και η ευθεία \(y=x\) εφάπτεται της \(C_f\), τότε \( \displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx > 0{,}5 \).
ΣΩΣΤΟ

Για κυρτή συνάρτηση, η γραφική της παράσταση βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτομένη της.

Αφού η ευθεία \(y=x\) εφάπτεται της \(C_f\), ισχύει: \( f(x)\ge x \) για κάθε \(x\in[0,1]\), με ισότητα μόνο στο σημείο επαφής.

Ολοκληρώνοντας στο [0,1]:

\( \displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx \ge \int_0^1 x\,dx = \frac{1}{2}. \)

Επειδή η f δεν ταυτίζεται με την ευθεία \(y=x\) σε όλο το διάστημα, η ανισότητα είναι αυστηρή.

Άρα: \( \displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx > 0{,}5 \).

272📋
Για κάθε συνεχή συνάρτηση f ισχύει πάντα \( \displaystyle \int_0^1 |f(x)|\,dx \ge \int_0^1 f(x)\,dx \).
ΣΩΣΤΟ

Για κάθε πραγματικό αριθμό y ισχύει: \( |y|\ge y \).

Εφαρμόζοντας αυτό για \(y=f(x)\), έχουμε: \( |f(x)|\ge f(x) \) για κάθε \(x\in[0,1]\).

Ολοκληρώνοντας κατά μέλη στο [0,1], προκύπτει:

\( \displaystyle \int_0^1 |f(x)|\,dx \ge \int_0^1 f(x)\,dx \).

Η ανισότητα ισχύει για κάθε συνεχή συνάρτηση, ανεξάρτητα από το πρόσημό της.