07c_ergasia_02a Αξονική συμμετρία

GMATHS - Αξιολόγηση Συμμετρία ως προς άξονα – άξονας συμμετρίας – μεσοκάθετος

02Α. Συμμετρία ως προς άξονα – άξονας συμμετρίας – μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος

συμμετρικά σημεία • άξονας συμμετρίας • ίσες αποστάσεις • κάθετη • μέσο τμήματος • συμμετρικό σχήματος • μεσοκάθετος • ιδιότητα και αντίστροφη ιδιότητα

📘

ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

1.Τα σημεία \(A\) και \(A'\) είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία \(ε\), όταν η \(ε\) είναι:

Α. Μεσοκάθετος του \(AA'\) Β. Παράλληλη στο \(AA'\) Γ. Ημιευθεία με αρχή το \(A\) Δ. Οποιαδήποτε ευθεία που περνά από το \(A\)

Σωστή απάντηση: Α

Η ευθεία συμμετρίας πρέπει να περνά από το μέσο του \(AA'\) και να είναι κάθετη σε αυτό.

📘

ΑΞΟΝΑΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

2.Η ευθεία ως προς την οποία βρίσκουμε συμμετρικά σημεία λέγεται:

Α. Άξονας συμμετρίας Β. Διχοτόμος Γ. Τέμνουσα Δ. Διάμετρος

Σωστή απάντηση: Α

Ο άξονας συμμετρίας λειτουργεί σαν γραμμή καθρέφτη.

📘

ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ

3.Αν τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά ως προς την \(ε\), τότε:

Α. \(AA'\perp ε\) Β. \(AA'\parallel ε\) Γ. \(A\in ε\) πάντα Δ. \(A'=A\) πάντα

Σωστή απάντηση: Α

Το τμήμα που ενώνει ένα σημείο με το συμμετρικό του είναι κάθετο στον άξονα.

📘

ΜΕΣΟ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

4.Αν το \(AA'\) τέμνει τον άξονα \(ε\) στο \(H\), τότε:

Α. Το \(H\) είναι μέσο του \(AA'\) Β. Το \(H\) ταυτίζεται πάντα με το \(A\) Γ. \(AH=AA'\) Δ. \(HA'=0\)

Σωστή απάντηση: Α

Ο άξονας περνά ακριβώς από το μέσο του τμήματος \(AA'\).

📘

ΙΣΕΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

5.Τα συμμετρικά σημεία \(A,A'\) ως προς την \(ε\):

Α. Απέχουν εξίσου από την \(ε\) Β. Απέχουν πάντα \(1\) cm από την \(ε\) Γ. Βρίσκονται πάνω στην \(ε\) Δ. Έχουν άνισες αποστάσεις από την \(ε\)

Σωστή απάντηση: Α

Η συμμετρία τοποθετεί τα δύο σημεία σε ίσες κάθετες αποστάσεις από τον άξονα.

⚡

ΙΣΕΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

6.Τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά και το \(AA'\) τέμνει την \(ε\) στο \(H\). Αν \(AH=5\) cm, τότε \(HA'=\):

Α. \(2{,}5\) cm Β. \(5\) cm Γ. \(10\) cm Δ. \(25\) cm

Σωστή απάντηση: Β

Το \(H\) είναι μέσο του \(AA'\), άρα \(AH=HA'=5\) cm.

⚡

ΜΗΚΟΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

7.Αν \(AA'=16\) cm και η \(ε\) είναι μεσοκάθετος του \(AA'\), τότε \(AH=HA'=\):

Α. \(4\) cm Β. \(8\) cm Γ. \(16\) cm Δ. \(32\) cm

Σωστή απάντηση: Β

Το μέσο χωρίζει το τμήμα σε δύο ίσα μέρη: \(16:2=8\) cm.

📘

ΣΗΜΕΙΟ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ

8.Αν ένα σημείο \(M\) βρίσκεται πάνω στον άξονα συμμετρίας, το συμμετρικό του είναι:

Α. Το ίδιο το \(M\) Β. Ένα διαφορετικό σημείο σε απόσταση \(1\) cm Γ. Το μέσο του άξονα Δ. Δεν υπάρχει

Σωστή απάντηση: Α

Τα σημεία του άξονα παραμένουν ακίνητα κατά τη συμμετρία.

