ΜΑΘΗΜΑ 01 – Πώς αποφασίζω τι μέθοδο χρειάζομαι

01α. Τι κάνω πριν γράψω πράξεις

Στα μαθηματικά δεν ξεκινάω ποτέ με πράξεις. Πριν από κάθε λύση, προσπαθώ πρώτα να καταλάβω ποια ιδέα ή ποιο εργαλείο χρειάζεται.

01β. Οι δύο βασικές ερωτήσεις

• Τι μου δίνουν;
• Τι μου ζητούν;

01γ. Τα σταθερά βήματα σκέψης

01γ.1 Διαβάζω προσεκτικά την εκφώνηση.
01γ.2 Εντοπίζω λέξεις–κλειδιά.
01γ.3 Καταλαβαίνω τι είδους αποτέλεσμα ζητείται.
01γ.4 Επιλέγω τη μέθοδο που ταιριάζει.

01δ. Παράδειγμα 1

Εκφώνηση: Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει τουλάχιστον μία λύση στο (1,3).

Ζητείται ύπαρξη λύσης σε διάστημα.

Συμπέρασμα: Θεώρημα Bolzano.

01ε. Παράδειγμα 2

Εκφώνηση: Αν η f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και ισχύει f(α)=f(β), να δείξετε ότι υπάρχει ξ∈(α,β) με f′(ξ)=0.

Δίνονται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος.

Συμπέρασμα: Θεώρημα Rolle.

01στ. Παράδειγμα 3

Εκφώνηση: Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ∈(α,β) τέτοιο ώστε f′(ξ) = (f(β) − f(α))/(β − α).

Ζητείται σχέση παραγώγου με λόγο μεταβολής.

Συμπέρασμα: Θεώρημα Μέσης Τιμής.

01ζ. Παράδειγμα 4

Εκφώνηση: Να δείξετε ότι η εξίσωση e^x = x + 2 έχει τουλάχιστον μία λύση.

Ζητείται ύπαρξη λύσης.

Συμπέρασμα: Θεώρημα Bolzano.

01η. Παράδειγμα 5

Εκφώνηση: Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ και f′(x)=0 για κάθε x, να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή.

Η παράγωγος είναι μηδέν παντού.

Συμπέρασμα: Ιδιότητα σταθερής συνάρτησης.

01θ. Τι κρατάμε

Δεν ξεκινάω τυχαία.
Δεν δοκιμάζω με τύχη.
Αναγνωρίζω πρώτα το είδος του θέματος και μετά λύνω.