Μάθημα 04 Ακρότατα συναρτήσεων
Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε τα ακρότατα συναρτήσεων, δηλαδή τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές που μπορεί να πάρει μια συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της.
Η έννοια των ακρότατων εμφανίζεται φυσικά σε πολλά προβλήματα, όπου ζητείται να βρεθεί:
- η μεγαλύτερη ή μικρότερη δυνατή τιμή ενός μεγέθους,
- η βέλτιστη λύση ενός πρακτικού προβλήματος,
- ή το σημείο στο οποίο μια συνάρτηση «κορυφώνεται» ή «χαμηλώνει».
Στο παρόν μάθημα θα ορίσουμε με ακρίβεια τι σημαίνει μέγιστο και ελάχιστο, θα δούμε πότε υπάρχουν και πώς εντοπίζονται, και θα τα συνδέσουμε με γραφικές παραστάσεις και παραδείγματα.
Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στο ότι δεν έχουν όλες οι συναρτήσεις ακρότατα, ενώ άλλες μπορεί να έχουν μόνο το ένα από τα δύο.
1. Ακρότατα συνάρτησης
Στην ενότητα αυτή ορίζουμε πότε μία συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο ή μέγιστο στο πεδίο ορισμού της.
Τα μέγιστα και τα ελάχιστα λέγονται συνολικά ακρότατα της συνάρτησης.
Ορισμός (Ολικό ελάχιστο)
Έστω \(f\) μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού \(A\) και \(x_0 \in A\). Λέμε ότι η \(f\) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο \(x_0\), αν ισχύει:
\( f(x) \ge f(x_0) \), για κάθε \(x \in A\).
Η τιμή \(f(x_0)\) λέγεται ελάχιστη τιμή της συνάρτησης.
Ορισμός (Ολικό μέγιστο)
Έστω \(f\) μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού \(A\) και \(x_0 \in A\). Λέμε ότι η \(f\) παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο \(x_0\), αν ισχύει:
\( f(x) \le f(x_0) \), για κάθε \(x \in A\).
Η τιμή \(f(x_0)\) λέγεται μέγιστη τιμή της συνάρτησης.
Παρατήρηση. Μία συνάρτηση μπορεί:
- να έχει μόνο μέγιστο,
- να έχει μόνο ελάχιστο,
- να έχει και μέγιστο και ελάχιστο,
- ή να μην έχει κανένα από τα δύο.
Επομένως: \( f(x) \ge f(0)=4 \), για κάθε \(x \in \mathbb{R}\).
Άρα η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο \(x=0\), ίσο με \(4\), ενώ δεν παρουσιάζει μέγιστο.
2. Απόδειξη ύπαρξης ακρότατων με φράγματα
Ένας βασικός τρόπος για να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο είναι η χρήση φραγμάτων.
Η ιδέα είναι να δείξουμε ότι οι τιμές της συνάρτησης δεν ξεπερνούν (ή δεν κατεβαίνουν κάτω από) μια συγκεκριμένη τιμή και ότι αυτή η τιμή πραγματοποιείται για κάποια τιμή του \(x\).
Ολικό ελάχιστο με φράγμα
Για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση \(f\) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ίσο με \(y_0\), αρκεί να ισχύουν:
- \( f(x) \ge y_0 \) για κάθε \(x\) του πεδίου ορισμού,
- και υπάρχει \(x_0\) τέτοιο ώστε \( f(x_0)=y_0 \).
Ολικό μέγιστο με φράγμα
Αντίστοιχα, η συνάρτηση \(f\) παρουσιάζει ολικό μέγιστο ίσο με \(y_0\), αν ισχύουν:
- \( f(x) \le y_0 \) για κάθε \(x\) του πεδίου ορισμού,
- και υπάρχει \(x_0\) τέτοιο ώστε \( f(x_0)=y_0 \).
Παράδειγμα
Απάντηση
Για κάθε \(x \in \mathbb{R}\) ισχύει \(x^2 \ge 0\), άρα \(x^2+4 \ge 4\).
Επιπλέον, \( f(0)=4 \).
Επομένως η \(f\) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ίσο με \(4\).
Ισχύει \( (x-1)^2 \ge 0 \) για κάθε \(x\), άρα \( f(x) \ge 3 \).
Επειδή \( f(1)=3 \), η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ίσο με \(3\) στο \(x=1\).
3. Ακρότατα με σύνολο τιμών
Το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης \(f\) είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών που παίρνει η συνάρτηση, όταν το \(x\) διατρέχει το πεδίο ορισμού της.
