01Β. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο
ΘΕΩΡΙΑ
1📘 Πώς φτάνουμε στον εκθέτη μηδέν
Παρατηρούμε το μοτίβο \(3^4=81\), \(3^3=27\), \(3^2=9\), \(3^1=3\). Κάθε φορά που ο εκθέτης μειώνεται κατά \(1\), η τιμή της δύναμης διαιρείται με \(3\).
\(3^1=3\quad\Longrightarrow\quad3^0=3:3=1\)
Το ίδιο συμβαίνει για κάθε μη μηδενική βάση. Έτσι ορίζουμε:
\(a^0=1\), με \(a\ne0\)
Παράδειγμα 1
\(7^0=1\).
Παράδειγμα 2
\(\left(-\frac25\right)^0=1\).
2📘 Αρνητικός ακέραιος εκθέτης
Όταν ο εκθέτης είναι αρνητικός, δεν αλλάζουμε απλώς το πρόσημο. Παίρνουμε τον αντίστροφο της αντίστοιχης δύναμης με θετικό εκθέτη.
\(a^{-ν}=\frac{1}{a^ν}\), με \(a\ne0\) και \(ν＞0\)
Παράδειγμα 3
\(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac18\).
Παράδειγμα 4
\((-2)^{-4}=\frac{1}{(-2)^4}=\frac1{16}\).
3📘 Αρνητικός εκθέτης σε κλάσμα
Σε μια κλασματική βάση, ο αρνητικός εκθέτης αντιστρέφει το κλάσμα και γίνεται θετικός.
\(\left(\frac ab\right)^{-ν}=\left(\frac ba\right)^ν\), με \(a\ne0\), \(b\ne0\)
Παράδειγμα 5
\(\left(\frac23\right)^{-2}=\left(\frac32\right)^2=\frac94\).
Παράδειγμα 6
\(\left(-\frac35\right)^{-3}=\left(-\frac53\right)^3=-\frac{125}{27}\).
4📘 Οι ιδιότητες ισχύουν και για ακέραιους εκθέτες
Οι γνωστές ιδιότητες των δυνάμεων εξακολουθούν να ισχύουν όταν οι εκθέτες είναι οποιοιδήποτε ακέραιοι.
\(a^μ\cdot a^ν=a^{μ+ν}\)
\(\frac{a^μ}{a^ν}=a^{μ-ν}\), με \(a\ne0\)
\((a^μ)^ν=a^{μν}\)
Παράδειγμα 7
\(5^3\cdot5^{-7}=5^{3+(-7)}=5^{-4}=\frac1{625}\).
Παράδειγμα 8
\(\frac{3^{-2}}{3^{-5}}=3^{-2-(-5)}=3^3=27\).
5📘 Πρόσημο, βάση και παρενθέσεις
Στην παράσταση \((-3)^{-2}\), βάση είναι ολόκληρος ο αριθμός \(-3\). Στην παράσταση \(-3^{-2}\), βάση της δύναμης είναι μόνο το \(3\) και το πρώτο πλην βρίσκεται έξω από τη δύναμη.
\((-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac19\)
\(-3^{-2}=-\frac{1}{3^2}=-\frac19\)
Παράδειγμα 9
\((-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^2}=\frac14\).
Παράδειγμα 10
\(-2^{-2}=-\frac{1}{2^2}=-\frac14\).
6📘 Ο γρήγορος χάρτης του ακέραιου εκθέτη
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ
Α. Εκθέτης μηδέν και αρνητικός εκθέτης
1✅ Να υπολογίσετε τη δύναμη \(7^0\).
Απάντηση
Η βάση \(7\) είναι διαφορετική από το μηδέν. Επομένως, κάθε δύναμή της με εκθέτη \(0\) είναι ίση με \(1\).
\(7^0=1\)
2✅ Να υπολογίσετε τη δύναμη \(2^{-4}\).
Απάντηση
Ο εκθέτης είναι αρνητικός, άρα παίρνουμε τον αντίστροφο της δύναμης με θετικό εκθέτη.
\(2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac1{16}\)
3✅ Να υπολογίσετε τη δύναμη \((-3)^{-2}\).
Απάντηση
Η βάση είναι ο αριθμός \(-3\). Ο αρνητικός εκθέτης μάς οδηγεί στον αντίστροφο.
\((-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac19\)
4✅ Να υπολογίσετε τη δύναμη \(\left(\frac25\right)^{-3}\).
Απάντηση
Αντιστρέφουμε την κλασματική βάση και κάνουμε τον εκθέτη θετικό.
\(\left(\frac25\right)^{-3}=\left(\frac52\right)^3=\frac{125}{8}\)
5✅ Να υπολογίσετε τη δύναμη \(\left(-\frac47\right)^{-2}\).
Απάντηση
Αντιστρέφουμε τη βάση και κάνουμε τον εκθέτη θετικό. Επειδή ο νέος εκθέτης είναι άρτιος, το αποτέλεσμα είναι θετικό.
