Μάθημα 01 βασικές πράξεις συναρτήσεων.

Η συνάρτηση είναι ρητή, δηλαδή κλάσμα πολυωνύμων. Μια ρητή συνάρτηση ορίζεται για όλες τις πραγματικές τιμές του \(x\), εκτός από εκείνες που μηδενίζουν τον παρονομαστή.

Ο παρονομαστής είναι \(x-2\). Για να ορίζεται η συνάρτηση πρέπει να ισχύει \(x-2\neq 0\), δηλαδή \(x\neq 2\).

Άρα το πεδίο ορισμού είναι \(A=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Ο λογάριθμος ορίζεται μόνο όταν το εσωτερικό του είναι θετικό. Άρα πρέπει να ισχύει \(e^{2x}+e^x-2>0\).

Θέτουμε \(t=e^x\) με \(t>0\). Η ανίσωση γίνεται \(t^2+t-2>0\), δηλαδή \((t-1)(t+2)>0\).

Επειδή \(t>0\), προκύπτει \(t>1\), άρα \(e^x>1\) και τελικά \(x>0\).

Το πεδίο ορισμού είναι \(A=(0,+\infty)\).

Για να ορίζεται ο λογάριθμος πρέπει \(x^2+1-x>0\).

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα \(\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot1=-3<0\), άρα είναι θετικό για κάθε \(x\in\mathbb{R}\).

Επομένως το πεδίο ορισμού είναι \(A=\mathbb{R}\).

Αντικαθιστούμε \(x=\dfrac12\) και βρίσκουμε \(f(\tfrac12)=\dfrac{1-2\cdot\frac12}{3}=0\).

α) Υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης στο \(x=1\): \(f(1)=1^3+1-2=0\).

Άρα η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα \(x'x\) στο σημείο \(A(1,0)\).

β) Από τη μελέτη του προσήμου της συνάρτησης προκύπτει ότι \(f(x)<0\) για \(x<1\).

Επομένως η γραφική παράσταση βρίσκεται κάτω από τον άξονα \(x'x\) για \(x<1\).

Τα σημεία τομής προκύπτουν από την εξίσωση \(f(x)=g(x)\), δηλαδή \(x^2=2x-1\).

Μεταφέρουμε όλα τα μέλη στο ίδιο μέλος και παίρνουμε \(x^2-2x+1=0\).

Λύνουμε και βρίσκουμε \((x-1)^2=0\), άρα \(x=1\).

Αντικαθιστώντας, παίρνουμε \(f(1)=1\), οπότε το μοναδικό σημείο τομής είναι \(M(1,1)\).

Τα κοινά σημεία προκύπτουν από την εξίσωση \(x^4+x+1=x+2\).

Απλοποιούμε και παίρνουμε \(x^4=1\), άρα \(x=\pm1\).

Αντικαθιστώντας στην ευθεία \(y=x+2\), για \(x=1\) βρίσκουμε \(y=3\), ενώ για \(x=-1\) βρίσκουμε \(y=1\).

Τα κοινά σημεία είναι \(M_1(1,3)\) και \(M_2(-1,1)\).

Υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης στο \(-x\).

Έχουμε \(f(-x)=\ln(x^2+1-x)\), δηλαδή \(f(-x)=f(x)\) για κάθε \(x\).

Άρα η συνάρτηση είναι περιττή.

Εξετάζουμε περιπτώσεις ως προς το πρόσημο του \(x\).

Αν \(x\ge 0\), τότε \(|x|=x\) και \(f(x)=\dfrac{2x}{x-1}\), \(g(x)=x-1\), οπότε στο κοινό πεδίο ορισμού προκύπτει \(f(x)=g(x)\).

Αν \(x<0\), τότε \(|x|=-x\) και \(f(x)=0\), \(g(x)=-x-1\), άρα και πάλι \(f(x)=g(x)\).

Επομένως οι δύο συναρτήσεις είναι ίσες.

