02Δ. Προβλήματα με εξισώσεις
μοντελοποίηση • επιλογή αγνώστου • λεκτικές σχέσεις • άθροισμα και σύνολο • ηλικίες • χρήματα και εκπτώσεις • κίνηση • γεωμετρία • έλεγχος και ερμηνεία λύσης
📘
ΘΕΩΡΙΑ1.Σε ένα πρόβλημα με εξίσωση, η εξίσωση αποτελεί μαθηματικό μοντέλο της πραγματικής κατάστασης.
Σωστή απάντηση: Α
Η εξίσωση μετατρέπει τη λεκτική κατάσταση σε μαθηματική σχέση.
Η εξίσωση μετατρέπει τη λεκτική κατάσταση σε μαθηματική σχέση.
📘
ΒΗΜΑΤΑ2.Ποιο είναι το πρώτο βήμα στην επίλυση ενός προβλήματος με εξίσωση;
Σωστή απάντηση: Α
Πρώτα κατανοούμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα.
Πρώτα κατανοούμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα.
📘
ΒΗΜΑΤΑ3.Μετά την επιλογή του αγνώστου, συνήθως:
Σωστή απάντηση: Α
Όλες οι σχετικές ποσότητες πρέπει να εκφραστούν με την ίδια μεταβλητή.
Όλες οι σχετικές ποσότητες πρέπει να εκφραστούν με την ίδια μεταβλητή.
📘
ΑΓΝΩΣΤΟΣ4.Αν ο Πέτρος έχει \(x\) βόλους και ο Νίκος έχει \(7\) περισσότερους, τότε ο Νίκος έχει:
Σωστή απάντηση: Α
«7 περισσότερους» σημαίνει προσθέτουμε 7.
«7 περισσότερους» σημαίνει προσθέτουμε 7.
📘
ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ5.Η φράση «5 περισσότερα από \(x\)» γράφεται:
Σωστή απάντηση: Α
Προσθέτουμε 5 στο \(x\).
Προσθέτουμε 5 στο \(x\).
📘
ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ6.Η φράση «7 λιγότερα από \(x\)» γράφεται:
Σωστή απάντηση: Α
Από το \(x\) αφαιρούμε 7.
Από το \(x\) αφαιρούμε 7.
📘
ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ7.Η φράση «το μισό του \(x\)» γράφεται:
Σωστή απάντηση: Α
Το μισό μιας ποσότητας είναι η διαίρεσή της με 2.
Το μισό μιας ποσότητας είναι η διαίρεσή της με 2.
📘
ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ8.Αν σήμερα κάποιος είναι \(x\) ετών, σε \(4\) χρόνια θα είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Σε τέσσερα χρόνια η ηλικία αυξάνεται κατά 4.
Σε τέσσερα χρόνια η ηλικία αυξάνεται κατά 4.
📘
ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ9.Αν σήμερα κάποιος είναι \(x\) ετών, πριν από \(6\) χρόνια ήταν:
Σωστή απάντηση: Α
Πριν από 6 χρόνια αφαιρούμε 6 από τη σημερινή ηλικία.
Πριν από 6 χρόνια αφαιρούμε 6 από τη σημερινή ηλικία.
⚠
ΠΑΓΙΔΑ10.Σε πρόβλημα με πολλές ποσότητες πρέπει πάντα να χρησιμοποιούμε διαφορετικό άγνωστο για καθεμία.
Σωστή απάντηση: Β
Όταν γίνεται, εκφράζουμε όλες τις ποσότητες με μία μεταβλητή.
Όταν γίνεται, εκφράζουμε όλες τις ποσότητες με μία μεταβλητή.
⚡
5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ11.Το διπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά \(7\) είναι \(31\). Η σωστή εξίσωση είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Το διπλάσιο είναι \(2x\) και μετά προσθέτουμε 7.
Το διπλάσιο είναι \(2x\) και μετά προσθέτουμε 7.
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ12.Το πενταπλάσιο ενός αριθμού ελαττωμένο κατά \(4\) είναι ίσο με το διπλάσιό του αυξημένο κατά \(50\). Η εξίσωση είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Μεταφράζουμε ακριβώς τις δύο λεκτικές εκφράσεις.
Μεταφράζουμε ακριβώς τις δύο λεκτικές εκφράσεις.