✓✗

ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ

9.Αν το \(AA'\) δεν είναι κάθετο στην \(ε\), τα \(A,A'\) μπορούν παρ’ όλα αυτά να είναι συμμετρικά ως προς την \(ε\).

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Β

Η καθετότητα \(AA'\perp ε\) είναι αναγκαία προϋπόθεση.

⚠

ΠΑΓΙΔΑ

10.Αρκεί ο άξονας \(ε\) να τέμνει το \(AA'\), για να είναι τα \(A,A'\) συμμετρικά.

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Β

Πρέπει να το τέμνει κάθετα και ακριβώς στο μέσο του.

📘

ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

11.Το συμμετρικό του τμήματος \(AB\) είναι το \(A'B'\). Ποια σχέση ισχύει;

Α. \(A'B'=AB\) Β. \(A'B'=2AB\) Γ. \(A'B'=\frac{AB}{2}\) Δ. Δεν υπάρχει σταθερή σχέση

Σωστή απάντηση: Α

Η συμμετρία διατηρεί τα μήκη.

📘

ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ

12.Μια γωνία \(50^\circ\) μεταφέρεται με συμμετρία ως προς άξονα. Η συμμετρική της έχει μέτρο:

Α. \(25^\circ\) Β. \(50^\circ\) Γ. \(100^\circ\) Δ. \(130^\circ\)

Σωστή απάντηση: Β

Η συμμετρία διατηρεί τα μέτρα των γωνιών.

🧠

ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΣΧΗΜΑΤΟΣ

13.Ένα σχήμα και το συμμετρικό του έχουν:

Α. Ίδιο σχήμα και ίδιο μέγεθος Β. Ίδιο σχήμα αλλά διπλάσιο μέγεθος Γ. Διαφορετικά μήκη και γωνίες Δ. Πάντα την ίδια θέση

Σωστή απάντηση: Α

Η θέση και ο προσανατολισμός αλλάζουν, όχι το σχήμα ή το μέγεθος.

📘

ΑΞΟΝΑΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ

14.Μια ευθεία είναι άξονας συμμετρίας ενός σχήματος όταν:

Α. Το χωρίζει σε δύο μέρη που συμπίπτουν με δίπλωμα Β. Περνά από οποιοδήποτε σημείο του Γ. Είναι παράλληλη σε μία πλευρά Δ. Βρίσκεται έξω από το σχήμα

Σωστή απάντηση: Α

Με νοητό δίπλωμα πάνω στον άξονα, τα δύο κατοπτρικά μέρη πρέπει να συμπέσουν.

🧠

ΔΙΠΛΩΜΑ ΣΧΗΜΑΤΟΣ

15.Αν διπλώσουμε ένα συμμετρικό σχήμα πάνω στον άξονά του, τότε:

Α. Τα δύο μέρη συμπίπτουν Β. Το ένα μέρος γίνεται διπλάσιο Γ. Οι αντίστοιχες πλευρές γίνονται κάθετες Δ. Το σχήμα εξαφανίζεται

Σωστή απάντηση: Α

Η σύμπτωση των δύο μερών είναι ο πρακτικός έλεγχος του άξονα συμμετρίας.

📘

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΥ

16.Για να κατασκευάσουμε το συμμετρικό \(A'\) του \(A\) ως προς την \(ε\), πρώτα:

Α. Φέρνουμε από το \(A\) κάθετη στην \(ε\) Β. Φέρνουμε από το \(A\) παράλληλη στην \(ε\) Γ. Επιλέγουμε τυχαία το \(A'\) Δ. Μετράμε το μήκος της \(ε\)

Σωστή απάντηση: Α

Το \(AA'\) πρέπει να είναι κάθετο στον άξονα.

⚡

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΥ

17.Αν η κάθετη από το \(A\) συναντά την \(ε\) στο \(H\), το \(A'\) τοποθετείται ώστε:

Α. \(HA'=HA\) Β. \(HA'=2HA\) Γ. \(HA'=0\) Δ. \(AA'=HA\)

Σωστή απάντηση: Α

Το \(H\) πρέπει να είναι μέσο του \(AA'\).

