01Δ. Ακρότατα Συναρτήσεων
Θεωρία, κατανόηση και εφαρμογές — επιλογή με κλικ και αναλυτική πτυσσόμενη απάντηση.
📘
ΘΕΩΡΙΑ
1.
Πότε λέμε ότι η συνάρτηση \(f\) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο \(x_0\);
Σωστή απάντηση: Β
Για ολικό ελάχιστο απαιτείται \(f(x)\ge f(x_0)\) για κάθε \(x\) του πεδίου ορισμού. Η τιμή \(f(x_0)\) είναι η μικρότερη τιμή που πραγματικά παίρνει η συνάρτηση.
Για ολικό ελάχιστο απαιτείται \(f(x)\ge f(x_0)\) για κάθε \(x\) του πεδίου ορισμού. Η τιμή \(f(x_0)\) είναι η μικρότερη τιμή που πραγματικά παίρνει η συνάρτηση.
📘
ΘΕΩΡΙΑ
2.
Πότε λέμε ότι η συνάρτηση \(f\) παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο \(x_0\);
Σωστή απάντηση: Α
Για ολικό μέγιστο απαιτείται \(f(x)\le f(x_0)\) για κάθε \(x\). Άρα η \(f(x_0)\) είναι η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης.
Για ολικό μέγιστο απαιτείται \(f(x)\le f(x_0)\) για κάθε \(x\). Άρα η \(f(x_0)\) είναι η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης.
✓✕
ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ
3.
Αν \(f(x)\ge y_0\) για κάθε \(x\), τότε το \(y_0\) είναι οπωσδήποτε ολικό ελάχιστο της \(f\).
Σωστή απάντηση: Λάθος
Δεν αρκεί το \(y_0\) να είναι κάτω φράγμα. Πρέπει επιπλέον να υπάρχει \(x_0\) ώστε \(f(x_0)=y_0\). Για παράδειγμα, \(f(x)=x^2+1\) ικανοποιεί \(f(x)\ge0\), αλλά δεν παίρνει ποτέ την τιμή \(0\).
Δεν αρκεί το \(y_0\) να είναι κάτω φράγμα. Πρέπει επιπλέον να υπάρχει \(x_0\) ώστε \(f(x_0)=y_0\). Για παράδειγμα, \(f(x)=x^2+1\) ικανοποιεί \(f(x)\ge0\), αλλά δεν παίρνει ποτέ την τιμή \(0\).
☷
ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ
4.
Αν \(f(x)=c\) είναι σταθερή συνάρτηση, τότε:
Σωστή απάντηση: Δ
Όλες οι τιμές της συνάρτησης είναι ίσες με \(c\). Επομένως η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή συμπίπτουν και είναι ίσες με \(c\).
Όλες οι τιμές της συνάρτησης είναι ίσες με \(c\). Επομένως η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή συμπίπτουν και είναι ίσες με \(c\).
⚠
ΠΑΓΙΔΑ
5.
Μια γνησίως μονότονη συνάρτηση δεν μπορεί ποτέ να έχει ολικό ακρότατο.
Σωστή απάντηση: Λάθος
Η διατύπωση είναι λανθασμένη. Σε ανοιχτό διάστημα δεν έχει ακρότατο στο εσωτερικό, αλλά σε κλειστό διάστημα μπορεί να έχει ολικά ακρότατα στα άκρα. Για παράδειγμα, \(f(x)=x\) στο \([0,2]\) έχει ελάχιστο \(0\) και μέγιστο \(2\).
Η διατύπωση είναι λανθασμένη. Σε ανοιχτό διάστημα δεν έχει ακρότατο στο εσωτερικό, αλλά σε κλειστό διάστημα μπορεί να έχει ολικά ακρότατα στα άκρα. Για παράδειγμα, \(f(x)=x\) στο \([0,2]\) έχει ελάχιστο \(0\) και μέγιστο \(2\).
🎯
ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ
6.
