🎯 Τι ζητά η άσκηση;

Να βρεις όλες τις πραγματικές τιμές του \(x\) για τις οποίες ο μαθηματικός τύπος της συνάρτησης έχει νόημα.

Το σύνολο αυτών των τιμών ονομάζεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης και συμβολίζεται με \(D_f\).

Με απλά λόγια, εξετάζουμε ποιες τιμές επιτρέπεται να πάρει το \(x\), χωρίς να δημιουργείται κάποια απαγορευμένη πράξη.

🧠 Πώς σκέφτομαι;

Ξεκινώ θεωρώντας ότι το \(x\) μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή, δηλαδή αρχικά θεωρώ ότι \(x\in\mathbb{R}\).

Στη συνέχεια εξετάζω προσεκτικά τον τύπο της συνάρτησης και εντοπίζω αν υπάρχουν πράξεις που δημιουργούν περιορισμούς.

Οι βασικές πράξεις που δημιουργούν περιορισμούς είναι:

1. Η διαίρεση, επειδή δεν επιτρέπεται διαίρεση με το μηδέν.
2. Η τετραγωνική ρίζα, επειδή το υπόρριζο δεν μπορεί να είναι αρνητικό.
3. Ο λογάριθμος, επειδή το όρισμά του πρέπει να είναι θετικό.
4. Οι συνδυασμοί των παραπάνω περιπτώσεων.

✅ Τι κάνω;

1. Παρατηρώ προσεκτικά τον μαθηματικό τύπο της συνάρτησης.
2. Εντοπίζω όλους τους παρονομαστές.
3. Απαιτώ κάθε παρονομαστής να είναι διαφορετικός από το μηδέν.
4. Εντοπίζω όλες τις ρίζες άρτιου δείκτη.
5. Απαιτώ κάθε υπόρριζο να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός.
6. Αν η ρίζα βρίσκεται στον παρονομαστή, απαιτώ το υπόρριζο να είναι αυστηρά θετικό.
7. Εντοπίζω όλους τους λογαρίθμους.
8. Απαιτώ κάθε όρισμα λογαρίθμου να είναι αυστηρά θετικό.
9. Λύνω όλες τις συνθήκες που προκύπτουν.
10. Παίρνω την τομή των λύσεων όλων των συνθηκών.
11. Γράφω το τελικό πεδίο ορισμού με διαστήματα ή με τη μορφή συνόλου.

📘 Περίπτωση 1: Πολυωνυμική συνάρτηση

Μια πολυωνυμική συνάρτηση δεν έχει κανέναν περιορισμό.

\(f(x)=x^3-2x+5\)

Ο τύπος της έχει νόημα για κάθε πραγματικό αριθμό.

📘 Περίπτωση 2: Κλάσμα

Όταν υπάρχει κλάσμα, ο παρονομαστής πρέπει να είναι διαφορετικός από το μηδέν.

\(f(x)=\dfrac{x+1}{x-3}\)

Απαιτούμε:

\(x-3\neq0\)

\(x\neq3\)

📘 Περίπτωση 3: Τετραγωνική ρίζα

Όταν υπάρχει τετραγωνική ρίζα, το υπόρριζο πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός.

\(f(x)=\sqrt{x-2}\)

Απαιτούμε:

\(x-2\geq0\)

\(x\geq2\)

📘 Περίπτωση 4: Ρίζα άρτιου δείκτη

Ο ίδιος κανόνας ισχύει για κάθε ρίζα άρτιου δείκτη.

\(f(x)=\sqrt[4]{2x-6}\)

Απαιτούμε:

\(2x-6\geq0\)

\(x\geq3\)

📘 Περίπτωση 5: Ρίζα περιττού δείκτη

Μια ρίζα περιττού δείκτη ορίζεται και για θετικούς και για αρνητικούς αριθμούς.

\(f(x)=\sqrt[3]{x-4}\)

Δεν προκύπτει κανένας περιορισμός.

