04 Ακρότατα συναρτήσεων – ΣΤΥΛ ΜΑΘΗΜΑ

01_Δ. Ακρότατα συναρτήσεων

ΘΕΩΡΙΑ

1📘 Ολικό ελάχιστο και ολικό μέγιστο

Έστω μία συνάρτηση \(f\) με πεδίο ορισμού \(A_f\) και \(x_0\in A_f\). Στην ενότητα αυτή μελετάμε τα ολικά ακρότατα, δηλαδή τις μικρότερες και τις μεγαλύτερες τιμές που παίρνει η συνάρτηση σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της.

Ολικό ελάχιστο: Η \(f\) παρουσιάζει στο \(x_0\) ολικό ελάχιστο το \(f(x_0)\), όταν \(f(x)\geq f(x_0)\) για κάθε \(x\in A_f\).

Ολικό μέγιστο: Η \(f\) παρουσιάζει στο \(x_0\) ολικό μέγιστο το \(f(x_0)\), όταν \(f(x)\leq f(x_0)\) για κάθε \(x\in A_f\).

Ο αριθμός \(x_0\) λέγεται θέση του ακροτάτου, ενώ ο αριθμός \(f(x_0)\) είναι η τιμή του ακροτάτου.

Μία συνάρτηση μπορεί να έχει μόνο ελάχιστο, μόνο μέγιστο, και τα δύο ή κανένα ακρότατο.

Προσοχή: Δεν λέμε ότι το \(x_0\) είναι το ελάχιστο ή το μέγιστο. Το \(x_0\) είναι η θέση και το \(f(x_0)\) είναι η τιμή του ακροτάτου.

Να θυμάμαι: Ελάχιστο σημαίνει \(f(x)\geq f(x_0)\), ενώ μέγιστο σημαίνει \(f(x)\leq f(x_0)\).

2📘 Γεωμετρική ερμηνεία των ακροτάτων

Στη γραφική παράσταση, το ολικό ελάχιστο είναι το χαμηλότερο ύψος που φτάνει η καμπύλη και το ολικό μέγιστο είναι το υψηλότερο ύψος της.

Ακριβή παραδείγματα: \(f(x)=(x-1)^2+1\) και \(g(x)=4-(x+1)^2\)

Το σχήμα έχει σχεδιαστεί αναλογικά από τον ακριβή τύπο της συνάρτησης, με σωστή θέση ακροτάτων και σωστά άκρα του πεδίου ορισμού.

Η \(f(x)=(x-1)^2+1\) έχει στο \(x=1\) ολικό ελάχιστο το \(1\), επειδή \((x-1)^2\geq0\).

Η \(g(x)=4-(x+1)^2\) έχει στο \(x=-1\) ολικό μέγιστο το \(4\), επειδή \(-(x+1)^2\leq0\).

Γεωμετρικά: Το ακρότατο είναι τεταγμένη σημείου της γραφικής παράστασης και όχι η τετμημένη του.

3📘 Εύρεση ακροτάτου με φράγμα

Η πιο βασική μέθοδος είναι να βρούμε έναν αριθμό που αποτελεί κάτω ή πάνω φράγμα των τιμών της συνάρτησης και στη συνέχεια να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση παίρνει πράγματι αυτή την τιμή.

Για ελάχιστο αναζητούμε σχέση \(f(x)\geq m\), για κάθε \(x\in A_f\).

Βρίσκουμε \(x_0\in A_f\) ώστε \(f(x_0)=m\).

Τότε \(f(x)\geq f(x_0)\), άρα η \(f\) παρουσιάζει στο \(x_0\) ελάχιστο το \(m\).

Για μέγιστο αναζητούμε σχέση \(f(x)\leq M\), για κάθε \(x\in A_f\).

Βρίσκουμε \(x_0\in A_f\) ώστε \(f(x_0)=M\).

Τότε \(f(x)\leq f(x_0)\), άρα η \(f\) παρουσιάζει στο \(x_0\) μέγιστο το \(M\).

Το φράγμα δεν αρκεί: Από \(f(x)\leq2\) δεν προκύπτει ότι το \(2\) είναι μέγιστο. Πρέπει να υπάρχει \(x_0\) για το οποίο \(f(x_0)=2\).

Δύο υποχρεωτικά βήματα: Φράγμα και επίτευξη της ισότητας.