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ13.Τρεις διαδοχικοί ακέραιοι μπορούν να γραφτούν ως:
Σωστή απάντηση: Α
Οι διαδοχικοί ακέραιοι διαφέρουν κατά 1.
Οι διαδοχικοί ακέραιοι διαφέρουν κατά 1.
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ14.Τρεις διαδοχικοί ακέραιοι έχουν άθροισμα \(81\). Ο μεσαίος είναι:
Σωστή απάντηση: Β
\((x-1)+x+(x+1)=81\Rightarrow3x=81\Rightarrow x=27\).
\((x-1)+x+(x+1)=81\Rightarrow3x=81\Rightarrow x=27\).
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ15.Τρεις τάξεις έχουν συνολικά \(300\) μαθητές. Αν η Β΄ έχει \(x\), η Α΄ έχει \(x+20\) και η Γ΄ \(x-10\). Η εξίσωση είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Το «συνολικά» οδηγεί σε άθροισμα των τριών πληθυσμών.
Το «συνολικά» οδηγεί σε άθροισμα των τριών πληθυσμών.
🧠
ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ16.Όταν σε ένα πρόβλημα εμφανίζεται η λέξη «συνολικά», συχνά η βασική εξίσωση προκύπτει από:
Σωστή απάντηση: Α
Το σύνολο προκύπτει συνήθως με πρόσθεση των επιμέρους ποσοτήτων.
Το σύνολο προκύπτει συνήθως με πρόσθεση των επιμέρους ποσοτήτων.
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ17.Δύο παιδιά έχουν μαζί \(73\) βόλους. Ο πρώτος έχει \(5\) λιγότερους από το διπλάσιο των βόλων του δεύτερου. Αν ο δεύτερος έχει \(x\), η εξίσωση είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Ο πρώτος έχει \(2x-5\) και μαζί έχουν 73.
Ο πρώτος έχει \(2x-5\) και μαζί έχουν 73.
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ18.Στο προηγούμενο πρόβλημα, ο δεύτερος έχει:
Σωστή απάντηση: Γ
\(x+2x-5=73\Rightarrow3x=78\Rightarrow x=26\).
\(x+2x-5=73\Rightarrow3x=78\Rightarrow x=26\).
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ19.Στο ίδιο πρόβλημα, ο πρώτος έχει:
Σωστή απάντηση: Α
\(2\cdot26-5=47\).
\(2\cdot26-5=47\).
⚠
ΠΑΓΙΔΑ20.Αν σε ένα πρόβλημα πάρουμε μαθηματικά λύση \(x=-3\) για πλήθος μαθητών, η λύση γίνεται πάντα αποδεκτή.
Σωστή απάντηση: Β
Το πλήθος μαθητών δεν μπορεί να είναι αρνητικό, άρα απαιτείται έλεγχος νοήματος.
Το πλήθος μαθητών δεν μπορεί να είναι αρνητικό, άρα απαιτείται έλεγχος νοήματος.
📘
ΗΛΙΚΙΕΣ21.Σε προβλήματα ηλικιών, μετά από \(5\) χρόνια όλες οι σημερινές ηλικίες:
Σωστή απάντηση: Α
Όλοι μεγαλώνουν κατά τον ίδιο αριθμό ετών.
Όλοι μεγαλώνουν κατά τον ίδιο αριθμό ετών.
⚠
ΠΑΓΙΔΑ22.Αν ο πατέρας σήμερα είναι \(4x\) ετών, σε \(5\) χρόνια θα είναι \(4(x+5)\).
Σωστή απάντηση: Β
Σε 5 χρόνια θα είναι \(4x+5\), όχι \(4x+20\).
Σε 5 χρόνια θα είναι \(4x+5\), όχι \(4x+20\).
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ23.Αν σήμερα ο γιος είναι \(x\) και ο πατέρας \(4x\), σε \(5\) χρόνια και αν τότε ο πατέρας είναι τριπλάσιος, η εξίσωση είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Προσθέτουμε 5 και στις δύο σημερινές ηλικίες.
Προσθέτουμε 5 και στις δύο σημερινές ηλικίες.
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ24.Πατέρας έχει τετραπλάσια ηλικία από τον γιο. Σε \(8\) χρόνια θα είναι τριπλάσια. Η σημερινή ηλικία του γιου είναι:
Σωστή απάντηση: Γ
\(4x+8=3(x+8)\Rightarrow x=16\).