📘 Περίπτωση 6: Ρίζα στον παρονομαστή

Όταν μια τετραγωνική ρίζα βρίσκεται στον παρονομαστή, το υπόρριζο πρέπει να είναι αυστηρά θετικό.

\(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}\)

Δεν αρκεί να γράψουμε \(x-2\geq0\), επειδή η ρίζα δεν επιτρέπεται να γίνει μηδέν.

Απαιτούμε:

\(x-2>0\)

\(x>2\)

📘 Περίπτωση 7: Λογάριθμος

Το όρισμα ενός λογαρίθμου πρέπει να είναι αυστηρά θετικό.

\(f(x)=\ln(x-3)\)

Απαιτούμε:

\(x-3>0\)

\(x>3\)

📘 Περίπτωση 8: Λογάριθμος στον παρονομαστή

Όταν ένας λογάριθμος βρίσκεται στον παρονομαστή, πρέπει να ισχύουν δύο συνθήκες.

\(f(x)=\dfrac{1}{\ln x}\)

Πρώτα, για να ορίζεται ο λογάριθμος, πρέπει:

\(x>0\)

Επιπλέον, επειδή ο λογάριθμος βρίσκεται στον παρονομαστή, πρέπει:

\(\ln x\neq0\)

Επειδή \(\ln1=0\), πρέπει:

\(x\neq1\)

📘 Περίπτωση 9: Απόλυτη τιμή

Η απόλυτη τιμή δεν δημιουργεί από μόνη της περιορισμό.

\(f(x)=|x-2|\)

Αν όμως η απόλυτη τιμή βρίσκεται στον παρονομαστή, τότε ο παρονομαστής πρέπει να είναι διαφορετικός από το μηδέν.

\(g(x)=\dfrac{1}{|x-2|}\)

Απαιτούμε:

\(|x-2|\neq0\)

\(x\neq2\)

📘 Περίπτωση 10: Εκθετική συνάρτηση

Η εκθετική συνάρτηση \(a^x\), όπου \(a>0\) και \(a\neq1\), ορίζεται για κάθε πραγματικό \(x\).

\(f(x)=2^x\)

📘 Περίπτωση 11: Ημίτονο και συνημίτονο

Οι συναρτήσεις \(\eta\mu x\) και \(\sigmaυν x\) ορίζονται για κάθε πραγματικό αριθμό.

\(f(x)=\eta\mu x\)

\(g(x)=\sigmaυν x\)

📘 Περίπτωση 12: Εφαπτομένη

Η εφαπτομένη γράφεται:

\(\epsilon\varphi x=\dfrac{\eta\mu x}{\sigmaυν x}\)

Επομένως πρέπει:

\(\sigmaυν x\neq0\)

Άρα:

\(x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}\)

📘 Περίπτωση 13: Συνεφαπτομένη

Η συνεφαπτομένη γράφεται:

\(\sigma\varphi x=\dfrac{\sigmaυν x}{\eta\mu x}\)

Επομένως πρέπει:

\(\eta\mu x\neq0\)

Άρα:

\(x\neq k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}\)

📘 Περίπτωση 14: Ρίζα με κλάσμα στο υπόρριζο

Όταν υπάρχει κλάσμα μέσα σε τετραγωνική ρίζα, ολόκληρο το κλάσμα πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός.

\(f(x)=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}}\)

Απαιτούμε:

\(\dfrac{x-1}{x+2}\geq0\)

Παράλληλα πρέπει \(x\neq-2\).

Με πίνακα προσήμων βρίσκουμε:

\(x\in(-\infty,-2)\cup[1,+\infty)\)

📘 Περίπτωση 15: Ρίζα μέσα σε λογάριθμο

\(f(x)=\ln\sqrt{x-1}\)

Επειδή η τετραγωνική ρίζα βρίσκεται μέσα σε λογάριθμο, πρέπει το αποτέλεσμα της ρίζας να είναι αυστηρά θετικό.

