01_Βασικές έννοιες συναρτήσεων
1
Ποια είναι η απαραίτητη συνθήκη ώστε μια διαδικασία αντιστοίχισης \(f\) από ένα σύνολο \(A\) σε ένα σύνολο \(B\) να ονομάζεται συνάρτηση;
Για να αποτελεί μια διαδικασία αντιστοίχισης συνάρτηση, πρέπει κάθε στοιχείο \(x\) του συνόλου \(A\) να αντιστοιχίζεται σε μία και μόνο μία τιμή \(y\) του συνόλου \(B\).
Αν κάποιο στοιχείο δεν αντιστοιχίζεται σε καμία τιμή ή αντιστοιχίζεται σε περισσότερες από μία τιμές, τότε η διαδικασία δεν είναι συνάρτηση.
Αν κάποιο στοιχείο δεν αντιστοιχίζεται σε καμία τιμή ή αντιστοιχίζεται σε περισσότερες από μία τιμές, τότε η διαδικασία δεν είναι συνάρτηση.
2
Όταν μια συνάρτηση δίνεται μόνο από τον τύπο της, πώς ορίζεται συμβατικά το πεδίο ορισμού της;
Το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών για τους οποίους ο τύπος της συνάρτησης έχει νόημα.
Αποκλείουμε τιμές που οδηγούν σε απαγορευμένες πράξεις, όπως:
διαίρεση με το μηδέν,
τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού,
λογάριθμο μη θετικού αριθμού.
Αποκλείουμε τιμές που οδηγούν σε απαγορευμένες πράξεις, όπως:
διαίρεση με το μηδέν,
τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού,
λογάριθμο μη θετικού αριθμού.
3
Τι ονομάζουμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης;
Σύνολο τιμών μιας συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των τιμών \(y=f(x)\) που παίρνει η συνάρτηση όταν το \(x\) διατρέχει όλο το πεδίο ορισμού της.
Γεωμετρικά είναι το σύνολο των τεταγμένων όλων των σημείων της γραφικής της παράστασης.
Γεωμετρικά είναι το σύνολο των τεταγμένων όλων των σημείων της γραφικής της παράστασης.
4
Πότε δύο συναρτήσεις θεωρούνται ίσες;
Δύο συναρτήσεις θεωρούνται ίσες όταν:
έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού
και για κάθε στοιχείο του πεδίου αυτού ισχύει:
\( f(x)=g(x) \)
Αν έχουν διαφορετικό πεδίο ορισμού, δεν θεωρούνται ίσες.
έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού
και για κάθε στοιχείο του πεδίου αυτού ισχύει:
\( f(x)=g(x) \)
Αν έχουν διαφορετικό πεδίο ορισμού, δεν θεωρούνται ίσες.
5
Πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δεν τέμνει τον άξονα \(y'y\);
Η γραφική παράσταση δεν τέμνει τον άξονα \(y'y\) όταν το \(0\) δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Διότι το σημείο τομής με τον άξονα \(y'y\) αντιστοιχεί στην τιμή \(x=0\).
Διότι το σημείο τομής με τον άξονα \(y'y\) αντιστοιχεί στην τιμή \(x=0\).
6
Τι εκφράζουν οι ρίζες της εξίσωσης \(f(x)=0\);
Οι ρίζες της εξίσωσης \(f(x)=0\) είναι οι τετμημένες των σημείων όπου η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα \(x'x\).
Αν η ρίζα είναι διπλή, τότε η γραφική παράσταση εφάπτεται στον άξονα.
Αν η ρίζα είναι διπλή, τότε η γραφική παράσταση εφάπτεται στον άξονα.
7
Πώς βρίσκουμε τα κοινά σημεία δύο γραφικών παραστάσεων;
Για να βρούμε τα κοινά σημεία δύο γραφικών παραστάσεων, λύνουμε την εξίσωση:
\( f(x)=g(x) \)
για τις τιμές του \(x\) που ανήκουν στο κοινό πεδίο ορισμού των δύο συναρτήσεων.