4📘 Χρήσιμοι αλγεβρικοί μετασχηματισμοί

Πολλές συναρτήσεις δεν εμφανίζουν άμεσα το ακρότατό τους. Με κατάλληλη μετατροπή του τύπου, δημιουργούμε τετράγωνα ή άλλες μη αρνητικές παραστάσεις.

Συμπλήρωση τετραγώνου: \(x^2-2x+2=(x-1)^2+1\geq1\).

Παραγοντοποίηση: Αν \(f(x)=(x-1)^2(x^2+2x+2)\), τότε και οι δύο παράγοντες είναι μη αρνητικοί, άρα \(f(x)\geq0\).

Απόλυτη τιμή: Χρησιμοποιούμε \(|A|+|B|\geq|A+B|\).

Κλάσματα: Αναζητούμε γνωστές ανισότητες, όπως \((|x|-1)^2\geq0\), ώστε να προκύψει άνω ή κάτω φράγμα.

Πολλαπλός τύπος: Μελετάμε χωριστά κάθε κλάδο και στο τέλος συγκρίνουμε όλες τις τιμές που προκύπτουν.

Πώς σκέφτομαι: Προσπαθώ να γράψω τον τύπο ως «σταθερός αριθμός ± μη αρνητική παράσταση».

Τυπικές μορφές: \(f(x)=m+Q(x)\), \(Q(x)\geq0\), για ελάχιστο και \(f(x)=M-Q(x)\), \(Q(x)\geq0\), για μέγιστο.

5📘 Ακρότατα με τη βοήθεια της μονοτονίας

Όταν γνωρίζουμε τη μονοτονία μίας συνάρτησης σε κλειστό διάστημα, τα ακρότατα βρίσκονται στα άκρα του διαστήματος.

Αν η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο \([a,b]\), τότε \(f(a)\leq f(x)\leq f(b)\).

Άρα η \(f\) έχει στο \(a\) ελάχιστο το \(f(a)\) και στο \(b\) μέγιστο το \(f(b)\).

Αν η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \([a,b]\), τότε \(f(b)\leq f(x)\leq f(a)\).

Άρα η \(f\) έχει στο \(b\) ελάχιστο το \(f(b)\) και στο \(a\) μέγιστο το \(f(a)\).

Σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εξετάζουμε τη μονοτονία σε κάθε τμήμα και συγκρίνουμε τις ακραίες τιμές όλων των τμημάτων.

Προσοχή στα ανοιχτά διαστήματα: Μία γνησίως μονότονη συνάρτηση σε ανοιχτό διάστημα μπορεί να μην έχει ακρότατα, επειδή οι οριακές τιμές στα άκρα δεν λαμβάνονται.

Κλειστό διάστημα: Τα άκρα συμμετέχουν και μπορούν να δώσουν ακρότατα.

6📘 Ακρότατα από το σύνολο τιμών

Το σύνολο τιμών περιέχει όλες τις τιμές που παίρνει η συνάρτηση. Επομένως, από τα άκρα του συνόλου τιμών μπορούμε να συμπεράνουμε αν υπάρχουν ακρότατα.

Αν \(f(A_f)=[m,M]\), τότε η \(f\) έχει ελάχιστο \(m\) και μέγιστο \(M\).

Αν \(f(A_f)=[m,+\infty)\), τότε έχει ελάχιστο \(m\), αλλά δεν έχει μέγιστο.

Αν \(f(A_f)=(-\infty,M]\), τότε έχει μέγιστο \(M\), αλλά δεν έχει ελάχιστο.

Αν \(f(A_f)=(m,M)\), δεν έχει ούτε ελάχιστο ούτε μέγιστο, επειδή τα άκρα δεν ανήκουν στο σύνολο τιμών.

Αν \(f(A_f)=\{c\}\), η συνάρτηση είναι σταθερή και το ελάχιστο και το μέγιστο ταυτίζονται στο \(c\).

Μέθοδος: Θέτουμε \(y=f(x)\), λύνουμε ως προς \(x\) και βρίσκουμε για ποιες τιμές του \(y\) υπάρχει αποδεκτό \(x\).

Κρίσιμο σημείο: Κλειστό άκρο του συνόλου τιμών σημαίνει ότι η αντίστοιχη τιμή λαμβάνεται.

