04_Ισότητες
1
Πώς ορίζεται η ν-οστή ρίζα \( \sqrt[\nu]{\alpha} \) ενός μη αρνητικού αριθμού \( \alpha \) και ποια εξίσωση επιλύει;
Έστω \( \alpha \ge 0 \) και \( \nu \in \mathbb{N} \), \( \nu \ge 2 \).
Η ν-οστή ρίζα του αριθμού \( \alpha \) είναι ο μοναδικός μη αρνητικός αριθμός \( x \) που ικανοποιεί τη σχέση:
\[ x^\nu=\alpha. \] Συμβολίζεται με: \[ \sqrt[\nu]{\alpha}. \] Δηλαδή: \[ \sqrt[\nu]{\alpha}=x \Longleftrightarrow x^\nu=\alpha,\quad x\ge0. \] Επομένως, η ν-οστή ρίζα επιλύει την εξίσωση: \[ x^\nu=\alpha, \] με άγνωστο μη αρνητικό αριθμό.
Η ν-οστή ρίζα του αριθμού \( \alpha \) είναι ο μοναδικός μη αρνητικός αριθμός \( x \) που ικανοποιεί τη σχέση:
\[ x^\nu=\alpha. \] Συμβολίζεται με: \[ \sqrt[\nu]{\alpha}. \] Δηλαδή: \[ \sqrt[\nu]{\alpha}=x \Longleftrightarrow x^\nu=\alpha,\quad x\ge0. \] Επομένως, η ν-οστή ρίζα επιλύει την εξίσωση: \[ x^\nu=\alpha, \] με άγνωστο μη αρνητικό αριθμό.
Σωστό - Λάθος
1
Ισχύει:
\[
2\sqrt4=\sqrt{4\cdot2^2}=\sqrt{16}.
\]
Σωστό.
Έχουμε: \[ \sqrt4=2 \] Άρα: \[ 2\sqrt4=2\cdot2=4 \] Επίσης: \[ \sqrt{4\cdot2^2}=\sqrt{4\cdot4}=\sqrt{16}=4 \] Επομένως όλα τα μέλη είναι ίσα με \(4\).
Έχουμε: \[ \sqrt4=2 \] Άρα: \[ 2\sqrt4=2\cdot2=4 \] Επίσης: \[ \sqrt{4\cdot2^2}=\sqrt{4\cdot4}=\sqrt{16}=4 \] Επομένως όλα τα μέλη είναι ίσα με \(4\).
Θέματα
1
Να υπολογίσετε την ακριβή τιμή των παρακάτω ριζών:
α) \( \sqrt{144} \), \( \sqrt[3]{343} \), \( \sqrt[3]{\dfrac{1728}{64}} \)
β) \( \sqrt{225} \), \( \sqrt{0.0144} \), \( \sqrt[4]{625} \).
α) \( \sqrt{144} \), \( \sqrt[3]{343} \), \( \sqrt[3]{\dfrac{1728}{64}} \)
β) \( \sqrt{225} \), \( \sqrt{0.0144} \), \( \sqrt[4]{625} \).
Υπολογίζουμε κάθε ρίζα χωριστά.
α) Έχουμε: \[ 144=12^2. \] Άρα: \[ \sqrt{144}=12. \] Επίσης: \[ 343=7^3. \] Άρα: \[ \sqrt[3]{343}=7. \] Για την τρίτη παράσταση: \[ \sqrt[3]{\frac{1728}{64}} = \frac{\sqrt[3]{1728}}{\sqrt[3]{64}}. \] Επειδή: \[ 1728=12^3 \] και \[ 64=4^3, \] παίρνουμε: \[ \sqrt[3]{\frac{1728}{64}} = \frac{12}{4} = 3. \] Επομένως: \[ \boxed{\sqrt{144}=12,\qquad \sqrt[3]{343}=7,\qquad \sqrt[3]{\frac{1728}{64}}=3.} \]
β) Έχουμε: \[ 225=15^2, \] οπότε: \[ \sqrt{225}=15. \] Ακόμη, \[ 0.0144=\frac{144}{10000}. \] Άρα: \[ \sqrt{0.0144} = \frac{\sqrt{144}}{\sqrt{10000}} = \frac{12}{100} = 0.12. \] Τέλος, \[ 625=5^4. \] Επομένως: \[ \sqrt[4]{625}=5. \] Άρα: \[ \boxed{\sqrt{225}=15,\qquad \sqrt{0.0144}=0.12,\qquad \sqrt[4]{625}=5.} \]
α) Έχουμε: \[ 144=12^2. \] Άρα: \[ \sqrt{144}=12. \] Επίσης: \[ 343=7^3. \] Άρα: \[ \sqrt[3]{343}=7. \] Για την τρίτη παράσταση: \[ \sqrt[3]{\frac{1728}{64}} = \frac{\sqrt[3]{1728}}{\sqrt[3]{64}}. \] Επειδή: \[ 1728=12^3 \] και \[ 64=4^3, \] παίρνουμε: \[ \sqrt[3]{\frac{1728}{64}} = \frac{12}{4} = 3. \] Επομένως: \[ \boxed{\sqrt{144}=12,\qquad \sqrt[3]{343}=7,\qquad \sqrt[3]{\frac{1728}{64}}=3.} \]
β) Έχουμε: \[ 225=15^2, \] οπότε: \[ \sqrt{225}=15. \] Ακόμη, \[ 0.0144=\frac{144}{10000}. \] Άρα: \[ \sqrt{0.0144} = \frac{\sqrt{144}}{\sqrt{10000}} = \frac{12}{100} = 0.12. \] Τέλος, \[ 625=5^4. \] Επομένως: \[ \sqrt[4]{625}=5. \] Άρα: \[ \boxed{\sqrt{225}=15,\qquad \sqrt{0.0144}=0.12,\qquad \sqrt[4]{625}=5.} \]
Τέλος