\(\sqrt{x-1}>0\)

Άρα:

\(x-1>0\)

\(x>1\)

📘 Περίπτωση 16: Λογάριθμος μέσα σε ρίζα

\(f(x)=\sqrt{\ln x}\)

Για να ορίζεται η ρίζα, πρέπει:

\(\ln x\geq0\)

Από την ανισότητα αυτή προκύπτει:

\(x\geq1\)

📘 Περίπτωση 17: Λογάριθμος μέσα σε ρίζα που βρίσκεται στον παρονομαστή

\(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{\ln x}}\)

Επειδή η ρίζα βρίσκεται στον παρονομαστή, πρέπει:

\(\ln x>0\)

Άρα:

\(x>1\)

⚠️ Προσοχή

Δεν εξετάζουμε κάθε μέρος της συνάρτησης απομονωμένα και δεν σταματάμε στην πρώτη συνθήκη.

Πρέπει να γράψουμε όλες τις συνθήκες και στο τέλος να πάρουμε την τομή τους.

Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται στις παρακάτω διαφορές:

1. Στη ρίζα απαιτούμε υπόρριζο \(\geq0\).
2. Στη ρίζα που βρίσκεται στον παρονομαστή απαιτούμε υπόρριζο \(>0\).
3. Στον λογάριθμο απαιτούμε όρισμα \(>0\).
4. Στον παρονομαστή απαιτούμε παράσταση \(\neq0\).

💡 Να θυμάμαι

Πολυώνυμο: κανένας περιορισμός.

Παρονομαστής: διαφορετικός από το μηδέν.

Ρίζα άρτιου δείκτη: υπόρριζο μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός.

Ρίζα άρτιου δείκτη στον παρονομαστή: υπόρριζο αυστηρά θετικό.

Ρίζα περιττού δείκτη: κανένας περιορισμός.

Λογάριθμος: όρισμα αυστηρά θετικό.

Πολλές συνθήκες μαζί: παίρνω την τομή των λύσεών τους.

✍️ Πλήρως λυμένο παράδειγμα

🎯 Δοκίμασε μόνος σου

Προσπάθησε να βρεις το πεδίο ορισμού της παρακάτω συνάρτησης, εφαρμόζοντας όλα τα προηγούμενα βήματα.

🎯 Τι ζητά η άσκηση;

Να παρατηρήσεις τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης \(f\) και να βρεις πληροφορίες για τη συμπεριφορά της.

Από τη γραφική παράσταση μπορεί να ζητηθεί να βρεις:

• το πεδίο ορισμού της συνάρτησης,
• το σύνολο τιμών της,
• μία συγκεκριμένη τιμή \(f(x_0)\),
• τις ρίζες της συνάρτησης,
• τις λύσεις μιας εξίσωσης \(f(x)=k\),
• το πρόσημο της συνάρτησης,
• τα διαστήματα μονοτονίας,
• τα μέγιστα και τα ελάχιστα,
• τα σημεία τομής με τους άξονες,
• αν η συνάρτηση είναι \(1-1\),
• αν η συνάρτηση είναι συνεχής.

🧠 Πώς σκέφτομαι;

Η γραφική παράσταση αποτελεί την εικόνα της συνάρτησης.

Κάθε σημείο \(M(x,y)\) που βρίσκεται πάνω στη γραφική παράσταση ικανοποιεί τη σχέση:

\(y=f(x)\)

Επομένως, όταν γνωρίζω την τετμημένη \(x\) ενός σημείου της γραφικής παράστασης, μπορώ να διαβάσω την αντίστοιχη τιμή \(f(x)\).

Αντίστροφα, όταν γνωρίζω μια τιμή \(y=k\), μπορώ να βρω για ποιες τιμές του \(x\) ισχύει:

\(f(x)=k\)

Για να μελετήσω σωστά τη γραφική παράσταση, την παρατηρώ πάντοτε από τα αριστερά προς τα δεξιά.

✅ Τι κάνω;

1. Βρίσκω το πεδίο ορισμού

Παρατηρώ σε ποιες τιμές του οριζόντιου άξονα \(x'x\) υπάρχει γραφική παράσταση.