7📘 Ακρότατα και μετασχηματισμοί συναρτήσεων

Από γνωστό ακρότατο μίας συνάρτησης μπορούμε να βρούμε ακρότατα συναρτήσεων που προκύπτουν με κατακόρυφη μετατόπιση, πολλαπλασιασμό ή αλλαγή προσήμου.

Αν \(f(x)\geq m\), τότε \(f(x)+c\geq m+c\). Η κατακόρυφη μετατόπιση κατά \(c\) μεταβάλλει την τιμή του ελάχιστου κατά \(c\).

Αν \(f(x)\leq M\), τότε \(af(x)\leq aM\) για \(a \gt 0\).

Αν πολλαπλασιάσουμε με αρνητικό αριθμό, η ανισότητα αντιστρέφεται και το ελάχιστο μετατρέπεται σε μέγιστο ή αντίστροφα.

Αν η \(f\) έχει ελάχιστο \(m\), τότε η \(-f\) έχει μέγιστο \(-m\).

Σε έκφραση \(F(x)=af(x-b)+c\), η οριζόντια μετατόπιση αλλάζει τη θέση του ακροτάτου, ενώ το \(a\) και το \(c\) αλλάζουν την τιμή του.

Ειδικός κανόνας: Η αλλαγή προσήμου ανταλλάσσει μέγιστο και ελάχιστο.

8📘 Προβλήματα βελτιστοποίησης

Στα προβλήματα ζητείται να μεγιστοποιηθεί ή να ελαχιστοποιηθεί ένα μέγεθος, όπως απόσταση, εμβαδόν ή κόστος. Το βασικό βήμα είναι να εκφραστεί το ζητούμενο μέγεθος ως συνάρτηση μίας μεταβλητής.

Ορίζουμε τη μεταβλητή και γράφουμε καθαρά τους περιορισμούς της.

Εκφράζουμε όλα τα υπόλοιπα μεγέθη με τη μεταβλητή.

Κατασκευάζουμε τη συνάρτηση που πρέπει να μεγιστοποιηθεί ή να ελαχιστοποιηθεί.

Βρίσκουμε το ακρότατο με συμπλήρωση τετραγώνου, μονοτονία, σύνολο τιμών ή άλλο κατάλληλο εργαλείο.

Επιστρέφουμε στο πρόβλημα και δίνουμε απάντηση με τις σωστές μονάδες.

Απόσταση: Συχνά ελαχιστοποιούμε το τετράγωνο της απόστασης, επειδή η τετραγωνική ρίζα είναι γνησίως αύξουσα.

Ορθογώνιο σταθερής περιμέτρου: Αν \(2x+2y=\Pi\), τότε \(E(x)=x\left(\frac{\Pi}{2}-x\right)\), που έχει μέγιστο όταν \(x=y=\frac{\Pi}{4}\). Άρα το ορθογώνιο είναι τετράγωνο.

Πυρήνας της λύσης: Μετατρέπουμε το πραγματικό πρόβλημα σε πρόβλημα ακροτάτου μίας συνάρτησης.

9📘 Αναλυτικό παράδειγμα

Παράδειγμα. Να βρεθούν τα ακρότατα της \(f(x)=x^2-4x+7\), \(x\in\mathbb{R}\).

Πώς σκέφτομαι: Συμπληρώνουμε τετράγωνο ώστε να εμφανιστεί μία μη αρνητική παράσταση.

Γράφουμε \(f(x)=x^2-4x+7=x^2-4x+4+3\).

Άρα \(f(x)=(x-2)^2+3\).

Επειδή \((x-2)^2\geq0\), προκύπτει \(f(x)\geq3\), για κάθε \(x\in\mathbb{R}\).

Η ισότητα ισχύει όταν \((x-2)^2=0\), δηλαδή όταν \(x=2\).

Επομένως η \(f\) παρουσιάζει στο \(x=2\) ολικό ελάχιστο το \(f(2)=3\).

Η \(f\) δεν έχει μέγιστο, επειδή οι τιμές της αυξάνονται απεριόριστα καθώς \(|x|\) μεγαλώνει.

Απάντηση: Ελάχιστο \(3\) στη θέση \(x=2\). Μέγιστο δεν υπάρχει.

ΓΕΝΙΚΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ

1📘 Ελάχιστο τετραγωνικής ρίζας

Θέμα. Να αποδειχθεί ότι \(f(x)=\sqrt{x}\), \(x\ge0\), παρουσιάζει ελάχιστο.

