06a_askhseis_02a Κανονικότητες

02Α. Κανονικότητες

🎯 Αναγνωρίζω τέλεια τετράγωνα και βασικά μοτίβα

Να γράψετε τους έξι πρώτους όρους της κανονικότητας με γενικό όρο \(y=\nu^2\).

Αντικαθιστούμε διαδοχικά \(\nu=1,2,3,4,5,6\).

Παίρνουμε \(1,4,9,16,25,36\).

Ποιος είναι ο \(8\)ος όρος της κανονικότητας \(y=\nu^2\);

Για \(\nu=8\) έχουμε \(y=8^2\).

Άρα ο \(8\)ος όρος είναι \(64\).

Ποιος είναι ο \(12\)ος όρος της κανονικότητας \(y=\nu^2\);

Θέτουμε \(\nu=12\).

Έτσι \(y=12^2=144\).

Να εξετάσετε αν ο αριθμός \(196\) είναι τέλειο τετράγωνο.

Αναζητούμε φυσικό αριθμό του οποίου το τετράγωνο είναι \(196\).

Επειδή \(14^2=196\), ο αριθμός \(196\) είναι τέλειο τετράγωνο.

Να εξετάσετε αν ο αριθμός \(150\) είναι τέλειο τετράγωνο.

Έχουμε \(12^2=144\) και \(13^2=169\).

Ο \(150\) βρίσκεται ανάμεσά τους, άρα δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Να βρείτε το επόμενο μέλος του μοτίβου \(1,4,9,16,25,\ldots\).

Οι όροι είναι τα τετράγωνα \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,\ldots\).

Ο επόμενος είναι \(6^2=36\).

Να βρείτε τους δύο επόμενους όρους του μοτίβου \(4,16,36,64,\ldots\).

Οι όροι γράφονται \(2^2,4^2,6^2,8^2,\ldots\), δηλαδή τετράγωνα διαδοχικών άρτιων αριθμών.

Οι επόμενοι είναι \(10^2=100\) και \(12^2=144\).

Να βρείτε τους δύο επόμενους όρους του μοτίβου \(9,36,81,144,\ldots\).

Οι όροι είναι \(3^2,6^2,9^2,12^2,\ldots\).

Οι επόμενοι είναι \(15^2=225\) και \(18^2=324\).

🎯 Υπολογίζω όρους της μορφής \(y=\alpha x^2\)

Για την κανονικότητα \(y=2\nu^2\), να βρείτε τον \(5\)ο όρο.

Θέτουμε \(\nu=5\): \(y=2\cdot5^2\).

Άρα \(y=2\cdot25=50\).

Για την κανονικότητα \(y=3\nu^2\), να βρείτε τον \(6\)ο όρο.

Για \(\nu=6\), έχουμε \(y=3\cdot6^2\).

Άρα \(y=3\cdot36=108\).

Για την κανονικότητα \(y=5\nu^2\), να βρείτε τον \(4\)ο όρο.

Αντικαθιστούμε \(\nu=4\).

Έχουμε \(y=5\cdot16=80\).

Για την κανονικότητα \(y=\frac{1}{2}\nu^2\), να βρείτε τον \(8\)ο όρο.

Θέτουμε \(\nu=8\): \(y=\frac{1}{2}\cdot8^2\).

Άρα \(y=\frac{1}{2}\cdot64=32\).

Για την κανονικότητα \(y=\frac{3}{4}\nu^2\), να βρείτε τον \(4\)ο όρο.

Για \(\nu=4\), \(y=\frac{3}{4}\cdot16\).

Άρα \(y=12\).

Για την κανονικότητα \(y=0,5\nu^2\), να βρείτε τον \(10\)ο όρο.

Θέτουμε \(\nu=10\): \(y=0,5\cdot100\).

Άρα \(y=50\).

Για την κανονικότητα \(y=0,2\nu^2\), να βρείτε τον \(15\)ο όρο.

