01Α – Ιδιότητες δυνάμεων – ΣΤΥΛ ΜΑΘΗΜΑ

01Α. Ιδιότητες δυνάμεων

ΘΕΩΡΙΑ

1📘 Η έννοια της δύναμης

Όταν ο ίδιος ρητός αριθμός πολλαπλασιάζεται πολλές φορές με τον εαυτό του, γράφουμε το γινόμενο πιο σύντομα με μορφή δύναμης.

\(a^ν=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{ν\ \text{παράγοντες}}\), με \(ν＞1\)

Ο αριθμός \(a\) λέγεται βάση και ο θετικός ακέραιος \(ν\) λέγεται εκθέτης. Για \(ν=1\), ισχύει \(a^1=a\).

Παράδειγμα 1
\((-3)^4=(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)=81\).

Παράδειγμα 2
\(\left(\frac25\right)^3=\frac25\cdot\frac25\cdot\frac25=\frac{8}{125}\).

Να θυμάμαι: Οι παρενθέσεις είναι μέρος της βάσης. Για παράδειγμα, \((-2)^4=16\), ενώ \(-2^4=-(2^4)=-16\).

2📘 Πρόσημο μιας δύναμης

Αν η βάση είναι θετική, η δύναμη είναι πάντοτε θετική.

Αν η βάση είναι αρνητική, το πρόσημο εξαρτάται από το αν ο εκθέτης είναι άρτιος ή περιττός.

\((-a)^{\text{άρτιος}}>0\), ενώ \((-a)^{\text{περιττός}}＜0\), για \(a＞0\)

Παράδειγμα 3
\((-5)^6＞0\), ενώ \((-5)^7＜0\).

Πώς σκέφτομαι: Πριν κάνω πράξεις, κοιτάζω πρώτα τη βάση και μετά αν ο εκθέτης είναι άρτιος ή περιττός.

3📘 Γινόμενο και πηλίκο δυνάμεων με την ίδια βάση

Στο γινόμενο δυνάμεων με την ίδια βάση, η βάση μένει ίδια και οι εκθέτες προστίθενται.

\(a^μ\cdot a^ν=a^{μ+ν}\)

Παράδειγμα 4
\(3^4\cdot3^2=3^{4+2}=3^6\).

Στο πηλίκο δυνάμεων με την ίδια μη μηδενική βάση, η βάση μένει ίδια και οι εκθέτες αφαιρούνται. Στο μάθημα αυτό θεωρούμε \(μ＞ν\), ώστε ο νέος εκθέτης να παραμένει θετικός.

\(\frac{a^μ}{a^ν}=a^{μ-ν}\), με \(a\ne0\) και \(μ＞ν\)

Παράδειγμα 5
\(\frac{7^9}{7^4}=7^{9-4}=7^5\).

Προσοχή: Οι εκθέτες προστίθενται στο γινόμενο και αφαιρούνται στο πηλίκο. Δεν προσθέτουμε ή αφαιρούμε τις βάσεις.

4📘 Δύναμη υψωμένη σε δύναμη

Όταν μία δύναμη υψώνεται σε νέο εκθέτη, η βάση παραμένει ίδια και οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται.

\((a^μ)^ν=a^{μ\cdotν}\)

Παράδειγμα 6
\((5^3)^4=5^{3\cdot4}=5^{12}\).

Γρήγορη σκέψη: «Δύναμη σε δύναμη» σημαίνει πολλαπλασιάζω τους εκθέτες.

5📘 Δυνάμεις με τον ίδιο εκθέτη

Στο γινόμενο δυνάμεων με τον ίδιο εκθέτη, πολλαπλασιάζουμε τις βάσεις και κρατάμε τον κοινό εκθέτη.

\(a^ν\cdot b^ν=(ab)^ν\)

Παράδειγμα 7
\(2^4\cdot5^4=(2\cdot5)^4=10^4\).

Στο πηλίκο δυνάμεων με τον ίδιο εκθέτη, διαιρούμε τις βάσεις και κρατάμε τον κοινό εκθέτη.

\(\frac{a^ν}{b^ν}=\left(\frac ab\right)^ν\), με \(b\ne0\)

Παράδειγμα 8
\(\frac{12^3}{4^3}=\left(\frac{12}{4}\right)^3=3^3\).

6📘 Ο γρήγορος χάρτης των ιδιοτήτων

\(a^μ\cdot a^ν=a^{μ+ν}\)
\(\frac{a^μ}{a^ν}=a^{μ-ν}\)
\((a^μ)^ν=a^{μν}\)
\(a^νb^ν=(ab)^ν\)
\(\frac{a^ν}{b^ν}=\left(\frac ab\right)^ν\)
Τι κάνω με τους εκθέτες;
ίδια βάση γινόμενο → + ίδια βάση πηλίκο → − δύναμη σε δύναμη → × ίδιος εκθέτης γινόμενο βάσεων ίδιος εκθέτης πηλίκο βάσεων Πρώτα αναγνωρίζω ποια ιδιότητα ταιριάζει. Μετά κάνω μία μόνο καθαρή κίνηση.
Συχνό λάθος: Η σχέση \(a^μ+a^ν=a^{μ+ν}\) είναι γενικά λανθασμένη. Οι ιδιότητες αφορούν γινόμενα και πηλίκα, όχι αθροίσματα.

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ

Α. Βασικές εφαρμογές

1✅ Να γράψετε ως μία δύναμη το \(2^3\cdot2^5\).

Απάντηση

Οι δυνάμεις έχουν την ίδια βάση \(2\), άρα προσθέτουμε τους εκθέτες.

