Μάθημα 02 Πράξεις συναρτήσεων.
Πράξεις
Σε κάθε πράξη θα δούμε πώς προκύπτει ο τύπος της νέας συνάρτησης και ποιο είναι το πεδίο ορισμού της. Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται στο ότι οι πράξεις γίνονται στους τύπους των συναρτήσεων και ότι το πεδίο ορισμού προκύπτει από τα κοινά σημεία στα οποία ορίζονται οι αρχικές συναρτήσεις.
Οι πράξεις συναρτήσεων αποτελούν βασικό εργαλείο για τη μελέτη πιο σύνθετων συναρτήσεων και θα χρησιμοποιηθούν συχνά στα επόμενα κεφάλαια.
1. Βασικές πράξεις
Αν δίνονται οι συναρτήσεις \(f\) και \(g\), τότε για κάθε \(x\) ορίζουμε: το άθροισμα με τύπο \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\), τη διαφορά με τύπο \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\), το γινόμενο με τύπο \((f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)\) και το πηλίκο με τύπο \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\), με την προϋπόθεση ότι \(g(x)\neq 0\).
Παράδειγμα
Απάντηση
Για να βρούμε τη συνάρτηση \(f+g\), χρησιμοποιούμε τον ορισμό του αθροίσματος, δηλαδή \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\).
Εδώ έχουμε \(f(x)=2x-1\) και \(g(x)=x^2\), οπότε για κάθε \(x\) προκύπτει \((f+g)(x)=(2x-1)+x^2\).
Άρα η συνάρτηση \(f+g\) δίνεται από τον τύπο \((f+g)(x)=x^2+2x-1\).
Λύση
Σύμφωνα με τον ορισμό του αθροίσματος, ισχύει \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\).
Εδώ ο τύπος της \(f\) είναι \(f(x)=x-3\) και ο τύπος της \(g\) είναι \(g(x)=x^2+1\).
Επομένως, για κάθε \(x\), έχουμε \((f+g)(x)=(x-3)+(x^2+1)\).
Άρα η συνάρτηση \(f+g\) δίνεται από τον τύπο \((f+g)(x)=x^2+x-2\).
2. Σύνθεση συναρτήσεων
Η σύνθεση δύο συναρτήσεων \(f\) και \(g\), που συμβολίζεται με \(f\circ g\), είναι η συνάρτηση που σε κάθε \(x\) αντιστοιχίζει την τιμή \(f(g(x))\).
Για να έχει νόημα η παράσταση \(f(g(x))\), πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα δύο βασικές προϋποθέσεις.
Πρώτον, το \(x\) πρέπει να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης \(g\), ώστε να είναι ορισμένη η τιμή \(g(x)\).
Δεύτερον, η τιμή \(g(x)\) που προκύπτει πρέπει να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης \(f\).
Επομένως, το πεδίο ορισμού της σύνθεσης \(f\circ g\) είναι το σύνολο όλων των τιμών του \(x\) για τις οποίες ισχύουν και οι δύο παραπάνω συνθήκες.
Παράδειγμα
Απάντηση
Η σύνθεση \(f\circ g\) ορίζεται από τον τύπο \(f(g(x))=\sqrt{x-1}\).
Για να ορίζεται η τετραγωνική ρίζα, πρέπει το περιεχόμενό της να είναι μη αρνητικό, δηλαδή να ισχύει \(x-1\ge 0\).
Η ανισότητα αυτή ισοδυναμεί με \(x\ge 1\).
Άρα το πεδίο ορισμού της σύνθεσης είναι \(D_{f\circ g}=[1,+\infty)\).
Λύση
Η σύνθεση \(f\circ g\) δίνεται από τον τύπο \(f(g(x))=\dfrac{1}{x^2-4}\).
Για να ορίζεται η παράσταση, ο παρονομαστής πρέπει να είναι διαφορετικός του μηδενός.
Επομένως πρέπει να ισχύει \(x^2-4\neq 0\).
Η ανίσωση αυτή ισοδυναμεί με \(x\neq -2\) και \(x\neq 2\).
Άρα \(D_{f\circ g}=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\).