Αν το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης είναι \((-2,5]\), τι συμπεραίνουμε;
Σωστή απάντηση: Β
Το \(5\) ανήκει στο σύνολο τιμών, άρα είναι η μεγαλύτερη τιμή και αποτελεί ολικό μέγιστο. Το \(-2\) δεν ανήκει στο σύνολο τιμών, άρα δεν είναι ελάχιστη τιμή.
Το \(5\) ανήκει στο σύνολο τιμών, άρα είναι η μεγαλύτερη τιμή και αποτελεί ολικό μέγιστο. Το \(-2\) δεν ανήκει στο σύνολο τιμών, άρα δεν είναι ελάχιστη τιμή.
✓✕
ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ
7.
Αν \(f(x)<0\) για κάθε \(x\in\mathbb R\), τότε η \(f\) δεν μπορεί να έχει μέγιστο.
Σωστή απάντηση: Λάθος
Το πρόσημο των τιμών δεν καθορίζει την ύπαρξη μεγίστου. Για παράδειγμα, \(f(x)=-x^2-1\) έχει όλες τις τιμές αρνητικές, αλλά παρουσιάζει ολικό μέγιστο \(-1\) στο \(x=0\).
Το πρόσημο των τιμών δεν καθορίζει την ύπαρξη μεγίστου. Για παράδειγμα, \(f(x)=-x^2-1\) έχει όλες τις τιμές αρνητικές, αλλά παρουσιάζει ολικό μέγιστο \(-1\) στο \(x=0\).
🔎
ΒΡΕΣ ΤΟ ΛΑΘΟΣ
8.
Μαθητής λέει: «Αφού \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), δεν μπορεί να έχει ολικό ελάχιστο». Ποια επιλογή τον διορθώνει;
Σωστή απάντηση: Β
Το πεδίο ορισμού \(\mathbb R\) δεν αποκλείει τα ακρότατα. Η \(f(x)=x^2\) είναι ορισμένη σε όλο το \(\mathbb R\) και έχει ολικό ελάχιστο \(f(0)=0\).
Το πεδίο ορισμού \(\mathbb R\) δεν αποκλείει τα ακρότατα. Η \(f(x)=x^2\) είναι ορισμένη σε όλο το \(\mathbb R\) και έχει ολικό ελάχιστο \(f(0)=0\).
🎯
ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ
9.
Αν μια περιττή συνάρτηση έχει ολικό μέγιστο στο \(-a\), τι συμβαίνει στο \(a\);
Σωστή απάντηση: Β
Για περιττή συνάρτηση ισχύει \(f(-x)=-f(x)\). Η συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων μετατρέπει τη μέγιστη τιμή στο \(-a\) στην αντίθετή της, δηλαδή στην ελάχιστη τιμή στο \(a\).
Για περιττή συνάρτηση ισχύει \(f(-x)=-f(x)\). Η συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων μετατρέπει τη μέγιστη τιμή στο \(-a\) στην αντίθετή της, δηλαδή στην ελάχιστη τιμή στο \(a\).
▶▶
ΕΠΟΜΕΝΟ ΒΗΜΑ
10.
Για τη συνάρτηση \(f(x)=1-\sqrt{x-2}\), ποια παρατήρηση οδηγεί άμεσα στο μέγιστο;
Σωστή απάντηση: Α
Επειδή \(x\ge2\), έχουμε \(\sqrt{x-2}\ge0\), άρα \(f(x)=1-\sqrt{x-2}\le1\). Η ισότητα επιτυγχάνεται στο \(x=2\), επομένως \(f_{max}=1\). Η συνάρτηση δεν έχει ελάχιστο.
Επειδή \(x\ge2\), έχουμε \(\sqrt{x-2}\ge0\), άρα \(f(x)=1-\sqrt{x-2}\le1\). Η ισότητα επιτυγχάνεται στο \(x=2\), επομένως \(f_{max}=1\). Η συνάρτηση δεν έχει ελάχιστο.
☷
ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ
11.
