03Β.2 – Συμμετρία ως προς σημείο – κέντρο συμμετρίας – ΣΤΥΛ ΜΑΘΗΜΑ

04Γ. Ευθεία και κύκλος

ΘΕΩΡΙΑ

04Γ.1.α 📘 Κύκλος και βασικά στοιχεία

Κύκλος με κέντρο \(O\) και ακτίνα \(R\) είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου που απέχουν από το \(O\) απόσταση ίση με \(R\).

Αν \(A\) είναι σημείο του κύκλου, τότε:

\(OA=R\)

Το \(OA\) λέγεται ακτίνα του κύκλου.

Κύκλος με κέντρο \(O\) και ακτίνα \(R\)

Να θυμάμαι: Όλα τα σημεία του κύκλου απέχουν το ίδιο από το κέντρο.

04Γ.1.β 📘 Θέση σημείου ως προς κύκλο

Έστω κύκλος με κέντρο \(O\) και ακτίνα \(R\), και σημείο \(P\).

Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις:

1. Αν \(OP<R\), το \(P\) είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου.

2. Αν \(OP=R\), το \(P\) ανήκει στον κύκλο.

3. Αν \(OP>R\), το \(P\) είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου.

Κλειδί: Συγκρίνω πάντα την απόσταση από το κέντρο με την ακτίνα.

04Γ.1.γ 📘 Ευθεία εξωτερική του κύκλου

Μια ευθεία λέγεται εξωτερική του κύκλου όταν δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τον κύκλο.

Αν \(d\) είναι η απόσταση του κέντρου \(O\) από την ευθεία και \(R\) η ακτίνα, τότε:

\(d>R\)

Εξωτερική ευθεία

04Γ.1.δ 📘 Εφαπτομένη ευθεία

Μια ευθεία λέγεται εφαπτομένη του κύκλου όταν έχει ακριβώς ένα κοινό σημείο με τον κύκλο.

Το κοινό αυτό σημείο λέγεται σημείο επαφής.

Αν \(d\) είναι η απόσταση του κέντρου από την ευθεία, τότε:

\(d=R\)

Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη.

\(OA\perp \varepsilon\)

Να θυμάμαι: Ακτίνα στο σημείο επαφής ⟂ εφαπτομένη.

04Γ.1.ε 📘 Τέμνουσα ευθεία

Μια ευθεία λέγεται τέμνουσα του κύκλου όταν έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο.

Αν \(d\) είναι η απόσταση του κέντρου από την ευθεία, τότε:

\(d<R\)

Τέμνουσα ευθεία

04Γ.1.στ 📘 Οι τρεις θέσεις ευθείας και κύκλου

Για κύκλο ακτίνας \(R\) και απόσταση \(d\) του κέντρου από μια ευθεία:

Εξωτερική: \(d>R\) → κανένα κοινό σημείο.

Εφαπτομένη: \(d=R\) → ένα κοινό σημείο.

Τέμνουσα: \(d<R\) → δύο κοινά σημεία.

Γρήγορα: Συγκρίνω μόνο \(d\) και \(R\).

04Γ.1.ζ 📘 Χορδή

Χορδή ενός κύκλου λέγεται ένα ευθύγραμμο τμήμα που έχει τα άκρα του πάνω στον κύκλο.

Αν \(A\) και \(B\) είναι σημεία του κύκλου, τότε το \(AB\) είναι χορδή.

Η μεγαλύτερη χορδή του κύκλου είναι η διάμετρος.

\(D=2R\)

Να θυμάμαι: Διάμετρος = χορδή που περνά από το κέντρο.

04Γ.1.η 📘 Απόσταση κέντρου από χορδή

Αν από το κέντρο \(O\) φέρουμε κάθετη σε μια χορδή \(AB\), τότε η κάθετη αυτή διχοτομεί τη χορδή.

Αν \(M\) είναι το σημείο τομής, τότε:

\(AM=MB\)

Προσοχή: Η κάθετη πρέπει να περνά από το κέντρο του κύκλου.

04Γ.1.θ 📘 Ίσες χορδές

Σε έναν κύκλο, ίσες χορδές απέχουν ίσες αποστάσεις από το κέντρο.

Και αντίστροφα, χορδές που απέχουν ίσες αποστάσεις από το κέντρο είναι ίσες.

Κλειδί: Ίση χορδή ↔ ίση απόσταση από το κέντρο.

04Γ.1.ι 📘 Η σωστή στρατηγική

1. Εντοπίζω την ακτίνα \(R\).

2. Βρίσκω ή διαβάζω την απόσταση \(d\) του κέντρου από την ευθεία.

3. Συγκρίνω \(d\) και \(R\).

4. Αν υπάρχει σημείο επαφής, θυμάμαι ότι η ακτίνα εκεί είναι κάθετη στην εφαπτομένη.

5. Αν υπάρχει χορδή και κάθετη από το κέντρο, χρησιμοποιώ ότι η χορδή διχοτομείται.