Πώς σκέφτομαι: Αναζητώ ένα καθολικό φράγμα και ελέγχω αν υπάρχει επιτρεπτή τιμή του \(x\) στην οποία γίνεται ισότητα.

Απάντηση

Από το πεδίο ορισμού έχουμε \(x\ge0\).

Άρα \(\sqrt{x}\ge0\), δηλαδή \(f(x)\ge0\).

Για \(x=0\), \(f(0)=0\), επομένως το κάτω φράγμα επιτυγχάνεται.

\(y=\sqrt{x}\)

Ελάχιστο \(0\) στη θέση \(x=0\).

2📘 Μέγιστο ριζικής συνάρτησης

Θέμα. Να αποδειχθεί ότι \(f(x)=1-\sqrt{x-2}\), \(x\ge2\), έχει μέγιστο το \(1\).

Απάντηση

Για \(x\ge2\), \(\sqrt{x-2}\ge0\).

Άρα \(1-\sqrt{x-2}\le1\).

Στο \(x=2\), \(f(2)=1\), άρα η τιμή \(1\) λαμβάνεται.

\(y=1-\sqrt{x-2}\)

Μέγιστο \(1\) στη θέση \(x=2\).

3📘 Μέγιστο ρητής συνάρτησης

Θέμα. Να αποδειχθεί ότι \(f(x)=\dfrac1{x^2+1}\) έχει μέγιστο το \(1\).

Απάντηση

Ισχύει \(x^2\ge0\), άρα \(x^2+1\ge1 \gt 0\).

Με αντιστροφή θετικών αριθμών: \(\dfrac1{x^2+1}\le1\).

Για \(x=0\), \(f(0)=1\).

\(y=\frac1{x^2+1}\)

Μέγιστο \(1\) στη θέση \(x=0\).

4📘 Παραγοντοποίηση και ελάχιστο

Θέμα. Να αποδειχθεί ότι \(f(x)=x^4-2x^3+2x^2\) έχει στο \(0\) ελάχιστο.

Απάντηση

Παραγοντοποιούμε: \(f(x)=x^2(x^2-2x+2)\).

Ο δεύτερος παράγοντας είναι \((x-1)^2+1 \gt 0\).

Επομένως \(f(x)\ge0\), ενώ \(f(0)=0\).

\(y=x^4-2x^3+2x^2\)

Ελάχιστο \(0\) στη θέση \(x=0\).

5📘 Μετατόπιση παραβολής

Θέμα. Να βρεθεί το ελάχιστο της \(f(x)=x^2+1\).

Απάντηση

Η βασική ανισότητα είναι \(x^2\ge0\).

Προσθέτοντας \(1\): \(x^2+1\ge1\).

Για \(x=0\), \(f(0)=1\).

\(y=x^2+1\)

Ελάχιστο \(1\) στη θέση \(x=0\).

6📘 Ακρότατα κομματιαστής συνάρτησης

Θέμα. Για \(f(x)=2x^2-5\), \(0\le x\le2\), και \(f(x)=x+1\), \(2 \lt x\le3\), να βρεθούν τα ακρότατα.

Απάντηση

Στο \([0,2]\), η \(2x^2-5\) αυξάνει από \(-5\) έως \(3\).

Στο \((2,3]\), η \(x+1\) παίρνει τιμές μεγαλύτερες από \(3\) έως \(4\).

Συγκρίνουμε όλους τους κλάδους.

Ακριβής γραφική παράσταση

Ελάχιστο \(-5\) στο \(0\) και μέγιστο \(4\) στο \(3\).

7📘 Ακρότατα μέσω μονοτονίας

Θέμα. Να βρεθούν τα ακρότατα της \(f(x)=\sqrt{x}-\sqrt{1-x}\), \(0\le x\le1\).

Απάντηση

Η \(\sqrt{x}\) είναι αύξουσα.

Η \(-\sqrt{1-x}\) είναι επίσης αύξουσα.

Άρα η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο \([0,1]\).

Επομένως \(f(0)\le f(x)\le f(1)\).

\(y=\sqrt{x}-\sqrt{1-x}\)

Ελάχιστο \(-1\) στο \(0\) και μέγιστο \(1\) στο \(1\).