\( f(x)=g(x) \)
για τις τιμές του \(x\) που ανήκουν στο κοινό πεδίο ορισμού των δύο συναρτήσεων.
8
Πότε μια συνάρτηση λέγεται άρτια και ποια συμμετρία έχει;
Μια συνάρτηση λέγεται άρτια όταν:
\( f(-x)=f(x) \)
για κάθε \(x\) του πεδίου ορισμού της.
Η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα \(y'y\).
\( f(-x)=f(x) \)
για κάθε \(x\) του πεδίου ορισμού της.
Η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα \(y'y\).
9
Πότε μια συνάρτηση λέγεται περιττή και ποια συμμετρία έχει;
Μια συνάρτηση λέγεται περιττή όταν:
\( f(-x)=-f(x) \)
για κάθε \(x\) του πεδίου ορισμού της.
Η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.
\( f(-x)=-f(x) \)
για κάθε \(x\) του πεδίου ορισμού της.
Η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.
10
Πότε μια συνάρτηση λέγεται περιοδική;
Μια συνάρτηση λέγεται περιοδική όταν υπάρχει αριθμός \(T\neq0\) τέτοιος ώστε:
\( f(x+T)=f(x) \)
για κάθε \(x\) του πεδίου ορισμού της.
Αυτό σημαίνει ότι η γραφική της παράσταση επαναλαμβάνεται ανά ίσα διαστήματα μήκους \(T\).
\( f(x+T)=f(x) \)
για κάθε \(x\) του πεδίου ορισμού της.
Αυτό σημαίνει ότι η γραφική της παράσταση επαναλαμβάνεται ανά ίσα διαστήματα μήκους \(T\).
Σωστό - Λάθος
1
Η συνάρτηση \(f(x)=x^2+1\) ορίζεται στο \(\mathbb{R}\).
Σωστό.
Για κάθε πραγματικό αριθμό \(x\), το \(x^2\) ορίζεται και επομένως ορίζεται και το \(x^2+1\). Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι όλο το \(\mathbb{R}\).
Για κάθε πραγματικό αριθμό \(x\), το \(x^2\) ορίζεται και επομένως ορίζεται και το \(x^2+1\). Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι όλο το \(\mathbb{R}\).
2
Η συνάρτηση \(f(x)=x^2-1\) ορίζεται στο \(\mathbb{R}\).
Σωστό.
Η παράσταση \(x^2-1\) είναι πολυωνυμική και έχει νόημα για κάθε πραγματικό αριθμό. Επομένως η συνάρτηση ορίζεται σε όλο το \(\mathbb{R}\).
Η παράσταση \(x^2-1\) είναι πολυωνυμική και έχει νόημα για κάθε πραγματικό αριθμό. Επομένως η συνάρτηση ορίζεται σε όλο το \(\mathbb{R}\).
3
Η συνάρτηση \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}\) ορίζεται στο \(\mathbb{R}\).
Σωστό.
Για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) ισχύει \(x^2\ge0\), άρα \(x^2+1>0\). Ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται ποτέ, επομένως η συνάρτηση ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό.
Για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) ισχύει \(x^2\ge0\), άρα \(x^2+1>0\). Ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται ποτέ, επομένως η συνάρτηση ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό.
4
Η συνάρτηση \(f(x)=-x\) ορίζεται στο \((-\infty,0]\).
Σωστό.
Η συνάρτηση \(f(x)=-x\) είναι πολυωνυμική και ορίζεται σε όλο το \(\mathbb{R}\). Επομένως ορίζεται και στο \((-\infty,0]\), αφού το διάστημα αυτό αποτελεί υποσύνολο του \(\mathbb{R}\).