Έχουμε \(15^2=225\).

Άρα \(y=0,2\cdot225=45\).

Για την κανονικότητα \(y=4\nu^2\), να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους.

Για \(\nu=1,2,3,4\), υπολογίζουμε \(4\cdot1^2\), \(4\cdot2^2\), \(4\cdot3^2\), \(4\cdot4^2\).

Οι όροι είναι \(4,16,36,64\).

🎯 Βρίσκω τον γενικό όρο ενός μοτίβου

Να βρείτε τον γενικό όρο του μοτίβου \(2,8,18,32,50,\ldots\).

Διαιρούμε κάθε όρο με το αντίστοιχο \(\nu^2\): \(\frac{2}{1^2}=2\), \(\frac{8}{2^2}=2\), \(\frac{18}{3^2}=2\).

Άρα ο γενικός όρος είναι \(y=2\nu^2\).

Να βρείτε τον γενικό όρο του μοτίβου \(3,12,27,48,75,\ldots\).

Παρατηρούμε ότι \(3=3\cdot1^2\), \(12=3\cdot2^2\), \(27=3\cdot3^2\).

Άρα \(y=3\nu^2\).

Να βρείτε τον γενικό όρο του μοτίβου \(5,20,45,80,125,\ldots\).

Κάθε όρος είναι \(5\) φορές το αντίστοιχο τέλειο τετράγωνο.

Άρα \(y=5\nu^2\).

Να βρείτε τον γενικό όρο του μοτίβου \(\frac12,2,\frac92,8,\frac{25}{2},\ldots\).

Οι όροι είναι \(\frac12\cdot1^2,\frac12\cdot2^2,\frac12\cdot3^2,\ldots\).

Άρα \(y=\frac12\nu^2\).

Να βρείτε τον γενικό όρο του μοτίβου \(0,25,1,2,25,4,6,25,\ldots\).

Έχουμε \(0,25=0,25\cdot1^2\), \(1=0,25\cdot2^2\), \(2,25=0,25\cdot3^2\).

Άρα \(y=0,25\nu^2\).

Να βρείτε τον γενικό όρο του μοτίβου \(10,40,90,160,250,\ldots\).

Οι όροι είναι \(10\cdot1^2,10\cdot2^2,10\cdot3^2,\ldots\).

Άρα \(y=10\nu^2\).

Να βρείτε τον γενικό όρο του μοτίβου \(7,28,63,112,175,\ldots\).

Ελέγχουμε τον λόγο \(\frac{y}{\nu^2}\): \(\frac71=7\), \(\frac{28}{4}=7\), \(\frac{63}{9}=7\).

Άρα \(y=7\nu^2\).

Να βρείτε τον γενικό όρο του μοτίβου \(0,4,1,6,3,6,6,4,10,\ldots\).

Οι όροι είναι \(0,4\cdot1^2\), \(0,4\cdot2^2\), \(0,4\cdot3^2\), \(0,4\cdot4^2\), \(0,4\cdot5^2\).

Άρα \(y=0,4\nu^2\).

🎯 Βρίσκω τον συντελεστή \(\alpha\)

Μια κανονικότητα έχει τύπο \(y=\alpha\nu^2\) και ο \(3\)ος όρος της είναι \(27\). Να βρείτε το \(\alpha\).

Για \(\nu=3\), έχουμε \(27=\alpha\cdot3^2=9\alpha\).

Άρα \(\alpha=3\).

Μια κανονικότητα έχει τύπο \(y=\alpha\nu^2\) και ο \(4\)ος όρος της είναι \(80\). Να βρείτε το \(\alpha\).

Για \(\nu=4\), \(80=16\alpha\).

Άρα \(\alpha=5\).

Μια κανονικότητα έχει τύπο \(y=\alpha\nu^2\) και ο \(6\)ος όρος της είναι \(72\). Να βρείτε το \(\alpha\).

