07c_askhseis_03e Άθροισμα γωνιών τριγώνου

03Ε. Άθροισμα γωνιών τριγώνου

📘 Βασική θεωρία

Ποιο είναι το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών κάθε τριγώνου;

Το άθροισμα είναι πάντα \(180^\circ\).

Αν οι γωνίες ενός τριγώνου είναι \(\widehat A,\widehat B,\widehat Γ\), ποια σχέση ισχύει;

Ισχύει \(\widehat A+\widehat B+\widehat Γ=180^\circ\).

Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου εξαρτάται από το σχήμα ή το μέγεθός του;

Όχι. Σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα είναι \(180^\circ\).

Μπορεί ένα τρίγωνο να έχει δύο ορθές γωνίες;

Όχι. Δύο ορθές γωνίες έχουν ήδη άθροισμα \(180^\circ\), οπότε δεν απομένει θετική τρίτη γωνία.

Μπορεί ένα τρίγωνο να έχει δύο αμβλείες γωνίες;

Όχι. Δύο αμβλείες γωνίες έχουν άθροισμα μεγαλύτερο από \(180^\circ\).

Μπορεί ένα τρίγωνο να έχει τρεις οξείες γωνίες;

Ναι. Τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.

Αν γνωρίζουμε δύο γωνίες ενός τριγώνου, μπορούμε να βρούμε πάντα την τρίτη;

Ναι. Αφαιρούμε από τις \(180^\circ\) το άθροισμα των δύο γνωστών γωνιών.

Μια γωνία τριγώνου μπορεί να είναι ίση με \(180^\circ\);

Όχι. Τότε οι άλλες δύο θα έπρεπε να έχουν άθροισμα \(0^\circ\), κάτι αδύνατο για τρίγωνο.

Ποια είναι η μεγαλύτερη δυνατή κατηγορία γωνίας μέσα σε τρίγωνο;

Μπορεί να είναι αμβλεία, αλλά πρέπει να είναι μικρότερη από \(180^\circ\).

Αν οι τρεις γωνίες είναι ίσες, πόση είναι καθεμία;

Είναι \(180^\circ:3=60^\circ\).

📐 Υπολογίζω άγνωστη γωνία

Οι δύο γωνίες είναι \(50^\circ\) και \(60^\circ\). Πόση είναι η τρίτη;

\(180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ\).

Οι δύο γωνίες είναι \(35^\circ\) και \(85^\circ\). Πόση είναι η τρίτη;

\(180^\circ-35^\circ-85^\circ=60^\circ\).

Οι δύο γωνίες είναι \(90^\circ\) και \(25^\circ\). Πόση είναι η τρίτη;

\(180^\circ-90^\circ-25^\circ=65^\circ\).

Οι δύο γωνίες είναι \(100^\circ\) και \(30^\circ\). Πόση είναι η τρίτη;

\(180^\circ-100^\circ-30^\circ=50^\circ\).

Οι δύο γωνίες είναι \(70^\circ\) και \(70^\circ\). Πόση είναι η τρίτη;

\(180^\circ-140^\circ=40^\circ\).

Οι δύο γωνίες είναι \(45^\circ\) και \(45^\circ\). Πόση είναι η τρίτη;

\(180^\circ-90^\circ=90^\circ\).

Οι δύο γωνίες είναι \(30^\circ\) και \(60^\circ\). Πόση είναι η τρίτη;

\(180^\circ-90^\circ=90^\circ\).

Οι δύο γωνίες είναι \(120^\circ\) και \(20^\circ\). Πόση είναι η τρίτη;

\(180^\circ-140^\circ=40^\circ\).

Μία γωνία είναι \(80^\circ\) και μία δεύτερη είναι \(40^\circ\). Πόση είναι η τρίτη;

\(180^\circ-120^\circ=60^\circ\).

Μία γωνία είναι \(110^\circ\) και μία άλλη \(35^\circ\). Πόση είναι η τρίτη;

\(180^\circ-145^\circ=35^\circ\).

Μία γωνία είναι \(95^\circ\) και μία άλλη \(45^\circ\). Πόση είναι η τρίτη;

\(180^\circ-140^\circ=40^\circ\).

Δύο γωνίες είναι \(75^\circ\) και \(55^\circ\). Πόση είναι η τρίτη;

\(180^\circ-130^\circ=50^\circ\).

Δύο γωνίες είναι \(20^\circ\) και \(130^\circ\). Πόση είναι η τρίτη;

\(180^\circ-150^\circ=30^\circ\).

Δύο γωνίες είναι \(58^\circ\) και \(62^\circ\). Πόση είναι η τρίτη;

\(180^\circ-120^\circ=60^\circ\).

Δύο γωνίες είναι \(40^\circ\) και \(90^\circ\). Πόση είναι η τρίτη;

\(180^\circ-130^\circ=50^\circ\).

Οι γωνίες είναι \(65^\circ,65^\circ\) και μία άγνωστη. Πόση είναι η άγνωστη;

\(180^\circ-130^\circ=50^\circ\).

