Φυσικά, ακολουθούν ερωτήσεις θεωρίας (Σωστό / Λάθος και Ανάπτυξης) με τις αναλυτικές λύσεις τους, βασισμένες στην ενότητα των Εξισώσεων 1ου βαθμού (παράγραφος 4.1) του βιβλίου που μου παραχωρήσατε. Ερωτήσεις Σωστό / Λάθος (με αιτιολόγηση) Ερώτηση 1: Η εξίσωση αx+β=0 έχει πάντα μια μοναδική λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Λύση: Λάθος. Η εξίσωση έχει μοναδική λύση, την x=− α β ​ , μόνο αν α  =0 . Αν α=0, η εξίσωση μπορεί να μην έχει καμία λύση (αδύνατη) ή να επαληθεύεται για κάθε πραγματικό αριθμό (ταυτοτική) . Ερώτηση 2: Αν σε μια εξίσωση της μορφής αx+β=0 ισχύει α=0 και β  =0, τότε η εξίσωση χαρακτηρίζεται ως αδύνατη. Λύση: Σωστό. Σε αυτή την περίπτωση η εξίσωση δεν έχει καμία λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R, καθώς καταλήγει στη μορφή 0⋅x=−β (με −β  =0), η οποία δεν επαληθεύεται για κανένα x . Ερώτηση 3: Η παραμετρική εξίσωση (α 2 +1)x=α έχει πάντα μοναδική λύση, για οποιαδήποτε πραγματική τιμή της παραμέτρου α. Λύση: Σωστό. Επειδή για κάθε πραγματική τιμή του α ισχύει ότι α 2 ≥0, έπεται ότι α 2 +1>0 . Αφού ο συντελεστής του αγνώστου δεν μηδενίζεται ποτέ (α 2 +1  =0), η εξίσωση έχει πάντα μοναδική λύση, την x= α 2 +1 α ​ . Ερώτηση 4: Μια εξίσωση χαρακτηρίζεται ως «ταυτοτική» αποκλειστικά όταν δεν έχει απολύτως καμία λύση. Λύση: Λάθος. Ταυτοτική λέγεται μια εξίσωση όταν επαληθεύεται για κάθε τιμή του συνόλου ορισμού της . Όταν μια εξίσωση δεν έχει καμία απολύτως λύση, χαρακτηρίζεται ως αδύνατη . Ερώτηση 5: Κατά την επίλυση μιας κλασματικής εξίσωσης, οι τιμές του αγνώστου x που μηδενίζουν το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) των παρονομαστών της γίνονται δεκτές ως λύσεις της. Λύση: Λάθος. Οι τιμές του x που μηδενίζουν το Ε.Κ.Π. δεν ανήκουν στο σύνολο ορισμού της εξίσωσης (διότι προκαλούν μηδενισμό των παρονομαστών) . Επομένως, αν λύνοντας την εξίσωση βρούμε ρίζες που μηδενίζουν το Ε.Κ.Π., αυτές απορρίπτονται και δεν είναι δεκτές . Ερωτήσεις Ανάπτυξης Ερώτηση 1: Ποια είναι η διαδικασία διερεύνησης της πολυωνυμικής εξίσωσης α' βαθμού, αx+β=0, ανάλογα με τις τιμές των συντελεστών α και β; Λύση: Για τη διερεύνηση της εξίσωσης αx+β=0, διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις βάσει των τιμών των α και β: Αν α  =0: Η εξίσωση έχει μοναδική λύση, την x=− α β ​ . Αν α=0 και β  =0: Η εξίσωση παίρνει τη μορφή 0⋅x=−β (με −β  =0). Δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που να την επαληθεύει, άρα δεν έχει καμία λύση (αδύνατη στο R) . Αν α=0 και β=0: Η εξίσωση γίνεται 0⋅x=0. Η σχέση αυτή αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x, άρα η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις και χαρακτηρίζεται ως αόριστη και ταυτοτική . Ερώτηση 2: Τι ονομάζουμε παραμετρική εξίσωση 1ου βαθμού και τι ακριβώς σημαίνει η «διερεύνησή» της; Λύση: Όταν οι συντελεστές α και β μιας εξίσωσης περιέχουν γράμματα, τότε αυτά τα γράμματα αντιμετωπίζονται ως "γνωστοί αριθμοί" που όμως μπορούν να πάρουν διάφορες τιμές και ονομάζονται παράμετροι . Μια τέτοια εξίσωση λέγεται παραμετρική εξίσωση 1ου βαθμού και αντιπροσωπεύει μια ολόκληρη «οικογένεια» εξισώσεων (αφού κάθε τιμή της παραμέτρου δίνει μια διαφορετική εξίσωση) . Η επίλυσή της λέγεται διερεύνηση επειδή τα βήματα και το αποτέλεσμα της λύσης εξαρτώνται από τις τιμές που θα λάβουν αυτές οι παράμετροι . Ερώτηση 3: Ποια είναι η διαφορά μεταξύ μιας "αόριστης" και μιας "ταυτοτικής" εξίσωσης; Δώστε σχετικά παραδείγματα. Λύση: Αόριστη χαρακτηρίζεται μια εξίσωση όταν έχει άπειρες ρίζες (λύσεις) . Για παράδειγμα, οι εξισώσεις 0⋅x=0 (αληθεύει για κάθε πραγματικό x) και ∣x∣=x (αληθεύει για κάθε x≥0) είναι αόριστες . Ταυτοτική χαρακτηρίζεται μια εξίσωση όταν επαληθεύεται για κάθε τιμή του συνόλου ορισμού της . Η εξίσωση 0⋅x=0 είναι και ταυτοτική, γιατί το σύνολο ορισμού της είναι το R. Υπάρχουν όμως ταυτοτικές εξισώσεις που δεν είναι αόριστες. Για παράδειγμα, η εξίσωση −x 2 ​ =x ορίζεται αποκλειστικά για x=0. Αφού επαληθεύεται για τη μοναδική αυτή τιμή του πεδίου ορισμού της, είναι ταυτοτική, αλλά δεν είναι αόριστη διότι δεν έχει άπειρες λύσεις . Ερώτηση 4: Ποια είναι η «στρατηγική» (τα απαραίτητα βήματα) που ακολουθούμε για την επίλυση κλασματικών εξισώσεων; Λύση: Οι κλασματικές εξισώσεις (αυτές που περιέχουν άγνωστο στον παρονομαστή) επιλύονται με τα παρακάτω συστηματικά βήματα: Βρίσκουμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) των παραστάσεων όλων των παρονομαστών . Απαιτούμε το Ε.Κ.Π. να είναι διάφορο του μηδενός (E.K.Π.  =0). Με αυτόν τον τρόπο εξασφαλίζουμε ότι δεν μηδενίζεται κανένας παρονομαστής και ορίζουμε το σύνολο ορισμού της εξίσωσης . Απαλείφουμε τους παρονομαστές, πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π. . Λύνουμε την πολυωνυμική εξίσωση που προκύπτει από την απαλοιφή . Ελέγχουμε τις ρίζες που βρήκαμε: μια λύση γίνεται δεκτή μόνο αν ανήκει στο σύνολο ορισμού (δηλαδή δεν μηδενίζει το Ε.Κ.Π.) .