Συμβολίζεται με \(f(A)\) ή \(E_f\).
Σύνδεση με τα ακρότατα
Αν το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης έχει ελάχιστο στοιχείο, τότε η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο.
Αν το σύνολο τιμών έχει μέγιστο στοιχείο, τότε η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό μέγιστο.
Αν το σύνολο τιμών δεν έχει ούτε ελάχιστο ούτε μέγιστο, τότε η συνάρτηση δεν παρουσιάζει ακρότατα.
Παράδειγμα
Απάντηση
Θέτουμε \( f(x)=y \).
\( 1+e^{\,1-x}=y \Rightarrow y>1 \).
\( x=1-\ln(y-1) \).
\( f(\mathbb{R})=(1,+\infty) \).
Άρα δεν υπάρχουν ακρότατα.
4. Ακρότατα με μονοτονία
Η μονοτονία μιας συνάρτησης αποτελεί βασικό εργαλείο για την εύρεση ακρότατων, ιδιαίτερα όταν η συνάρτηση είναι ορισμένη σε κλειστό διάστημα.
Αν γνωρίζουμε αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα, μπορούμε συχνά να προσδιορίσουμε τα ακρότατά της χωρίς επιπλέον υπολογισμούς.
Γνησίως αύξουσα συνάρτηση
Αν η συνάρτηση \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο κλειστό διάστημα \([a,b]\), τότε:
- παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο \(x=a\),
- παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο \(x=b\).
Γνησίως φθίνουσα συνάρτηση
Αν η συνάρτηση \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα στο κλειστό διάστημα \([a,b]\), τότε:
- παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο \(x=a\),
- παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο \(x=b\).
Σημαντική παρατήρηση.
Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ανοιχτό διάστημα, τότε δεν παρουσιάζει ακρότατα στο διάστημα αυτό.
Παράδειγμα
Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο \([0,1]\) και γνησίως αύξουσα στο \([1,3]\).
Υπολογίζουμε: \( f(0)=0 \), \( f(1)=-1 \), \( f(3)=3 \).
Άρα η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ίσο με \(-1\) στο \(x=1\) και ολικό μέγιστο ίσο με \(3\) στο \(x=3\).
Εφόσον η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο \([1,4]\), ισχύει \( f(1) < f(2) < f(4) \).
Άρα η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο \(x=1\) και ολικό μέγιστο στο \(x=4\).
5. Ακρότατα σε τμηματικά ορισμένες συναρτήσεις
Όταν μία συνάρτηση είναι τμηματικά ορισμένη, η μελέτη των ακρότατων γίνεται εξετάζοντας κάθε τμήμα χωριστά και στη συνέχεια συγκρίνοντας τις τιμές που προκύπτουν.
Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στα άκρα των διαστημάτων και στα σημεία όπου αλλάζει ο τύπος της συνάρτησης.
Βασική αρχή
Για να βρούμε τα ακρότατα μιας τμηματικά ορισμένης συνάρτησης:
- μελετάμε κάθε τμήμα στο αντίστοιχο διάστημά του,
- υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα των διαστημάτων,
- συγκρίνουμε όλες τις τιμές που προκύπτουν.
Παράδειγμα
Απάντηση
Στο διάστημα \([0,2]\) έχουμε \( f(0)=-2 \) και \( f(2)=2 \).
Στο διάστημα \((2,4]\) έχουμε \( f(4)=5 \).
Συγκρίνοντας τις τιμές \( -2, 2, 5 \), προκύπτει ότι:
- ολικό ελάχιστο είναι το \( -2 \) στο \( x=0 \),
- ολικό μέγιστο είναι το \( 5 \) στο \( x=4 \).
Το πεδίο ορισμού είναι το διάστημα [−1,3].
Μελέτη στο διάστημα [−1,1]
Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.
Άρα μέγιστο στο \(x=-1\), ελάχιστο στο \(x=1\).
Υπολογίζουμε \( f(-1)=2 \), \( f(1)=0 \).
Μελέτη στο διάστημα (1,3]
Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Άρα μικρότερη τιμή στο \(x=1\), μεγαλύτερη στο \(x=3\).
Υπολογίζουμε \( f(3)=9 \).
Συμπέρασμα
- ολικό ελάχιστο στο \(x=1\) με τιμή \(0\),
- ολικό μέγιστο στο \(x=3\) με τιμή \(9\).
