04Γ. Ευθεία και κύκλος
θέση σημείου • θέση ευθείας • εξωτερική • εφαπτομένη • τέμνουσα • απόσταση κέντρου • σημείο επαφής • χορδή • διάμετρος
📘
ΚΥΚΛΟΣ1.Κύκλος με κέντρο \(O\) και ακτίνα \(R\) είναι το σύνολο των σημείων που:
Σωστή απάντηση: Α
Αυτός είναι ο ορισμός του κύκλου.
Αυτός είναι ο ορισμός του κύκλου.
📘
ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ2.Αν \(OP
Σωστή απάντηση: Α
Η απόστασή του από το κέντρο είναι μικρότερη από την ακτίνα.
Η απόστασή του από το κέντρο είναι μικρότερη από την ακτίνα.
📘
ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ3.Αν \(OP=R\), τότε το \(P\):
Σωστή απάντηση: Α
Σημείο του κύκλου απέχει από το κέντρο ακριβώς \(R\).
Σημείο του κύκλου απέχει από το κέντρο ακριβώς \(R\).
📘
ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ4.Αν \(OP>R\), τότε το \(P\) είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Η απόστασή του από το κέντρο είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα.
Η απόστασή του από το κέντρο είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα.
⚡
ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ5.Κύκλος έχει \(R=6\) cm και \(OP=4\) cm. Το \(P\) είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Συγκρίνουμε \(OP\) με \(R\). Το σημείο είναι εσωτερικό.
Συγκρίνουμε \(OP\) με \(R\). Το σημείο είναι εσωτερικό.
⚡
ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ6.Κύκλος έχει \(R=6\) cm και \(OP=6\) cm. Το \(P\) είναι:
Σωστή απάντηση: Β
Συγκρίνουμε \(OP\) με \(R\). Το σημείο είναι πάνω στον κύκλο.
Συγκρίνουμε \(OP\) με \(R\). Το σημείο είναι πάνω στον κύκλο.
⚡
ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ7.Κύκλος έχει \(R=6\) cm και \(OP=9\) cm. Το \(P\) είναι:
Σωστή απάντηση: Γ
Συγκρίνουμε \(OP\) με \(R\). Το σημείο είναι εξωτερικό.
Συγκρίνουμε \(OP\) με \(R\). Το σημείο είναι εξωτερικό.
✓✗
ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ8.Αν \(OP
Σωστή απάντηση: Β
Τότε είναι εσωτερικό σημείο.
Τότε είναι εσωτερικό σημείο.
✓✗
ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ9.Αν \(OP=R\), το \(P\) ανήκει στον κύκλο.
Σωστή απάντηση: Α
Αυτός είναι ο ορισμός.
Αυτός είναι ο ορισμός.
⚠
ΠΑΓΙΔΑ10.Το κέντρο \(O\) ανήκει στον ίδιο τον κύκλο.
Σωστή απάντηση: Β
Το κέντρο είναι εσωτερικό σημείο, αφού \(OO=0
Το κέντρο είναι εσωτερικό σημείο, αφού \(OO=0
🧠
ΣΥΓΚΡΙΣΗ11.Σε κύκλο ακτίνας \(8\) cm, ποιο σημείο ανήκει στον κύκλο;
Σωστή απάντηση: Β
Μόνο το \(Q\) έχει απόσταση ίση με \(R\).
Μόνο το \(Q\) έχει απόσταση ίση με \(R\).
🧩
ΕΞΙΣΩΣΗ12.Κύκλος έχει ακτίνα \(R=x+2\) και σημείο \(P\) του κύκλου με \(OP=9\). Τότε \(x=\):
Σωστή απάντηση: Γ
\(x+2=9\Rightarrow x=7\).
\(x+2=9\Rightarrow x=7\).
🤖
AI CHECK13.Το AI λέει: «Αν \(OP=R\), το σημείο είναι εξωτερικό».
Σωστή απάντηση: Β
Αν \(OP=R\), το σημείο βρίσκεται πάνω στον κύκλο.
Αν \(OP=R\), το σημείο βρίσκεται πάνω στον κύκλο.
✓
ΘΕΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ – CHECK14.Ποια αντιστοίχιση είναι σωστή;
Σωστή απάντηση: Α
Αυτός είναι ο βασικός έλεγχος.
Αυτός είναι ο βασικός έλεγχος.
➡
ΣΩΣΤΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ15.Για να βρω τη θέση σημείου ως προς κύκλο, τι κάνω πρώτο;
Σωστή απάντηση: Α
Η σύγκριση \(OP\) και \(R\) αρκεί.