Έχουμε \(72=\alpha\cdot36\).

Άρα \(\alpha=2\).

Μια κανονικότητα έχει τύπο \(y=\alpha\nu^2\) και ο \(10\)ος όρος της είναι \(50\). Να βρείτε το \(\alpha\).

Για \(\nu=10\), \(50=100\alpha\).

Άρα \(\alpha=0,5\).

Μια κανονικότητα έχει τύπο \(y=\alpha\nu^2\) και ο \(8\)ος όρος της είναι \(16\). Να βρείτε το \(\alpha\).

Έχουμε \(16=64\alpha\).

Άρα \(\alpha=\frac14\).

Ο \(5\)ος όρος μιας κανονικότητας \(y=\alpha\nu^2\) είναι \(75\). Να βρείτε τον \(10\)ο όρο της.

Από \(75=\alpha\cdot25\) βρίσκουμε \(\alpha=3\).

Άρα ο \(10\)ος όρος είναι \(3\cdot10^2=300\).

Ο \(2\)ος όρος μιας κανονικότητας \(y=\alpha\nu^2\) είναι \(12\). Να βρείτε τον \(7\)ο όρο της.

Από \(12=4\alpha\) παίρνουμε \(\alpha=3\).

Ο \(7\)ος όρος είναι \(3\cdot7^2=147\).

Ο \(4\)ος όρος μιας κανονικότητας \(y=\alpha\nu^2\) είναι \(8\). Να βρείτε τον \(12\)ο όρο της.

Έχουμε \(8=16\alpha\), άρα \(\alpha=\frac12\).

Ο \(12\)ος όρος είναι \(\frac12\cdot144=72\).

🎯 Συμπληρώνω πίνακες τιμών

Για \(y=2\nu^2\), να συμπληρώσετε τις τιμές του \(y\) για \(\nu=1,2,3,4,5\).

Υπολογίζουμε \(2\cdot1^2,2\cdot2^2,2\cdot3^2,2\cdot4^2,2\cdot5^2\).

Οι τιμές είναι \(2,8,18,32,50\).

Για \(y=3\nu^2\), να συμπληρώσετε τις τιμές του \(y\) για \(\nu=2,4,6\).

Υπολογίζουμε \(3\cdot2^2=12\), \(3\cdot4^2=48\), \(3\cdot6^2=108\).

Άρα οι τιμές είναι \(12,48,108\).

Για \(y=\frac14\nu^2\), να βρείτε τις τιμές για \(\nu=2,4,6,8\).

Υπολογίζουμε \(\frac14\cdot4=1\), \(\frac14\cdot16=4\), \(\frac14\cdot36=9\), \(\frac14\cdot64=16\).

Οι τιμές είναι \(1,4,9,16\).

Για \(y=0,2\nu^2\), να βρείτε τις τιμές για \(\nu=5,10,15\).

Έχουμε \(0,2\cdot25=5\), \(0,2\cdot100=20\), \(0,2\cdot225=45\).

Άρα οι τιμές είναι \(5,20,45\).

Σε πίνακα κανονικότητας \(y=\alpha\nu^2\) γνωρίζουμε ότι για \(\nu=1\), \(y=4\). Να βρείτε τις τιμές του \(y\) για \(\nu=2,3,4\).

Από \(4=\alpha\cdot1^2\) βρίσκουμε \(\alpha=4\).

Άρα \(y=4\nu^2\) και οι τιμές είναι \(16,36,64\).

Σε πίνακα κανονικότητας \(y=\alpha\nu^2\) γνωρίζουμε ότι για \(\nu=2\), \(y=20\). Να βρείτε τις τιμές για \(\nu=1,3,5\).

Από \(20=4\alpha\) παίρνουμε \(\alpha=5\).

Άρα οι τιμές είναι \(5\), \(45\), \(125\).