Για \(f(x)=1-x-\sqrt{x}\), \(0\le x\le1\), τα ολικά ακρότατα είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο \([0,1]\). Άρα το μέγιστο εμφανίζεται στο αριστερό άκρο: \(f(0)=1\), και το ελάχιστο στο δεξί: \(f(1)=-1\).
Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο \([0,1]\). Άρα το μέγιστο εμφανίζεται στο αριστερό άκρο: \(f(0)=1\), και το ελάχιστο στο δεξί: \(f(1)=-1\).
⚠
ΠΑΓΙΔΑ
12.
Η συνάρτηση \(f(x)=\ln(1+x)\) έχει ελάχιστο επειδή το πεδίο ορισμού της ξεκινά από το \(-1\).
Σωστή απάντηση: Λάθος
Το πεδίο ορισμού είναι \((-1,+\infty)\), άρα το \(-1\) δεν ανήκει σε αυτό. Η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα και το σύνολο τιμών της είναι \(\mathbb R\), επομένως δεν έχει ούτε ελάχιστο ούτε μέγιστο.
Το πεδίο ορισμού είναι \((-1,+\infty)\), άρα το \(-1\) δεν ανήκει σε αυτό. Η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα και το σύνολο τιμών της είναι \(\mathbb R\), επομένως δεν έχει ούτε ελάχιστο ούτε μέγιστο.
🎯
ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ
13.
Για \(f(x)=\frac{10^x-1}{10^x+1}\), ποιο είναι το σύνολο τιμών;
Σωστή απάντηση: Β
Λύνοντας ως προς \(10^x\) προκύπτει \(10^x=\frac{1+y}{1-y}>0\), άρα \(-1
Λύνοντας ως προς \(10^x\) προκύπτει \(10^x=\frac{1+y}{1-y}>0\), άρα \(-1
☷
ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ
14.
Η συνάρτηση \(f(x)=\frac{1}{2+ημx}\) έχει:
Σωστή απάντηση: Α
Από \(-1\le ημx\le1\) παίρνουμε \(1\le2+ημx\le3\). Επειδή οι ποσότητες είναι θετικές, \(\frac13\le\frac1{2+ημx}\le1\). Άρα \(f_{min}=\frac13\) και \(f_{max}=1\).
Από \(-1\le ημx\le1\) παίρνουμε \(1\le2+ημx\le3\). Επειδή οι ποσότητες είναι θετικές, \(\frac13\le\frac1{2+ημx}\le1\). Άρα \(f_{min}=\frac13\) και \(f_{max}=1\).
▶▶
ΕΠΟΜΕΝΟ ΒΗΜΑ
15.
Για να δείξουμε ότι \(f(x)=x^4-4x+3\) έχει ελάχιστο στο \(x=1\), ποια μορφή είναι η πιο χρήσιμη;
Σωστή απάντηση: Α
Έχουμε \(f(x)=(x-1)^2(x^2+2x+3)\). Ο πρώτος παράγοντας είναι μη αρνητικός και \(x^2+2x+3=(x+1)^2+2>0\). Άρα \(f(x)\ge0=f(1)\), οπότε το ελάχιστο είναι \(0\) στο \(x=1\).
Έχουμε \(f(x)=(x-1)^2(x^2+2x+3)\). Ο πρώτος παράγοντας είναι μη αρνητικός και \(x^2+2x+3=(x+1)^2+2>0\). Άρα \(f(x)\ge0=f(1)\), οπότε το ελάχιστο είναι \(0\) στο \(x=1\).
☷
ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ
16.
Για ποιες τιμές του \(α\) η \(f(x)=x^2-2αx+3\) έχει ελάχιστη τιμή \(2\);
Σωστή απάντηση: Δ
Ολοκληρώνουμε τετράγωνο: \(f(x)=(x-α)^2+3-α^2\). Άρα \(f_{min}=3-α^2\). Θέλουμε \(3-α^2=2\), οπότε \(α^2=1\) και συνεπώς \(α=\pm1\).
Ολοκληρώνουμε τετράγωνο: \(f(x)=(x-α)^2+3-α^2\). Άρα \(f_{min}=3-α^2\). Θέλουμε \(3-α^2=2\), οπότε \(α^2=1\) και συνεπώς \(α=\pm1\).