📘

ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ

18.Μεσοκάθετος ενός τμήματος είναι η ευθεία που:

Α. Περνά από το μέσο του και είναι κάθετη σε αυτό Β. Περνά μόνο από ένα άκρο του Γ. Είναι μόνο παράλληλη σε αυτό Δ. Το τέμνει σε οποιοδήποτε σημείο

Σωστή απάντηση: Α

Ο ορισμός απαιτεί ταυτόχρονα πέρασμα από το μέσο και καθετότητα.

✓✗

ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ

19.Μια ευθεία που περνά από το μέσο του \(AB\), αλλά δεν είναι κάθετη στο \(AB\), είναι μεσοκάθετος.

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Β

Λείπει η δεύτερη αναγκαία προϋπόθεση: η καθετότητα.

✓✗

ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ

20.Μια ευθεία κάθετη στο \(AB\), που δεν περνά από το μέσο του, είναι μεσοκάθετος του \(AB\).

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Β

Η ευθεία πρέπει επίσης να περνά από το μέσο του τμήματος.

📘

ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΥ

21.Αν το σημείο \(P\) βρίσκεται στη μεσοκάθετο του \(AB\), τότε:

Α. \(PA=PB\) Β. \(PA=AB\) Γ. \(PB=2PA\) Δ. \(P\) είναι μέσο του \(AB\)

Σωστή απάντηση: Α

Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ισαπέχει από τα δύο άκρα του τμήματος.

📘

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ

22.Αν για ένα σημείο \(P\) ισχύει \(PA=PB\), τότε το \(P\):

Α. Βρίσκεται στη μεσοκάθετο του \(AB\) Β. Ταυτίζεται υποχρεωτικά με το \(A\) Γ. Βρίσκεται πάνω στο \(AB\) πάντα Δ. Δεν μπορεί να εντοπιστεί

Σωστή απάντηση: Α

Η ισαπόσταση από τα άκρα χαρακτηρίζει ακριβώς τα σημεία της μεσοκαθέτου.

📘

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ

23.Η μεσοκάθετος του \(AB\) είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που:

Α. Ισαπέχουν από τα \(A,B\) Β. Απέχουν από το \(A\) όσο το μήκος \(AB\) Γ. Βρίσκονται μόνο μέσα στο \(AB\) Δ. Απέχουν άνισα από τα \(A,B\)

Σωστή απάντηση: Α

Όλα και μόνο τα σημεία της μεσοκαθέτου έχουν ίσες αποστάσεις από τα δύο άκρα.

⚡

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΥ

24.Το \(P\) βρίσκεται στη μεσοκάθετο του \(AB\) και \(PA=7\) cm. Τότε \(PB=\):

Α. \(3{,}5\) cm Β. \(7\) cm Γ. \(14\) cm Δ. \(49\) cm

Σωστή απάντηση: Β

Από την ιδιότητα της μεσοκαθέτου, \(PA=PB\).

⚡

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΥ

25.Το \(Q\) βρίσκεται στη μεσοκάθετο του \(AB\) και \(QB=9\) cm. Τότε \(QA=\):

Α. \(4{,}5\) cm Β. \(8\) cm Γ. \(9\) cm Δ. \(18\) cm

Σωστή απάντηση: Γ

Το \(Q\) ισαπέχει από τα άκρα \(A\) και \(B\), άρα \(QA=QB=9\) cm.

🧩

ΕΞΙΣΩΣΗ

26.Το \(P\) βρίσκεται στη μεσοκάθετο του \(AB\), \(PA=2x+1\) και \(PB=11\). Ποια είναι η τιμή του \(x\);

Α. \(4\) Β. \(5\) Γ. \(6\) Δ. \(10\)

Σωστή απάντηση: Β

Θέτουμε \(PA=PB\): \(2x+1=11\Rightarrow2x=10\Rightarrow x=5\).