Η συνάρτηση \(f(x)=-x\) είναι πολυωνυμική και ορίζεται σε όλο το \(\mathbb{R}\). Επομένως ορίζεται και στο \((-\infty,0]\), αφού το διάστημα αυτό αποτελεί υποσύνολο του \(\mathbb{R}\).
5
Αν οι συναρτήσεις \(f\) και \(g\) ορίζονται στο σύνολο \(A\), τότε ορίζεται πάντοτε στο \(A\) και η συνάρτηση \(\displaystyle\frac{f}{g}\).
Λάθος.
Η συνάρτηση \(\displaystyle\frac{f}{g}\) ορίζεται μόνο στα σημεία όπου \(g(x)\neq0\). Αν υπάρχει \(x\in A\) με \(g(x)=0\), τότε η \(\displaystyle\frac{f}{g}\) δεν ορίζεται στο σημείο αυτό και επομένως δεν ορίζεται γενικά σε όλο το \(A\).
Η συνάρτηση \(\displaystyle\frac{f}{g}\) ορίζεται μόνο στα σημεία όπου \(g(x)\neq0\). Αν υπάρχει \(x\in A\) με \(g(x)=0\), τότε η \(\displaystyle\frac{f}{g}\) δεν ορίζεται στο σημείο αυτό και επομένως δεν ορίζεται γενικά σε όλο το \(A\).
6
Αν \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), τότε η καμπύλη \(C_f\) τέμνει πάντοτε τον άξονα \(y'y\).
Σωστό.
Εφόσον η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το \(\mathbb{R}\), ανήκει και το \(0\) στο πεδίο ορισμού της. Άρα υπάρχει η τιμή \(f(0)\) και η καμπύλη \(C_f\) διέρχεται από το σημείο \((0,f(0))\), δηλαδή τέμνει τον άξονα \(y'y\).
Εφόσον η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το \(\mathbb{R}\), ανήκει και το \(0\) στο πεδίο ορισμού της. Άρα υπάρχει η τιμή \(f(0)\) και η καμπύλη \(C_f\) διέρχεται από το σημείο \((0,f(0))\), δηλαδή τέμνει τον άξονα \(y'y\).
7
Αν η εξίσωση \(f(x)=0\) είναι αδύνατη, τότε η καμπύλη \(C_f\) δεν τέμνει τον άξονα \(x'x\).
Σωστό.
Τα σημεία τομής της καμπύλης \(C_f\) με τον άξονα \(x'x\) είναι οι ρίζες της εξίσωσης \(f(x)=0\). Αφού η εξίσωση είναι αδύνατη, δεν υπάρχουν ρίζες και επομένως η καμπύλη δεν τέμνει τον άξονα \(x'x\).
Τα σημεία τομής της καμπύλης \(C_f\) με τον άξονα \(x'x\) είναι οι ρίζες της εξίσωσης \(f(x)=0\). Αφού η εξίσωση είναι αδύνατη, δεν υπάρχουν ρίζες και επομένως η καμπύλη δεν τέμνει τον άξονα \(x'x\).
8
Αν \(f(x)>0\), τότε η καμπύλη \(C_f\) είναι πάνω από τον άξονα \(x'x\).
Σωστό.
Για κάθε \(x\) του πεδίου ορισμού ισχύει \(f(x)>0\). Άρα όλες οι τεταγμένες των σημείων της καμπύλης είναι θετικές και η καμπύλη βρίσκεται πάνω από τον άξονα \(x'x\).
Για κάθε \(x\) του πεδίου ορισμού ισχύει \(f(x)>0\). Άρα όλες οι τεταγμένες των σημείων της καμπύλης είναι θετικές και η καμπύλη βρίσκεται πάνω από τον άξονα \(x'x\).
9
Αν η εξίσωση \(f(x)=0\) έχει ρίζα, τότε η καμπύλη \(C_f\) τέμνει τον άξονα \(x'x\).
Σωστό.
Αν υπάρχει \(x_0\) τέτοιο ώστε \(f(x_0)=0\), τότε το σημείο \((x_0,0)\) ανήκει στην καμπύλη \(C_f\). Επομένως η καμπύλη τέμνει τον άξονα \(x'x\).