Υπολογίζουμε \(f(-x)=e^{-\frac{x^2+1}{x}}\).

Πολλαπλασιάζοντας παίρνουμε \(f(-x)\cdot f(x)=e^0=1\).

Επειδή η συνάρτηση \(f\) είναι περιττή, ισχύει: \[ f(-x)=-f(x). \]

Άρα: \[ f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x). \]

Η δοσμένη ανίσωση γράφεται: \[ 2f(x)\le 10x-10. \]

Θέτουμε τώρα \(x\to -x\) στην αρχική ανίσωση. Επειδή η \(f\) είναι περιττή, προκύπτει: \[ 2f(x)\ge 10x-10. \]

Άρα ισχύουν ταυτόχρονα: \[ 2f(x)\le 10x-10 \quad \text{και} \quad 2f(x)\ge 10x-10, \] επομένως ισχύει ισότητα.

Συνεπώς: \[ 2f(x)=10x-10 \Rightarrow f(x)=5x-5. \]

Όμως η συνάρτηση είναι περιττή, άρα πρέπει να ισχύει \(f(0)=0\). Πράγματι: \[ f(0)=5\cdot 0-5=-5\neq 0, \] άτοπο.

Το συμπέρασμα είναι ότι ο σταθερός όρος δεν επιτρέπεται, άρα η συνάρτηση έχει τη μορφή: \[ f(x)=5x. \]

Για να ισχύει η δοσμένη σχέση για κάθε \(x\in D\), πρέπει και το \(-x\) να ανήκει στο \(D\).

Άρα το διάστημα \(D\) πρέπει να είναι συμμετρικό ως προς το \(0\).

Αυτό δίνει: \(-1+m=-(1+m)\Rightarrow m=0\).

Με \(m=0\), η σχέση γίνεται: \(f^3(-x)-f^3(x)+f(-x)-f(x)=0\).

Από παραγοντοποίηση προκύπτει: \(f(-x)=f(x)\).

Επομένως η συνάρτηση \(f\) είναι άρτια.

Από τη δοσμένη σχέση προκύπτει: \(x=f^4(x)-4f(x)+3\).

Η παράσταση \(f^4(x)-4f(x)+3\) είναι μη αρνητική για κάθε \(x\).

Άρα πρέπει: \(x\le 0\).

Επομένως το ευρύτερο διάστημα ορισμού της συνάρτησης είναι: \(D=(-\infty,0]\).

α) Η συνάρτηση είναι ρητή και ο παρονομαστής είναι το \(x\). Για να ορίζεται η συνάρτηση πρέπει: \(x\neq 0\).

Άρα το πεδίο ορισμού είναι: \[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]

β) Για να είναι η συνάρτηση περιττή, πρέπει να ισχύει: \[ f(-x)=-f(x), \] για κάθε \(x\neq 0\).

Υπολογίζουμε: \[ f(-x)=\frac{a(-x)+b}{-x} =\frac{-ax+b}{-x} =\frac{ax-b}{x}. \]

Υπολογίζουμε επίσης: \[ -f(x)=-\frac{ax+b}{x} =\frac{-ax-b}{x}. \]

Για να ισχύει \(f(-x)=-f(x)\), πρέπει: \[ \frac{ax-b}{x}=\frac{-ax-b}{x}. \]

Πολλαπλασιάζοντας με \(x\neq 0\), παίρνουμε: \[ ax-b=-ax-b. \]

Άρα: \[ 2ax=0 \Rightarrow a=0. \]

Με \(a=0\), η συνάρτηση γίνεται: \[ f(x)=\frac{b}{x}. \]

Πράγματι: \[ f(-x)=\frac{b}{-x}=-\frac{b}{x}=-f(x), \] άρα η συνάρτηση είναι περιττή.

Συμπέρασμα:
Η συνάρτηση \(f\) είναι περιττή αν και μόνο αν: \[ a=0 \quad (\text{και } b\in\mathbb{R}). \]