🧩

ΕΞΙΣΩΣΗ

27.Το \(P\) βρίσκεται στη μεσοκάθετο του \(AB\), \(PA=3x-2\) και \(PB=13\). Τότε \(x=\):

Α. \(3\) Β. \(4\) Γ. \(5\) Δ. \(6\)

Σωστή απάντηση: Γ

Από \(PA=PB\) έχουμε \(3x-2=13\Rightarrow3x=15\Rightarrow x=5\).

🧠

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

28.Μετρήσαμε ότι \(PA=PB\). Ποιο συμπέρασμα είναι ασφαλές;

Α. Το \(P\) ανήκει στη μεσοκάθετο του \(AB\) Β. Το \(P\) είναι υποχρεωτικά το μέσο του \(AB\) Γ. Το \(P\) ταυτίζεται με το \(A\) Δ. Το \(AB\) είναι κάθετο σε κάθε ευθεία από το \(P\)

Σωστή απάντηση: Α

Χρησιμοποιούμε την αντίστροφη ιδιότητα της μεσοκαθέτου.

🧠

ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΣ

29.Αν \(PA\ne PB\), τότε το \(P\):

Α. Δεν βρίσκεται στη μεσοκάθετο του \(AB\) Β. Βρίσκεται σίγουρα στη μεσοκάθετο Γ. Είναι μέσο του \(AB\) Δ. Ταυτίζεται με το \(B\)

Σωστή απάντηση: Α

Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου πρέπει να έχει ίσες αποστάσεις από τα δύο άκρα.

🧠

ΑΚΡΑ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

30.Ως προς τη μεσοκάθετο του \(AB\), τα άκρα \(A\) και \(B\) είναι:

Α. Συμμετρικά Β. Παράλληλα Γ. Το ίδιο σημείο Δ. Κάθετα

Σωστή απάντηση: Α

Η μεσοκάθετος περνά από το μέσο του \(AB\) και είναι κάθετη σε αυτό, άρα είναι άξονας συμμετρίας των άκρων.

📘

ΜΕΣΟ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

31.Το μέσο \(M\) του \(AB\) βρίσκεται στη μεσοκάθετό του. Το συμμετρικό του \(M\) ως προς αυτή είναι:

Α. Το ίδιο το \(M\) Β. Το \(A\) Γ. Το \(B\) Δ. Ένα σημείο έξω από το τμήμα

Σωστή απάντηση: Α

Το \(M\) βρίσκεται πάνω στον άξονα, άρα μένει ακίνητο.

✓✗

ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ

32.Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου παραμένει ακίνητο στη συμμετρία ως προς αυτή.

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Α

Όλα τα σημεία που βρίσκονται πάνω στον άξονα ταυτίζονται με τα συμμετρικά τους.

🧠

ΣΥΝΔΕΣΗ ΕΝΝΟΙΩΝ

33.Αν τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά ως προς την \(ε\), τότε η \(ε\) είναι:

Α. Μεσοκάθετος του \(AA'\) Β. Παράλληλη στο \(AA'\) Γ. Μεσοκάθετος οποιουδήποτε τμήματος Δ. Ημιευθεία με αρχή το \(A\)

Σωστή απάντηση: Α

Αυτό αποτελεί τον βασικό ορισμό των συμμετρικών σημείων ως προς άξονα.

⚠

ΠΑΓΙΔΑ

34.Η \(ε\) είναι κάθετη στο \(AA'\), αλλά δεν περνά από το μέσο του. Άρα τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά ως προς την \(ε\).

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Β

Η καθετότητα μόνη της δεν αρκεί· απαιτούνται και ίσες αποστάσεις από τον άξονα.

⏱

10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ

35.Το \(A\) απέχει \(6\) cm από τον άξονα \(ε\). Αν \(A'\) είναι το συμμετρικό του, πόσο απέχει το \(A'\) από την \(ε\);

Α. \(3\) cm Β. \(6\) cm Γ. \(12\) cm Δ. \(36\) cm

Σωστή απάντηση: Β

Τα συμμετρικά σημεία έχουν ίσες κάθετες αποστάσεις από τον άξονα.