Η σύγκριση \(OP\) και \(R\) αρκεί.
📘
ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΕΥΘΕΙΑ16.Μια ευθεία είναι εξωτερική του κύκλου όταν έχει:
Σωστή απάντηση: Α
Δεν τέμνει τον κύκλο.
Δεν τέμνει τον κύκλο.
📘
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ17.Μια ευθεία είναι εφαπτομένη όταν έχει με τον κύκλο:
Σωστή απάντηση: Α
Το κοινό σημείο λέγεται σημείο επαφής.
Το κοινό σημείο λέγεται σημείο επαφής.
📘
ΤΕΜΝΟΥΣΑ18.Μια ευθεία είναι τέμνουσα όταν έχει με τον κύκλο:
Σωστή απάντηση: Α
Η τέμνουσα κόβει τον κύκλο σε δύο σημεία.
Η τέμνουσα κόβει τον κύκλο σε δύο σημεία.
📘
ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ – ΚΡΙΤΗΡΙΟ19.Αν \(d\) είναι η απόσταση του κέντρου από ευθεία, η ευθεία είναι εξωτερική όταν:
Σωστή απάντηση: Α
Η απόσταση είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα.
Η απόσταση είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα.
📘
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ – ΚΡΙΤΗΡΙΟ20.Η ευθεία είναι εφαπτομένη όταν:
Σωστή απάντηση: Α
Τότε υπάρχει ακριβώς ένα κοινό σημείο.
Τότε υπάρχει ακριβώς ένα κοινό σημείο.
📘
ΤΕΜΝΟΥΣΑ – ΚΡΙΤΗΡΙΟ21.Η ευθεία είναι τέμνουσα όταν:
Σωστή απάντηση: Α
Τότε η ευθεία περνά μέσα από τον κύκλο.
Τότε η ευθεία περνά μέσα από τον κύκλο.
⚡
ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ22.Κύκλος έχει \(R=5\) cm και \(d=8\) cm. Η ευθεία είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Συγκρίνουμε \(d\) με \(R\). Η ευθεία είναι εξωτερική.
Συγκρίνουμε \(d\) με \(R\). Η ευθεία είναι εξωτερική.
⚡
ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ23.Κύκλος έχει \(R=5\) cm και \(d=5\) cm. Η ευθεία είναι:
Σωστή απάντηση: Β
Συγκρίνουμε \(d\) με \(R\). Η ευθεία είναι εφαπτομένη.
Συγκρίνουμε \(d\) με \(R\). Η ευθεία είναι εφαπτομένη.
⚡
ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ24.Κύκλος έχει \(R=5\) cm και \(d=3\) cm. Η ευθεία είναι:
Σωστή απάντηση: Γ
Συγκρίνουμε \(d\) με \(R\). Η ευθεία είναι τέμνουσα.
Συγκρίνουμε \(d\) με \(R\). Η ευθεία είναι τέμνουσα.
✓✗
ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ25.Μια εφαπτομένη έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο.
Σωστή απάντηση: Β
Έχει ακριβώς ένα κοινό σημείο.
Έχει ακριβώς ένα κοινό σημείο.
✓✗
ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ26.Μια τέμνουσα έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο.
Σωστή απάντηση: Α
Αυτός είναι ο ορισμός της τέμνουσας.
Αυτός είναι ο ορισμός της τέμνουσας.
⚠
ΠΑΓΙΔΑ27.Αν μια ευθεία φαίνεται να ακουμπά τον κύκλο, είναι σίγουρα εφαπτομένη.
Σωστή απάντηση: Β
Χρειάζεται \(d=R\) ή η χαρακτηριστική καθετότητα στο σημείο επαφής.
Χρειάζεται \(d=R\) ή η χαρακτηριστική καθετότητα στο σημείο επαφής.
🧩
ΕΞΙΣΩΣΗ28.Κύκλος έχει \(R=x+1\) και ευθεία εφαπτομένη με \(d=7\). Τότε \(x=\):
Σωστή απάντηση: Β
Για εφαπτομένη \(d=R\), άρα \(x+1=7\Rightarrow x=6\).
Για εφαπτομένη \(d=R\), άρα \(x+1=7\Rightarrow x=6\).
🧩
ΕΞΙΣΩΣΗ29.Κύκλος έχει \(R=10\) και \(d=2x+2\). Αν η ευθεία είναι εφαπτομένη, τότε \(x=\):
Σωστή απάντηση: Β
\(2x+2=10\Rightarrow x=4\).
