03Ε. Άθροισμα γωνιών τριγώνου
ΘΕΩΡΙΑ
03Ε.1.α 📘 Το βασικό θεώρημα
Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τριών εσωτερικών γωνιών είναι ίσο με \(180^\circ\).
\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{\Gamma}=180^\circ\)
03Ε.1.β 📘 Πώς βρίσκω μια άγνωστη γωνία;
Αν γνωρίζουμε δύο γωνίες ενός τριγώνου, βρίσκουμε την τρίτη αφαιρώντας το άθροισμά τους από \(180^\circ\).
\(\widehat{\Gamma}=180^\circ-(\widehat{A}+\widehat{B})\)
Παράδειγμα: Αν \(\widehat{A}=50^\circ\) και \(\widehat{B}=70^\circ\), τότε:
\(\widehat{\Gamma}=180^\circ-(50^\circ+70^\circ)=60^\circ\)
03Ε.1.γ 📘 Ορθογώνιο τρίγωνο
Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μία γωνία είναι \(90^\circ\).
Άρα οι δύο οξείες γωνίες έχουν άθροισμα:
\(90^\circ\)
Δηλαδή, αν οι οξείες γωνίες είναι \(\widehat{A}\) και \(\widehat{B}\), τότε:
\(\widehat{A}+\widehat{B}=90^\circ\)
03Ε.1.δ 📘 Ισοσκελές τρίγωνο
Σε ισοσκελές τρίγωνο οι γωνίες που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές είναι ίσες.
Αν \(AB=A\Gamma\), τότε:
\(\widehat{B}=\widehat{\Gamma}\)
Έτσι, αν γνωρίζουμε τη γωνία της κορυφής \(\widehat{A}\), οι δύο ίσες γωνίες βρίσκονται από:
\(\displaystyle \widehat{B}=\widehat{\Gamma}=\frac{180^\circ-\widehat{A}}{2}\)
03Ε.1.ε 📘 Ισόπλευρο τρίγωνο
Στο ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι πλευρές είναι ίσες, άρα και όλες οι γωνίες είναι ίσες.
Εφόσον το άθροισμά τους είναι \(180^\circ\):
\(\displaystyle \widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{\Gamma}=\frac{180^\circ}{3}=60^\circ\)
03Ε.1.στ 📘 Εξωτερική γωνία τριγώνου
Αν προεκτείνουμε μία πλευρά ενός τριγώνου, σχηματίζεται μια εξωτερική γωνία.
Η εξωτερική γωνία είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών.
\(\widehat{\varepsilon}=\widehat{A}+\widehat{B}\)
03Ε.1.ζ 📘 Γιατί ισχύει η σχέση της εξωτερικής γωνίας;
Η εξωτερική γωνία και η διπλανή εσωτερική γωνία είναι παραπληρωματικές, άρα έχουν άθροισμα \(180^\circ\).
Αν η διπλανή εσωτερική γωνία είναι \(\widehat{\Gamma}\), τότε:
\(\widehat{\varepsilon}=180^\circ-\widehat{\Gamma}\)
Όμως, από το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου:
\(\widehat{A}+\widehat{B}=180^\circ-\widehat{\Gamma}\)
Άρα:
\(\widehat{\varepsilon}=\widehat{A}+\widehat{B}\)
03Ε.1.η 📘 Τι συμπεραίνω για τις γωνίες ενός τριγώνου;
Ένα τρίγωνο δεν μπορεί να έχει δύο ορθές γωνίες, γιατί τότε το άθροισμα θα ήταν ήδη \(180^\circ\) και δεν θα έμενε γωνία για την τρίτη κορυφή.
Επίσης, ένα τρίγωνο δεν μπορεί να έχει δύο αμβλείες γωνίες.
Άρα κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μία ορθή ή μία αμβλεία γωνία.
03Ε.1.θ 📘 Έλεγχος αν τρεις γωνίες σχηματίζουν τρίγωνο
Για να μπορούν τρεις θετικές γωνίες να είναι οι γωνίες ενός τριγώνου, πρέπει το άθροισμά τους να είναι \(180^\circ\).
Παράδειγμα: Οι γωνίες \(40^\circ\), \(60^\circ\), \(80^\circ\) μπορούν να είναι γωνίες τριγώνου, επειδή:
\(40^\circ+60^\circ+80^\circ=180^\circ\)
Αντίθετα, οι γωνίες \(40^\circ\), \(70^\circ\), \(80^\circ\) δεν μπορούν, γιατί το άθροισμα είναι \(190^\circ\).
03Ε.1.ι 📘 Η σωστή στρατηγική
1. Γράφω τη βασική σχέση:
\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{\Gamma}=180^\circ\)
2. Αν υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο, σημειώνω πρώτα τις ίσες γωνίες.
3. Αν υπάρχει ορθή γωνία, χρησιμοποιώ ότι οι άλλες δύο έχουν άθροισμα \(90^\circ\).
4. Αν υπάρχει εξωτερική γωνία, χρησιμοποιώ ότι είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών.
5. Κάνω πάντα τελικό έλεγχο ότι οι τρεις εσωτερικές γωνίες έχουν άθροισμα \(180^\circ\).
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ
Α. Εύρεση άγνωστης γωνίας
1✅ Σε τρίγωνο \(ABC\) είναι \(\widehat{A}=50^\circ\) και \(\widehat{B}=60^\circ\). Να βρείτε τη \(\widehat{\Gamma}\).