Αν υπάρχει \(x_0\) τέτοιο ώστε \(f(x_0)=0\), τότε το σημείο \((x_0,0)\) ανήκει στην καμπύλη \(C_f\). Επομένως η καμπύλη τέμνει τον άξονα \(x'x\).
10
Αν \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) είναι γνησίως αύξουσα, τότε \(f(1)
Σωστό.
Εφόσον \(1<2\) και η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, διατηρεί τη διάταξη των αριθμών. Άρα \(f(1)
Εφόσον \(1<2\) και η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, διατηρεί τη διάταξη των αριθμών. Άρα \(f(1)
Θέματα
1
Δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης \( f \), η οποία τέμνει τον άξονα \( x'x \) μόνο στα σημεία με τετμημένες \( 1,\ 3,\ 6 \) και παρουσιάζει μέγιστο μόνο στο σημείο όπου \( x=0 \) με τιμή \( 2 \).
Να βρείτε:
α) τις ρίζες της συνάρτησης
β) το πλήθος των λύσεων των εξισώσεων \( f(x)=2 \) και \( f(x)=4 \)
Να βρείτε:
α) τις ρίζες της συνάρτησης
β) το πλήθος των λύσεων των εξισώσεων \( f(x)=2 \) και \( f(x)=4 \)
Οι ρίζες μιας συνάρτησης είναι τα σημεία στα οποία η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα \( x'x \).
Από την εκφώνηση γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα \( x'x \) μόνο στα σημεία με τετμημένες \( 1,\ 3,\ 6 \).
Άρα οι ρίζες της συνάρτησης είναι:
\( x=1,\quad x=3,\quad x=6 \)
Για την εξίσωση \( f(x)=2 \), παρατηρούμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο μόνο στο σημείο όπου \( x=0 \) και η μέγιστη τιμή της είναι \( 2 \).
Επομένως η ευθεία \( y=2 \) έχει κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση μόνο στο σημείο του μεγίστου.
Άρα η εξίσωση \( f(x)=2 \) έχει μία μόνο λύση.
Συγκεκριμένα:
\( x=0 \)
Για την εξίσωση \( f(x)=4 \), παρατηρούμε ότι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι \( 2 \).
Άρα για κάθε \( x \) ισχύει:
\( f(x)\le 2 \)
Επομένως η συνάρτηση δεν μπορεί να πάρει την τιμή \( 4 \).
Άρα η εξίσωση \( f(x)=4 \) είναι αδύνατη.
Τελικό συμπέρασμα:
Ρίζες: \( 1,\ 3,\ 6 \)
Η εξίσωση \( f(x)=2 \) έχει \( 1 \) λύση.
Η εξίσωση \( f(x)=4 \) έχει \( 0 \) λύσεις.
Από την εκφώνηση γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα \( x'x \) μόνο στα σημεία με τετμημένες \( 1,\ 3,\ 6 \).
Άρα οι ρίζες της συνάρτησης είναι:
\( x=1,\quad x=3,\quad x=6 \)
Για την εξίσωση \( f(x)=2 \), παρατηρούμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο μόνο στο σημείο όπου \( x=0 \) και η μέγιστη τιμή της είναι \( 2 \).
Επομένως η ευθεία \( y=2 \) έχει κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση μόνο στο σημείο του μεγίστου.
Άρα η εξίσωση \( f(x)=2 \) έχει μία μόνο λύση.
Συγκεκριμένα:
\( x=0 \)
Για την εξίσωση \( f(x)=4 \), παρατηρούμε ότι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι \( 2 \).
Άρα για κάθε \( x \) ισχύει:
\( f(x)\le 2 \)
Επομένως η συνάρτηση δεν μπορεί να πάρει την τιμή \( 4 \).