6. Προβλήματα ακρότατων (γεωμετρικά & πρακτικά)
Σε πολλά προβλήματα τα ακρότατα εμφανίζονται ως βέλτιστες λύσεις.
Μετατρέπουμε το ζητούμενο σε συνάρτηση ενός μεταβλητού και μελετάμε τα ακρότατά της.
Παράδειγμα
Απάντηση
Έστω ότι το ορθογώνιο έχει πλευρές \(x\) και \(y\).
\( xy=E \Rightarrow y=\frac{E}{x} \).
\( P=2(x+y)=2\!\left(x+\frac{E}{x}\right) \).
Ελαχιστοποιούμε το \( x+\dfrac{E}{x} \).
\( x+\frac{E}{x} =\left(\sqrt{x}-\frac{\sqrt{E}}{\sqrt{x}}\right)^2+2\sqrt{E} \ge 2\sqrt{E}. \)
Ισότητα όταν \( x=\sqrt{E} \).
Τότε \( y=\sqrt{E} \).
Άρα το ορθογώνιο με ελάχιστη περίμετρο είναι τετράγωνο.
Παράδειγμα
Απάντηση
Έστω \( M(x,\sqrt{x}) \), με \( x\ge 0 \).
\( AM=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x})^2} =\sqrt{x^2-3x+4}. \)
Ελαχιστοποιούμε το \( x^2-3x+4 \).
\( x^2-3x+4=(x-\tfrac32)^2+\tfrac74. \)
Ελάχιστο όταν \( x=\tfrac32 \).
Άρα \( M\!\left(\tfrac32,\sqrt{\tfrac32}\right) \).
Έστω \( M(x,\sqrt{x}) \), με \( x\ge 0 \).
\( AM=\sqrt{(x-1)^2+(\sqrt{x}-2)^2}. \)
Θέτουμε \( t=\sqrt{x} \). Τότε \( AM^2=t^4-t^2-4t+5 \).
\( t^4-t^2-4t+5=(t^2-2)^2+(t-1)^2. \)
Ελάχιστο όταν \( t=1 \Rightarrow x=1 \).
Άρα \( M(1,1) \).
Γενικά θέματα
α) Να αποδείξετε ότι η \(f\) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο.
β) Να βρείτε το ελάχιστο αυτό.
Απάντηση
α) Γράφουμε τη συνάρτηση στη μορφή τετραγώνου:
\( f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3 \).
Επειδή για κάθε \(x \in \mathbb{R}\) ισχύει \( (x-2)^2 \ge 0 \), προκύπτει:
\( f(x) \ge 3 \), για κάθε \(x \in \mathbb{R}\).
β) Υπολογίζουμε: \( f(2)=3 \).
Άρα η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ίσο με \(3\), το οποίο εμφανίζεται στο \(x=2\).
Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης στο διάστημα αυτό.
Απάντηση
Εξετάζουμε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος και στο εσωτερικό του.
Ισχύει για κάθε \(x\in\mathbb{R}\): \(x^2 \ge 0\). Άρα η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ίσο με \(0\).
Υπολογίζουμε:
\( f(0)=0 \),
\( f(-2)=4 \),
\( f(1)=1 \).
Συγκρίνοντας τις τιμές, προκύπτει ότι:
- ολικό ελάχιστο είναι το \(0\) στο \(x=0\),
- ολικό μέγιστο είναι το \(4\) στο \(x=-2\).
α) Να αποδείξετε ότι η \(f\) έχει ολικό μέγιστο.
β) Να βρείτε το μέγιστο αυτό.
Απάντηση
Παρατηρούμε ότι: \(x^2+1 < x^2+2\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\).
Άρα: \[ f(x)=\frac{x^2+1}{x^2+2} < 1, \quad \text{για κάθε } x \in \mathbb{R}. \]
Επιπλέον, \[ f(0)=\frac{1}{2}. \]
Υπολογίζουμε το σύνολο τιμών. Ισχύει: \[ f(x)=1-\frac{1}{x^2+2}. \]
Επειδή \(x^2+2 \ge 2\), προκύπτει: \[ 0 < \frac{1}{x^2+2} \le \frac{1}{2}. \]
Άρα: \[ \frac{1}{2} \le f(x) < 1. \]
Η τιμή \(1\) είναι άνω φράγμα αλλά δεν πραγματοποιείται, επομένως η συνάρτηση δεν έχει μέγιστο.
Αντίθετα, η τιμή \( \dfrac{1}{2} \) πραγματοποιείται στο \(x=0\), άρα η \(f\) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ίσο με \( \dfrac{1}{2} \).