8📘 Ακρότατα γραμμικής κομματιαστής

Θέμα. Για \(f(x)=3x-4\), \(0\le x\le2\), και \(f(x)=-x+4\), \(2 \lt x\le4\), να βρεθούν τα ακρότατα.

Απάντηση

Ο πρώτος κλάδος αυξάνει από \(-4\) στο \(2\).

Ο δεύτερος κλάδος φθίνει από τιμές μικρότερες του \(2\) έως \(0\).

Η κορυφή στο \(x=2\) ανήκει στον πρώτο κλάδο.

Ακριβής τεθλασμένη

Ελάχιστο \(-4\) στο \(0\), μέγιστο \(2\) στο \(2\).

9📘 Σύνολο τιμών εκθετικής μετατόπισης

Θέμα. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της \(f(x)=1+e^{1-x}\).

Απάντηση

Επειδή \(e^{1-x} \gt 0\), ισχύει \(f(x) \gt 1\).

Για κάθε \(y \gt 1\), η εξίσωση \(y=1+e^{1-x}\) δίνει \(x=1-\ln(y-1)\).

Άρα κάθε \(y \gt 1\) λαμβάνεται, αλλά το \(1\) δεν λαμβάνεται.

\(y=1+e^{1-x}\)

\(f(\mathbb R)=(1,+\infty)\). Δεν υπάρχουν ακρότατα.

10📘 Σύνολο τιμών ριζικής συνάρτησης

Θέμα. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της \(f(x)=1-\sqrt{x-2}\), \(x\ge2\).

Απάντηση

Η ρίζα είναι μη αρνητική, άρα \(f(x)\le1\).

Η τιμή \(1\) λαμβάνεται στο \(x=2\).

Καθώς \(x\to+\infty\), \(f(x)\to-\infty\).

\(f([2,+\infty))=(-\infty,1]\). Μέγιστο \(1\), χωρίς ελάχιστο.

11📘 Σύνολο τιμών της \(1/x\)

Θέμα. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της \(f(x)=\dfrac1x\), \(x\ne0\).

Απάντηση

Η τιμή \(0\) δεν λαμβάνεται.

Για κάθε \(y\ne0\), αν \(x=1/y\), τότε \(f(x)=y\).

Άρα λαμβάνονται όλες οι μη μηδενικές πραγματικές τιμές.

\(y=\frac1x\)

Το σύνολο τιμών είναι \(\mathbb R^*\), χωρίς ακρότατα.

12📘 Ελάχιστο σε συγκεκριμένη θέση

Θέμα. Να αποδειχθεί ότι \(f(x)=x^2-2x+2\) έχει στο \(1\) ελάχιστο.

Απάντηση

Υπολογίζουμε \(f(1)=1\).

\(f(x)-f(1)=x^2-2x+1=(x-1)^2\ge0\).

Άρα \(f(x)\ge f(1)\) για κάθε \(x\).

\(y=(x-1)^2+1\)

Ελάχιστο \(1\) στη θέση \(x=1\).

13📘 Ελάχιστη τιμή με ισότητα

Θέμα. Να αποδειχθεί ότι η ίδια συνάρτηση έχει ελάχιστο το \(1\).

Απάντηση

Γράφουμε \(f(x)=(x-1)^2+1\ge1\).

Για \(x=1\), \(f(1)=1\).

Το φράγμα και η ισότητα αποδεικνύουν το ακρότατο.

Η ελάχιστη τιμή είναι \(1\), στη θέση \(1\).

14📘 Σταθερή συνάρτηση

Θέμα. Να βρεθούν τα ακρότατα της \(f(x)=1\).

Απάντηση

Για κάθε \(x\), \(f(x)=1\).

Άρα η τιμή \(1\) είναι ταυτόχρονα άνω και κάτω φράγμα.

Η τιμή λαμβάνεται σε κάθε σημείο.

Η σταθερή συνάρτηση \(y=1\)

Μέγιστο και ελάχιστο ίσα με \(1\), σε κάθε \(x\).

15📘 Πρόβλημα ελάχιστης απόστασης

Θέμα. Στην \(C_f:y=\sqrt{x-1}\) να βρεθεί το σημείο που απέχει ελάχιστα από το \(A(2,0)\).

Απάντηση

Θέτουμε \(M(x,\sqrt{x-1})\), \(x\ge1\).

\(AM^2=(x-2)^2+x-1=x^2-3x+3\).