3. Η σύνθεση δεν είναι μεταθετική
Γενικά, για δύο συναρτήσεις \(f\) και \(g\), η σύνθεση \(f\circ g\), δηλαδή η συνάρτηση \(f(g(x))\), δεν συμπίπτει με τη σύνθεση \(g\circ f\), δηλαδή τη συνάρτηση \(g(f(x))\), ακόμη και αν ορίζονται και οι δύο.
Το γεγονός αυτό εκφράζεται λέγοντας ότι η σύνθεση συναρτήσεων δεν είναι μεταθετική.
Παράδειγμα
Απάντηση
Για να υπολογίσουμε τη σύνθεση \(f\circ g\), αντικαθιστούμε στη \(f\) τη μεταβλητή \(x\) με τη συνάρτηση \(g(x)\). Επειδή \(g(x)=x^2\), έχουμε \(f(g(x))=f(x^2)=x^2+1\).
Για τη σύνθεση \(g\circ f\), αντικαθιστούμε στη \(g\) τη μεταβλητή \(x\) με τη συνάρτηση \(f(x)\). Επειδή \(f(x)=x+1\), έχουμε \(g(f(x))=g(x+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1\).
Οι συναρτήσεις \(x^2+1\) και \(x^2+2x+1\) δεν είναι ίσες για κάθε \(x\). Επομένως ισχύει \(f\circ g \neq g\circ f\).
Συμπεραίνουμε ότι η σύνθεση συναρτήσεων δεν είναι μεταθετική.
Λύση
Υπολογίζουμε πρώτα τη σύνθεση \(f\circ g\). Επειδή \(g(x)=x^2\), έχουμε \(f(g(x))=f(x^2)=2x^2-1\).
Στη συνέχεια υπολογίζουμε τη σύνθεση \(g\circ f\). Επειδή \(f(x)=2x-1\), έχουμε \(g(f(x))=g(2x-1)=(2x-1)^2=4x^2-4x+1\).
Οι συναρτήσεις \(2x^2-1\) και \(4x^2-4x+1\) δεν είναι ίσες για κάθε \(x\). Άρα ισχύει \(f\circ g \neq g\circ f\).
Επομένως και σε αυτή την περίπτωση η σύνθεση συναρτήσεων δεν είναι μεταθετική.
4. Η σύνθεση είναι προσεταιριστική
Η σύνθεση συναρτήσεων είναι προσεταιριστική. Αυτό σημαίνει ότι, όταν έχουμε τρεις συναρτήσεις \(f\), \(g\) και \(h\), η σειρά με την οποία εκτελούμε τις συνθέσεις δεν αλλάζει το τελικό αποτέλεσμα.
Συγκεκριμένα, εφόσον ορίζονται οι παρακάτω συνθέσεις, ισχύει ότι \((f\circ g)\circ h = f\circ(g\circ h)\).
Η ιδιότητα αυτή δεν πρέπει να συγχέεται με τη μεταθετική ιδιότητα, η οποία γενικά δεν ισχύει στη σύνθεση συναρτήσεων.
Παράδειγμα
Απάντηση
Ξεκινάμε με τη σύνθεση \((f\circ g)\circ h\). Αρχικά εφαρμόζουμε τη συνάρτηση \(h\), οπότε παίρνουμε \(h(x)=x-3\).
Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη συνάρτηση \(g\) στην τιμή \(h(x)\), οπότε \(g(h(x))=2(x-3)=2x-6\).
Τέλος εφαρμόζουμε τη συνάρτηση \(f\) στην τιμή \(g(h(x))\), οπότε \(f(g(h(x)))=f(2x-6)=2x-5\).
Άρα η σύνθεση \((f\circ g)\circ h\) δίνεται από τον τύπο \(((f\circ g)\circ h)(x)=2x-5\).
Υπολογίζουμε τώρα τη σύνθεση \(f\circ(g\circ h)\). Αρχικά έχουμε \((g\circ h)(x)=g(x-3)=2x-6\).
Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη συνάρτηση \(f\) στην τιμή \((g\circ h)(x)\), οπότε \(f((g\circ h)(x))=f(2x-6)=2x-5\).
Άρα και η σύνθεση \(f\circ(g\circ h)\) δίνεται από τον τύπο \((f\circ(g\circ h))(x)=2x-5\).