Άρα η εξίσωση \( f(x)=4 \) είναι αδύνατη.
Τελικό συμπέρασμα:
Ρίζες: \( 1,\ 3,\ 6 \)
Η εξίσωση \( f(x)=2 \) έχει \( 1 \) λύση.
Η εξίσωση \( f(x)=4 \) έχει \( 0 \) λύσεις.
2
Δίνεται η συνάρτηση \( f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1} \).
Να αποδείξετε ότι παρουσιάζει στο \(x=1\) μέγιστο το \(1\).
Να αποδείξετε ότι παρουσιάζει στο \(x=1\) μέγιστο το \(1\).
Υπολογίζουμε πρώτα την τιμή της συνάρτησης στο \(x=1\).
\(f(1)=\dfrac{2\cdot1}{1^2+1}=\dfrac{2}{2}=1\)
Άρα η συνάρτηση παίρνει στο \(x=1\) την τιμή \(1\).
Θα δείξουμε τώρα ότι για κάθε πραγματικό \(x\) ισχύει:
\(f(x)\le1\)
Πράγματι:
\(1-f(x)=1-\dfrac{2x}{x^2+1}\)
\(=\dfrac{x^2+1-2x}{x^2+1}\)
\(=\dfrac{x^2-2x+1}{x^2+1}\)
\(=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}\)
Επειδή \( (x-1)^2\ge0 \) και \( x^2+1>0 \) για κάθε πραγματικό \(x\), προκύπτει ότι:
\( \dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}\ge0 \)
Άρα:
\(1-f(x)\ge0\)
δηλαδή:
\(f(x)\le1\)
Η ισότητα ισχύει όταν:
\((x-1)^2=0\)
δηλαδή όταν:
\(x=1\)
Επομένως η συνάρτηση παρουσιάζει στο \(x=1\) μέγιστο ίσο με \(1\).
\(f(1)=\dfrac{2\cdot1}{1^2+1}=\dfrac{2}{2}=1\)
Άρα η συνάρτηση παίρνει στο \(x=1\) την τιμή \(1\).
Θα δείξουμε τώρα ότι για κάθε πραγματικό \(x\) ισχύει:
\(f(x)\le1\)
Πράγματι:
\(1-f(x)=1-\dfrac{2x}{x^2+1}\)
\(=\dfrac{x^2+1-2x}{x^2+1}\)
\(=\dfrac{x^2-2x+1}{x^2+1}\)
\(=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}\)
Επειδή \( (x-1)^2\ge0 \) και \( x^2+1>0 \) για κάθε πραγματικό \(x\), προκύπτει ότι:
\( \dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}\ge0 \)
Άρα:
\(1-f(x)\ge0\)
δηλαδή:
\(f(x)\le1\)
Η ισότητα ισχύει όταν:
\((x-1)^2=0\)
δηλαδή όταν:
\(x=1\)
Επομένως η συνάρτηση παρουσιάζει στο \(x=1\) μέγιστο ίσο με \(1\).
3
Αν \( f(x)=x^2-1 \), να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης \( h(x)=f(x-1) \).
Στη σύνθεση αντικαθιστούμε όπου υπάρχει το \( x \) με το \( x-1 \).
\( h(x)=f(x-1)=(x-1)^2-1 \)
Αναπτύσσουμε:
\( (x-1)^2=x^2-2x+1 \)
Άρα:
\( h(x)=x^2-2x+1-1=x^2-2x \)
\( h(x)=f(x-1)=(x-1)^2-1 \)
Αναπτύσσουμε:
\( (x-1)^2=x^2-2x+1 \)
Άρα:
\( h(x)=x^2-2x+1-1=x^2-2x \)
4
Αν \( f(x)=x+\sqrt{x-1} \), να βρείτε τη συνάρτηση \( h(x)=f(1-x) \).
Πρώτα βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της \( f \).