\(2x+2=10\Rightarrow x=4\).
🧠
ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ30.Αν \(d
Σωστή απάντηση: Α
Η σωστή απάντηση είναι 2 κοινά σημεία.
Η σωστή απάντηση είναι 2 κοινά σημεία.
🧠
ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ31.Αν \(d=R\), πόσα κοινά σημεία έχει η ευθεία με τον κύκλο;
Σωστή απάντηση: Β
Η σωστή απάντηση είναι 1 κοινά σημεία.
Η σωστή απάντηση είναι 1 κοινά σημεία.
🧠
ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ32.Αν \(d>R\), πόσα κοινά σημεία έχει η ευθεία με τον κύκλο;
Σωστή απάντηση: Γ
Η σωστή απάντηση είναι 0 κοινά σημεία.
Η σωστή απάντηση είναι 0 κοινά σημεία.
🤖
AI CHECK33.Το AI λέει: «Αν \(d
Σωστή απάντηση: Β
Τότε είναι τέμνουσα.
Τότε είναι τέμνουσα.
✓
ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ – CHECK34.Ποια αντιστοίχιση είναι σωστή;
Σωστή απάντηση: Α
Αυτή είναι η βασική ταξινόμηση.
Αυτή είναι η βασική ταξινόμηση.
➡
ΣΩΣΤΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ35.Για να βρω τη θέση ευθείας ως προς κύκλο, τι συγκρίνω;
Σωστή απάντηση: Α
Η σύγκριση \(d\) και \(R\) αρκεί.
Η σύγκριση \(d\) και \(R\) αρκεί.
📘
ΣΗΜΕΙΟ ΕΠΑΦΗΣ36.Το μοναδικό κοινό σημείο εφαπτομένης και κύκλου λέγεται:
Σωστή απάντηση: Α
Εκεί η εφαπτομένη ακουμπά τον κύκλο.
Εκεί η εφαπτομένη ακουμπά τον κύκλο.
📘
ΑΚΤΙΝΑ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ37.Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Ισχύει \(OA\perp \varepsilon\).
Ισχύει \(OA\perp \varepsilon\).
⚡
ΓΩΝΙΑ ΕΠΑΦΗΣ38.Η γωνία μεταξύ ακτίνας και εφαπτομένης στο σημείο επαφής είναι:
Σωστή απάντηση: Γ
Είναι ορθή γωνία.
Είναι ορθή γωνία.
🧠
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ39.Ευθεία περνά από σημείο \(A\) του κύκλου και είναι κάθετη στην ακτίνα \(OA\). Τότε η ευθεία είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Η κάθετη στην ακτίνα στο σημείο του κύκλου είναι εφαπτομένη.
Η κάθετη στην ακτίνα στο σημείο του κύκλου είναι εφαπτομένη.
✓✗
ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ40.Η ακτίνα στο σημείο επαφής είναι παράλληλη στην εφαπτομένη.
Σωστή απάντηση: Β
Είναι κάθετη.
Είναι κάθετη.
⚠
ΠΑΓΙΔΑ41.Κάθε ευθεία κάθετη σε κάποια ακτίνα είναι εφαπτομένη.
Σωστή απάντηση: Β
Πρέπει να είναι κάθετη στην ακτίνα ακριβώς στο σημείο του κύκλου.
Πρέπει να είναι κάθετη στην ακτίνα ακριβώς στο σημείο του κύκλου.
🧩
ΕΞΙΣΩΣΗ42.Η γωνία μεταξύ ακτίνας και εφαπτομένης είναι \(3x^\circ\). Τότε \(x=\):
Σωστή απάντηση: Β
\(3x=90^\circ\Rightarrow x=30\).
\(3x=90^\circ\Rightarrow x=30\).
🤖
AI CHECK43.Το AI λέει: «Ακτίνα στο σημείο επαφής και εφαπτομένη σχηματίζουν \(90^\circ\)».
Σωστή απάντηση: Α
Αυτή είναι βασική ιδιότητα.
Αυτή είναι βασική ιδιότητα.
✓
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ – CHECK44.Ποια πρόταση είναι σωστή;
Σωστή απάντηση: Α
Αυτά χαρακτηρίζουν την εφαπτομένη.
Αυτά χαρακτηρίζουν την εφαπτομένη.
🌍
ΕΦΑΡΜΟΓΗ45.Μια ευθεία αγγίζει έναν κυκλικό τροχό σε ένα μόνο σημείο. Γεωμετρικά είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τον κύκλο.
Έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τον κύκλο.