⏱

10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ

36.Το \(A\) απέχει \(4\) cm από τον άξονα και το \(A'\) είναι το συμμετρικό του. Τότε \(AA'=\):

Α. \(2\) cm Β. \(4\) cm Γ. \(8\) cm Δ. \(16\) cm

Σωστή απάντηση: Γ

Ο άξονας βρίσκεται ανάμεσα στα σημεία, άρα \(AA'=4+4=8\) cm.

⏱

10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ

37.Αν \(AA'=20\) cm και η \(ε\) είναι ο άξονας συμμετρίας των \(A,A'\), η απόσταση καθενός από την \(ε\) είναι:

Α. \(5\) cm Β. \(10\) cm Γ. \(20\) cm Δ. \(40\) cm

Σωστή απάντηση: Β

Ο άξονας περνά από το μέσο του \(AA'\), οπότε \(20:2=10\) cm.

🧩

ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ

38.Τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά ως προς \(ε\). Αν \(AH=x+2\), \(HA'=3x-6\) και \(H\in ε\), τότε \(x=\):

Α. \(2\) Β. \(3\) Γ. \(4\) Δ. \(6\)

Σωστή απάντηση: Γ

Επειδή \(AH=HA'\), έχουμε \(x+2=3x-6\Rightarrow8=2x\Rightarrow x=4\).

🧩

ΜΗΚΟΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΥ

39.Το συμμετρικό του \(AB\) είναι το \(A'B'\). Αν \(AB=3x+1\), \(A'B'=16\), τότε \(x=\):

Α. \(3\) Β. \(4\) Γ. \(5\) Δ. \(6\)

Σωστή απάντηση: Γ

Η συμμετρία διατηρεί μήκη: \(3x+1=16\Rightarrow3x=15\Rightarrow x=5\).

🧠

ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ

40.Ένα τρίγωνο έχει περίμετρο \(24\) cm. Η περίμετρος του συμμετρικού του ως προς άξονα είναι:

Α. \(12\) cm Β. \(24\) cm Γ. \(48\) cm Δ. Δεν μπορεί να βρεθεί

Σωστή απάντηση: Β

Όλες οι αντίστοιχες πλευρές παραμένουν ίσες, άρα διατηρείται και η περίμετρος.

⚡

ΜΕΤΡΟ ΓΩΝΙΑΣ

41.Γωνία \(75^\circ\) έχει συμμετρική γωνία ως προς άξονα. Το μέτρο της είναι:

Α. \(15^\circ\) Β. \(75^\circ\) Γ. \(105^\circ\) Δ. \(150^\circ\)

Σωστή απάντηση: Β

Οι συμμετρικές γωνίες έχουν ίσα μέτρα.

🧠

ΜΕΓΕΘΟΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ

42.Ποιο μέγεθος διατηρείται όταν ένα σχήμα ανακλάται ως προς άξονα;

Α. Τα μήκη και οι γωνίες του Β. Μόνο η απόσταση από την άκρη της σελίδας Γ. Μόνο ο προσανατολισμός Δ. Κανένα μήκος

Σωστή απάντηση: Α

Η συμμετρία είναι κίνηση που διατηρεί το σχήμα και το μέγεθος.

⚠

ΠΑΓΙΔΑ

43.Το συμμετρικό ενός σχήματος είναι πάντοτε μεγαλύτερο από το αρχικό.

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Β

Το συμμετρικό έχει ακριβώς το ίδιο μέγεθος με το αρχικό.

🤖

AI CHECK

44.Το AI λέει: «Για να είναι δύο σημεία συμμετρικά, αρκεί να απέχουν εξίσου από τον άξονα, ακόμη κι αν βρίσκονται σε άσχετες κάθετες».

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Β

Πρέπει επιπλέον το τμήμα που τα ενώνει να είναι κάθετο στον άξονα και ο άξονας να περνά από το μέσο του.

🤖

AI CHECK

45.Το AI λέει: «Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα \(A\) και \(B\) βρίσκεται στη μεσοκάθετο του \(AB\)».

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Α

Αυτή είναι ακριβώς η αντίστροφη ιδιότητα της μεσοκαθέτου.

