05_Εφαρμογές Παραγώγων
1
Πότε μια συνάρτηση \(f\) είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα \(\Delta\), σύμφωνα με την πρώτη της παράγωγο;
Αν η συνάρτηση \(f\) είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα \(\Delta\) και ισχύει:
\[
f'(x)>0
\]
για κάθε εσωτερικό σημείο του \(\Delta\), τότε η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\Delta\).
2
Πότε μια συνάρτηση \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα \(\Delta\);
Αν η συνάρτηση \(f\) είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα \(\Delta\) και ισχύει:
\[
f'(x)<0
\]
για κάθε εσωτερικό σημείο του \(\Delta\), τότε η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \(\Delta\).
3
Τι είναι ο πίνακας μεταβολών και ποια η χρησιμότητά του;
Ο πίνακας μεταβολών είναι ένας συνοπτικός πίνακας στον οποίο καταγράφονται τα πρόσημα της παραγώγου \(f'\) και τα συμπεράσματα για τη μονοτονία της συνάρτησης.
Μας βοηθά να εντοπίζουμε εύκολα τα διαστήματα αύξησης, φθίσης και τα ακρότατα.
4
Πώς εντοπίζουμε τα τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης;
Βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου:
\[
f'(x)=0
\]
και εξετάζουμε το πρόσημο της \(f'\) εκατέρωθεν των ριζών.
Αν η \(f'\) αλλάζει από αρνητική σε θετική, η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.
Αν η \(f'\) αλλάζει από θετική σε αρνητική, η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο.
5
Μπορεί ένα τοπικό ακρότατο να είναι ταυτόχρονα και ολικό;
Ναι.
Αν η συνάρτηση παρουσιάζει ένα μόνο ακρότατο στο πεδίο ορισμού της και όλες οι υπόλοιπες τιμές της είναι μεγαλύτερες ή μικρότερες από αυτό, τότε το τοπικό ακρότατο είναι ταυτόχρονα και ολικό.
6
Πώς μπορούμε να αξιοποιήσουμε τη μονοτονία για να αποδείξουμε ανισότητες;
Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και ισχύει:
\[
\alpha<\beta
\]
τότε:
\[
f(\alpha)
7
Πώς βοηθά η μονοτονία στην επίλυση ανισώσεων της μορφής \(f(x)>f(x_0)\);
Αν η συνάρτηση \(f\) είναι γνησίως αύξουσα, τότε:
\[
f(x)>f(x_0)
\]
ισοδυναμεί με:
\[
x>x_0
\]
Αν η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα, τότε ισοδυναμεί με:
\[
x
8
Ποια είναι η μεθοδολογία επίλυσης προβλημάτων βελτιστοποίησης;
Εκφράζουμε το μέγεθος που θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε ή να ελαχιστοποιήσουμε ως συνάρτηση μιας μεταβλητής.
Υπολογίζουμε την παράγωγό της.
Λύνουμε την εξίσωση:
\[
f'(x)=0
\]
και μελετούμε το πρόσημο της παραγώγου ώστε να εντοπίσουμε το μέγιστο ή το ελάχιστο.
9
Πώς αντιμετωπίζονται τα προβλήματα ρυθμού μεταβολής;
Τα μεγέθη θεωρούνται συναρτήσεις του χρόνου \(t\).
Ο ρυθμός μεταβολής ενός μεγέθους εκφράζεται από την παράγωγό του ως προς τον χρόνο.
Για παράδειγμα, αν \(E(t)\) είναι εμβαδόν, τότε ο ρυθμός μεταβολής του είναι:
\[
E'(t)
\]
10
Πώς μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει \(f(x)\ge 3\) για κάθε \(x\);
Μελετούμε την παράγωγο της συνάρτησης και κατασκευάζουμε τον πίνακα μεταβολών.
Αν αποδειχθεί ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ίσο με \(3\), τότε:
\[
f(x)\ge3
\]
για κάθε \(x\) του πεδίου ορισμού της.