📘
ΧΟΡΔΗ46.Χορδή είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Αυτή είναι η βασική έννοια της χορδής.
Αυτή είναι η βασική έννοια της χορδής.
📘
ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ47.Διάμετρος είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Η διάμετρος είναι ειδική χορδή.
Η διάμετρος είναι ειδική χορδή.
📘
ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ ΧΟΡΔΗ48.Η μεγαλύτερη χορδή ενός κύκλου είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Η διάμετρος έχει το μέγιστο δυνατό μήκος.
Η διάμετρος έχει το μέγιστο δυνατό μήκος.
📘
ΚΑΘΕΤΗ ΣΕ ΧΟΡΔΗ49.Η κάθετη από το κέντρο σε χορδή:
Σωστή απάντηση: Α
Αν \(OM\perp AB\), τότε \(AM=MB\).
Αν \(OM\perp AB\), τότε \(AM=MB\).
⚡
ΧΟΡΔΗ50.Αν \(OM\perp AB\) και \(AM=6\) cm, τότε \(MB=\):
Σωστή απάντηση: Β
Η κάθετη από το κέντρο διχοτομεί τη χορδή.
Η κάθετη από το κέντρο διχοτομεί τη χορδή.
⚡
ΧΟΡΔΗ51.Χορδή \(AB=16\) cm και η κάθετη από το κέντρο τη διχοτομεί στο \(M\). Τότε \(AM=\):
Σωστή απάντηση: Β
\(AM=16:2=8\) cm.
\(AM=16:2=8\) cm.
✓✗
ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ52.Κάθε διάμετρος είναι χορδή.
Σωστή απάντηση: Α
Έχει και τα δύο άκρα της πάνω στον κύκλο.
Έχει και τα δύο άκρα της πάνω στον κύκλο.
✓✗
ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ53.Κάθε χορδή είναι διάμετρος.
Σωστή απάντηση: Β
Μόνο η χορδή που περνά από το κέντρο είναι διάμετρος.
Μόνο η χορδή που περνά από το κέντρο είναι διάμετρος.
🧩
ΕΞΙΣΩΣΗ54.Η κάθετη από το κέντρο διχοτομεί χορδή \(AB\). Αν \(AM=x+2\) και \(MB=9\), τότε \(x=\):
Σωστή απάντηση: Γ
\(x+2=9\Rightarrow x=7\).
\(x+2=9\Rightarrow x=7\).
⚠
ΠΑΓΙΔΑ55.Αν μία ευθεία τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία \(A,B\), τότε το τμήμα \(AB\) είναι εφαπτομένη.
Σωστή απάντηση: Β
Η ευθεία είναι τέμνουσα και το \(AB\) είναι χορδή.
Η ευθεία είναι τέμνουσα και το \(AB\) είναι χορδή.
🤖
AI CHECK56.Το AI λέει: «Η κάθετη από το κέντρο σε χορδή τη χωρίζει σε δύο ίσα τμήματα».
Σωστή απάντηση: Α
Αυτή είναι βασική ιδιότητα.
Αυτή είναι βασική ιδιότητα.
✓
ΧΟΡΔΕΣ – CHECK57.Ποια σύνοψη είναι σωστή;
Σωστή απάντηση: Α
Η πρώτη επιλογή συγκεντρώνει σωστά τις βασικές ιδιότητες.
Η πρώτη επιλογή συγκεντρώνει σωστά τις βασικές ιδιότητες.
🏆
ΤΕΛΙΚΗ ΠΡΟΚΛΗΣΗ58.Κύκλος έχει \(R=10\) cm. Ευθεία απέχει από το κέντρο \(6\) cm. Τι είναι και πόσα κοινά σημεία έχει;
Σωστή απάντηση: Α
Επειδή \(6<10\), η ευθεία είναι τέμνουσα.
Επειδή \(6<10\), η ευθεία είναι τέμνουσα.
🧠
ΤΕΛΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ59.Ποια πληροφορία ξεχωρίζει άμεσα εφαπτομένη από τέμνουσα;
Σωστή απάντηση: Α
Εφαπτομένη: 1 κοινό σημείο. Τέμνουσα: 2.
Εφαπτομένη: 1 κοινό σημείο. Τέμνουσα: 2.
➡
ΣΩΣΤΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ60.Σε άσκηση «ευθεία και κύκλος», τι ελέγχω πρώτο;
Σωστή απάντηση: Α
Από αυτά αναγνωρίζουμε αμέσως τη θέση της ευθείας.
Από αυτά αναγνωρίζουμε αμέσως τη θέση της ευθείας.