Σε πίνακα έχουμε τα ζεύγη \((1,3)\), \((2,12)\), \((3,27)\). Να εξετάσετε αν περιγράφουν κανονικότητα \(y=\alpha\nu^2\).

Υπολογίζουμε \(\frac{3}{1^2}=3\), \(\frac{12}{2^2}=3\), \(\frac{27}{3^2}=3\).

Ο λόγος είναι σταθερός, άρα πρόκειται για την κανονικότητα \(y=3\nu^2\).

Σε πίνακα έχουμε τα ζεύγη \((1,2)\), \((2,8)\), \((3,20)\). Είναι κανονικότητα της μορφής \(y=\alpha\nu^2\);

Οι λόγοι είναι \(\frac21=2\), \(\frac84=2\), αλλά \(\frac{20}{9}\neq2\).

Άρα τα δεδομένα δεν ακολουθούν κανονικότητα της μορφής \(y=\alpha\nu^2\).

🎯 Μελετώ πρώτες και δεύτερες διαφορές

Για το μοτίβο \(1,4,9,16,25\), να βρείτε τις πρώτες διαφορές.

Υπολογίζουμε \(4-1=3\), \(9-4=5\), \(16-9=7\), \(25-16=9\).

Οι πρώτες διαφορές είναι \(3,5,7,9\).

Για το μοτίβο \(1,4,9,16,25\), να βρείτε τις δεύτερες διαφορές.

Οι πρώτες διαφορές είναι \(3,5,7,9\).

Οι δεύτερες διαφορές είναι \(2,2,2\).

Για το μοτίβο \(2,8,18,32,50\), να βρείτε τις πρώτες διαφορές.

Έχουμε \(8-2=6\), \(18-8=10\), \(32-18=14\), \(50-32=18\).

Οι πρώτες διαφορές είναι \(6,10,14,18\).

Για το μοτίβο \(2,8,18,32,50\), να βρείτε τις δεύτερες διαφορές.

Οι πρώτες διαφορές είναι \(6,10,14,18\).

Οι δεύτερες διαφορές είναι \(4,4,4\).

Για το μοτίβο \(3,12,27,48,75\), να βρείτε τις δεύτερες διαφορές.

Οι πρώτες διαφορές είναι \(9,15,21,27\).

Οι δεύτερες διαφορές είναι \(6,6,6\).

Το μοτίβο \(4,16,36,64,100\) έχει σταθερές πρώτες ή δεύτερες διαφορές;

Οι πρώτες διαφορές είναι \(12,20,28,36\), άρα δεν είναι σταθερές.

Οι δεύτερες διαφορές είναι \(8,8,8\), άρα είναι σταθερές.

Ένα μοτίβο έχει όρους \(5,20,45,80,125\). Να χρησιμοποιήσετε τις διαφορές για να δείξετε ότι είναι τετραγωνική κανονικότητα.

Οι πρώτες διαφορές είναι \(15,25,35,45\).

Οι δεύτερες διαφορές είναι \(10,10,10\), άρα το μοτίβο είναι τετραγωνικού τύπου.

Σε μια κανονικότητα \(y=\alpha\nu^2\) οι δεύτερες διαφορές είναι \(12\). Να βρείτε το \(\alpha\).

Για κανονικότητα \(y=\alpha\nu^2\), οι δεύτερες διαφορές είναι \(2\alpha\).

Άρα \(2\alpha=12\), οπότε \(\alpha=6\).

🎯 Βρίσκω την τάξη ενός όρου

Στην κανονικότητα \(y=\nu^2\), σε ποια θέση βρίσκεται ο όρος \(144\);

Λύνουμε \(\nu^2=144\). Επειδή η τάξη είναι θετικός ακέραιος, \(\nu=12\).

Άρα ο \(144\) είναι ο \(12\)ος όρος.

Στην κανονικότητα \(y=2\nu^2\), σε ποια θέση βρίσκεται ο όρος \(98\);

Λύνουμε \(2\nu^2=98\), άρα \(\nu^2=49\).