\(\left(-\frac47\right)^{-2}=\left(-\frac74\right)^2=\frac{49}{16}\)
Β. Πρόσημο και σωστή χρήση παρενθέσεων
6✅ Να υπολογίσετε τις τιμές \(A=(-3)^{-2}\) και \(B=-3^{-2}\).
Απάντηση
Στο \(A\), βάση είναι ολόκληρος ο αριθμός \(-3\).
\(A=(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac19\)
Στο \(B\), βάση της δύναμης είναι μόνο το \(3\) και το πρώτο πλην βρίσκεται έξω από αυτή.
\(B=-3^{-2}=-\frac{1}{3^2}=-\frac19\)
7✅ Να εξηγήσετε τον διαφορετικό ρόλο του πλην στις δυνάμεις \((-2)^3\) και \(2^{-3}\).
Απάντηση
Στη δύναμη \((-2)^3\), το πλην ανήκει στη βάση. Επειδή ο εκθέτης είναι περιττός, το αποτέλεσμα είναι αρνητικό.
\((-2)^3=-8\)
Στη δύναμη \(2^{-3}\), το πλην ανήκει στον εκθέτη και δηλώνει ότι παίρνουμε τον αντίστροφο.
\(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac18\)
Γ. Συνδυασμός ιδιοτήτων
8✅ Να απλοποιήσετε \(5^3\cdot5^{-7}\).
Απάντηση
Οι δυνάμεις έχουν ίδια βάση, άρα προσθέτουμε τους εκθέτες.
\(5^3\cdot5^{-7}=5^{3+(-7)}=5^{-4}\)
Γράφουμε το τελικό αποτέλεσμα με θετικό εκθέτη.
\(5^{-4}=\frac{1}{5^4}=\frac1{625}\)
9✅ Να υπολογίσετε το πηλίκο \(\frac{3^{-2}}{3^{-5}}\).
Απάντηση
Οι δυνάμεις έχουν ίδια βάση, άρα αφαιρούμε τον εκθέτη του παρονομαστή από τον εκθέτη του αριθμητή.
\(\frac{3^{-2}}{3^{-5}}=3^{-2-(-5)}=3^3=27\)
10✅ Να υπολογίσετε τη δύναμη \((2^{-3})^{-2}\).
Απάντηση
Έχουμε δύναμη υψωμένη σε δύναμη, άρα πολλαπλασιάζουμε τους εκθέτες.
\((2^{-3})^{-2}=2^{(-3)\cdot(-2)}=2^6=64\)
11✅ Να απλοποιήσετε \(\left(\frac34\right)^{-2}\cdot\left(\frac43\right)^{-3}\).
Απάντηση
Αντιστρέφουμε την πρώτη βάση, ώστε οι δύο δυνάμεις να αποκτήσουν την ίδια βάση.
\(\left(\frac34\right)^{-2}=\left(\frac43\right)^2\)
Τώρα προσθέτουμε τους εκθέτες.
\(\left(\frac43\right)^2\cdot\left(\frac43\right)^{-3}=\left(\frac43\right)^{-1}=\frac34\)
12✅ Να απλοποιήσετε \(B=(2^3)^{-2}\cdot2^5\).
Απάντηση
Πρώτα εφαρμόζουμε την ιδιότητα της δύναμης υψωμένης σε δύναμη.
\((2^3)^{-2}=2^{-6}\)
Έπειτα πολλαπλασιάζουμε δυνάμεις με την ίδια βάση.
\(B=2^{-6}\cdot2^5=2^{-1}=\frac12\)
Δ. Εφαρμογές και παγίδες
13✅ Το μήκος ενός πολύ μικρού οργανισμού είναι \(0{,}0000041\) m. Να γραφτεί με δύναμη του \(10\).
Απάντηση
Μεταφέρουμε την υποδιαστολή \(6\) θέσεις προς τα δεξιά, ώστε να προκύψει ο αριθμός \(4{,}1\).
\(0{,}0000041=4{,}1\cdot10^{-6}\)
14✅ Η Μαρία έγραψε \(5^{-2}=-25\). Είναι σωστό;
Απάντηση
Όχι. Το πλην στον εκθέτη δεν κάνει τη δύναμη αρνητική. Δηλώνει ότι παίρνουμε τον αντίστροφο.
\(5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac1{25}\)
15✅ Να απλοποιήσετε την παράσταση \(A=\frac{a^3\cdot a^{-5}}{a^{-4}}\), με \(a\ne0\).
Απάντηση
Στον αριθμητή προσθέτουμε τους εκθέτες.
\(a^3\cdot a^{-5}=a^{3+(-5)}=a^{-2}\)
Στη συνέχεια αφαιρούμε τον εκθέτη του παρονομαστή.
\(A=\frac{a^{-2}}{a^{-4}}=a^{-2-(-4)}=a^2\)