Mαθαίνω μαθηματικά
Μάθημα 19 – Ασύμπτωτες Συνάρτησης
1. Έννοια ασύμπτωτης
Μια ευθεία λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης όταν η γραφική πλησιάζει την ευθεία χωρίς να ταυτίζεται με αυτή.
Οι ασύμπτωτες προσδιορίζονται με τη βοήθεια ορίων.
2. Κατακόρυφες ασύμπτωτες
Η ευθεία x=a λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη, αν ισχύει:
\lim_{x \to a^\pm} f(x)=\pm\infty
Παράδειγμα:
f(x)=1/(x−1)
Κατακόρυφη ασύμπτωτη: x=1
f(x)=1/(x−1)
Κατακόρυφη ασύμπτωτη: x=1
3. Οριζόντιες ασύμπτωτες
Η ευθεία y=L λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη, αν:
\lim_{x \to \pm\infty} f(x)=L
Παράδειγμα:
f(x)=1/x ⇒ lim x→±∞ f(x)=0
Οριζόντια ασύμπτωτη: y=0
f(x)=1/x ⇒ lim x→±∞ f(x)=0
Οριζόντια ασύμπτωτη: y=0
4. Πλάγιες ασύμπτωτες
Η ευθεία y=ax+b (a≠0) λέγεται πλάγια ασύμπτωτη, αν:
\lim_{x \to \pm\infty} [f(x)−(ax+b)]=0
Υπολογισμός:
a = lim f(x)/x
b = lim [f(x)−ax]
a = lim f(x)/x
b = lim [f(x)−ax]
5. Παράδειγμα πλάγιας ασύμπτωτης
Παράδειγμα:
f(x)=(2x²+1)/x = 2x + 1/x
a=2, b=0 ⇒ πλάγια ασύμπτωτη: y=2x
f(x)=(2x²+1)/x = 2x + 1/x
a=2, b=0 ⇒ πλάγια ασύμπτωτη: y=2x
6. Παρατηρήσεις
• Οριζόντια και πλάγια ασύμπτωτη δεν συνυπάρχουν στο ίδιο άπειρο
• Μπορεί να υπάρχουν διαφορετικές ασύμπτωτες στο +∞ και −∞
• Μπορεί να υπάρχουν διαφορετικές ασύμπτωτες στο +∞ και −∞
7. Ασύμπτωτες και γραφική παράσταση
Οι ασύμπτωτες βοηθούν στη σωστή χάραξη της γραφικής παράστασης.
8. Συνηθισμένα λάθη μαθητών
• Θεωρούν ότι κάθε όριο στο άπειρο δίνει ασύμπτωτη
• Υπολογίζουν λάθος τον συντελεστή a
• Μπερδεύουν οριζόντια με πλάγια ασύμπτωτη
• Υπολογίζουν λάθος τον συντελεστή a
• Μπερδεύουν οριζόντια με πλάγια ασύμπτωτη
9. Σύνοψη
• Κατακόρυφη: όριο σε πεπερασμένο σημείο
• Οριζόντια: όριο στο άπειρο
• Πλάγια: σύγκριση με ευθεία ax+b