Προβάλλω νοητά ολόκληρη τη γραφική παράσταση πάνω στον άξονα \(x'x\).

Το σύνολο των τιμών του \(x\) που καλύπτονται αποτελεί το πεδίο ορισμού \(D_f\).

2. Βρίσκω το σύνολο τιμών

Παρατηρώ ποιες τιμές παίρνει το \(y=f(x)\).

Προβάλλω νοητά τη γραφική παράσταση πάνω στον κατακόρυφο άξονα \(y'y\).

Το σύνολο των τιμών που καλύπτονται αποτελεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης.

3. Βρίσκω την τιμή \(f(x_0)\)

1. Εντοπίζω την τιμή \(x_0\) στον οριζόντιο άξονα.
2. Κινούμαι κατακόρυφα μέχρι να συναντήσω τη γραφική παράσταση.
3. Από το σημείο τομής κινούμαι οριζόντια προς τον άξονα \(y'y\).
4. Η τιμή που διαβάζω είναι η \(f(x_0)\).

4. Λύνω την εξίσωση \(f(x)=k\)

1. Σχεδιάζω νοητά την οριζόντια ευθεία \(y=k\).
2. Βρίσκω τα σημεία στα οποία η ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση.
3. Διαβάζω τις τετμημένες αυτών των σημείων.

Οι τετμημένες των σημείων τομής είναι οι λύσεις της εξίσωσης \(f(x)=k\).

5. Βρίσκω τις ρίζες της συνάρτησης

Οι ρίζες της συνάρτησης είναι οι λύσεις της εξίσωσης:

\(f(x)=0\)

Άρα βρίσκω τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση τέμνει ή εφάπτεται στον άξονα \(x'x\).

Οι τετμημένες αυτών των σημείων είναι οι ρίζες της συνάρτησης.

6. Βρίσκω το πρόσημο της συνάρτησης

• Όπου η γραφική παράσταση βρίσκεται πάνω από τον άξονα \(x'x\), ισχύει \(f(x)>0\).
• Όπου η γραφική παράσταση βρίσκεται κάτω από τον άξονα \(x'x\), ισχύει \(f(x)<0\).
• Όπου η γραφική παράσταση συναντά τον άξονα \(x'x\), ισχύει \(f(x)=0\).

7. Μελετώ τη μονοτονία

Κινούμαι πάνω στη γραφική παράσταση από τα αριστερά προς τα δεξιά.

• Όταν η γραφική παράσταση ανεβαίνει, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
• Όταν η γραφική παράσταση κατεβαίνει, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.
• Όταν η γραφική παράσταση παραμένει οριζόντια, η συνάρτηση είναι σταθερή.

8. Βρίσκω τα ακρότατα

Ένα ψηλότερο σημείο της γραφικής παράστασης μπορεί να αντιστοιχεί σε μέγιστο.

Ένα χαμηλότερο σημείο της γραφικής παράστασης μπορεί να αντιστοιχεί σε ελάχιστο.

Προσέχω να διακρίνω:

• τη θέση του ακροτάτου, δηλαδή την τιμή του \(x\),
• την τιμή του ακροτάτου, δηλαδή την αντίστοιχη τιμή \(f(x)\).

9. Βρίσκω τα σημεία τομής με τους άξονες

Για τα σημεία τομής με τον άξονα \(x'x\), λύνω γραφικά την εξίσωση \(f(x)=0\).

Για το σημείο τομής με τον άξονα \(y'y\), υπολογίζω γραφικά την τιμή \(f(0)\).

Το σημείο τομής με τον άξονα \(y'y\) είναι:

\((0,f(0))\)

10. Ελέγχω αν η συνάρτηση είναι \(1-1\)

Φέρνω νοητά οριζόντιες ευθείες \(y=k\).

Αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο, τότε η συνάρτηση είναι \(1-1\).