🔎
ΒΡΕΣ ΤΟ ΛΑΘΟΣ
17.
Για ορθογώνιο με περίμετρο \(4\), μαθητής γράφει \(x+y=4\). Ποιο είναι το σωστό;
Σωστή απάντηση: Β
Η περίμετρος είναι \(2x+2y=4\). Διαιρώντας με \(2\), παίρνουμε \(x+y=2\). Άρα \(y=2-x\) και το εμβαδόν γίνεται \(E(x)=x(2-x)=1-(x-1)^2\), με μέγιστο \(1\) για \(x=y=1\).
Η περίμετρος είναι \(2x+2y=4\). Διαιρώντας με \(2\), παίρνουμε \(x+y=2\). Άρα \(y=2-x\) και το εμβαδόν γίνεται \(E(x)=x(2-x)=1-(x-1)^2\), με μέγιστο \(1\) για \(x=y=1\).
🎯
ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ
18.
Αν το σύνολο τιμών της \(f\) είναι \([0,+\infty)\) και \(g(x)=1-f(x)\), ποια είναι η μέγιστη τιμή της \(g\);
Σωστή απάντηση: Β
Αφού \(f(x)\ge0\), έχουμε \(g(x)=1-f(x)\le1\). Επειδή όμως το \(0\) ανήκει στο σύνολο τιμών της \(f\), υπάρχει \(x_0\) με \(f(x_0)=0\), άρα \(g(x_0)=1\). Επομένως \(g_{max}=1\).
Αφού \(f(x)\ge0\), έχουμε \(g(x)=1-f(x)\le1\). Επειδή όμως το \(0\) ανήκει στο σύνολο τιμών της \(f\), υπάρχει \(x_0\) με \(f(x_0)=0\), άρα \(g(x_0)=1\). Επομένως \(g_{max}=1\).
▶▶
ΕΠΟΜΕΝΟ ΒΗΜΑ
19.
Η \(f\) έχει ελάχιστο \(1\) μόνο στο \(x=1\) και η \(g\) μέγιστο \(1\) μόνο στο \(x=1\). Για να λυθεί \(f(x)=g(2x-1)\), τι πρέπει να ισχύει;
Σωστή απάντηση: Β
Έχουμε πάντα \(f(x)\ge1\) και \(g(2x-1)\le1\). Για να είναι ίσα, πρέπει και τα δύο μέλη να είναι \(1\). Τότε από το μοναδικό ελάχιστο της \(f\) παίρνουμε \(x=1\), ενώ από το μοναδικό μέγιστο της \(g\), \(2x-1=1\), πάλι \(x=1\).
Έχουμε πάντα \(f(x)\ge1\) και \(g(2x-1)\le1\). Για να είναι ίσα, πρέπει και τα δύο μέλη να είναι \(1\). Τότε από το μοναδικό ελάχιστο της \(f\) παίρνουμε \(x=1\), ενώ από το μοναδικό μέγιστο της \(g\), \(2x-1=1\), πάλι \(x=1\).
⚠
ΠΑΓΙΔΑ
20.
Αν μια συνάρτηση έχει μέγιστη τιμή \(M\), τότε η εξίσωση \(f(x)=M\) έχει υποχρεωτικά μία μόνο λύση.
Σωστή απάντηση: Λάθος
Το ολικό μέγιστο είναι τιμή, όχι κατ’ ανάγκη μοναδική θέση. Μια συνάρτηση μπορεί να παίρνει τη μέγιστη τιμή της σε περισσότερα από ένα σημεία. Μοναδικότητα θέσης απαιτεί πρόσθετη πληροφορία.
Το ολικό μέγιστο είναι τιμή, όχι κατ’ ανάγκη μοναδική θέση. Μια συνάρτηση μπορεί να παίρνει τη μέγιστη τιμή της σε περισσότερα από ένα σημεία. Μοναδικότητα θέσης απαιτεί πρόσθετη πληροφορία.