07c_ergasia_02b Συμμετρία ως προς σημείο

GMATHS - Αξιολόγηση Συμμετρία ως προς σημείο – κέντρο συμμετρίας

02Β. Συμμετρία ως προς σημείο – κέντρο συμμετρίας

συμμετρικά σημεία • κέντρο συμμετρίας • μέσο τμήματος • συνευθειακότητα • ίσες αποστάσεις • συμμετρικό τμήματος και σχήματος • περιστροφή 180° • σχήματα με κέντρο συμμετρίας

📘

ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

1.Τα σημεία \(A\) και \(A'\) είναι συμμετρικά ως προς το σημείο \(O\), όταν:

Α. Το \(O\) είναι μέσο του \(AA'\) Β. Το \(O\) είναι άκρο του \(AA'\) Γ. \(OA=AA'\) Δ. Τα \(A,A'\) βρίσκονται στην ίδια πλευρά του \(O\)

Σωστή απάντηση: Α

Στη συμμετρία ως προς σημείο, το κέντρο βρίσκεται ακριβώς στη μέση του σημείου και του συμμετρικού του.

📘

ΚΕΝΤΡΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

2.Το σημείο ως προς το οποίο βρίσκουμε συμμετρικά σημεία λέγεται:

Α. Κέντρο συμμετρίας Β. Άξονας συμμετρίας Γ. Διχοτόμος Δ. Κορυφή

Σωστή απάντηση: Α

Η συμμετρία εδώ ορίζεται ως προς ένα σημείο, το κέντρο συμμετρίας.

📘

ΜΕΣΟ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

3.Αν τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά ως προς το \(O\), τότε το \(O\):

Α. Είναι μέσο του \(AA'\) Β. Βρίσκεται έξω από το \(AA'\) Γ. Ταυτίζεται πάντα με το \(A\) Δ. Δεν ανήκει στην ευθεία \(AA'\)

Σωστή απάντηση: Α

Το κέντρο διχοτομεί το τμήμα που ενώνει τα συμμετρικά σημεία.

📘

ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΟΤΗΤΑ

4.Αν τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\), ποια σημεία είναι συνευθειακά;

Α. \(A,O,A'\) Β. Μόνο τα \(A,O\) Γ. Μόνο τα \(O,A'\) Δ. Κανένα από αυτά

Σωστή απάντηση: Α

Το σημείο, το κέντρο και το συμμετρικό σημείο βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

📘

ΙΣΕΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

5.Για συμμετρικά σημεία \(A,A'\) ως προς \(O\) ισχύει:

Α. \(OA=OA'\) Β. \(OA=2OA'\) Γ. \(OA'=AA'\) Δ. \(OA+OA'=0\)

Σωστή απάντηση: Α

Το κέντρο απέχει εξίσου από τα δύο συμμετρικά σημεία.

🧠

ΠΛΗΡΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ

6.Ποιες δύο συνθήκες επιβεβαιώνουν ότι τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\);

Α. Τα \(A,O,A'\) είναι συνευθειακά και \(OA=OA'\) Β. Μόνο \(OA=OA'\) Γ. Μόνο τα \(A,O,A'\) είναι συνευθειακά Δ. Τα \(A,A'\) βρίσκονται στην ίδια πλευρά του \(O\)

Σωστή απάντηση: Α

Χρειαζόμαστε ταυτόχρονα συνευθειακότητα και ίσες αποστάσεις, ώστε το \(O\) να είναι μέσο του \(AA'\).

⚠

ΠΑΓΙΔΑ

7.Τα σημεία \(A,A'\) απέχουν εξίσου από το \(O\), αλλά τα \(A,O,A'\) δεν είναι συνευθειακά. Είναι συμμετρικά ως προς \(O\);

Α. Ναι Β. Όχι

Σωστή απάντηση: Β

Οι ίσες αποστάσεις από μόνες τους δεν αρκούν· απαιτείται και συνευθειακότητα.

⚠

ΠΑΓΙΔΑ

8.Τα \(A,O,A'\) είναι συνευθειακά, αλλά \(OA\ne OA'\). Είναι τα \(A,A'\) συμμετρικά ως προς \(O\);

Α. Ναι Β. Όχι

Σωστή απάντηση: Β

Το \(O\) δεν είναι μέσο του \(AA'\), επειδή οι δύο αποστάσεις δεν είναι ίσες.