\(4x+8=3(x+8)\Rightarrow x=16\).
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ25.Στο προηγούμενο πρόβλημα, η σημερινή ηλικία του πατέρα είναι:
Σωστή απάντηση: Γ
Ο πατέρας είναι \(4\cdot16=64\) ετών.
Ο πατέρας είναι \(4\cdot16=64\) ετών.
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ26.Οι τρεις τάξεις ενός Γυμνασίου έχουν συνολικά \(350\) μαθητές. Αν η Β΄ έχει \(x\), η Α΄ έχει \(x+20\) και η Γ΄ \(x-12\). Η σωστή εξίσωση είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Αθροίζουμε τους μαθητές και των τριών τάξεων.
Αθροίζουμε τους μαθητές και των τριών τάξεων.
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ27.Στο προηγούμενο πρόβλημα, η Β΄ τάξη έχει:
Σωστή απάντηση: Β
\(3x+8=350\Rightarrow3x=342\Rightarrow x=114\).
\(3x+8=350\Rightarrow3x=342\Rightarrow x=114\).
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ28.Ένας μαθητής πήρε \(15\) και \(19\). Για μέσο όρο \(18\) σε τρία διαγωνίσματα, πρέπει στο τρίτο να πάρει:
Σωστή απάντηση: Γ
\(\frac{15+19+x}{3}=18\Rightarrow34+x=54\Rightarrow x=20\).
\(\frac{15+19+x}{3}=18\Rightarrow34+x=54\Rightarrow x=20\).
🧠
ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ29.Σε πρόβλημα μέσου όρου τριών βαθμών, η βασική σχέση είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Ο μέσος όρος είναι το άθροισμα των βαθμών δια του πλήθους τους.
Ο μέσος όρος είναι το άθροισμα των βαθμών δια του πλήθους τους.
⚠
ΠΑΓΙΔΑ30.Σε πρόβλημα ηλικιών αρκεί να λυθεί η εξίσωση· δεν χρειάζεται να ελέγξουμε αν οι ηλικίες είναι λογικές.
Σωστή απάντηση: Β
Η τελική λύση πρέπει να συμφωνεί με το πραγματικό πλαίσιο.
Η τελική λύση πρέπει να συμφωνεί με το πραγματικό πλαίσιο.
📘
ΧΡΗΜΑΤΑ31.Η βασική σχέση αγορών είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Αυτή είναι η βασική σχέση κόστους.
Αυτή είναι η βασική σχέση κόστους.
⚡
5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ32.Πάρκινγκ χρεώνει \(3€\) είσοδο και \(2€\) ανά ώρα. Για \(x\) ώρες το κόστος είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Υπάρχει σταθερό κόστος 3€ και 2€ για κάθε ώρα.
Υπάρχει σταθερό κόστος 3€ και 2€ για κάθε ώρα.
📘
ΕΚΠΤΩΣΗ33.Με έκπτωση \(20\%\), πληρώνουμε:
Σωστή απάντηση: Α
\(100\%-20\%=80\%\).
\(100\%-20\%=80\%\).
⚡
5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ34.Αν η αρχική τιμή είναι \(x\), μετά από έκπτωση \(20\%\) η νέα τιμή είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Πληρώνουμε το 80% της αρχικής τιμής.
Πληρώνουμε το 80% της αρχικής τιμής.
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ35.Ύφασμα πωλείται με έκπτωση \(20\%\). Για \(25m\) πληρώθηκαν \(200€\). Η αρχική τιμή ανά μέτρο ήταν:
Σωστή απάντηση: Β
\(25\cdot0{,}8x=200\Rightarrow20x=200\Rightarrow x=10\).
\(25\cdot0{,}8x=200\Rightarrow20x=200\Rightarrow x=10\).
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ36.Η Ελένη έχει \(40€\), η Μαρία \(20€\) και αγοράζουν από δύο ίδια τετράδια. Αν μετά η Ελένη έχει τριπλάσια χρήματα από τη Μαρία, η εξίσωση είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Καθεμία πληρώνει για δύο τετράδια, δηλαδή \(2x\).
Καθεμία πληρώνει για δύο τετράδια, δηλαδή \(2x\).