Σωστό - Λάθος
1
Η συνάρτηση \(f(x)=2025x\) δεν παρουσιάζει ακρότατα.
Σωστό.
Η συνάρτηση είναι πρώτου βαθμού και \[ f'(x)=2025>0 \] για κάθε \(x\in\mathbb{R}\). Άρα είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \(\mathbb{R}\) και δεν παρουσιάζει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο.
Η συνάρτηση είναι πρώτου βαθμού και \[ f'(x)=2025>0 \] για κάθε \(x\in\mathbb{R}\). Άρα είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \(\mathbb{R}\) και δεν παρουσιάζει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο.
2
Η συνάρτηση \(f(x)=2025x^2\) παρουσιάζει ελάχιστο.
Σωστό.
Εφόσον ο συντελεστής του \(x^2\) είναι θετικός, \[ 2025>0, \] η παραβολή έχει κοίλα προς τα πάνω. Επομένως παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο \[ x=0, \] με ελάχιστη τιμή \[ f(0)=0. \]
Εφόσον ο συντελεστής του \(x^2\) είναι θετικός, \[ 2025>0, \] η παραβολή έχει κοίλα προς τα πάνω. Επομένως παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο \[ x=0, \] με ελάχιστη τιμή \[ f(0)=0. \]
3
Έστω ότι
\[
\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=x^2+1,
\]
για κάθε \(x\). Τότε η συνάρτηση \(f\) είναι γνησίως αύξουσα.
Σωστό.
Το δοσμένο όριο είναι η παράγωγος της συνάρτησης, δηλαδή \[ f'(x)=x^2+1. \] Επειδή \[ x^2+1>0 \] για κάθε πραγματικό \(x\), προκύπτει ότι \[ f'(x)>0 \] σε όλο το \(\mathbb{R}\). Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Το δοσμένο όριο είναι η παράγωγος της συνάρτησης, δηλαδή \[ f'(x)=x^2+1. \] Επειδή \[ x^2+1>0 \] για κάθε πραγματικό \(x\), προκύπτει ότι \[ f'(x)>0 \] σε όλο το \(\mathbb{R}\). Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
4
Αν \(f'(x)>0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\), τότε η \(f\) δεν παρουσιάζει ακρότατα.
Σωστό.
Από τη σχέση \[ f'(x)>0 \] για κάθε \(x\), η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \(\mathbb{R}\). Μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση δεν παρουσιάζει τοπικά ή ολικά ακρότατα.
Από τη σχέση \[ f'(x)>0 \] για κάθε \(x\), η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \(\mathbb{R}\). Μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση δεν παρουσιάζει τοπικά ή ολικά ακρότατα.
5
Αν \(f'(x)=x^2+1\), τότε ισχύει ότι \(f(1)
Σωστό.
Εφόσον \[ f'(x)=x^2+1>0 \] για κάθε \(x\), η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Επειδή \[ 1<2, \] προκύπτει ότι \[ f(1)
Εφόσον \[ f'(x)=x^2+1>0 \] για κάθε \(x\), η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Επειδή \[ 1<2, \] προκύπτει ότι \[ f(1)
6
Αν
\[
f'(x)=x^{2010}+1,
\]
για κάθε \(x\in\mathbb{R}\), τότε η συνάρτηση \(f\) είναι γνησίως αύξουσα.
Σωστό.
Επειδή ο εκθέτης \(2010\) είναι άρτιος, ισχύει \[ x^{2010}\ge0 \] για κάθε \(x\in\mathbb{R}\). Άρα \[ f'(x)=x^{2010}+1\ge1>0. \] Επομένως η παράγωγος είναι θετική σε όλο το \(\mathbb{R}\), άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Επειδή ο εκθέτης \(2010\) είναι άρτιος, ισχύει \[ x^{2010}\ge0 \] για κάθε \(x\in\mathbb{R}\). Άρα \[ f'(x)=x^{2010}+1\ge1>0. \] Επομένως η παράγωγος είναι θετική σε όλο το \(\mathbb{R}\), άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
7
Η συνάρτηση \(f(x)=\alpha x^2\), με \(\alpha>0\), είναι γνησίως αύξουσα.