\(2^3\cdot2^5=2^{3+5}=2^8\)

2✅ Να γράψετε ως μία δύναμη το \(\frac{7^9}{7^4}\).

Απάντηση

Οι δυνάμεις έχουν την ίδια βάση \(7\), άρα αφαιρούμε τους εκθέτες.

\(\frac{7^9}{7^4}=7^{9-4}=7^5\)

3✅ Να γράψετε ως μία δύναμη το \((3^2)^5\).

Απάντηση

Έχουμε δύναμη υψωμένη σε δύναμη, άρα πολλαπλασιάζουμε τους εκθέτες.

\((3^2)^5=3^{2\cdot5}=3^{10}\)

4✅ Να γράψετε ως μία δύναμη το \(4^3\cdot5^3\).

Απάντηση

Οι εκθέτες είναι ίδιοι, άρα πολλαπλασιάζουμε τις βάσεις.

\(4^3\cdot5^3=(4\cdot5)^3=20^3\)

5✅ Να γράψετε ως μία δύναμη το \(\frac{18^4}{6^4}\).

Απάντηση

Οι εκθέτες είναι ίδιοι, άρα διαιρούμε τις βάσεις.

\(\frac{18^4}{6^4}=\left(\frac{18}{6}\right)^4=3^4\)

Β. Πρόσημο και σωστή χρήση παρενθέσεων

6✅ Να υπολογίσετε τις τιμές \(A=(-3)^4\) και \(B=-3^4\).

Απάντηση

Στο \(A\), βάση είναι ο αριθμός \(-3\). Επειδή ο εκθέτης \(4\) είναι άρτιος:

\(A=(-3)^4=81\)

Στο \(B\), η δύναμη είναι μόνο το \(3^4\) και το αρνητικό πρόσημο βρίσκεται έξω από αυτή.

\(B=-3^4=-(3^4)=-81\)

Άρα: \(A=81\) και \(B=-81\).

7✅ Να βρείτε το πρόσημο των \((-2)^{11}\), \((-4)^8\), \(-5^6\).

Απάντηση

\((-2)^{11}＜0\), επειδή η βάση είναι αρνητική και ο εκθέτης περιττός.

\((-4)^8＞0\), επειδή η βάση είναι αρνητική και ο εκθέτης άρτιος.

\(-5^6＜0\), επειδή το αρνητικό πρόσημο βρίσκεται έξω από τη δύναμη.

Γ. Συνδυασμός ιδιοτήτων

8✅ Να απλοποιήσετε \((-2)^3\cdot(-2)^6\).

Απάντηση

Οι δυνάμεις έχουν ίδια βάση \((-2)\).

\((-2)^3\cdot(-2)^6=(-2)^9\)

Επειδή ο εκθέτης \(9\) είναι περιττός, το αποτέλεσμα είναι αρνητικό.

9✅ Να γράψετε ως μία δύναμη το \(\left(\frac23\right)^5\cdot\left(\frac34\right)^5\).

Απάντηση

Οι εκθέτες είναι ίδιοι, άρα πολλαπλασιάζουμε τις βάσεις.

\(\left(\frac23\right)^5\cdot\left(\frac34\right)^5=\left(\frac23\cdot\frac34\right)^5=\left(\frac12\right)^5\)

10✅ Να απλοποιήσετε \(A=\frac{5^9\cdot5^4}{5^6}\).

Απάντηση

Πρώτα ενώνουμε το γινόμενο στον αριθμητή.

\(5^9\cdot5^4=5^{13}\)

Στη συνέχεια διαιρούμε δυνάμεις με την ίδια βάση.

\(A=\frac{5^{13}}{5^6}=5^7\)

11✅ Να γράψετε το \(3^4\cdot4^2\cdot625\) ως μία δύναμη.

Απάντηση

Θέλουμε να δημιουργήσουμε κοινό εκθέτη \(4\).

\(4^2=(2^2)^2=2^4\) και \(625=5^4\).

\(3^4\cdot4^2\cdot625=3^4\cdot2^4\cdot5^4=(3\cdot2\cdot5)^4=30^4\)

12✅ Να απλοποιήσετε \(B=(2^3)^4\cdot2^5\).

Απάντηση

Πρώτα υπολογίζουμε τη δύναμη υψωμένη σε δύναμη.

\((2^3)^4=2^{12}\)

Έπειτα πολλαπλασιάζουμε δυνάμεις με την ίδια βάση.

\(B=2^{12}\cdot2^5=2^{17}\)

Δ. Έξυπνες εφαρμογές και παγίδες

13✅ Ένα GB αντιστοιχεί σε \(2^{30}\) bytes. Πόσα bytes αντιστοιχούν σε \(32\) GB;

Απάντηση

Έχουμε \(32=2^5\).

\(32\cdot2^{30}=2^5\cdot2^{30}=2^{35}\)

Άρα: \(32\) GB αντιστοιχούν σε \(2^{35}\) bytes.

14✅ Ο Νίκος έγραψε \(2^3+2^4=2^7\). Είναι σωστό;

Απάντηση

Όχι. Η ιδιότητα \(a^μ\cdot a^ν=a^{μ+ν}\) ισχύει στο γινόμενο, όχι στο άθροισμα.

\(2^3+2^4=8+16=24\)

Ενώ:

\(2^7=128\)

Συμπέρασμα: \(2^3+2^4\ne2^7\).

15✅ Να γράψετε ως δύναμη του \(2\) το \(2^6\cdot8^2\).

Απάντηση

Γράφουμε πρώτα \(8=2^3\).

\(8^2=(2^3)^2=2^6\)

Άρα:

\(2^6\cdot8^2=2^6\cdot2^6=2^{12}\)