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ37.Στο προηγούμενο πρόβλημα, κάθε τετράδιο κοστίζει:
Σωστή απάντηση: Β
\(40-2x=60-6x\Rightarrow4x=20\Rightarrow x=5\).
\(40-2x=60-6x\Rightarrow4x=20\Rightarrow x=5\).
🧠
ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ38.Σε πρόβλημα με σταθερό κόστος \(β\) και χρέωση \(α\) ανά μονάδα, η συνολική χρέωση έχει συχνά μορφή:
Σωστή απάντηση: Α
Πρόκειται για σταθερό ποσό συν χρέωση ανά μονάδα.
Πρόκειται για σταθερό ποσό συν χρέωση ανά μονάδα.
⚠
ΠΑΓΙΔΑ39.Έκπτωση \(20\%\) σημαίνει ότι πληρώνουμε \(0{,}2x\).
Σωστή απάντηση: Β
Το \(0{,}2x\) είναι το ποσό της έκπτωσης. Πληρώνουμε \(0{,}8x\).
Το \(0{,}2x\) είναι το ποσό της έκπτωσης. Πληρώνουμε \(0{,}8x\).
✓
ΕΛΕΓΧΟΣ40.Σε πρόβλημα χρημάτων, μετά τη λύση ελέγχουμε αν:
Σωστή απάντηση: Α
Η αριθμητική λύση πρέπει να έχει νόημα στο οικονομικό πλαίσιο.
Η αριθμητική λύση πρέπει να έχει νόημα στο οικονομικό πλαίσιο.
📘
ΚΙΝΗΣΗ41.Στα προβλήματα κίνησης χρησιμοποιούμε:
Σωστή απάντηση: Α
Η βασική σχέση είναι \(s=υt\).
Η βασική σχέση είναι \(s=υt\).
⚡
5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ42.Αυτοκίνητο κινείται με \(60km/h\) για \(t\) ώρες. Η απόσταση είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Απόσταση = ταχύτητα × χρόνος.
Απόσταση = ταχύτητα × χρόνος.
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ43.Δεύτερο αυτοκίνητο κινείται με \(80km/h\) και χρειάζεται \(t-2\) ώρες. Η απόστασή του είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Πολλασιάζουμε την ταχύτητα με τον χρόνο \(t-2\).
Πολλασιάζουμε την ταχύτητα με τον χρόνο \(t-2\).
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ44.Αν δύο αυτοκίνητα διανύουν την ίδια απόσταση, με τα παραπάνω δεδομένα η εξίσωση είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Εξισώνουμε τις δύο εκφράσεις της ίδιας απόστασης.
Εξισώνουμε τις δύο εκφράσεις της ίδιας απόστασης.
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ45.Από την εξίσωση \(60t=80(t-2)\) προκύπτει:
Σωστή απάντηση: Β
\(60t=80t-160\Rightarrow20t=160\Rightarrow t=8\).
\(60t=80t-160\Rightarrow20t=160\Rightarrow t=8\).
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ46.Αν το πρώτο αυτοκίνητο ταξιδεύει \(8\) ώρες με \(60km/h\), η απόσταση είναι:
Σωστή απάντηση: Γ
\(60\cdot8=480km\).
\(60\cdot8=480km\).
🧠
ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ47.Σε δύο οχήματα που διανύουν την ίδια διαδρομή, μπορούμε να:
Σωστή απάντηση: Α
Η κοινή απόσταση είναι η βασική σχέση.
Η κοινή απόσταση είναι η βασική σχέση.
⚠
ΠΑΓΙΔΑ48.Αν ένα όχημα φτάνει \(2\) ώρες νωρίτερα, ο χρόνος του μπορεί να γραφτεί ως \(t+2\) όταν το πρώτο χρειάζεται \(t\) ώρες.
Σωστή απάντηση: Β
Αφού φτάνει νωρίτερα, χρειάζεται λιγότερο χρόνο: \(t-2\).
Αφού φτάνει νωρίτερα, χρειάζεται λιγότερο χρόνο: \(t-2\).
📘
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ49.Σε γεωμετρικό πρόβλημα χρησιμοποιούμε τους γνωστούς γεωμετρικούς τύπους για να σχηματίσουμε εξίσωση.
Σωστή απάντηση: Α
Οι σχέσεις περιμέτρου, εμβαδού κ.λπ. οδηγούν στην εξίσωση.
