Σύνολα
1📘 Η έννοια του συνόλου
Σύνολο λέμε μια καλά ορισμένη συλλογή διαφορετικών αντικειμένων. Πρέπει να μπορούμε να αποφασίσουμε με σαφήνεια αν ένα αντικείμενο ανήκει ή δεν ανήκει στη συλλογή.
Παράδειγμα: «Οι μαθητές της πόλης της Λαμίας» αποτελούν σύνολο, επειδή το κριτήριο είναι σαφές.
Αντίθετα: «Οι καλοί μαθητές της πόλης της Λαμίας» δεν ορίζουν σύνολο, επειδή η λέξη “καλοί” δεν έχει αντικειμενικό και μοναδικό κριτήριο.
📘 Λυμένα θέματα: Η έννοια του συνόλου
Θέμα 4. Τα γράμματα της λέξης «Μαμά» σχηματίζουν το σύνολο \(Σ=\{Μ,α,μ,ά\}\).
2📘 Βασικά σύμβολα και πληθικός αριθμός
Τα σύμβολα \(\in\), \(\notin\), \(\exists\), \(\forall\), \(\Rightarrow\) και \(\Leftrightarrow\) διαβάζονται αντίστοιχα: «ανήκει», «δεν ανήκει», «υπάρχει», «για κάθε», «συνεπάγεται» και «ισοδυναμεί».
Ο αριθμός των διαφορετικών στοιχείων ενός συνόλου \(A\) λέγεται πληθικός αριθμός και συμβολίζεται με \(N(A)\).
Αν \(A=\{-1,1\}\), τότε \(N(A)=2\). Αν \(B=\{1,1\}\), τότε \(B=\{1\}\) και \(N(B)=1\).
📘 Λυμένα θέματα: Βασικά σύμβολα και πληθικός αριθμός
Θέμα 5. Τα επαναλαμβανόμενα ίδια στοιχεία μετρούν μία φορά, π.χ. \(\{0,0\}=\{0\}\).
3📘 Σύνολα αριθμών
Φυσικοί: \(\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}\).
Ακέραιοι: \(\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}\).
Ρητοί: αριθμοί που γράφονται ως \(\dfrac{κ}{λ}\), με \(κ\in\mathbb{Z}\), \(λ\in\mathbb{Z}\) και \(λ\neq0\).
Άρρητοι: πραγματικοί αριθμοί που δεν γράφονται ως κλάσμα ακεραίων, όπως \(\sqrt2\) και \(π\).
Πραγματικοί: όλοι οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί.
Ισχύει \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\).
📘 Λυμένα θέματα: Σύνολα αριθμών
Θέμα 12. \(\mathbb{N}\subseteq\mathbb{R}\).
Θέμα 13. \(\mathbb{Z}\nsubseteq\mathbb{N}\), επειδή \(-1\in\mathbb{Z}\) αλλά \(-1\notin\mathbb{N}\).
4📘 Τρόποι παράστασης ενός συνόλου
Τα σύνολα συμβολίζονται συνήθως με κεφαλαία γράμματα και τα στοιχεία τους με μικρά γράμματα.
Με αναγραφή: γράφουμε τα στοιχεία μέσα σε άγκιστρα, π.χ. \(A=\{0,1,2,3\}\). Η σειρά δεν έχει σημασία και τα επαναλαμβανόμενα στοιχεία γράφονται μία φορά.
Με περιγραφή: γράφουμε την κοινή ιδιότητα των στοιχείων, π.χ. \(A=\{ν\in\mathbb{N}:1\leqν\leq3\}\).
Με διάγραμμα Venn: το σύνολο παριστάνεται με κλειστή καμπύλη και τα στοιχεία του τοποθετούνται στο εσωτερικό της.
📘 Λυμένα θέματα: Τρόποι παράστασης ενός συνόλου
Θέμα 1. Οι ακέραιοι από \(-2\) έως και \(1\): \(A=\{-2,-1,0,1\}\).
Θέμα 2. Οι άρτιοι ακέραιοι: \(A=\{ν\in\mathbb{Z}:ν=2ρ,\ ρ\in\mathbb{Z}\}\).