Απάντηση
Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι \(180^\circ\).
\(\widehat{\Gamma}=180^\circ-(50^\circ+60^\circ)\)
\(\widehat{\Gamma}=70^\circ\)
2✅ Σε τρίγωνο δύο γωνίες είναι \(35^\circ\) και \(85^\circ\). Να βρείτε την τρίτη.
Απάντηση
\(35^\circ+85^\circ=120^\circ\)
\(180^\circ-120^\circ=60^\circ\)
3✅ Σε ορθογώνιο τρίγωνο μία οξεία γωνία είναι \(32^\circ\). Να βρείτε την άλλη.
Απάντηση
Οι δύο οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου έχουν άθροισμα \(90^\circ\).
\(90^\circ-32^\circ=58^\circ\)
Β. Ισοσκελές και ισόπλευρο τρίγωνο
4✅ Ισοσκελές τρίγωνο έχει γωνία κορυφής \(40^\circ\). Να βρείτε τις γωνίες της βάσης.
Απάντηση
Οι γωνίες της βάσης είναι ίσες.
\(180^\circ-40^\circ=140^\circ\)
\(\displaystyle \frac{140^\circ}{2}=70^\circ\)
5✅ Σε ισοσκελές τρίγωνο μία γωνία βάσης είναι \(65^\circ\). Να βρείτε τη γωνία κορυφής.
Απάντηση
Και η άλλη γωνία βάσης είναι \(65^\circ\).
\(\widehat{A}=180^\circ-65^\circ-65^\circ=50^\circ\)
6✅ Να βρείτε τις γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου.
Απάντηση
Οι τρεις γωνίες είναι ίσες και έχουν άθροισμα \(180^\circ\).
\(\displaystyle \frac{180^\circ}{3}=60^\circ\)
Γ. Εξωτερικές γωνίες
7✅ Σε τρίγωνο δύο απέναντι εσωτερικές γωνίες από μία εξωτερική είναι \(45^\circ\) και \(70^\circ\). Να βρείτε την εξωτερική γωνία.
Απάντηση
Η εξωτερική γωνία ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών.
\(\widehat{\varepsilon}=45^\circ+70^\circ=115^\circ\)
8✅ Μία εξωτερική γωνία τριγώνου είναι \(130^\circ\) και μία από τις δύο απέναντι εσωτερικές είναι \(55^\circ\). Να βρείτε την άλλη.
Απάντηση
\(130^\circ=55^\circ+\widehat{B}\)
\(\widehat{B}=75^\circ\)
Δ. Αλγεβρικά θέματα
9✅ Οι γωνίες ενός τριγώνου είναι \(x\), \(2x\) και \(3x\). Να βρείτε το \(x\) και τις γωνίες.
Απάντηση
Χρησιμοποιούμε το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου.
\(x+2x+3x=180^\circ\)
\(6x=180^\circ\)
\(x=30^\circ\)
Άρα οι γωνίες είναι \(30^\circ\), \(60^\circ\) και \(90^\circ\).
10✅ Οι γωνίες ενός τριγώνου είναι \(x+10^\circ\), \(x+20^\circ\) και \(x+30^\circ\). Να βρείτε τις γωνίες.
Απάντηση
\((x+10^\circ)+(x+20^\circ)+(x+30^\circ)=180^\circ\)
\(3x+60^\circ=180^\circ\)
\(3x=120^\circ\)
\(x=40^\circ\)
Οι γωνίες είναι \(50^\circ\), \(60^\circ\) και \(70^\circ\).
11✅ Σε ισοσκελές τρίγωνο η γωνία κορυφής είναι \(2x\) και κάθε γωνία βάσης είναι \(x+15^\circ\). Να βρείτε τις γωνίες.
Απάντηση
\(2x+(x+15^\circ)+(x+15^\circ)=180^\circ\)
\(4x+30^\circ=180^\circ\)
\(4x=150^\circ\)
\(x=37.5^\circ\)
Η γωνία κορυφής είναι \(75^\circ\) και κάθε γωνία βάσης \(52.5^\circ\).
Ε. Έλεγχος και παγίδες
12✅ Μπορούν οι γωνίες \(70^\circ\), \(60^\circ\), \(50^\circ\) να είναι γωνίες τριγώνου;
Απάντηση
\(70^\circ+60^\circ+50^\circ=180^\circ\)
13✅ Μπορεί ένα τρίγωνο να έχει γωνίες \(100^\circ\), \(50^\circ\), \(40^\circ\);
Απάντηση
\(100^\circ+50^\circ+40^\circ=190^\circ\)
Το άθροισμα δεν είναι \(180^\circ\).
14✅ Μπορεί ένα τρίγωνο να έχει δύο αμβλείες γωνίες;
Απάντηση
Κάθε αμβλεία γωνία είναι μεγαλύτερη από \(90^\circ\).
Άρα δύο αμβλείες γωνίες θα είχαν άθροισμα μεγαλύτερο από \(180^\circ\).
15✅ Σε τρίγωνο μία γωνία είναι \(90^\circ\) και μία άλλη \(90^\circ\). Είναι δυνατόν να υπάρχει τέτοιο τρίγωνο;
Απάντηση
Οι δύο γωνίες έχουν ήδη άθροισμα \(180^\circ\).
Η τρίτη γωνία θα έπρεπε να είναι \(0^\circ\), κάτι που δεν είναι γωνία τριγώνου.