⚡

ΙΣΕΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

9.Τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\). Αν \(OA=5\) cm, τότε \(OA'=\):

Α. \(2{,}5\) cm Β. \(5\) cm Γ. \(10\) cm Δ. \(25\) cm

Σωστή απάντηση: Β

Από τη βασική ιδιότητα της συμμετρίας ως προς σημείο, \(OA=OA'\).

⚡

ΑΠΟ ΤΜΗΜΑ ΣΕ ΜΙΣΟ

10.Τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\) και \(AA'=14\) cm. Τότε:

Α. \(OA=OA'=7\) cm Β. \(OA=OA'=14\) cm Γ. \(OA=7\) cm και \(OA'=14\) cm Δ. \(OA=OA'=28\) cm

Σωστή απάντηση: Α

Το \(O\) είναι μέσο του \(AA'\), άρα κάθε μισό έχει μήκος \(14:2=7\) cm.

⚡

ΑΠΟ ΜΙΣΟ ΣΕ ΤΜΗΜΑ

11.Αν \(OA=OA'=6\) cm και το \(O\) βρίσκεται ανάμεσα στα \(A,A'\), τότε \(AA'=\):

Α. \(3\) cm Β. \(6\) cm Γ. \(12\) cm Δ. \(36\) cm

Σωστή απάντηση: Γ

Το συνολικό τμήμα είναι \(AA'=OA+OA'=6+6=12\) cm.

⏱

10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ

12.Αν \(AA'=22\) cm και το \(O\) είναι κέντρο συμμετρίας των άκρων, τότε \(OA=\):

Α. \(5{,}5\) cm Β. \(11\) cm Γ. \(22\) cm Δ. \(44\) cm

Σωστή απάντηση: Β

Διαιρούμε το \(AA'\) διά \(2\): \(OA=22:2=11\) cm.

📘

ΑΚΙΝΗΤΟ ΣΗΜΕΙΟ

13.Ποιο είναι το συμμετρικό του ίδιου του κέντρου \(O\) ως προς το \(O\);

Α. Το ίδιο το \(O\) Β. Το \(A\) Γ. Ένα διαφορετικό σημείο \(O'\) Δ. Δεν υπάρχει

Σωστή απάντηση: Α

Το κέντρο παραμένει ακίνητο στη συμμετρία ως προς τον εαυτό του.

✓✗

ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ

14.Στη συμμετρία ως προς σημείο, το μόνο σημείο που δεν αλλάζει θέση είναι το κέντρο συμμετρίας.

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Α

Κάθε άλλο σημείο μεταφέρεται στην απέναντι πλευρά του κέντρου.

🧠

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

15.Το \(M\) είναι μέσο του \(AA'\). Τι συμπεραίνουμε;

Α. Τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά ως προς \(M\) Β. Τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά ως προς κάθε σημείο Γ. \(A=A'\) Δ. Το \(M\) δεν ανήκει στο \(AA'\)

Σωστή απάντηση: Α

Αφού το \(M\) είναι μέσο του \(AA'\), αποτελεί κέντρο συμμετρίας των δύο άκρων.

📘

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

16.Για να βρούμε το συμμετρικό \(A'\) του \(A\) ως προς \(O\), αρχικά:

Α. Ενώνουμε το \(A\) με το \(O\) Β. Φέρνουμε τυχαία ευθεία από το \(A\) Γ. Κατασκευάζουμε κύκλο με κέντρο \(A\) Δ. Μεταφέρουμε το \(A\) στην ίδια πλευρά του \(O\)

Σωστή απάντηση: Α

Η ευθεία \(AO\) καθορίζει τη θέση στην οποία θα τοποθετηθεί το συμμετρικό σημείο.

📘

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

17.Μετά την ένωση του \(A\) με το \(O\), για να βρούμε το \(A'\):

Α. Προεκτείνουμε την \(AO\) πέρα από το \(O\) Β. Φέρνουμε παράλληλη από το \(O\) Γ. Τοποθετούμε το \(A'\) πάνω στο \(A\) Δ. Επιλέγουμε σημείο εκτός της ευθείας \(AO\)

Σωστή απάντηση: Α

Το συμμετρικό βρίσκεται στην ίδια ευθεία, στην απέναντι πλευρά του κέντρου.