Ελαχιστοποιούμε το τετράγωνο της απόστασης, όχι τη ρίζα.

Η κορυφή του τριωνύμου είναι στο \(x=3/2\).

Τότε \(y=\sqrt{1/2}=\sqrt2/2\).

\(M_0\left(\frac32,\frac{\sqrt2}{2}\right)\).

16📘 Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου

Θέμα. Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο \(\Pi\), να βρεθεί εκείνο με μέγιστο εμβαδόν.

Απάντηση

\(2x+2y=\Pi\Rightarrow y=\Pi/2-x\).

\(E(x)=x(\Pi/2-x)=-x^2+(\Pi/2)x\).

Η παραβολή είναι κοίλη και το μέγιστο βρίσκεται στην κορυφή.

\(x=\Pi/4\) και συνεπώς \(y=\Pi/4\).

Το ορθογώνιο είναι τετράγωνο και \(E_{\max}=\Pi^2/16\).

17📘 Σύνολο τιμών με βοηθητική συνάρτηση

Θέμα. Αν \(f^3(x)+f(x)=x+2\), να αποδειχθεί ότι η \(f\) δεν έχει ακρότατα.

Απάντηση

Θεωρούμε \(r(t)=t^3+t\), γνησίως αύξουσα.

Για τυχόν \(y\in\mathbb R\), θέλουμε \(f(x)=y\).

Αρκεί να πάρουμε \(x=y^3+y-2\), οπότε η δοσμένη σχέση γίνεται \(r(f(x))=r(y)\).

Η 1-1 ιδιότητα δίνει \(f(x)=y\).

Το σύνολο τιμών είναι \(\mathbb R\), άρα δεν υπάρχουν ακρότατα.

18📘 Το φράγμα μόνο του δεν αρκεί

Θέμα. Για \(f(x)=ημx\), να εξηγηθεί γιατί το \(2\) δεν είναι μέγιστο.

Απάντηση

Ισχύει \(ημx\le2\), αλλά αυτό δίνει μόνο ένα άνω φράγμα.

Για μέγιστο πρέπει να υπάρχει \(x_0\) με \(ημx_0=2\).

Τέτοιο \(x_0\) δεν υπάρχει, αφού \(-1\leημx\le1\).

Η τιμή \(1\) λαμβάνεται στο \(\pi/2+2κ\pi\).

Η ακριβής \(y=ημx\)

Το μέγιστο είναι \(1\), όχι \(2\).

19📘 Γνησίως φθίνουσα χωρίς ακρότατα

Θέμα. Να αποδειχθεί ότι \(f(x)=1+e^{1-x}\) δεν έχει ακρότατα.

Απάντηση

Για \(x_1 \lt x_2\), ισχύει \(1-x_1 \gt 1-x_2\).

Άρα \(e^{1-x_1} \gt e^{1-x_2}\) και \(f(x_1) \gt f(x_2)\).

Η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα στο ανοικτό και απεριόριστο διάστημα \(\mathbb R\).

Σε κάθε σημείο υπάρχουν τιμές αριστερά μεγαλύτερες και δεξιά μικρότερες.

Η \(f\) δεν έχει μέγιστο ούτε ελάχιστο.

20📘 Μοναδική θέση μεγίστου

Θέμα. Η \(f\) έχει μέγιστο \(0\) μόνο στο \(1\) και \(f(A)+2f(B)=0\). Να βρεθούν \(A,B\).

Απάντηση

Από το μέγιστο: \(f(x)\le0\) για κάθε \(x\).

Άρα \(f(A)\le0\) και \(2f(B)\le0\).

Το άθροισμά τους είναι μηδέν μόνο αν και οι δύο όροι είναι μηδέν.

Επειδή \(f(x)=0\) μόνο για \(x=1\), παίρνουμε \(A=B=1\).

\(A=B=1\).

21📘 Ελάχιστο χωρίς μέγιστο

Θέμα. Αν \(x,y \gt 0\), \(x+y=2\), να μελετηθεί η \(\Pi=x^2+xy+y^2\).

Απάντηση

\(y=2-x\) και \(0 \lt x \lt 2\).

\(\Pi(x)=x^2+x(2-x)+(2-x)^2=x^2-2x+4\).

\(\Pi(x)=(x-1)^2+3\ge3\), με ισότητα στο \(x=1\).