α) Να δείξετε ότι η \(f\) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο.
β) Να βρείτε το ελάχιστο αυτό ως συνάρτηση του \(\alpha\).
Απάντηση
Γράφουμε τη συνάρτηση στη μορφή τετραγώνου:
\( f(x)=x^2-2\alpha x+3=(x-\alpha)^2+3-\alpha^2 \).
Επειδή για κάθε \(x \in \mathbb{R}\) ισχύει \( (x-\alpha)^2 \ge 0 \), προκύπτει:
\( f(x) \ge 3-\alpha^2 \), για κάθε \(x \in \mathbb{R}\).
Υπολογίζουμε: \( f(\alpha)=3-\alpha^2 \).
Άρα η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ίσο με \(3-\alpha^2\), το οποίο εμφανίζεται στο \(x=\alpha\).
Απάντηση
Εξετάζουμε χωριστά κάθε τμήμα της συνάρτησης και υπολογίζουμε τις τιμές της στα κρίσιμα σημεία.
Για \(-1 \le x \le 1\) έχουμε \(f(x)=x^2\), άρα \(x^2 \ge 0\). Επομένως: \(f(0)=0\), \(f(-1)=1\), \(f(1)=1\).
Για \(1
Συγκρίνουμε όλες τις τιμές που βρήκαμε:
\(0, 1, 5\).
Άρα η συνάρτηση παρουσιάζει:
Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης.
Απάντηση
Γράφουμε τη συνάρτηση στη μορφή: \[ f(x)=2-\frac{2}{x^2+1}. \]
Επειδή για κάθε \(x \in \mathbb{R}\) ισχύει \(x^2+1 \ge 1\), προκύπτει: \[ 0<\frac{2}{x^2+1}\le 2. \]
Άρα: \[ 0 \le f(x) < 2. \]
Υπολογίζουμε: \( f(0)=0 \), οπότε το \(0\) πραγματοποιείται.
Αντίθετα, η τιμή \(2\) είναι άνω φράγμα αλλά δεν πραγματοποιείται, αφού \(\dfrac{2}{x^2+1}\neq 0\).
Επομένως η συνάρτηση παρουσιάζει:
- ολικό ελάχιστο ίσο με \(0\), το οποίο εμφανίζεται στο \(x=0\),
- δεν παρουσιάζει ολικό μέγιστο.
Να βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης.
Απάντηση
Για \(x>0\) εφαρμόζουμε την ανισότητα \[ x+\frac{1}{x} \ge 2, \] η οποία ισχύει για κάθε θετικό \(x\).
Άρα: \[ f(x) \ge 2, \quad \text{για κάθε } x>0. \]
Εξετάζουμε αν η τιμή \(2\) πραγματοποιείται. Υπολογίζουμε: \[ f(1)=1+\frac{1}{1}=2. \]
Επομένως η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ίσο με \(2\), το οποίο εμφανίζεται στο \(x=1\).
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \( f(x)=x^2-2x+2 \) παρουσιάζει ελάχιστο στο \( x=1 \).
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \( f(x)=-x^6+2x^3-2 \) παίρνει μέγιστο στο \( x=1 \).
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \( f(x)=x^2-2x \) παρουσιάζει ελάχιστο.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \( f(x)=\frac{1}{x^4+1} \) έχει μέγιστο.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \( f(x)=\frac{1}{x^2-2x+2} \) παρουσιάζει μέγιστο.
Να εξετάσετε αν η συνάρτηση \( f(x)=\sqrt{x^2-2x+2} \) έχει ελάχιστο.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \( f(x)=\eta\mu\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right) \) έχει μέγιστο.
Να βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης \( f(x)=\frac{1}{2+\eta\mu x} \).
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \( f(x)=1+\sqrt{1+x^2} \) έχει ελάχιστο.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \( f(x)=x^3+x-2 \) δεν έχει ακρότατα.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \( f(x)=x^2\eta\mu x+x^2 \) έχει ελάχιστο.
Να εξετάσετε ως προς τα ακρότατα τη συνάρτηση \( f(x)=1-\sqrt{x-2} \).
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \( f(x)=\sqrt{1-x}-\sqrt{x} \), με \( 0\le x\le 1 \), έχει ακρότατα.
Να εξετάσετε αν η συνάρτηση \( f(x)=\sqrt{e^x-1} \) έχει ελάχιστο.
Να εξετάσετε τη συνάρτηση \( f(x)=\ln(x^2+x-2)-\ln(x-1) \) ως προς τα ακρότατα.