Αν κάποια οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση σε δύο ή περισσότερα σημεία, τότε η συνάρτηση δεν είναι \(1-1\).

11. Ελέγχω τη συνέχεια

Παρατηρώ αν η γραφική παράσταση παρουσιάζει κενά, άλματα ή διακοπές.

Όταν η καμπύλη μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς να σηκώσω το μολύβι, τότε η συνάρτηση εμφανίζεται συνεχής στο αντίστοιχο διάστημα.

⚠️ Προσοχή

Δεν συγχέω την τετμημένη ενός σημείου με την τιμή της συνάρτησης.

Αν το σημείο \(M(2,3)\) βρίσκεται στη γραφική παράσταση, τότε:

\(f(2)=3\)

Η θέση ενός μεγίστου είναι η τιμή του \(x\), ενώ η μέγιστη τιμή είναι η αντίστοιχη τιμή του \(y\).

Για παράδειγμα, αν η γραφική παράσταση έχει μέγιστο στο σημείο \(A(2,5)\), τότε:

• η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο στη θέση \(x=2\),
• η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι \(5\).

Ένα κενό σημείο συνήθως δεν ανήκει στη γραφική παράσταση, ενώ ένα γεμάτο σημείο ανήκει.

Στα άκρα του πεδίου ορισμού προσέχω αν τα σημεία είναι γεμάτα ή κενά, ώστε να χρησιμοποιήσω σωστά κλειστό ή ανοικτό διάστημα.

💡 Να θυμάμαι

Οριζόντια διαβάζω τις τιμές του \(x\) και κατακόρυφα διαβάζω τις τιμές του \(f(x)\).

Πάνω από τον άξονα \(x'x\) η συνάρτηση είναι θετική και κάτω από αυτόν είναι αρνητική.

Τη μονοτονία τη μελετώ πάντοτε κινούμενος από τα αριστερά προς τα δεξιά.

Οι ρίζες είναι οι τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα \(x'x\).

✍️ Πλήρως λυμένο παράδειγμα

🎯 Δοκίμασε μόνος σου

Προσπάθησε να απαντήσεις μόνος σου στις ερωτήσεις, εφαρμόζοντας τα βήματα που είδες στο λυμένο παράδειγμα.

🎯 Τι ζητά η άσκηση;

Να υπολογίσεις τη σύνθεση δύο συναρτήσεων, δηλαδή τις συναρτήσεις \(f\circ g\) και \(g\circ f\), εφόσον αυτές ορίζονται.

🧠 Πώς σκέφτομαι;

Η σύνθεση σημαίνει ότι εφαρμόζω πρώτα τη μία συνάρτηση και στη συνέχεια εφαρμόζω την άλλη στο αποτέλεσμα που προέκυψε. Θυμάμαι ότι η σειρά έχει μεγάλη σημασία.

✅ Τι κάνω;

1. Γράφω ποια σύνθεση ζητείται.
2. Υπολογίζω πρώτα την εσωτερική συνάρτηση.
3. Αντικαθιστώ το αποτέλεσμά της στην εξωτερική συνάρτηση.
4. Απλοποιώ την τελική παράσταση.
5. Ελέγχω αν η σύνθεση ορίζεται και βρίσκω το πεδίο ορισμού της.

⚠️ Προσοχή

Γενικά \(f\circ g\neq g\circ f\). Η σειρά των συναρτήσεων δεν αλλάζει. Η σύνθεση υπάρχει μόνο όταν οι τιμές της εσωτερικής συνάρτησης ανήκουν στο πεδίο ορισμού της εξωτερικής.

💡 Να θυμάμαι

Πρώτα υπολογίζω την εσωτερική συνάρτηση και μετά εφαρμόζω την εξωτερική.

✍️ Πλήρως λυμένο παράδειγμα

🎯 Δοκίμασε μόνος σου

🎯 Τι ζητά η άσκηση;

Να αποδείξεις ότι μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, αύξουσα ή φθίνουσα σε ένα συγκεκριμένο διάστημα, χωρίς να χρησιμοποιήσεις παράγωγο.