Εφόσον και οι δύο συνθέσεις καταλήγουν στην ίδια συνάρτηση, συμπεραίνουμε ότι \((f\circ g)\circ h = f\circ(g\circ h)\), οπότε επιβεβαιώνεται η προσεταιριστικότητα της σύνθεσης συναρτήσεων.
Λύση
Υπολογίζουμε πρώτα τη σύνθεση \((f\circ g)\circ h\). Έχουμε αρχικά \(h(x)=x-2\).
Στη συνέχεια \(g(h(x))=g(x-2)=x-1\).
Τέλος \(f(g(h(x)))=f(x-1)=(x-1)^2\). Άρα \(((f\circ g)\circ h)(x)=(x-1)^2\).
Υπολογίζουμε τώρα τη σύνθεση \(f\circ(g\circ h)\). Αρχικά \((g\circ h)(x)=g(x-2)=x-1\).
Στη συνέχεια \(f((g\circ h)(x))=f(x-1)=(x-1)^2\). Άρα \((f\circ(g\circ h))(x)=(x-1)^2\).
Εφόσον και οι δύο συνθέσεις οδηγούν στην ίδια συνάρτηση, συμπεραίνουμε ότι \((f\circ g)\circ h = f\circ(g\circ h)\), οπότε επαληθεύεται και εδώ η προσεταιριστικότητα.
5. Εύρεση συνάρτησης
Σε πολλά προβλήματα ζητείται να προσδιορίσουμε μια άγνωστη συνάρτηση \(g\), όταν γνωρίζουμε μια σχέση που τη συνδέει με άλλες συναρτήσεις.
Αν γνωρίζουμε ότι ισχύει \(f+g=h\), τότε για κάθε \(x\) έχουμε \(f(x)+g(x)=h(x)\) και συνεπώς η άγνωστη συνάρτηση προκύπτει ως \(g(x)=h(x)-f(x)\).
Αντίστοιχα, αν ισχύει \(f\circ g=h\), δηλαδή \(f(g(x))=h(x)\), χρησιμοποιούμε τον τύπο της \(f\) για να εκφράσουμε τη συνάρτηση \(g(x)\).
Παράδειγμα
Απάντηση
Η σχέση \(f+g=h\) σημαίνει ότι για κάθε \(x\) ισχύει \(f(x)+g(x)=h(x)\). Επομένως η άγνωστη συνάρτηση δίνεται από τον τύπο \(g(x)=h(x)-f(x)\).
Εδώ έχουμε \(h(x)=x^2+2x\) και \(f(x)=x^2\), οπότε για κάθε \(x\) προκύπτει \(g(x)=(x^2+2x)-x^2=2x\).
Παράδειγμα
Απάντηση
Η σχέση \(f\circ g=h\) σημαίνει ότι για κάθε \(x\) ισχύει \(f(g(x))=h(x)\).
Επειδή \(f(x)=x+1\), έχουμε \(f(g(x))=g(x)+1\). Άρα η εξίσωση γράφεται ως \(g(x)+1=2x+3\).
Λύνοντας ως προς \(g(x)\), προκύπτει \(g(x)=2x+2\).
Λύση
Η σχέση \(f\circ g=h\) σημαίνει ότι \(f(g(x))=h(x)\) για κάθε \(x\).
Επειδή \(f(x)=2x\), έχουμε \(f(g(x))=2g(x)\). Άρα η εξίσωση γίνεται \(2g(x)=x^2\).
Λύνοντας ως προς \(g(x)\), προκύπτει \(g(x)=\dfrac{x^2}{2}\).
Γενικά θέματα
Απάντηση
Υπολογίζουμε πρώτα την τιμή της συνάρτησης στο \(-x\). Έχουμε \(f(-x)=2e^{-x}-x\).
Η άρτια συνάρτηση προκύπτει από τον τύπο \[ f_{\text{άρτια}}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} =\frac{(2e^x+x)+(2e^{-x}-x)}{2} =e^x+e^{-x}. \]
Η περιττή συνάρτηση προκύπτει από τον τύπο \[ f_{\text{περιττή}}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2} =\frac{(2e^x+x)-(2e^{-x}-x)}{2} =e^x-e^{-x}+x. \]
Επομένως \[ f(x)=(e^x+e^{-x})+(e^x-e^{-x}+x), \] όπου το πρώτο άθροισμα είναι άρτιο και το δεύτερο περιττό.
Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=\dfrac{\alpha x}{x-2}\) και η ταυτοτική \(i(x)=x\).
Να βρεθεί η τιμή του \(\alpha\) ώστε \((f\circ f)(x)=i(x)\) στο \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).
Να εξεταστεί αν είναι ίσες.Απάντηση
Για να ορίζεται η \(\sqrt{x-1}\) πρέπει να ισχύει \(x\ge1\). Τότε \(\sqrt{x-1}\ge0\), άρα \(\sqrt{x-1}+1>0\).
Επομένως \[ |\sqrt{x-1}+1|=\sqrt{x-1}+1 \] για κάθε \(x\ge1\), άρα \(f(x)=g(x)\) στο κοινό πεδίο ορισμού τους.
Απάντηση
Υπολογίζουμε \(f(-x)=(-x)^2-2|-x|=x^2-2|x|=f(x)\), άρα η συνάρτηση είναι άρτια.
Για τις τομές λύνουμε \[ x^2-2|x|=0 \;\Rightarrow\; |x|(|x|-2)=0. \]
Άρα \(x=0\) ή \(x=\pm2\). Τα σημεία τομής είναι \((0,0)\), \((2,0)\), \((-2,0)\).
Απάντηση
Λύνουμε την εξίσωση \[ \ln x=x-1,\quad x>0. \] Για \(x=1\) ισχύει \(\ln1=0=1-1\).
Η εξίσωση έχει μοναδική λύση \(x=1\), άρα μοναδικό σημείο τομής το \((1,0)\).
Απάντηση
Από διάκριση περιπτώσεων προκύπτει ότι \(f(x)\ge2\) για κάθε \(x\), ενώ η ελάχιστη τιμή \(2\) επιτυγχάνεται για κάθε \(x\in[-1,1]\).
Άρα \[ \mathrm{Im}f=[2,+\infty). \]
Απάντηση
Το πεδίο ορισμού είναι \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\), το οποίο δεν είναι συμμετρικό ως προς το \(0\).
Επομένως η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
Απάντηση
Υπολογίζουμε \(f(-x)=\ln(x^2+2x+2)\), που γενικά δεν ισούται με \(f(x)=\ln(x^2-2x+2)\).
Άρα η συνάρτηση δεν είναι άρτια.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να βρείτε τη συνάρτηση \(h = g \circ f\), αν \(f(x)=\frac{x+1}{x-1}\), \(g(x)=\frac{x-1}{x+1}\), για \(x \neq -1\).
Να βρείτε τις συναρτήσεις \(g\circ f\) και \(f\circ g\), αν \(f(x)=e^x\) και \(g(x)=\ln x\), όπου αυτές ορίζονται.
Να εκφράσετε τη συνάρτηση \(f(x)=\sqrt{1-x}\) ως σύνθεση δύο συναρτήσεων.
Να βρείτε τη συνάρτηση \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), αν \((f\circ g)(x)=x^2+2x+2\) και \(g(x)=x+1\), για κάθε \(x\in\mathbb{R}\).
Να βρείτε τη συνάρτηση \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), αν \((f\circ g)(x)=x+2\) και \(f(x)=x-1\), για κάθε \(x\in\mathbb{R}\).
Αν \(f(x)=\alpha x^2\), με \(\alpha>0\), να βρείτε το \(\alpha\) ώστε στο \(\mathbb{R}^*\) να ισχύει \((f\circ f^{-1})(x)=(f^{-1}\circ f)(x)\).
Αν ισχύει \((f\circ f)(x)=x\) και \((f\circ f\circ f)(x)=x+\alpha\), για κάθε \(x\in\mathbb{R}\), να αποδείξετε ότι \(f(x)=x\).
Να βρείτε τις συναρτήσεις \(g\circ f\) και \(f\circ g\), αν \(f(x)=\etaμ x\) και \(g(x)=1\), για κάθε \(x\in\mathbb{R}\).
Τέλος του μαθήματος