Η τιμή \(4\) προσεγγίζεται στα άκρα, αλλά δεν λαμβάνεται επειδή το διάστημα είναι ανοικτό.

\(\Pi(x)=(x-1)^2+3\), \(0 \lt x \lt 2\)

Ελάχιστο \(3\) στο \(x=y=1\), χωρίς μέγιστο.

22📘 Αλλαγή προσήμου

Θέμα. Αν η \(f\) έχει ελάχιστο, να αποδειχθεί ότι η \(g=-f\) έχει μέγιστο.

Απάντηση

Έστω \(f(x)\ge f(x_0)\) για κάθε \(x\).

Πολλαπλασιάζουμε με \(-1\) και αντιστρέφουμε τη φορά.

\(-f(x)\le-f(x_0)\), δηλαδή \(g(x)\le g(x_0)\).

Η \(g\) έχει μέγιστο στο ίδιο \(x_0\), ίσο με \(-f(x_0)\).

23📘 Γινόμενο θετικών φραγμάτων

Θέμα. Για \(f(x)=2x^4-8x^3+18x^2-20x+12\), να αποδειχθεί ότι το ελάχιστο είναι \(4\).

Απάντηση

\(f(x)=(x^2-2x+2)(2x^2-4x+6)\).

\(x^2-2x+2=(x-1)^2+1\ge1\).

\(2x^2-4x+6=2[(x-1)^2+2]\ge4\).

Άρα \(f(x)\ge4\), με ισότητα στο \(x=1\).

Η ακριβής πολυωνυμική γραφική παράσταση

Ελάχιστο \(4\) στη θέση \(x=1\).

24📘 Μετασχηματισμός ακροτάτου

Θέμα. Αν η \(f\) έχει μέγιστο \(1\) στο \(0\), να βρεθεί το μέγιστο της \(F(x)=2f(x-1)-1\).

Απάντηση

Από \(f(t)\le1\), θέτουμε \(t=x-1\).

\(F(x)=2f(x-1)-1\le1\).

Η ισότητα απαιτεί \(x-1=0\), άρα \(x=1\).

\(F(1)=2f(0)-1=1\).

Μέγιστο \(1\) στη θέση \(x=1\).

25📘 Τετράγωνο παράστασης

Θέμα. Αν η \(C_f\) τέμνει την \(y=1\), να αποδειχθεί ότι \(F(x)=f^2(x)-2f(x)+2\) έχει ελάχιστο.

Απάντηση

\(F(x)=[f(x)-1]^2+1\ge1\).

Η τομή με την \(y=1\) σημαίνει ότι υπάρχει \(x_0\) με \(f(x_0)=1\).

Τότε \(F(x_0)=1\).

Η \(F\) έχει ελάχιστο \(1\).

26📘 Διαδοχική παραγοντοποίηση

Θέμα. Να αποδειχθεί ότι \(f(x)=x^4-x^2-2x+2\) έχει στο \(1\) ελάχιστο.

Απάντηση

Παραγοντοποιούμε: \(f(x)=(x-1)^2(x^2+2x+2)\).

Ο δεύτερος παράγοντας είναι \((x+1)^2+1 \gt 0\).

Άρα \(f(x)\ge0\), με ισότητα στο \(x=1\).

\(y=x^4-x^2-2x+2\)

Ελάχιστο \(0\) στη θέση \(x=1\).

27📘 Άθροισμα δύο ριζών

Θέμα. Για \(f(x)=\sqrt{x^2-2x+2}+\sqrt{x^2-2x+5}\), να αποδειχθεί ότι υπάρχει ελάχιστο.

Απάντηση

\(x^2-2x+2=(x-1)^2+1\ge1\).

\(x^2-2x+5=(x-1)^2+4\ge4\).

Άρα \(f(x)\ge1+2=3\).

Στο \(x=1\), \(f(1)=3\).

Η ακριβής γραφική παράσταση

Ελάχιστο \(3\) στη θέση \(x=1\).

28📘 Τριγωνική ανισότητα

Θέμα. Για \(f(x)=|x^3+x+1|+|x^3+x-1|\), να αποδειχθεί ότι το ελάχιστο είναι \(2\).

Απάντηση

Θέτουμε \(A=x^3+x+1\), \(B=x^3+x-1\).

Από την τριγωνική ανισότητα: \(|A|+|B|\ge|A-B|=2\).