Παγίδα: Μην αποφασίζεις αν μια ευθεία είναι εφαπτομένη μόνο επειδή «φαίνεται» να ακουμπά τον κύκλο. Χρειάζεται \(d=R\).

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ

Α. Θέση σημείου ως προς κύκλο

1✅ Κύκλος έχει ακτίνα \(R=5\) cm και σημείο \(P\) με \(OP=3\) cm. Πού βρίσκεται το \(P\);

Απάντηση

Συγκρίνουμε:

\(OP=3<5=R\)

Άρα: Το \(P\) είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου.

2✅ Κύκλος έχει ακτίνα \(7\) cm και \(OP=7\) cm. Τι συμπεραίνουμε;

Απάντηση

\(OP=R\)

Άρα: Το \(P\) ανήκει στον κύκλο.

3✅ Κύκλος έχει ακτίνα \(4\) cm και \(OP=6\) cm. Πού βρίσκεται το \(P\);

Απάντηση

\(OP=6>4=R\)

Άρα: Το \(P\) είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου.

Β. Θέση ευθείας ως προς κύκλο

4✅ Κύκλος έχει ακτίνα \(5\) cm και η απόσταση του κέντρου από την ευθεία \(ε\) είναι \(8\) cm. Τι θέση έχει η \(ε\);

Απάντηση

\(d=8>5=R\)

Άρα: Η \(ε\) είναι εξωτερική του κύκλου.

5✅ Κύκλος έχει ακτίνα \(6\) cm και η απόσταση του κέντρου από την ευθεία \(ε\) είναι \(6\) cm. Τι θέση έχει η \(ε\);

Απάντηση

\(d=R\)

Άρα: Η \(ε\) είναι εφαπτομένη του κύκλου.

6✅ Κύκλος έχει ακτίνα \(9\) cm και η απόσταση του κέντρου από την ευθεία \(ζ\) είναι \(4\) cm. Τι θέση έχει η \(ζ\);

Απάντηση

\(d=4<9=R\)

Άρα: Η \(ζ\) είναι τέμνουσα του κύκλου.

Γ. Εφαπτομένη και ακτίνα

7✅ Η \(ε\) είναι εφαπτομένη κύκλου στο \(A\) και \(O\) το κέντρο. Ποια είναι η γωνία μεταξύ \(OA\) και \(ε\);

Απάντηση

Η ακτίνα στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη.

Άρα: Η γωνία είναι \(90^\circ\).

8✅ Μια ευθεία περνά από σημείο \(A\) του κύκλου και είναι κάθετη στην ακτίνα \(OA\). Τι είδους ευθεία είναι;

Απάντηση

Ευθεία που περνά από σημείο του κύκλου και είναι κάθετη στην ακτίνα στο σημείο αυτό είναι εφαπτομένη.

Άρα: Είναι εφαπτομένη του κύκλου στο \(A\).

Δ. Χορδές και διάμετρος

9✅ Κύκλος έχει ακτίνα \(R=6\) cm. Να βρείτε τη διάμετρό του.

Απάντηση

\(D=2R=2\cdot6=12\text{ cm}\)

Άρα: Η διάμετρος είναι \(12\) cm.

10✅ Η κάθετη από το κέντρο \(O\) σε χορδή \(AB\) τέμνει τη χορδή στο \(M\). Αν \(AM=5\) cm, να βρείτε \(MB\).

Απάντηση

Η κάθετη από το κέντρο σε χορδή τη διχοτομεί.

\(AM=MB\)

Άρα: \(MB=5\) cm.

11✅ Μια χορδή έχει μήκος \(14\) cm και η κάθετη από το κέντρο τη διχοτομεί στο \(M\). Να βρείτε \(AM\) και \(MB\).

Απάντηση

\(\displaystyle AM=MB=\frac{14}{2}=7\text{ cm}\)

Άρα: \(AM=MB=7\) cm.

Ε. Συνδυαστικά θέματα και παγίδες

12✅ Μια ευθεία έχει δύο κοινά σημεία με έναν κύκλο. Πώς ονομάζεται;

Απάντηση

Άρα: Είναι τέμνουσα του κύκλου.

13✅ Μια ευθεία έχει ένα μόνο κοινό σημείο με έναν κύκλο. Πώς ονομάζεται;

Απάντηση

Άρα: Είναι εφαπτομένη του κύκλου.

14✅ Κύκλος έχει ακτίνα \(10\) cm και μία ευθεία απέχει από το κέντρο \(10\) cm. Πόσα κοινά σημεία έχουν;

Απάντηση

Αφού \(d=R\), η ευθεία είναι εφαπτομένη.

Άρα: Έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.

15✅ Αν μια ευθεία απέχει από το κέντρο του κύκλου λιγότερο από την ακτίνα, μπορεί να είναι εφαπτομένη;

Απάντηση

Για εφαπτομένη πρέπει να ισχύει \(d=R\).

Εδώ έχουμε \(d<R\).

Άρα: Όχι. Η ευθεία είναι τέμνουσα.