🧠

ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ ΣΤΗ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟ

46.Τα \(P,Q\) βρίσκονται στη μεσοκάθετο του \(AB\), με \(PA=5\) cm και \(QB=9\) cm. Τότε:

Α. \(PB=5\) cm και \(QA=9\) cm Β. \(PB=9\) cm και \(QA=5\) cm Γ. \(PB=14\) cm και \(QA=4\) cm Δ. Δεν προκύπτει τίποτα

Σωστή απάντηση: Α

Για κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ισχύει χωριστά \(PA=PB\) και \(QA=QB\).

🧩

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ

47.Τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά ως προς \(ε\), το \(H=AA'\cap ε\) και \(AH=3x-1\), \(HA'=x+7\). Ποια είναι η τιμή του \(AA'\);

Α. \(10\) Β. \(18\) Γ. \(22\) Δ. \(36\)

Σωστή απάντηση: Γ

Από \(AH=HA'\): \(3x-1=x+7\Rightarrow x=4\). Άρα κάθε μισό είναι \(11\) και \(AA'=22\).

🧠

ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ

48.Ποιος έλεγχος επιβεβαιώνει ότι το \(A'\) κατασκευάστηκε σωστά ως συμμετρικό του \(A\) ως προς \(ε\);

Α. \(AA'\perp ε\) και ο άξονας περνά από το μέσο του \(AA'\) Β. \(AA'\parallel ε\) Γ. Το \(A'\) βρίσκεται πάνω στην \(ε\) Δ. \(AA'\) έχει αυθαίρετο μήκος

Σωστή απάντηση: Α

Οι δύο αναγκαίες συνθήκες είναι καθετότητα και ίσες αποστάσεις από τον άξονα.

➡

ΣΩΣΤΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ

49.Για να ελέγξουμε αν δύο σημεία είναι συμμετρικά ως προς μια ευθεία, εξετάζουμε:

Α. Αν η ευθεία είναι μεσοκάθετος του τμήματος που τα ενώνει Β. Μόνο αν τα σημεία έχουν ίδιο όνομα Γ. Μόνο αν το τμήμα είναι οριζόντιο Δ. Αν η ευθεία έχει συγκεκριμένο μήκος

Σωστή απάντηση: Α

Ο έλεγχος της μεσοκαθέτου περιλαμβάνει ακριβώς όλες τις απαιτούμενες συνθήκες.

➡

ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΥ

50.Όταν γνωρίζουμε ότι \(P\) βρίσκεται στη μεσοκάθετο του \(AB\), γράφουμε πρώτα:

Α. \(PA=PB\) Β. \(PA+PB=AB\) Γ. \(PA\perp PB\) Δ. \(P=A\)

Σωστή απάντηση: Α

Η ισότητα των αποστάσεων είναι το βασικό εργαλείο για όλους τους υπολογισμούς.

✓✗

ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ

51.Η μεσοκάθετος του \(AB\) περνά υποχρεωτικά από το μέσο του \(AB\).

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Α

Το πέρασμα από το μέσο αποτελεί μέρος του ορισμού της μεσοκαθέτου.

✓✗

ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ

52.Η μεσοκάθετος του \(AB\) είναι παράλληλη στο \(AB\).

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Β

Η μεσοκάθετος είναι κάθετη, όχι παράλληλη, στο τμήμα.

🧠

ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΥ ΑΞΟΝΑ

53.Το \(M\) βρίσκεται στον άξονα \(ε\). Ποια ισότητα εκφράζει ότι το \(M\) είναι ακίνητο στη συμμετρία;

Α. \(M'=M\) Β. \(MM'=1\) Γ. \(M'\ne M\) Δ. \(M'\perp M\)

Σωστή απάντηση: Α

Το συμμετρικό κάθε σημείου του άξονα είναι το ίδιο το σημείο.

🧩

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

54.Το \(P\) βρίσκεται στη μεσοκάθετο του \(AB\). Αν \(PA=4x-3\), \(PB=2x+9\), τότε το κοινό μήκος \(PA=PB\) είναι:

Α. \(15\) Β. \(18\) Γ. \(21\) Δ. \(24\)

Σωστή απάντηση: Γ

Λύνουμε \(4x-3=2x+9\Rightarrow x=6\). Τότε \(PA=PB=4\cdot6-3=21\).