Στο \(x=0\), \(f(0)=|1|+|-1|=2\).

Ελάχιστο \(2\) στη θέση \(x=0\).

29📘 Διπλό φράγμα ρητής συνάρτησης

Θέμα. Για \(f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\), να αποδειχθεί ότι \(-1\le f(x)\le1\) και να αξιοποιηθεί η ισότητα.

Απάντηση

\(|f(x)|\le1\iff 2|x|\le x^2+1\).

Η τελευταία ανισότητα ισοδυναμεί με \((|x|-1)^2\ge0\).

Ισότητα έχουμε όταν \(|x|=1\), δηλαδή \(x=\pm1\).

Στη δοσμένη σχέση του θέματος, η ακραία ισότητα επιβάλλει \(\alpha=1\) και \(\beta=-1\).

\(y=\frac{2x}{x^2+1}\)

\(-1\le f(x)\le1\), με \(f(1)=1\), \(f(-1)=-1\).

30 📘 Ακρότατα σύνθετης έκφρασης

Θέμα. Έστω \(0\le g(x)\le1\), \(g(0)=0\), \(g(1)=\frac{\sqrt2}{2}\), και \(f(x)=g(x)\sqrt{1-g^2(x)}\). Να βρεθούν τα ακρότατα.

Απάντηση

Επειδή \(0\le g\le1\), έχουμε \(f(x)\ge0\).

\(f^2=g^2-g^4\).

\(g^2-g^4\le1/4\iff (g^2-1/2)^2\ge0\).

Άρα \(0\le f(x)\le1/2\).

Στο \(x=0\), \(f(0)=0\), και στο \(x=1\), \(f(1)=1/2\).

Ελάχιστο \(0\) στο \(0\) και μέγιστο \(1/2\) στο \(1\).

31📘 Ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση

Θέμα. Αν \(f(x)+2x-2=g(x)+x^2\), να συγκριθούν οι \(C_f,C_g\) και να βρεθεί η ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση.

Απάντηση

Θέτουμε \(h(x)=f(x)-g(x)\).

Από τη σχέση: \(h(x)=x^2-2x+2=(x-1)^2+1\).

Άρα \(h(x)\ge1 \gt 0\), οπότε η \(C_f\) είναι πάντα πάνω από την \(C_g\).

Η κατακόρυφη απόσταση είναι \(h(x)\) και ελαχιστοποιείται στο \(x=1\).

\(h(x)=f(x)-g(x)=(x-1)^2+1\)

Η ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση είναι \(1\).

32 📘 Διόρθωση του ακροτάτου

Θέμα. Δίνεται \(f(x)=(x-1)(e^x-e)\). Να προσδιοριστεί σωστά το ακρότατο.

Απάντηση

Αν \(x\ge1\), τότε \(x-1\ge0\) και \(e^x-e\ge0\).

Αν \(x\le1\), τότε και οι δύο παράγοντες είναι μη θετικοί.

Σε κάθε περίπτωση το γινόμενο είναι μη αρνητικό: \(f(x)\ge0\).

Στο \(x=1\), \(f(1)=0\).

Στο αρχικό κείμενο αναγράφεται «μέγιστο», όμως η ίδια η απόδειξη δίνει \(f(x)\ge0=f(1)\). Επομένως το σωστό είναι ελάχιστο.

\(y=(x-1)(e^x-e)\)

Η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο \(0\) στη θέση \(x=1\).

33 📘 Βέλτιστη σταθερά σε ανισότητα

Θέμα. Αν \(f(x)=x^3+x^2+x-1\), να βρεθεί ο μεγαλύτερος \(M\) ώστε \(|f(x)-f(1)|\ge M|x-1|\) για κάθε \(x\).

Απάντηση

\(f(1)=2\), άρα \(f(x)-f(1)=x^3+x^2+x-3\).

Παραγοντοποιούμε: \(x^3+x^2+x-3=(x-1)(x^2+2x+3)\).

Η ανισότητα γίνεται \(|x-1|(x^2+2x+3)\ge M|x-1|\).

Για \(x\ne1\), απαιτείται \(x^2+2x+3\ge M\).

\(x^2+2x+3=(x+1)^2+2\ge2\), και η τιμή \(2\) λαμβάνεται στο \(x=-1\).

Η βοηθητική \(q(x)=x^2+2x+3\)

Ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός είναι \(M=2\).