Θέμα 3. Οι περιττοί ακέραιοι: \(A=\{ν\in\mathbb{Z}:ν=2ρ+1,\ ρ\in\mathbb{Z}\}\).
Θέμα 6. Τα υπόλοιπα της διαίρεσης φυσικού με το \(2\) είναι \(\{0,1\}\).
Θέμα 7. Τα ζεύγη φυσικών με άθροισμα \(3\): \(\{(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)\}\).
5📘 Ίσα σύνολα
Δύο σύνολα \(A\) και \(B\) λέγονται ίσα όταν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία. Τότε γράφουμε \(A=B\).
Για παράδειγμα, \(\{0,1,2\}=\{2,0,1\}\), επειδή η σειρά των στοιχείων δεν επηρεάζει το σύνολο.
Αντίθετα, \(\{0,1,3\}\neq\{0,1,2\}\). Τα μη ίσα σύνολα λέγονται διάφορα, όχι «άνισα».
📘 Λυμένα θέματα: Ίσα σύνολα
Θέμα 8. \(\{α,β,γ\}=\{γ,α,β\}\), ενώ \(\{2,4,6,8\}\neq\{4,6,8\}\).
Θέμα 9. Αν \(\{1,2,x\}=\{2,5,y\}\), τότε \(x=5\) και \(y=1\).
Θέμα 11. \(\{1,2,3\}\neq\{0,1,2\}\).
6📘 Υποσύνολα και κενό σύνολο
Το \(B\) είναι υποσύνολο του \(A\), όταν κάθε στοιχείο του \(B\) ανήκει και στο \(A\). Γράφουμε \(B\subseteq A\).
Αν επιπλέον \(A\neq B\), τότε το \(B\) είναι γνήσιο υποσύνολο του \(A\) και γράφουμε \(B\subset A\).
Ισχύουν: \(A\subseteq A\), αν \(A\subseteq B\) και \(B\subseteq A\), τότε \(A=B\), ενώ αν \(A\subseteq B\) και \(B\subseteq Γ\), τότε \(A\subseteq Γ\).
Το σύνολο χωρίς στοιχεία λέγεται κενό σύνολο και συμβολίζεται \(\varnothing\) ή \(\{\}\). Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου.
📘 Λυμένα θέματα: Υποσύνολα και κενό σύνολο
Θέμα 14. \(\{0\}\subset\{0,1\}\).
Θέμα 15. Για \(A=\{0,3,5\}\), \(B=\{0\}\), \(Γ=\{3,5\}\), \(Δ=\{5,3\}\): οι \(A\subseteq B\) και \(B\subseteq Γ\) είναι ψευδείς, ενώ \(Γ\subseteq Δ\) είναι αληθής.
Θέμα 16. Τα υποσύνολα του \(A=\{0,1,2\}\) είναι \(\varnothing,\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},A\).
7📘 Σύνολο αναφοράς, ένωση και τομή
Το σύνολο \(Ω\) μέσα στο οποίο εξετάζουμε όλα τα σύνολα λέγεται σύνολο αναφοράς.
Ένωση: \(A\cup B=\{x\inΩ:x\in A\text{ ή }x\in B\}\). Περιέχει όλα τα στοιχεία που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα δύο σύνολα.
Τομή: \(A\cap B=\{x\inΩ:x\in A\text{ και }x\in B\}\). Περιέχει τα κοινά στοιχεία.
Αν \(A\cap B=\varnothing\), τα σύνολα λέγονται ξένα.
📘 Λυμένα θέματα: Σύνολο αναφοράς, ένωση και τομή
Θέμα 17. Για \(Ω=\{1,2,\ldots,10\}\), \(A=\{2,4,6,8\}\), \(B=\{1,2,3,4,5,6,7\}\): \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), \(A\cap B=\{2,4,6\}\), \(A'=\{1,3,5,7,9,10\}\), \(B'=\{8,9,10\}\).
Θέμα 18. Για \(Ω=\{0,1,2,3,4\}\), \(A=\{2,4\}\), \(B=\{1,3\}\): \(A\cap B=\varnothing\), \((A\cup B)\'=\{0\}\), \(A-B=\{2,4\}\).