Επομένως \(\nu=7\), άρα είναι ο \(7\)ος όρος.

Στην κανονικότητα \(y=3\nu^2\), σε ποια θέση βρίσκεται ο όρος \(192\);

Από \(3\nu^2=192\) παίρνουμε \(\nu^2=64\).

Άρα \(\nu=8\).

Στην κανονικότητα \(y=5\nu^2\), σε ποια θέση βρίσκεται ο όρος \(245\);

Έχουμε \(5\nu^2=245\), οπότε \(\nu^2=49\).

Άρα \(\nu=7\).

Στην κανονικότητα \(y=\frac12\nu^2\), σε ποια θέση βρίσκεται ο όρος \(50\);

Λύνουμε \(\frac12\nu^2=50\), άρα \(\nu^2=100\).

Επομένως \(\nu=10\).

Στην κανονικότητα \(y=0,25\nu^2\), σε ποια θέση βρίσκεται ο όρος \(25\);

Έχουμε \(0,25\nu^2=25\), άρα \(\nu^2=100\).

Άρα \(\nu=10\).

Ο αριθμός \(180\) είναι όρος της κανονικότητας \(y=5\nu^2\);

Αν ήταν όρος, θα είχαμε \(5\nu^2=180\), δηλαδή \(\nu^2=36\).

Άρα \(\nu=6\), επομένως ναι, είναι ο \(6\)ος όρος.

Ο αριθμός \(70\) είναι όρος της κανονικότητας \(y=2\nu^2\);

Θα έπρεπε να ισχύει \(2\nu^2=70\), δηλαδή \(\nu^2=35\).

Ο \(35\) δεν είναι τέλειο τετράγωνο, άρα ο \(70\) δεν είναι όρος της κανονικότητας.

🎯 Συγκρίνω κανονικότητες

Για την ίδια τιμή του \(\nu\), ποιος όρος είναι μεγαλύτερος: του \(y=2\nu^2\) ή του \(y=5\nu^2\);

Και οι δύο έχουν τον ίδιο θετικό παράγοντα \(\nu^2\). Επειδή \(5>2\),

ο αντίστοιχος όρος της \(y=5\nu^2\) είναι μεγαλύτερος.

Πόσες φορές μεγαλύτερος είναι ο \(10\)ος όρος της \(y=6\nu^2\) από τον \(10\)ο όρο της \(y=2\nu^2\);

Ο λόγος των αντίστοιχων όρων είναι \(\frac{6\nu^2}{2\nu^2}=3\).

Άρα είναι \(3\) φορές μεγαλύτερος.

Να συγκρίνετε τον \(4\)ο όρο της \(y=3\nu^2\) με τον \(6\)ο όρο της \(y=\nu^2\).

Ο πρώτος είναι \(3\cdot4^2=48\). Ο δεύτερος είναι \(6^2=36\).

Άρα \(48>36\), επομένως ο \(4\)ος όρος της \(y=3\nu^2\) είναι μεγαλύτερος.

Να βρείτε για ποια θετική ακέραια τιμή του \(\nu\) οι κανονικότητες \(y=2\nu^2\) και \(z=3\nu^2\) έχουν ίσους όρους.

Η ισότητα θα έδινε \(2\nu^2=3\nu^2\), δηλαδή \(\nu^2=0\).

Αυτό δεν γίνεται για θετικό ακέραιο \(\nu\). Άρα δεν έχουν ποτέ ίσους αντίστοιχους όρους.

Αν διπλασιάσουμε το \(\alpha\) σε μια κανονικότητα \(y=\alpha\nu^2\), τι συμβαίνει σε κάθε όρο;

Ο νέος όρος είναι \(y_{\text{νέο}}=2\alpha\nu^2\).

Άρα κάθε όρος διπλασιάζεται.