📘

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

18.Στην προέκταση της \(AO\), το \(A'\) επιλέγεται έτσι ώστε:

Α. \(OA'=OA\) Β. \(OA'=2OA\) Γ. \(AA'=OA\) Δ. \(OA'=0\)

Σωστή απάντηση: Α

Η ίση απόσταση εξασφαλίζει ότι το \(O\) είναι μέσο του \(AA'\).

🧠

ΘΕΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ

19.Τα διαφορετικά συμμετρικά σημεία \(A,A'\) ως προς \(O\) βρίσκονται:

Α. Σε αντίθετες πλευρές του \(O\) Β. Στην ίδια πλευρά του \(O\) Γ. Και τα δύο πάνω στο \(O\) Δ. Σε δύο κάθετες ευθείες

Σωστή απάντηση: Α

Το κέντρο βρίσκεται ανάμεσά τους ως μέσο του τμήματος \(AA'\).

✓✗

ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ

20.Δύο διαφορετικά σημεία στην ίδια πλευρά του \(O\) μπορούν να είναι συμμετρικά μεταξύ τους ως προς \(O\).

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Β

Το κέντρο πρέπει να βρίσκεται ανάμεσα στα συμμετρικά σημεία.

📘

ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

21.Αν το \(A'B'\) είναι συμμετρικό του \(AB\) ως προς \(O\), τότε:

Α. \(A'B'=AB\) Β. \(A'B'=2AB\) Γ. \(A'B'=\frac{AB}{2}\) Δ. Τα μήκη δεν συγκρίνονται

Σωστή απάντηση: Α

Η συμμετρία ως προς σημείο διατηρεί τα μήκη.

⚡

ΜΗΚΟΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΥ

22.Το \(A'B'\) είναι συμμετρικό του \(AB\) και \(AB=9\) cm. Τότε \(A'B'=\):

Α. \(4{,}5\) cm Β. \(9\) cm Γ. \(18\) cm Δ. \(81\) cm

Σωστή απάντηση: Β

Τα αντίστοιχα τμήματα έχουν ίσα μήκη.

⚡

ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ

23.Μια γωνία έχει μέτρο \(65^\circ\). Η συμμετρική της ως προς σημείο έχει μέτρο:

Α. \(32{,}5^\circ\) Β. \(65^\circ\) Γ. \(115^\circ\) Δ. \(130^\circ\)

Σωστή απάντηση: Β

Η συμμετρία διατηρεί τα μέτρα των γωνιών.

🧠

ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

24.Τρίγωνο έχει πλευρές \(5\), \(6\), \(7\) cm. Οι πλευρές του συμμετρικού του είναι:

Α. \(5\), \(6\), \(7\) cm Β. \(10\), \(12\), \(14\) cm Γ. \(2{,}5\), \(3\), \(3{,}5\) cm Δ. \(6\), \(7\), \(8\) cm

Σωστή απάντηση: Α

Το συμμετρικό τρίγωνο έχει ίδιο σχήμα και ίδιο μέγεθος με το αρχικό.

🧠

ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ

25.Ένα σχήμα έχει περίμετρο \(28\) cm. Η περίμετρος του συμμετρικού του ως προς σημείο είναι:

Α. \(14\) cm Β. \(28\) cm Γ. \(56\) cm Δ. Δεν μπορεί να βρεθεί

Σωστή απάντηση: Β

Αφού όλα τα αντίστοιχα μήκη διατηρούνται, διατηρείται και η περίμετρος.

📘

ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΣΧΗΜΑΤΟΣ

26.Ένα σχήμα και το συμμετρικό του ως προς σημείο έχουν:

Α. Ίδιο σχήμα και ίδιο μέγεθος Β. Ίδιο σχήμα αλλά διπλάσιο μέγεθος Γ. Διαφορετικές αντίστοιχες γωνίες Δ. Πάντα την ίδια θέση χωρίς περιστροφή

Σωστή απάντηση: Α

Η συμμετρία αλλάζει τη θέση του σχήματος, όχι τις διαστάσεις του.

📘

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΧΗΜΑΤΟΣ

27.Για να κατασκευάσουμε το συμμετρικό ενός πολυγώνου ως προς \(O\):

Α. Βρίσκουμε το συμμετρικό κάθε κορυφής και ενώνουμε τις νέες κορυφές με την ίδια σειρά Β. Μεταφέρουμε μόνο μία κορυφή Γ. Διπλασιάζουμε όλες τις πλευρές Δ. Τοποθετούμε όλες τις κορυφές στο \(O\)

Σωστή απάντηση: Α

Η διαδικασία εφαρμόζεται σε κάθε βασικό σημείο του σχήματος.