Η μελέτη γίνεται συνήθως με τον ορισμό της μονοτονίας.

Παίρνουμε δύο οποιουσδήποτε αριθμούς \(x_1,x_2\) του διαστήματος με:

\(x_1 < x_2\)

και συγκρίνουμε τις αντίστοιχες τιμές:

\(f(x_1)\) και \(f(x_2)\)

🧠 Πώς σκέφτομαι;

Η μονοτονία περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλονται οι τιμές μιας συνάρτησης καθώς το \(x\) αυξάνεται.

Επιλέγω δύο αριθμούς \(x_1 , x_2\) από το διάστημα που εξετάζω και υποθέτω ότι:

\(x_1 < x_2\)

Στη συνέχεια εξετάζω ποια από τις τιμές \(f(x_1)\) και \(f(x_2)\) είναι μεγαλύτερη.

Αν από την υπόθεση \(x_1

\(f(x_1) < f(x_2)\)

τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Αν προκύπτει:

\(f(x_1) > f(x_2)\)

τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.

Ο πιο αποτελεσματικός τρόπος σύγκρισης είναι συχνά να υπολογίσουμε τη διαφορά:

\(f(x_2)-f(x_1)\)

και να εξετάσουμε το πρόσημό της.

✅ Τι κάνω;

1. Γράφω το διάστημα στο οποίο εξετάζω τη συνάρτηση

Η μονοτονία μιας συνάρτησης εξαρτάται από το διάστημα στο οποίο τη μελετώ.

Η ίδια συνάρτηση μπορεί να είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα και γνησίως αύξουσα σε ένα άλλο.

2. Επιλέγω δύο οποιουσδήποτε αριθμούς

Παίρνω:

\(x_1,x_2\in\Delta\)

με:

\(x_1 < x_2\)

όπου \(\Delta\) είναι το διάστημα στο οποίο εξετάζω τη μονοτονία.

3. Υπολογίζω τη διαφορά \(f(x_2)-f(x_1)\)

Γράφω:

\(f(x_2)-f(x_1)\)

και απλοποιώ την παράσταση.

Συνήθως προσπαθώ να την παραγοντοποιήσω ώστε να εμφανιστεί ο παράγοντας:

\(x_2-x_1\)

Επειδή έχω υποθέσει ότι \(x_1

\(x_2-x_1>0\)

4. Εξετάζω το πρόσημο της διαφοράς

Αν αποδείξω ότι:

\(f(x_2)-f(x_1)>0\)

τότε:

\(f(x_2)>f(x_1)\)

και επομένως η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα.

Αν αποδείξω ότι:

\(f(x_2)-f(x_1)<0\)

τότε:

\(f(x_2)

και επομένως η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα.

5. Διατυπώνω ολοκληρωμένο συμπέρασμα

Δεν αρκεί να βρω μόνο το πρόσημο της διαφοράς.

Πρέπει στο τέλος να συνδέσω το αποτέλεσμα με τον ορισμό της μονοτονίας.

Για παράδειγμα:

Βασική περίπτωση 1: Γραμμική συνάρτηση

Για τη συνάρτηση:

\(f(x)=αx+β\)

έχουμε:

\(f(x_2)-f(x_1)=α(x_2-x_1)\)

Επειδή \(x_2-x_1>0\), το πρόσημο της διαφοράς καθορίζεται από το \(α\).

• Αν \(α>0\), η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα.
• Αν \(α<0\), η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα.
• Αν \(α=0\), η \(f\) είναι σταθερή.

Βασική περίπτωση 2: Συνάρτηση \(f(x)=x^2\)

Η συνάρτηση \(f(x)=x^2\) δεν έχει την ίδια μονοτονία σε όλο το \(\mathbb{R}\).

