Φυσικά, ακολουθούν ερωτήσεις θεωρίας (Σωστό / Λάθος και Ανάπτυξης) με τις αναλυτικές λύσεις τους, βασισμένες αποκλειστικά στην ενότητα της Τριγωνομετρίας (παράγραφος 2.4) του βιβλίου που μου παραχωρήσατε.
Ερωτήσεις Σωστό / Λάθος (με αιτιολόγηση)
Ερώτηση 1: Η εφαπτομένη (ϵϕω) μιας γωνίας ω ορίζεται για οποιαδήποτε τιμή της γωνίας από 0
∘
έως 360
∘
.
Λύση: Λάθος. Για τις γωνίες ω=90
∘
και ω=270
∘
δεν ορίζεται η εφαπτομένη, διότι η τετμημένη x
M
του σημείου της τελικής πλευράς είναι μηδέν και ο παρονομαστής στον λόγο
x
M
y
M
μηδενίζεται
.
Ερώτηση 2: Για οποιαδήποτε γωνία ω, ισχύει ότι η απόλυτη τιμή του ημιτόνου της είναι πάντα μικρότερη ή ίση της μονάδας, δηλαδή ∣ημω∣≤1.
Λύση: Σωστό. Επειδή για οποιοδήποτε σημείο Μ της τελικής πλευράς ισχύει ∣y
M
∣≤ρ, προκύπτει ότι
ρ
∣y
M
∣
≤1, το οποίο σημαίνει ∣ημω∣≤1, δηλαδή −1≤ημω≤1
,
.
Ερώτηση 3: Σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο, το συνημίτονο μιας γωνίας ω ισούται με την τεταγμένη y
M
του σημείου Μ που η τελική πλευρά της γωνίας τέμνει τον κύκλο.
Λύση: Λάθος. Στον τριγωνομετρικό κύκλο (κύκλος με ακτίνα ρ=1), το συνημίτονο της γωνίας ισούται με την τετμημένη x
M
του σημείου Μ (συνω=x
M
), ενώ η τεταγμένη y
M
ισούται με το ημίτονο (ημω=y
M
)
,
.
Ερώτηση 4: Για οποιαδήποτε γωνία ω για την οποία ορίζεται τόσο η εφαπτομένη όσο και η συνεφαπτομένη (ημω
=0 και συνω
=0), ισχύει η σχέση ϵϕω⋅σϕω=1.
Λύση: Σωστό. Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις ϵϕω=
συνω
ημω
και σϕω=
ημω
συνω
, έχουμε
συνω
ημω
⋅
ημω
συνω
=1, οπότε ϵϕω⋅σϕω=1
,
.
Ερώτηση 5: Η τιμή των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας εξαρτάται άμεσα από την επιλογή του σημείου Μ πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας.
Λύση: Λάθος. Οι ορισμοί των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω είναι ανεξάρτητοι από την επιλογή του σημείου Μ, αρκεί αυτό να είναι διαφορετικό από την αρχή των αξόνων O(0,0)
.
Ερωτήσεις Ανάπτυξης
Ερώτηση 1: Πώς ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη) μιας γωνίας ω (0
∘
≤ω≤360
∘
) σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων;
Λύση: Τοποθετούμε τη γωνία ω στο καρτεσιανό σύστημα, έτσι ώστε να έχει κορυφή την αρχή των αξόνων O(0,0) και αρχική πλευρά τον θετικό ημιάξονα Ox
. Έστω M(x
M
,y
M
) ένα τυχαίο σημείο της τελικής πλευράς της (διαφορετικό του Ο) και ρ η απόστασή του από το Ο, η οποία δίνεται από τον τύπο ρ=
x
M
2
+y
M
2
>0
,
. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ορίζονται ως εξής:
ημω=
ρ
y
M
(τεταγμένη προς απόσταση)
συνω=
ρ
x
M
(τετμημένη προς απόσταση)
ϵϕω=
x
M
y
M
, με x
M
=0 (τεταγμένη προς τετμημένη)
,
σϕω=
y
M
x
M
, με y
M
=0 (τετμημένη προς τεταγμένη)
,
Ερώτηση 2: Να αποδείξετε τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα ημ
2
ω+συν
2
ω=1 για κάθε γωνία ω.
Λύση: Έστω M(x
M
,y
M
) τυχαίο σημείο της τελικής πλευράς της γωνίας ω (διαφορετικό του Ο) και ρ η απόστασή του από το Ο
. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται, προκύπτει ότι x
M
2
+y
M
2
=ρ
2
. Με βάση τους ορισμούς του ημιτόνου και του συνημιτόνου, έχουμε: ημ
2
ω+συν
2
ω=(
ρ
y
M
)
2
+(
ρ
x
M
)
2
=
ρ
2
y
M
2
+
ρ
2
x
M
2
=
ρ
2
x
M
2
+y
M
2
,
. Αντικαθιστώντας τον αριθμητή από το Πυθαγόρειο θεώρημα, παίρνουμε
ρ
2
ρ
2
=1. Συνεπώς, η σχέση ημ
2
ω+συν
2
ω=1 αληθεύει
.
Ερώτηση 3: Αξιοποιώντας τη βασική ταυτότητα ημ
2
ω+συν
2
ω=1, να αποδείξετε ότι συν
2
ω=
1+ϵϕ
2
ω
1
(για κάθε γωνία ω με συνω
=0).
Λύση: Ξεκινάμε από τη βασική ταυτότητα ημ
2
ω+συν
2
ω=1
. Αφού ισχύει συνω
=0, μπορούμε να διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της ισότητας με συν
2
ω
:
συν
2
ω
ημ
2
ω
+
συν
2
ω
συν
2
ω
=
συν
2
ω
1
. Γνωρίζοντας ότι
συνω
ημω
=ϵϕω, το πρώτο κλάσμα γράφεται ως ϵϕ
2
ω, ενώ το δεύτερο απλοποιείται σε 1. Έτσι προκύπτει: ϵϕ
2
ω+1=
συν
2
ω
1
. Επιλύοντας τη σχέση αυτή ως προς συν
2
ω, προκύπτει η ζητούμενη ταυτότητα: συν
2
ω=
1+ϵϕ
2
ω
1
.