Θέμα 31. Η κοινή περιοχή τριών συνόλων είναι \(A\cap B\cap Γ\).
Θέμα 32. Το τμήμα του \(Γ\) που ανήκει στο \(A\) ή στο \(B\) είναι \(Γ\cap(A\cup B)\).
8📘 Συμπλήρωμα και διαφορά συνόλων
Το συμπλήρωμα του \(A\) ως προς το \(Ω\) είναι \(A'=\{x\inΩ:x\notin A\}\).
Η διαφορά \(A-B\) περιέχει τα στοιχεία του \(A\) που δεν ανήκουν στο \(B\): \(A-B=\{x\in A:x\notin B\}\).
Ισχύει \(A-B=A\cap B'\).
📘 Λυμένα θέματα: Συμπλήρωμα και διαφορά συνόλων
Θέμα 27. Τα στοιχεία που ανήκουν στο \(A\) και όχι στο \(B\) σχηματίζουν το \(A-B\). Επιπλέον, \((A-B)\cap(A\cap B)=\varnothing\) και \((A-B)\cup(A\cap B)=A\).
Θέμα 29. Τα στοιχεία που ανήκουν μόνο στο ένα από τα \(A,B\) σχηματίζουν το \((A-B)\cup(B-A)\).
✍️ Πλήρως λυμένο παράδειγμα
Άσκηση
Έστω το σύνολο αναφοράς \(Ω=\{-1,0,1,2,3,4,5\}\) και τα σύνολα \(A=\{0,1,3\}\), \(B=\{1,3,4,5\}\). Να βρεθούν τα \(A'\), \(B'\), \((A\cup B)'\) και \(A'\cap B\).
Λύση
Βήμα 1. Για το συμπλήρωμα του \(A\), κρατούμε τα στοιχεία του \(Ω\) που δεν ανήκουν στο \(A\).
\(A'=\{-1,2,4,5\}\)
Βήμα 2. Για το συμπλήρωμα του \(B\), κρατούμε τα στοιχεία του \(Ω\) που δεν ανήκουν στο \(B\).
\(B'=\{-1,0,2\}\)
Βήμα 3. Υπολογίζουμε πρώτα την ένωση.
\(A\cup B=\{0,1,3,4,5\}\)
\((A\cup B)'=\{-1,2\}\)
Βήμα 4. Βρίσκουμε τα κοινά στοιχεία των \(A'\) και \(B\).
\(A'\cap B=\{4,5\}\)
\(A'=\{-1,2,4,5\}\), \(B'=\{-1,0,2\}\), \((A\cup B)'=\{-1,2\}\), \(A'\cap B=\{4,5\}\).
9📘 Διαστήματα πραγματικών αριθμών
Το ανοιχτό διάστημα \((α,β)\) περιέχει τους πραγματικούς αριθμούς \(x\) για τους οποίους \(α<x<β\).
Το κλειστό διάστημα \([α,β]\) περιέχει τους πραγματικούς αριθμούς \(x\) για τους οποίους \(α\leq x\leq β\).
Στα \([α,β)\) και \((α,β]\) περιλαμβάνεται μόνο το άκρο που βρίσκεται δίπλα σε αγκύλη.
Τα σύμβολα \(-\infty\) και \(+\infty\) γράφονται πάντοτε με παρένθεση, επειδή δεν είναι πραγματικοί αριθμοί.
📘 Λυμένα θέματα: Διαστήματα πραγματικών αριθμών
Θέμα 10. \((0,1)=[0,1]-\{0,1\}\).
Θέμα 19. \(\{x\in\mathbb{R}:0<x<1\}=(0,1)\).
Θέμα 20. \(\mathbb{R}-[0,1]=(-\infty,0)\cup(1,+\infty)\).
Θέμα 21. \([0,1]\subseteq[0,2]\).
Θέμα 22. \(\{-1,1\}\cup(-1,1)=[-1,1]\).
Θέμα 23. \(\{-1,1\}\cap(-1,1)=\varnothing\).