📘

ΜΙΣΗ ΣΤΡΟΦΗ

28.Η συμμετρία ως προς σημείο \(O\) ισοδυναμεί με περιστροφή γύρω από το \(O\) κατά:

Α. \(90^\circ\) Β. \(180^\circ\) Γ. \(270^\circ\) Δ. \(360^\circ\)

Σωστή απάντηση: Β

Η συμμετρία ως προς σημείο είναι μισή στροφή, δηλαδή περιστροφή \(180^\circ\).

📘

ΚΕΝΤΡΟ ΣΧΗΜΑΤΟΣ

29.Ένα σημείο \(O\) είναι κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος όταν:

Α. Με περιστροφή \(180^\circ\) γύρω από το \(O\), το σχήμα συμπίπτει με τον εαυτό του Β. Με περιστροφή \(90^\circ\) κάθε σχήμα συμπίπτει Γ. Το \(O\) βρίσκεται απλώς μέσα στο σχήμα Δ. Το σχήμα έχει μία κάθετη πλευρά

Σωστή απάντηση: Α

Η σύμπτωση μετά από μισή στροφή είναι ο έλεγχος του κέντρου συμμετρίας.

📘

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ

30.Κέντρο συμμετρίας ενός παραλληλογράμμου είναι:

Α. Το σημείο τομής των διαγωνίων του Β. Μία οποιαδήποτε κορυφή Γ. Το μέσο μίας μόνο πλευράς Δ. Κάθε εξωτερικό σημείο

Σωστή απάντηση: Α

Οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου τέμνονται στο κέντρο συμμετρίας του.

📘

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ

31.Ένα ορθογώνιο έχει κέντρο συμμετρίας;

Α. Ναι, το σημείο τομής των διαγωνίων του Β. Όχι, ποτέ Γ. Ναι, κάθε κορυφή του Δ. Μόνο αν είναι τρίγωνο

Σωστή απάντηση: Α

Το ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο και συμπίπτει με τον εαυτό του μετά από στροφή \(180^\circ\).

📘

ΡΟΜΒΟΣ

32.Το κέντρο συμμετρίας ενός ρόμβου είναι:

Α. Το σημείο τομής των διαγωνίων του Β. Το μέσο μίας πλευράς Γ. Μία τυχαία κορυφή Δ. Δεν υπάρχει

Σωστή απάντηση: Α

Ο ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο, άρα κέντρο συμμετρίας είναι η τομή των διαγωνίων.

📘

ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

33.Ένα τετράγωνο μετά από περιστροφή \(180^\circ\) γύρω από την τομή των διαγωνίων του:

Α. Συμπίπτει με τον εαυτό του Β. Γίνεται τρίγωνο Γ. Διπλασιάζει τις πλευρές του Δ. Δεν έχει καμία κοινή θέση με το αρχικό

Σωστή απάντηση: Α

Η τομή των διαγωνίων είναι κέντρο συμμετρίας του τετραγώνου.

📘

ΚΥΚΛΟΣ

34.Ποιο σημείο είναι κέντρο συμμετρίας ενός κύκλου;

Α. Το κέντρο του κύκλου Β. Κάθε σημείο της περιφέρειας Γ. Οποιοδήποτε εξωτερικό σημείο Δ. Ο κύκλος δεν έχει κέντρο συμμετρίας

Σωστή απάντηση: Α

Με περιστροφή \(180^\circ\) γύρω από το κέντρο του, ο κύκλος παραμένει ίδιος.

📘

ΤΡΙΓΩΝΟ

35.Έχει ένα κοινό τρίγωνο κέντρο συμμετρίας;

Α. Ναι, κάθε κορυφή Β. Ναι, το μέσο κάθε πλευράς Γ. Όχι Δ. Ναι, οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο

Σωστή απάντηση: Γ

Με περιστροφή \(180^\circ\), ένα τρίγωνο δεν συμπίπτει με την αρχική του θέση.

⚠

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

36.Άξονας συμμετρίας και κέντρο συμμετρίας είναι η ίδια έννοια.