Οι σχέσεις περιμέτρου, εμβαδού κ.λπ. οδηγούν στην εξίσωση.
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ50.Ορθογώνιο έχει πλάτος \(x\), μήκος \(x+4\) και περίμετρο \(40\). Η εξίσωση είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Η περίμετρος ορθογωνίου είναι δύο φορές το άθροισμα των διαστάσεων.
Η περίμετρος ορθογωνίου είναι δύο φορές το άθροισμα των διαστάσεων.
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ51.Ορθογώνιο έχει μήκος \(4cm\) μεγαλύτερο από το πλάτος και περίμετρο \(36cm\). Το πλάτος είναι:
Σωστή απάντηση: Β
\(2x+2(x+4)=36\Rightarrow4x+8=36\Rightarrow x=7\).
\(2x+2(x+4)=36\Rightarrow4x+8=36\Rightarrow x=7\).
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ52.Στο προηγούμενο πρόβλημα, το μήκος είναι:
Σωστή απάντηση: Γ
Μήκος \(=x+4=7+4=11cm\).
Μήκος \(=x+4=7+4=11cm\).
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ53.Δοκάρι μήκους \(4{,}8m\) κόβεται σε δύο μέρη, το ένα τριπλάσιο του άλλου. Αν το μικρό είναι \(x\), η εξίσωση είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Τα δύο τμήματα έχουν συνολικό μήκος 4,8m.
Τα δύο τμήματα έχουν συνολικό μήκος 4,8m.
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ54.Στο προηγούμενο πρόβλημα, το μικρότερο μέρος είναι:
Σωστή απάντηση: Β
\(4x=4{,}8\Rightarrow x=1{,}2\).
\(4x=4{,}8\Rightarrow x=1{,}2\).
📘
ΕΛΕΓΧΟΣ55.Η μαθηματική λύση μιας εξίσωσης δεν είναι πάντα η τελική απάντηση του προβλήματος.
Σωστή απάντηση: Α
Πρέπει να ερμηνευθεί στο πλαίσιο του προβλήματος.
Πρέπει να ερμηνευθεί στο πλαίσιο του προβλήματος.
🧠
ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ56.Αν για αριθμό λεωφορείων προκύψει \(x=6{,}4\), τότε για να μεταφερθούν όλοι χρειάζονται:
Σωστή απάντηση: Γ
Δεν υπάρχει κλάσμα λεωφορείου και πρέπει να χωρέσουν όλοι.
Δεν υπάρχει κλάσμα λεωφορείου και πρέπει να χωρέσουν όλοι.
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ57.Για \(320\) μαθητές με λεωφορεία \(50\) θέσεων, ο ελάχιστος αριθμός λεωφορείων είναι:
Σωστή απάντηση: Β
\(320/50=6{,}4\), άρα απαιτούνται 7 ολόκληρα λεωφορεία.
\(320/50=6{,}4\), άρα απαιτούνται 7 ολόκληρα λεωφορεία.
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ58.Η Μαρία έχει \(12€\), αγοράζει προϊόν αξίας \(5{,}25€\) και νερά των \(1{,}50€\). Αν η εξίσωση δίνει \(x=4{,}5\), πόσα ολόκληρα μπουκάλια μπορεί να αγοράσει το πολύ;
Σωστή απάντηση: Α
Δεν μπορεί να αγοράσει μισό μπουκάλι και τα 5 θα ξεπερνούσαν τα χρήματά της.
Δεν μπορεί να αγοράσει μισό μπουκάλι και τα 5 θα ξεπερνούσαν τα χρήματά της.
✓
ΤΕΛΙΚΟ CHECKLIST59.Ποια είναι η σωστή πορεία μοντελοποίησης;
Σωστή απάντηση: Α
Αυτός είναι ο πλήρης κύκλος της μοντελοποίησης.
Αυτός είναι ο πλήρης κύκλος της μοντελοποίησης.
🏆
ΤΕΛΙΚΗ ΠΡΟΚΛΗΣΗ60.Ποια πρόταση είναι σωστή;
Σωστή απάντηση: Α
Η σωστή λύση ολοκληρώνεται μόνο με ερμηνεία και έλεγχο.
Η σωστή λύση ολοκληρώνεται μόνο με ερμηνεία και έλεγχο.