Θέμα 24. Ως προς \(\mathbb{R}\), \(( -\infty,0]^c=(0,+\infty)\).
Θέμα 25. Αν \(D_1=[0,1)\), \(D_2=(0,1]\), τότε \(D_1\cup D_2=[0,1]\) και \(D_1\cap D_2=(0,1)\).
Θέμα 26. Αν \(D_1=[0,1)\), \(D_2=\{0,1\}\), τότε \(D_1\cup D_2=[0,1]\) και \(D_1\cap D_2=\{0\}\).
10📘 Τύποι De Morgan και βασικές ιδιότητες
Για οποιαδήποτε σύνολα \(A,B\subseteq Ω\) ισχύουν οι τύποι De Morgan:
\((A\cup B)'=A'\cap B'\)
\((A\cap B)'=A'\cup B'\)
Επίσης \(A\cup A=A\), \(A\cap A=A\), \(A\cup\varnothing=A\), \(A\cap\varnothing=\varnothing\), \(A\cup A'=Ω\) και \(A\cap A '=\varnothing\).
📘 Λυμένα θέματα: Τύποι De Morgan και βασικές ιδιότητες
Θέμα 28. Τα στοιχεία που δεν ανήκουν ούτε στο \(A\) ούτε στο \(B\) σχηματίζουν το \((A\cup B)'\).
Θέμα 30. Αν \(A\subseteq B\), τότε \(A\cap B=A\), \(A\cup B=B\), \(A\cap B'=\varnothing\) και \(A'\cup B=Ω\).
11📘 Διευκρινίσεις για ρητούς και άρρητους
Κάθε διάστημα με διαφορετικά άκρα είναι απειροσύνολο. Δεν έχει νόημα να ζητούμε «πόσα» πραγματικά σημεία περιέχει.
Το \(π=3{,}141592\ldots\) είναι άρρητος αριθμός, επειδή η δεκαδική του παράσταση είναι άπειρη και μη περιοδική.
Το άθροισμα ή το γινόμενο δύο άρρητων αριθμών δεν είναι υποχρεωτικά άρρητο. Για παράδειγμα, αν \(α=\sqrt2\) και \(β=1-\sqrt2\), τότε \(α+β=1\), που είναι ρητός.
Αν \(α\) είναι ρητός και \(β\) άρρητος, τότε \(α+β\) είναι άρρητος.
📘 Λυμένα θέματα: Διευκρινίσεις για ρητούς και άρρητους
Θέμα 33. Δύο άρρητοι μπορεί να έχουν ρητό άθροισμα, π.χ. \(\sqrt2+(1-\sqrt2)=1\).
Θέμα 34. Αν \(α\in\mathbb{Q}\) και \(β\notin\mathbb{Q}\), τότε \(α+β\notin\mathbb{Q}\).
⚠️ Προσοχή
1. Η σειρά των στοιχείων δεν έχει σημασία: \(\{1,2,3\}=\{3,2,1\}\).
2. Το ίδιο στοιχείο γράφεται μία φορά: \(\{1,1,2\}=\{1,2\}\).
3. Μην συγχέεις τα \(\in\) και \(\subseteq\).
4. Το \(\varnothing\) έχει μηδέν στοιχεία, ενώ το \(\{\varnothing\}\) έχει ένα στοιχείο.
5. Το \(A-B\) γενικά δεν είναι ίσο με το \(B-A\).
6. Το \(+\infty\) και το \(-\infty\) δεν περιλαμβάνονται ποτέ σε διάστημα.
💡 Να θυμάμαι
Ίσα σύνολα: ίδια ακριβώς στοιχεία.
Υποσύνολο: κάθε στοιχείο του μικρότερου συνόλου ανήκει στο μεγαλύτερο.
Ένωση: «στο \(A\) ή στο \(B\)».
Τομή: «στο \(A\) και στο \(B\)».
Συμπλήρωμα: «στο \(Ω\), αλλά όχι στο \(A\)».
Διαφορά: «στο πρώτο σύνολο, αλλά όχι στο δεύτερο».
Διάστημα: αγκύλη περιλαμβάνει το άκρο, παρένθεση δεν το περιλαμβάνει.