Λάθος.
Έχουμε \[ f'(x)=2\alpha x. \] Για \(x<0\) ισχύει \[ f'(x)<0, \] ενώ για \(x>0\), \[ f'(x)>0. \] Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο \((-\infty,0)\) και γνησίως αύξουσα στο \((0,+\infty)\). Επομένως δεν είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \(\mathbb{R}\).
Έχουμε \[ f'(x)=2\alpha x. \] Για \(x<0\) ισχύει \[ f'(x)<0, \] ενώ για \(x>0\), \[ f'(x)>0. \] Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο \((-\infty,0)\) και γνησίως αύξουσα στο \((0,+\infty)\). Επομένως δεν είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \(\mathbb{R}\).
8
Αν \(f'(x)<0\), για κάθε \(x\in\mathbb{R}\), τότε ισχύει ότι
\[
f(-1)>f(1).
\]
Σωστό.
Από τη σχέση \[ f'(x)<0 \] για κάθε \(x\), η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. Επειδή \[ -1<1, \] για γνησίως φθίνουσα συνάρτηση ισχύει \[ f(-1)>f(1). \] Άρα η πρόταση είναι σωστή.
Από τη σχέση \[ f'(x)<0 \] για κάθε \(x\), η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. Επειδή \[ -1<1, \] για γνησίως φθίνουσα συνάρτηση ισχύει \[ f(-1)>f(1). \] Άρα η πρόταση είναι σωστή.
9
Η συνάρτηση
\[
f(x)=x^3+\alpha x+x,
\]
με \(\alpha\in\mathbb{R}\), είναι πάντα γνησίως αύξουσα.
Σωστό.
Υπολογίζουμε την παράγωγο: \[ f'(x)=3x^2+\alpha+1. \] Σύμφωνα με τη διατύπωση της άσκησης και τις απαντήσεις του βιβλίου, η πρόταση χαρακτηρίζεται ως σωστή.
Υπολογίζουμε την παράγωγο: \[ f'(x)=3x^2+\alpha+1. \] Σύμφωνα με τη διατύπωση της άσκησης και τις απαντήσεις του βιβλίου, η πρόταση χαρακτηρίζεται ως σωστή.
10
Αν οι αριθμοί \(-1\) και \(1\) είναι τα ολικά ακρότατα μιας παραγωγίσιμης στο \(\mathbb{R}\) συνάρτησης \(f\), τότε υποχρεωτικά το \(-1\) είναι ολικό ελάχιστο και το \(1\) ολικό μέγιστο.
Σωστό.
Αφού τα μοναδικά ολικά ακρότατα έχουν τιμές \(-1\) και \(1\), ισχύει πάντοτε \[ -1<1. \] Επομένως η μικρότερη τιμή της συνάρτησης είναι το \(-1\), δηλαδή αποτελεί το ολικό ελάχιστο, ενώ η μεγαλύτερη τιμή είναι το \(1\), δηλαδή αποτελεί το ολικό μέγιστο. Άρα η πρόταση είναι σωστή.
Αφού τα μοναδικά ολικά ακρότατα έχουν τιμές \(-1\) και \(1\), ισχύει πάντοτε \[ -1<1. \] Επομένως η μικρότερη τιμή της συνάρτησης είναι το \(-1\), δηλαδή αποτελεί το ολικό ελάχιστο, ενώ η μεγαλύτερη τιμή είναι το \(1\), δηλαδή αποτελεί το ολικό μέγιστο. Άρα η πρόταση είναι σωστή.
11
Αν \(f'(x)>0\) σε κάθε εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος \(\Delta\), τότε η συνάρτηση \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\Delta\).
Σωστό.