Αν τριπλασιάσουμε την τάξη \(\nu\), πόσες φορές γίνεται ο αντίστοιχος όρος μιας κανονικότητας \(y=\alpha\nu^2\);

Ο νέος όρος είναι \(\alpha(3\nu)^2=9\alpha\nu^2\).

Άρα γίνεται \(9\) φορές μεγαλύτερος.

Αν διπλασιάσουμε την τάξη \(\nu\), πόσες φορές γίνεται ο αντίστοιχος όρος;

Έχουμε \(\alpha(2\nu)^2=4\alpha\nu^2\).

Άρα ο όρος γίνεται \(4\) φορές μεγαλύτερος.

Αν η τάξη αυξηθεί από \(5\) σε \(10\), πόσες φορές αυξάνεται ο όρος της \(y=\alpha\nu^2\);

Ο λόγος είναι \(\frac{\alpha\cdot10^2}{\alpha\cdot5^2}=\frac{100}{25}=4\).

Άρα ο όρος γίνεται \(4\) φορές μεγαλύτερος.

🎯 Εφαρμόζω τις κανονικότητες σε προβλήματα

Ένα τετράγωνο σχήμα της τάξης \(\nu\) αποτελείται από \(\nu^2\) μικρά τετράγωνα. Πόσα μικρά τετράγωνα έχει το \(15\)ο σχήμα;

Ο γενικός όρος είναι \(y=\nu^2\).

Για \(\nu=15\), \(y=15^2=225\).

Ένα τετράγωνο πλακόστρωτο της τάξης \(\nu\) έχει \(4\nu^2\) πλακάκια. Πόσα πλακάκια χρειάζονται για \(\nu=12\);

Υπολογίζουμε \(4\cdot12^2=4\cdot144\).

Άρα χρειάζονται \(576\) πλακάκια.

Κάθε ημέρα βάζω σε έναν κουμπαρά \(2\nu^2\) λεπτά, όπου \(\nu\) η σειρά της ημέρας. Πόσα λεπτά βάζω την \(10\)η ημέρα;

Για \(\nu=10\), έχουμε \(2\cdot10^2=200\).

Άρα βάζω \(200\) λεπτά, δηλαδή \(2\) ευρώ.

Η απόσταση φρεναρίσματος ενός οχήματος προσεγγίζεται από τον τύπο \(s=2t^2\), όπου \(t\) σε s και \(s\) σε m. Να βρείτε την απόσταση για \(t=6\).

Αντικαθιστούμε \(t=6\): \(s=2\cdot6^2\).

Άρα \(s=72\,\text{m}\).

Με το ίδιο μοντέλο \(s=2t^2\), για ποιον ακέραιο χρόνο \(t\) είναι \(s=128\,\text{m}\);

Λύνουμε \(2t^2=128\), άρα \(t^2=64\).

Επειδή ο χρόνος είναι θετικός, \(t=8\,\text{s}\).

Το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά \(3\nu\) cm δίνεται από κανονικότητα της μορφής \(A=\alpha\nu^2\). Να βρείτε το \(\alpha\).

Έχουμε \(A=(3\nu)^2=9\nu^2\).

Άρα \(\alpha=9\).

Το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά \(5\nu\) m είναι \(A=25\nu^2\). Ποιο είναι το εμβαδόν για \(\nu=4\);

Αντικαθιστούμε \(\nu=4\): \(A=25\cdot4^2\).

Άρα \(A=25\cdot16=400\,\text{m}^2\).

Σε ένα παιχνίδι, οι πόντοι του \(\nu\)-οστού επιπέδου δίνονται από \(P=10\nu^2\). Σε ποιο επίπεδο κερδίζουμε \(810\) πόντους;

Λύνουμε \(10\nu^2=810\), άρα \(\nu^2=81\).

Επομένως \(\nu=9\), δηλαδή στο \(9\)ο επίπεδο.

Τέλος