Επειδή υπάρχει ρίζα:
\( x-1\ge0 \)
Άρα:
\( x\ge1 \)
Για τη νέα συνάρτηση πρέπει:
\( 1-x\ge1 \)
Άρα:
\( -x\ge0 \)
\( x\le0 \)
Αντικαθιστούμε:
\( h(x)=f(1-x)=(1-x)+\sqrt{(1-x)-1}=1-x+\sqrt{-x} \)
με περιορισμό \( x\le0 \).
Επειδή υπάρχει ρίζα:
\( x-1\ge0 \)
Άρα:
\( x\ge1 \)
Για τη νέα συνάρτηση πρέπει:
\( 1-x\ge1 \)
Άρα:
\( -x\ge0 \)
\( x\le0 \)
Αντικαθιστούμε:
\( h(x)=f(1-x)=(1-x)+\sqrt{(1-x)-1}=1-x+\sqrt{-x} \)
με περιορισμό \( x\le0 \).
5
Αν ισχύει \( f(x)(\sqrt{x^2+8}+3)=x^2-1 \), να αποδείξετε ότι \( f(x)=\sqrt{x^2+8}-3 \).
Απομονώνουμε πρώτα το \( f(x) \):
\( f(x)=\dfrac{x^2-1}{\sqrt{x^2+8}+3} \)
Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή παράσταση \( \sqrt{x^2+8}-3 \).
\( f(x)=\dfrac{(x^2-1)(\sqrt{x^2+8}-3)}{(\sqrt{x^2+8}+3)(\sqrt{x^2+8}-3)} \)
Στον παρονομαστή έχουμε:
\( (\sqrt{x^2+8})^2-3^2=x^2+8-9=x^2-1 \)
Άρα:
\( f(x)=\dfrac{(x^2-1)(\sqrt{x^2+8}-3)}{x^2-1} \)
Απλοποιούμε και παίρνουμε:
\( f(x)=\sqrt{x^2+8}-3 \)
\( f(x)=\dfrac{x^2-1}{\sqrt{x^2+8}+3} \)
Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή παράσταση \( \sqrt{x^2+8}-3 \).
\( f(x)=\dfrac{(x^2-1)(\sqrt{x^2+8}-3)}{(\sqrt{x^2+8}+3)(\sqrt{x^2+8}-3)} \)
Στον παρονομαστή έχουμε:
\( (\sqrt{x^2+8})^2-3^2=x^2+8-9=x^2-1 \)
Άρα:
\( f(x)=\dfrac{(x^2-1)(\sqrt{x^2+8}-3)}{x^2-1} \)
Απλοποιούμε και παίρνουμε:
\( f(x)=\sqrt{x^2+8}-3 \)
6
Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=x^2-4\).
Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής της παράστασης με τους άξονες.
Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής της παράστασης με τους άξονες.
Για τα σημεία τομής με τον άξονα \(x'x\) θέτουμε:
\(f(x)=0\)
δηλαδή:
\(x^2-4=0\)
\(x^2=4\)
\(x=\pm2\)
Άρα η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα \(x'x\) στα σημεία: \((-2,0)\) και \((2,0)\)
Για το σημείο τομής με τον άξονα \(y'y\) θέτουμε: \(x=0\) Τότε: \(f(0)=0^2-4=-4\)
Άρα η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο: \((0,-4)\)
Επομένως τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες είναι: \((-2,0)\), \((2,0)\) και \((0,-4)\).
Άρα η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα \(x'x\) στα σημεία: \((-2,0)\) και \((2,0)\)
Για το σημείο τομής με τον άξονα \(y'y\) θέτουμε: \(x=0\) Τότε: \(f(0)=0^2-4=-4\)
Άρα η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο: \((0,-4)\)
Επομένως τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες είναι: \((-2,0)\), \((2,0)\) και \((0,-4)\).
7
Δίνονται οι συναρτήσεις:
\(f(x)=2x^2+4\)
και
\(g(x)=x^2+8\).
Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων.
Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων.