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Β

Ο άξονας είναι ευθεία καθρέφτη, ενώ το κέντρο είναι σημείο γύρω από το οποίο γίνεται μισή στροφή.

🤖

AI CHECK

37.Το AI λέει: «Αν \(OA=OA'\), τότε τα \(A,A'\) είναι οπωσδήποτε συμμετρικά ως προς \(O\)».

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Β

Χρειάζεται επιπλέον τα \(A,O,A'\) να είναι συνευθειακά και το \(O\) να βρίσκεται ανάμεσα στα \(A,A'\).

🤖

AI CHECK

38.Το AI λέει: «Για να ελέγξουμε αν ένα σχήμα έχει κέντρο συμμετρίας, το περιστρέφουμε νοερά κατά \(180^\circ\)».

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Α

Αν μετά τη μισή στροφή το σχήμα συμπέσει με τον εαυτό του, το σημείο περιστροφής είναι κέντρο συμμετρίας.

🧩

ΕΞΙΣΩΣΗ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ

39.Τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\). Αν \(OA=2x+1\) cm και \(OA'=11\) cm, τότε \(x=\):

Α. \(4\) Β. \(5\) Γ. \(6\) Δ. \(10\)

Σωστή απάντηση: Β

Θέτουμε \(OA=OA'\): \(2x+1=11\Rightarrow2x=10\Rightarrow x=5\).

🧩

ΕΞΙΣΩΣΗ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ

40.Τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\). Αν \(OA=3x-4\) cm και \(OA'=14\) cm, τότε \(x=\):

Α. \(4\) Β. \(5\) Γ. \(6\) Δ. \(7\)

Σωστή απάντηση: Γ

Από \(3x-4=14\) έχουμε \(3x=18\), άρα \(x=6\).

📘

ΣΧΕΣΗ ΜΗΚΩΝ

41.Αν τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\), τότε:

Α. \(AA'=2OA\) Β. \(AA'=OA\) Γ. \(OA=2AA'\) Δ. \(AA'=\frac{OA}{2}\)

Σωστή απάντηση: Α

Το συνολικό τμήμα αποτελείται από τα δύο ίσα μέρη \(OA\) και \(OA'\).

🧩

ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

42.Τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\), \(AA'=2x+6\) cm και \(OA=8\) cm. Τότε \(x=\):

Α. \(4\) Β. \(5\) Γ. \(6\) Δ. \(8\)

Σωστή απάντηση: Β

Έχουμε \(AA'=2OA=16\) cm. Άρα \(2x+6=16\Rightarrow2x=10\Rightarrow x=5\).

🧩

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

43.Τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\), \(OA=x+3\) και \(OA'=2x-4\). Ποιο είναι το \(AA'\);

Α. \(10\) Β. \(14\) Γ. \(20\) Δ. \(28\)

Σωστή απάντηση: Γ

Από \(x+3=2x-4\) βρίσκουμε \(x=7\). Τότε \(OA=OA'=10\), άρα \(AA'=20\).

🧠

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ

44.Τα \(A,O,A'\) είναι συνευθειακά, το \(O\) βρίσκεται ανάμεσα στα \(A,A'\) και \(OA=OA'=8\) cm. Τι συμπεραίνουμε;

Α. Τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\) Β. Το \(A\) είναι κέντρο συμμετρίας Γ. \(A=A'\) Δ. Τα \(A,A'\) δεν σχετίζονται

Σωστή απάντηση: Α

Οι συνθήκες δείχνουν ότι το \(O\) είναι μέσο του \(AA'\).

🧠

ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΣ

45.Ισχύει \(OA=OA'=8\) cm, αλλά τα \(A,O,A'\) δεν είναι συνευθειακά. Τι συμπεραίνουμε;

Α. Τα \(A,A'\) δεν είναι συμμετρικά ως προς \(O\) Β. Τα \(A,A'\) είναι σίγουρα συμμετρικά Γ. Το \(O\) είναι μέσο του \(AA'\) Δ. \(AA'=16\) υποχρεωτικά

Σωστή απάντηση: Α

Χωρίς συνευθειακότητα, το \(O\) δεν μπορεί να είναι μέσο του τμήματος \(AA'\).