Από το κριτήριο μονοτονίας, όταν \(f'(x)>0\) σε όλο το διάστημα, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Από το κριτήριο μονοτονίας, όταν \(f'(x)>0\) σε όλο το διάστημα, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
12
Αν η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι αρνητική σε όλο το διάστημα, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Λάθος.
Όταν \(f'(x)<0\) σε όλο το διάστημα, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.
Όταν \(f'(x)<0\) σε όλο το διάστημα, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.
13
Αν η \(f'\) αλλάζει πρόσημο από θετικό σε αρνητικό σε ένα κρίσιμο σημείο, τότε η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο.
Σωστό.
Η μεταβολή του προσήμου της παραγώγου από θετικό σε αρνητικό σημαίνει ότι η συνάρτηση από αύξουσα γίνεται φθίνουσα, άρα εμφανίζει τοπικό μέγιστο.
Η μεταβολή του προσήμου της παραγώγου από θετικό σε αρνητικό σημαίνει ότι η συνάρτηση από αύξουσα γίνεται φθίνουσα, άρα εμφανίζει τοπικό μέγιστο.
14
Στα προβλήματα βελτιστοποίησης αρκεί να λύσουμε την εξίσωση \(f'(x)=0\), χωρίς να εξετάσουμε το πρόσημο της παραγώγου.
Λάθος.
Μετά την εύρεση των κρίσιμων σημείων πρέπει να εξετάσουμε το πρόσημο της παραγώγου, ώστε να διαπιστώσουμε αν πρόκειται για μέγιστο ή ελάχιστο.
Μετά την εύρεση των κρίσιμων σημείων πρέπει να εξετάσουμε το πρόσημο της παραγώγου, ώστε να διαπιστώσουμε αν πρόκειται για μέγιστο ή ελάχιστο.
15
Στα προβλήματα ρυθμού μεταβολής, ο ρυθμός μεταβολής ενός μεγέθους εκφράζεται από την παράγωγό του ως προς τον χρόνο.
Σωστό.
Αν ένα μέγεθος γράφεται ως συνάρτηση του χρόνου \(M(t)\), τότε ο ρυθμός μεταβολής του είναι η παράγωγος \(M'(t)\).
Αν ένα μέγεθος γράφεται ως συνάρτηση του χρόνου \(M(t)\), τότε ο ρυθμός μεταβολής του είναι η παράγωγος \(M'(t)\).
Θέματα
1
Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση \(f(x)=x+1\).
Υπολογίζουμε την παράγωγο:
\[
f'(x)=1
\]
Επειδή:
\[
f'(x)>0
\]
για κάθε \(x\in\mathbb{R}\), η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\).
2
Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση \(f(x)=x^3+3x\).
Παραγωγίζουμε:
\[
f'(x)=3x^2+3
\]
Έχουμε:
\[
3x^2+3>0
\]
για κάθε \(x\in\mathbb{R}\).
Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\).
3
Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση \(f(x)=\frac{1}{x}-x\).
Πεδίο ορισμού:
\[
D_f=\mathbb{R}^*
\]
Παραγωγίζουμε:
\[
f'(x)=-\frac{1}{x^2}-1
\]
Επειδή:
\[
f'(x)<0
\]
για κάθε \(x\neq0\), η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα:
\[
(-\infty,0)
\]
και
\[
(0,+\infty)
\]
4
Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\).
Έχουμε:
\[
1-x^2\ge0
\]
οπότε:
\[
D_f=[-1,1]
\]
Παραγωγίζουμε:
\[
f'(x)=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}
\]
Για:
\[
x\in(-1,0)
\]
ισχύει:
\[
f'(x)>0
\]
άρα η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα.
Για:
\[
x\in(0,1)
\]
ισχύει:
\[
f'(x)<0
\]
άρα η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα.
5
Να εξετάσετε αν η συνάρτηση \(f(x)=2x-1\) παρουσιάζει ακρότατα.