Να εξετάσετε τη συνάρτηση \( f(x)=\frac{10^x-1}{10^x+1} \) ως προς τα ακρότατα.
Να εξετάσετε ως προς τα ακρότατα τη συνάρτηση \( f(x)= \begin{cases} 1+x^2, & 0\le x\le 1,\\ 1-x, & -1\le x<0. \end{cases} \)
Έστω η συνάρτηση \( f(x)=\sqrt{x} \), με \( x\ge 0 \).
Έστω η συνάρτηση \( f(x)=\sqrt{x} \), με \( x\ge 0 \), και το σημείο \( A(1,0) \). Να βρείτε σημείο \( M \) της γραφικής παράστασης της \( f \), ώστε η απόσταση \( AM \) να είναι ελάχιστη.
Να βρείτε ποιο ορθογώνιο με περίμετρο \( \Pi=4 \) έχει το μέγιστο εμβαδό.
Μεταλλικό έλασμα μήκους \( 6 \) m τεμαχίζεται σε δύο τμήματα. Με κάθε τμήμα κατασκευάζεται τετράγωνο πλαίσιο. Να βρείτε τα μήκη ώστε το άθροισμα των εμβαδών να είναι ελάχιστο.
Έστω το τεταρτοκύκλιο \( (C):x^2+y^2=8 \), με \( x>0 \), \( y>0 \). Να βρείτε το σημείο \( M \) ώστε το εμβαδό του ορθογωνίου \( OM_1MM_2 \) να είναι μέγιστο.
Αν η συνάρτηση \( f(x)=x^2-2mx+m+1 \), με \( m\in\mathbb{R} \), έχει ελάχιστο στο \( x=1 \), να αποδείξετε ότι \( m=1 \) και ότι το ελάχιστο είναι ίσο με \( 1 \).
Αν η συνάρτηση \( f(x)=x^2-2mx+m+1 \), με \( m\in\mathbb{N}^* \), έχει ελάχιστο ίσο με \( 1 \), να αποδείξετε ότι \( m=1 \) και ότι το ελάχιστο παρουσιάζεται στο \( x=1 \).
Έστω η συνάρτηση \( f(x)=x^2-2kx+2m \). Να βρείτε τα \( k,m\in\mathbb{R} \), ώστε η \( f \) να παρουσιάζει στο \( x=1 \) ελάχιστο ίσο με \( 1 \).
Αν ισχύει \( |2f(x)-3|\le 1 \) για κάθε \( x \), και τα σημεία \( A(-1,2) \), \( B(1,1) \) ανήκουν στη γραφική παράσταση της \( f \), να αποδείξετε ότι η \( f \) έχει ακρότατα.
Έστω οι συναρτήσεις
\( f(x)=1+x\sqrt{x-1} \)
και
\( g(x)=\sqrt{1-\sqrt{x-1}} \).
α) Να αποδείξετε ότι η \( f \) έχει ελάχιστο το \( 1 \)
και η \( g \) έχει μέγιστο το \( 1 \).
β) Να λύσετε την εξίσωση
\( x\sqrt{x-1}=\sqrt{1-\sqrt{x-1}}-1 \).
Αν \( f(\mathbb{R})=[0,+\infty) \), να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \( g(x)=1-f(x) \) έχει μέγιστο το \( 1 \).
Έστω \( g(x)=1+\sqrt{x} \), \( x\ge 0 \), και \( h(x)=e^x \). Να βρείτε το σύνολο τιμών της \( F(x)=(g\circ h)(x) \).
Να αποδείξετε ότι \( f(x)=\ημ x+\συν x \) έχει μέγιστο το \( \sqrt{2} \).
Έστω η συνάρτηση
\( f(x)=\sqrt{1-x^2} \), με \( x\in[0,1] \).
α) Να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση είναι τεταρτοκύκλιο.
β) Να βρείτε τη θέση του σημείου \( M \),
ώστε το εμβαδό του ορθογωνίου \( OM_1MM_2 \) να είναι μέγιστο.
Έστω η συνάρτηση
\( f(x)=\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \).
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
β) Να αποδείξετε ότι είναι περιττή.
γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της.
Έστω η συνάρτηση
\( f(x)=x^2-2x+4 \).
α) Να αποδείξετε ότι η \( f \) έχει ελάχιστο.
β) Αν \( g(x)=\frac{1}{f(x)} \),
να αποδείξετε ότι η \( g \) έχει μέγιστο.
Τέλος του μαθήματος