🧠

ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ

46.Ένα ορθογώνιο περιστρέφεται κατά \(180^\circ\) γύρω από την τομή των διαγωνίων του. Τι συμβαίνει;

Α. Συμπίπτει με τον εαυτό του Β. Μεγαλώνει Γ. Μετατρέπεται σε τρίγωνο Δ. Χάνει τις ορθές γωνίες του

Σωστή απάντηση: Α

Η τομή των διαγωνίων είναι κέντρο συμμετρίας του ορθογωνίου.

🧠

ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΚΥΚΛΟΥ

47.Κύκλος περιστρέφεται κατά \(180^\circ\) γύρω από το κέντρο του. Το αποτέλεσμα είναι:

Α. Ο ίδιος κύκλος στην ίδια θέση Β. Κύκλος διπλάσιας ακτίνας Γ. Ημικύκλιο Δ. Διαφορετικό σχήμα

Σωστή απάντηση: Α

Κάθε σημείο του κύκλου μεταφέρεται σε αντιδιαμετρικό σημείο, οπότε ο κύκλος ως σύνολο παραμένει ίδιος.

🧠

ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

48.Ένα κοινό τρίγωνο περιστρέφεται κατά \(180^\circ\) γύρω από ένα σημείο. Κατά κανόνα:

Α. Δεν συμπίπτει με την αρχική του θέση Β. Συμπίπτει πάντα Γ. Γίνεται κύκλος Δ. Διπλασιάζει την περίμετρό του

Σωστή απάντηση: Α

Το κοινό τρίγωνο δεν έχει κέντρο συμμετρίας.

✓✗

ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ

49.Η συμμετρία ως προς σημείο αλλάζει τη θέση ενός σχήματος, αλλά όχι το σχήμα και το μέγεθός του.

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Α

Τα αντίστοιχα μήκη και οι αντίστοιχες γωνίες παραμένουν ίσα.

🧩

ΜΗΚΟΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΥ

50.Το \(A'B'\) είναι συμμετρικό του \(AB\). Αν \(AB=4x-3\) cm και \(A'B'=17\) cm, τότε \(x=\):

Α. \(4\) Β. \(5\) Γ. \(6\) Δ. \(7\)

Σωστή απάντηση: Β

Επειδή \(AB=A'B'\), έχουμε \(4x-3=17\Rightarrow4x=20\Rightarrow x=5\).

🧩

ΜΕΤΡΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗΣ ΓΩΝΙΑΣ

51.Μια γωνία και η συμμετρική της έχουν μέτρα \(3x+5\) και \(50^\circ\). Τότε \(x=\):

Α. \(10\) Β. \(15\) Γ. \(20\) Δ. \(45\)

Σωστή απάντηση: Β

Οι γωνίες είναι ίσες: \(3x+5=50\Rightarrow3x=45\Rightarrow x=15\).

⏱

10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ

52.Ένα τρίγωνο έχει περίμετρο \(30\) cm. Η περίμετρος του συμμετρικού του ως προς \(O\) είναι:

Α. \(15\) cm Β. \(30\) cm Γ. \(60\) cm Δ. \(90\) cm

Σωστή απάντηση: Β

Η συμμετρία διατηρεί τα μήκη όλων των πλευρών και συνεπώς την περίμετρο.

➡

ΣΩΣΤΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ

53.Ποια είναι η σωστή σειρά για την κατασκευή του συμμετρικού \(A'\) του \(A\) ως προς \(O\);

Α. Ενώνω \(A\) με \(O\) → προεκτείνω πέρα από \(O\) → παίρνω \(OA'=OA\) Β. Φέρνω κάθετη στο \(AO\) → παίρνω τυχαίο σημείο Γ. Τοποθετώ το \(A'\) στην ίδια πλευρά του \(O\) Δ. Διπλασιάζω την απόσταση χωρίς να ελέγχω ευθεία

Σωστή απάντηση: Α

Η σειρά αυτή εξασφαλίζει συνευθειακότητα, αντίθετες πλευρές και ίσες αποστάσεις.

📘

ΜΟΝΑΔΙΚΟ ΑΚΙΝΗΤΟ ΣΗΜΕΙΟ

54.Στη συμμετρία ως προς \(O\), ποιο σημείο μένει ακίνητο;

Α. Μόνο το \(O\) Β. Κάθε σημείο του επιπέδου Γ. Μόνο το \(A\) Δ. Όλα τα σημεία μιας ευθείας

Σωστή απάντηση: Α

Σε αντίθεση με τη συμμετρία ως προς άξονα, εδώ υπάρχει ένα μόνο ακίνητο σημείο: το κέντρο.