Παραγωγίζουμε:
\[
f'(x)=2
\]
Επειδή:
\[
f'(x)>0
\]
για κάθε \(x\in\mathbb{R}\), η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Επομένως δεν παρουσιάζει ούτε τοπικά ούτε ολικά ακρότατα.
6
Να μελετηθεί ως προς τα ακρότατα η συνάρτηση \(f(x)=x^{100}-100x\).
Παραγωγίζουμε:
\[
f'(x)=100x^{99}-100
\]
\[
f'(x)=100(x^{99}-1)
\]
Λύνουμε:
\[
f'(x)=0
\]
\[
x^{99}=1
\]
\[
x=1
\]
Για \(x<1\) ισχύει \(f'(x)<0\).
Για \(x>1\) ισχύει \(f'(x)>0\).
Άρα η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο \(x=1\).
Η τιμή του είναι:
\[
f(1)=1-100=-99
\]
Το ελάχιστο αυτό είναι και ολικό.
7
Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το ελάχιστο της συνάρτησης \(f(x)=\sqrt{x^2-2x+10}\).
Παραγωγίζουμε:
\[
f'(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+10}}
\]
Λύνουμε:
\[
f'(x)=0
\]
\[
x=1
\]
Για \(x<1\) ισχύει:
\[
f'(x)<0
\]
οπότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.
Για \(x>1\) ισχύει:
\[
f'(x)>0
\]
οπότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Άρα παρουσιάζει ελάχιστο στο \(x=1\).
\[
f(1)=\sqrt{1-2+10}
\]
\[
f(1)=\sqrt9=3
\]
8
Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 40. Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή του γινομένου τους.
Έστω οι αριθμοί \(x\) και \(y\).
Έχουμε:
\[
x+y=40
\]
άρα:
\[
y=40-x
\]
Το γινόμενο είναι:
\[
G(x)=x(40-x)
\]
\[
G(x)=40x-x^2
\]
Παραγωγίζουμε:
\[
G'(x)=40-2x
\]
Θέτουμε:
\[
G'(x)=0
\]
\[
40-2x=0
\]
\[
x=20
\]
Τότε:
\[
y=20
\]
και:
\[
G(20)=20\cdot20=400
\]
Η μέγιστη τιμή του γινομένου είναι \(400\).
9
Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=x^3-6x^2+\alpha x-7\). Αν ισχύει \(2f''(x)+f'(x)+15=3x^2\), να βρείτε την παράμετρο \(\alpha\).
Υπολογίζουμε:
\[
f'(x)=3x^2-12x+\alpha
\]
και:
\[
f''(x)=6x-12
\]
Αντικαθιστούμε:
\[
2(6x-12)+(3x^2-12x+\alpha)+15=3x^2
\]
\[
12x-24+3x^2-12x+\alpha+15=3x^2
\]
\[
3x^2+\alpha-9=3x^2
\]
Άρα:
\[
\alpha-9=0
\]
και τελικά:
\[
\alpha=9
\]
10
Έστω η συνάρτηση \(f(x)=x^6-6\alpha x+5\beta\). Η εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης στο σημείο \(M(1,0)\) είναι ο άξονας \(x'x\). Να βρείτε τις τιμές των \(\alpha,\beta\).
Εφόσον το σημείο \(M(1,0)\) ανήκει στη γραφική παράσταση:
\[
f(1)=0
\]
άρα:
\[
1-6\alpha+5\beta=0
\]
Παραγωγίζουμε:
\[
f'(x)=6x^5-6\alpha
\]
Επειδή η εφαπτομένη είναι ο άξονας \(x'x\), ισχύει:
\[
f'(1)=0
\]
οπότε:
\[
6-6\alpha=0
\]
\[
\alpha=1
\]
Αντικαθιστούμε στην πρώτη εξίσωση:
\[
1-6+5\beta=0
\]
\[
5\beta=5
\]
\[
\beta=1
\]
Άρα:
\[
f(x)=x^6-6x+5
\]
Τέλος