Για \(x_1 < x_2\) έχουμε:

\(f(x_2)-f(x_1)=x_2^2-x_1^2\)

\(=(x_2-x_1)(x_2+x_1)\)

Ο παράγοντας \(x_2-x_1\) είναι θετικός, αλλά το πρόσημο του \(x_1+x_2\) εξαρτάται από το διάστημα.

• Στο \([0,+\infty)\), ισχύει \(x_1+x_2>0\), άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
• Στο \((-\infty,0]\), ισχύει \(x_1+x_2<0\), άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.

Βασική περίπτωση 3: Συνάρτηση με απόλυτη τιμή

Για μια συνάρτηση όπως:

\(f(x)=|x|\)

χωρίζω τη μελέτη σε δύο διαστήματα.

Για \(x\leq0\), έχουμε \(|x|=-x\), άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.

Για \(x\geq0\), έχουμε \(|x|=x\), άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Βασική περίπτωση 4: Ρητή συνάρτηση

Για τη συνάρτηση:

\(f(x)=\frac{1}{x}\)

παίρνω δύο αριθμούς \(x_1 < x_2\), οι οποίοι ανήκουν στο ίδιο διάστημα του πεδίου ορισμού.

Δεν επιτρέπεται ο ένας να είναι αρνητικός και ο άλλος θετικός όταν εξετάζω ένα ενιαίο διάστημα μονοτονίας, επειδή το \(0\) δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού.

Έχουμε:

\(f(x_2)-f(x_1)=\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}\)

\(=\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}\)

Στα διαστήματα \((-\infty,0)\) και \((0,+\infty)\), το γινόμενο \(x_1x_2\) είναι θετικό, ενώ \(x_1-x_2<0\).

Άρα η συνάρτηση \(f(x)=\frac{1}{x}\) είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα \((-\infty,0)\) και \((0,+\infty)\).

Βασική περίπτωση 5: Χρήση γνωστών μονότονων συναρτήσεων

Μπορώ επίσης να χρησιμοποιώ γνωστά αποτελέσματα.

• Η συνάρτηση \(f(x)=x\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\).
• Η συνάρτηση \(f(x)=x^2\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \((-\infty,0]\) και γνησίως αύξουσα στο \([0,+\infty)\).
• Η συνάρτηση \(f(x)=\sqrt{x}\) είναι γνησίως αύξουσα στο \([0,+\infty)\).
• Η συνάρτηση \(f(x)=\ln x\) είναι γνησίως αύξουσα στο \((0,+\infty)\).
• Η συνάρτηση \(f(x)=e^x\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\).
• Η συνάρτηση \(f(x)=\frac{1}{x}\) είναι γνησίως φθίνουσα στα \((-\infty,0)\) και \((0,+\infty)\).

⚠️ Προσοχή

Η μονοτονία εξετάζεται πάντοτε σε συγκεκριμένο διάστημα.

Δεν λέω απλώς ότι μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα. Αναφέρω πάντοτε και το διάστημα.

Από την υπόθεση:

\(x_1

προκύπτει:

\(x_2-x_1>0\)

αλλά δεν γνωρίζω αυτόματα το πρόσημο του \(x_1+x_2\), του \(x_1x_2\) ή άλλων παραγόντων.

Το πρόσημο αυτών των παραστάσεων καθορίζεται από το διάστημα στο οποίο ανήκουν τα \(x_1,x_2\).

Δεν διαιρώ μια ανισότητα με παράσταση αγνώστου προσήμου πριν εξετάσω αν είναι θετική ή αρνητική.

Δεν αρκεί να εξετάσω δύο συγκεκριμένες τιμές του \(x\). Τα \(x_1,x_2\) πρέπει να είναι δύο οποιοιδήποτε αριθμοί του διαστήματος.

Η σχέση:

\(f(x_2)-f(x_1)>0\)

σημαίνει:

\(f(x_2)>f(x_1)\)

και όχι το αντίστροφο.

💡 Να θυμάμαι

Ξεκινώ πάντοτε με δύο αριθμούς \(x_1,x_2\) του διαστήματος και υποθέτω ότι \(x_1