⚖

ΑΞΟΝΑΣ Ή ΚΕΝΤΡΟ

55.Ποια πρόταση περιγράφει σωστά τη συμμετρία ως προς σημείο;

Α. Ορίζεται από κέντρο και αντιστοιχεί σε στροφή \(180^\circ\) Β. Ορίζεται από ευθεία καθρέφτη Γ. Όλα τα σημεία μιας ευθείας μένουν ακίνητα Δ. Αντιστοιχεί πάντα σε στροφή \(90^\circ\)

Σωστή απάντηση: Α

Η συμμετρία ως προς σημείο έχει ένα κέντρο και ισοδυναμεί με μισή στροφή.

🧩

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ

56.Τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\) και \(OA=9\) cm. Ποια πρόταση είναι σωστή;

Α. \(OA'=9\) cm και \(AA'=18\) cm Β. \(OA'=18\) cm και \(AA'=9\) cm Γ. \(OA'=4{,}5\) cm και \(AA'=9\) cm Δ. \(OA'=9\) cm και \(AA'=9\) cm

Σωστή απάντηση: Α

Οι αποστάσεις από το κέντρο είναι ίσες και το συνολικό τμήμα είναι το άθροισμά τους.

🧩

ΜΕΣΟ ΚΑΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ

57.Το \(O\) είναι μέσο του \(PP'\) και \(PP'=26\) cm. Τότε:

Α. Τα \(P,P'\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\) και \(OP=OP'=13\) cm Β. \(OP=26\) cm Γ. Τα \(P,P'\) δεν είναι συμμετρικά Δ. \(OP=OP'=52\) cm

Σωστή απάντηση: Α

Ο ορισμός της συμμετρίας ικανοποιείται και κάθε μισό είναι \(26:2=13\) cm.

🧠

ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΚΕΝΤΡΟ

58.Ποια ομάδα περιέχει μόνο σχήματα με κέντρο συμμετρίας;

Α. Παραλληλόγραμμο, ορθογώνιο, ρόμβος, τετράγωνο, κύκλος Β. Τρίγωνο, κύκλος, τετράγωνο Γ. Μόνο τρίγωνα Δ. Κοινό τρίγωνο και παραλληλόγραμμο

Σωστή απάντηση: Α

Όλα τα σχήματα της πρώτης ομάδας συμπίπτουν με τον εαυτό τους μετά από περιστροφή \(180^\circ\).

✓

ΤΕΛΙΚΟ CHECKLIST

59.Ποια σύνοψη είναι πλήρης και σωστή;

Α. Συμμετρικά σημεία: \(O\) μέσο • συνευθειακότητα και \(OA=OA'\) • μόνο το \(O\) μένει ακίνητο • τα μήκη διατηρούνται • κέντρο σχήματος: σύμπτωση μετά από \(180^\circ\) Β. Αρκούν ίσες αποστάσεις χωρίς συνευθειακότητα Γ. Η συμμετρία διπλασιάζει τα μήκη Δ. Κάθε τρίγωνο έχει κέντρο συμμετρίας

Σωστή απάντηση: Α

Η πρώτη επιλογή περιλαμβάνει όλους τους βασικούς ορισμούς, τις ιδιότητες και τον σωστό έλεγχο.

🏆

ΤΕΛΙΚΗ ΠΡΟΚΛΗΣΗ

60.Τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\), \(OA=2x+3\) cm και \(AA'=26\) cm. Το \(AB\) έχει μήκος \(15\) cm και το \(A'B'\) είναι το συμμετρικό του. Ποια πρόταση είναι σωστή;

Α. \(x=5\), \(OA'=13\) cm και \(A'B'=15\) cm Β. \(x=10\), \(OA'=26\) cm και \(A'B'=30\) cm Γ. \(x=5\), \(OA'=26\) cm και \(A'B'=7{,}5\) cm Δ. \(x=13\), \(OA'=13\) cm και \(A'B'=30\) cm

Σωστή απάντηση: Α

Από \(AA'=26\) έχουμε \(OA=OA'=13\) cm. Άρα \(2x+3=13\Rightarrow x=5\). Επίσης η συμμετρία διατηρεί μήκη, οπότε \(A'B'=AB=15\) cm.