Τα σημεία τομής των δύο γραφικών παραστάσεων προκύπτουν όταν:
\(f(x)=g(x)\)
Δηλαδή: \(2x^2+4=x^2+8\)
\(x^2=4\)
\(x=\pm2\)
Για \(x=2\): \(f(2)=2\cdot2^2+4=12\) Άρα έχουμε το σημείο: \((2,12)\)
Για \(x=-2\): \(f(-2)=2\cdot(-2)^2+4=12\) Άρα έχουμε το σημείο: \((-2,12)\)
Επομένως οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων τέμνονται στα σημεία: \((-2,12)\) και \((2,12)\).
Δηλαδή: \(2x^2+4=x^2+8\)
\(x^2=4\)
\(x=\pm2\)
Για \(x=2\): \(f(2)=2\cdot2^2+4=12\) Άρα έχουμε το σημείο: \((2,12)\)
Για \(x=-2\): \(f(-2)=2\cdot(-2)^2+4=12\) Άρα έχουμε το σημείο: \((-2,12)\)
Επομένως οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων τέμνονται στα σημεία: \((-2,12)\) και \((2,12)\).
8
Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \( f(x)=\dfrac{x^2}{x} \).
Η συνάρτηση είναι κλασματική.
Στις κλασματικές παραστάσεις ο παρονομαστής δεν επιτρέπεται να γίνει μηδέν.
Εδώ παρονομαστής είναι το \( x \).
Άρα:
\( x\ne0 \)
Επομένως το πεδίο ορισμού είναι:
\( A=\mathbb{R}-\{0\} \)
Στις κλασματικές παραστάσεις ο παρονομαστής δεν επιτρέπεται να γίνει μηδέν.
Εδώ παρονομαστής είναι το \( x \).
Άρα:
\( x\ne0 \)
Επομένως το πεδίο ορισμού είναι:
\( A=\mathbb{R}-\{0\} \)
9
Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \( f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1} \).
Για να ορίζεται η τετραγωνική ρίζα πρέπει:
\(x\ge0\)
Επίσης ο παρονομαστής δεν πρέπει να μηδενίζεται.
Άρα:
\(\sqrt{x}-1\ne0\)
\(\sqrt{x}\ne1\)
\(x\ne1\)
Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι:
\(A=[0,+\infty)\setminus\{1\}\)
ή ισοδύναμα:
\(A=[0,1)\cup(1,+\infty)\)
\(x\ge0\)
Επίσης ο παρονομαστής δεν πρέπει να μηδενίζεται.
Άρα:
\(\sqrt{x}-1\ne0\)
\(\sqrt{x}\ne1\)
\(x\ne1\)
Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι:
\(A=[0,+\infty)\setminus\{1\}\)
ή ισοδύναμα:
\(A=[0,1)\cup(1,+\infty)\)
10
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \( f(x)=|x-1| \) παρουσιάζει στο \( x=1 \) ελάχιστο το \( 0 \).
Υπολογίζουμε πρώτα:
\( f(1)=|1-1|=0 \)
Γνωρίζουμε ότι η απόλυτη τιμή είναι πάντα μη αρνητική.
Άρα:
\( |x-1|\ge0 \)
για κάθε πραγματικό αριθμό.
Δηλαδή:
\( f(x)\ge0 \)
Αλλά \( f(1)=0 \).
Άρα:
\( f(x)\ge f(1) \)
Επομένως η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο \( 0 \) στο \( x=1 \).
\( f(1)=|1-1|=0 \)
Γνωρίζουμε ότι η απόλυτη τιμή είναι πάντα μη αρνητική.
Άρα:
\( |x-1|\ge0 \)
για κάθε πραγματικό αριθμό.
Δηλαδή:
\( f(x)\ge0 \)
Αλλά \( f(1)=0 \).
Άρα:
\( f(x)\ge f(1) \)
Επομένως η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο \( 0 \) στο \( x=1 \).
Τέλος