🧩

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΧΗΜΑΤΟΣ

55.Για να κατασκευάσουμε το συμμετρικό ενός τριγώνου \(ABΓ\) ως προς \(ε\), ποια διαδικασία είναι σωστή;

Α. Βρίσκουμε τα συμμετρικά \(A',B',Γ'\) και τα ενώνουμε με την ίδια σειρά Β. Μετακινούμε μόνο το \(A\) Γ. Διπλασιάζουμε όλες τις πλευρές Δ. Τοποθετούμε όλες τις κορυφές πάνω στην \(ε\)

Σωστή απάντηση: Α

Το συμμετρικό σχήμα προκύπτει από τα συμμετρικά όλων των βασικών κορυφών.

⚠

ΠΑΓΙΔΑ

56.Αν δύο σημεία βρίσκονται στην ίδια πλευρά του άξονα και είναι διαφορετικά, μπορούν να είναι συμμετρικά μεταξύ τους ως προς αυτόν.

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Β

Διαφορετικά συμμετρικά σημεία βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές του άξονα και σε ίσες αποστάσεις από αυτόν.

🧠

ΜΕΣΟ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΗ

57.Η ευθεία \(ε\) περνά από το μέσο \(M\) του \(AB\) και \(ε\perp AB\). Τι συμπεραίνουμε;

Α. Η \(ε\) είναι μεσοκάθετος του \(AB\) Β. Η \(ε\parallel AB\) Γ. Το \(M\) είναι άκρο του \(AB\) Δ. \(MA\ne MB\)

Σωστή απάντηση: Α

Ικανοποιούνται και οι δύο συνθήκες του ορισμού της μεσοκαθέτου.

🧠

ΙΣΑΠΟΣΤΑΣΗ

58.Ποιο σημείο μπορεί να βρίσκεται στη μεσοκάθετο του \(AB\);

Α. Σημείο \(P\) με \(PA=6\) cm και \(PB=6\) cm Β. Σημείο \(Q\) με \(QA=4\) cm και \(QB=7\) cm Γ. Σημείο \(R\) με \(RA=3\) cm και \(RB=8\) cm Δ. Σημείο \(S\) με \(SA=9\) cm και \(SB=2\) cm

Σωστή απάντηση: Α

Μόνο το \(P\) ισαπέχει από τα δύο άκρα.

✓

ΤΕΛΙΚΟ CHECKLIST

59.Ποιος έλεγχος συνοψίζει σωστά όλη την ενότητα;

Α. Συμμετρικά σημεία: κάθετη και ίσες αποστάσεις • σημεία άξονα: ακίνητα • μεσοκάθετος: μέσο και κάθετη • σημείο μεσοκαθέτου: ίσες αποστάσεις από τα άκρα Β. Συμμετρικά σημεία: ίδια πλευρά • μεσοκάθετος: παράλληλη Γ. Η συμμετρία αλλάζει μήκη • ο άξονας δεν έχει ακίνητα σημεία Δ. Κάθε κάθετη ευθεία είναι μεσοκάθετος

Σωστή απάντηση: Α

Η πρώτη επιλογή περιλαμβάνει όλες τις βασικές συνθήκες, ιδιότητες και εφαρμογές.

🏆

ΤΕΛΙΚΗ ΠΡΟΚΛΗΣΗ

60.Τα \(A,A'\) είναι συμμετρικά ως προς \(ε\) και \(H=AA'\cap ε\). Αν \(AA'=18\) cm, ενώ το \(P\) βρίσκεται στη μεσοκάθετο του \(AA'\) και \(PA=12\) cm, ποια πρόταση είναι σωστή;

Α. \(AH=HA'=9\) cm και \(PA=PA'=12\) cm Β. \(AH=18\) cm και \(PA'=6\) cm Γ. \(HA'=9\) cm και \(PA'=24\) cm Δ. \(AH=6\) cm και \(PA'=18\) cm

Σωστή απάντηση: Α

Ο άξονας διχοτομεί το \(AA'\), άρα κάθε μισό είναι \(9\) cm. Επίσης το \(P\) βρίσκεται στη μεσοκάθετο του \(AA'\), επομένως \(PA=PA'=12\) cm.