🔷 Ειδικά τρίγωνα

Σε ορθογώνιο τρίγωνο, τι άθροισμα έχουν οι δύο οξείες γωνίες;

Έχουν άθροισμα \(90^\circ\), επειδή η τρίτη γωνία είναι \(90^\circ\).

Σε ορθογώνιο τρίγωνο μία οξεία γωνία είναι \(32^\circ\). Πόση είναι η άλλη;

\(90^\circ-32^\circ=58^\circ\).

Σε ορθογώνιο τρίγωνο μία οξεία γωνία είναι \(45^\circ\). Πόση είναι η άλλη;

Είναι επίσης \(45^\circ\).

Σε ισοσκελές τρίγωνο η γωνία κορυφής είναι \(40^\circ\). Πόση είναι καθεμία από τις γωνίες της βάσης;

Οι γωνίες της βάσης είναι ίσες και έχουν άθροισμα \(140^\circ\), άρα καθεμία είναι \(70^\circ\).

Σε ισοσκελές τρίγωνο κάθε γωνία βάσης είναι \(65^\circ\). Πόση είναι η γωνία κορυφής;

\(180^\circ-65^\circ-65^\circ=50^\circ\).

Σε ισοσκελές τρίγωνο η γωνία κορυφής είναι \(100^\circ\). Πόση είναι καθεμία από τις γωνίες της βάσης;

Απομένουν \(80^\circ\), άρα καθεμία είναι \(40^\circ\).

Πόση είναι κάθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου;

Κάθε γωνία είναι \(60^\circ\).

Μπορεί ένα ισόπλευρο τρίγωνο να είναι ορθογώνιο;

Όχι. Όλες οι γωνίες του είναι \(60^\circ\).

Μπορεί ένα ισόπλευρο τρίγωνο να είναι αμβλυγώνιο;

Όχι. Είναι πάντα οξυγώνιο.

Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει γωνία κορυφής \(90^\circ\). Πόσες μοίρες είναι οι γωνίες της βάσης;

Απομένουν \(90^\circ\) για δύο ίσες γωνίες, άρα είναι \(45^\circ\) και \(45^\circ\).

Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει δύο γωνίες βάσης \(30^\circ\). Πόση είναι η γωνία κορυφής;

\(180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

Αν ένα τρίγωνο έχει γωνίες \(60^\circ,60^\circ,60^\circ\), τι είδους είναι;

Είναι ισόπλευρο και οξυγώνιο.

🧩 Εξισώσεις με γωνίες

Οι γωνίες ενός τριγώνου είναι \(x,2x,3x\). Να βρεις το \(x\).

\(x+2x+3x=180^\circ\Rightarrow6x=180^\circ\Rightarrow x=30^\circ\).

Οι γωνίες είναι \(x+10^\circ,x+20^\circ,x+30^\circ\). Να βρεις το \(x\).

\(3x+60^\circ=180^\circ\Rightarrow x=40^\circ\).

Οι γωνίες είναι \(2x,2x,5x\). Να βρεις το \(x\).

\(9x=180^\circ\Rightarrow x=20^\circ\).

Οι γωνίες είναι \(x,x+20^\circ,2x\). Να βρεις το \(x\).

\(4x+20^\circ=180^\circ\Rightarrow x=40^\circ\).

Οι γωνίες είναι \(3x,2x,80^\circ\). Να βρεις το \(x\).

\(5x+80^\circ=180^\circ\Rightarrow x=20^\circ\).

Σε ορθογώνιο τρίγωνο οι δύο οξείες γωνίες είναι \(2x\) και \(x+15^\circ\). Να βρεις το \(x\).

\(2x+x+15^\circ=90^\circ\Rightarrow3x=75^\circ\Rightarrow x=25^\circ\).

Σε ισοσκελές τρίγωνο η γωνία κορυφής είναι \(2x\) και κάθε γωνία βάσης \(x+30^\circ\). Να βρεις το \(x\).

\(2x+2(x+30^\circ)=180^\circ\Rightarrow4x=120^\circ\Rightarrow x=30^\circ\).

Οι γωνίες είναι \(x+20^\circ,2x,40^\circ\). Να βρεις το \(x\).

\(x+20^\circ+2x+40^\circ=180^\circ\Rightarrow3x=120^\circ\Rightarrow x=40^\circ\).

Οι γωνίες είναι \(4x,3x,2x\). Να βρεις το \(x\).

\(9x=180^\circ\Rightarrow x=20^\circ\).

Οι γωνίες είναι \(x+30^\circ,x+10^\circ,x+20^\circ\). Να βρεις το \(x\).

\(3x+60^\circ=180^\circ\Rightarrow x=40^\circ\).

⚠️ Αποφεύγω παγίδες

Μαθητής λέει: «Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι \(360^\circ\)». Να διορθώσεις.

Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών τριγώνου είναι \(180^\circ\).

Μαθητής γράφει \(70^\circ+80^\circ+40^\circ=180^\circ\). Πού είναι το λάθος;

Το άθροισμα είναι \(190^\circ\), όχι \(180^\circ\). Άρα αυτές οι τρεις γωνίες δεν μπορούν να είναι γωνίες του ίδιου τριγώνου.

Μπορούν οι γωνίες \(100^\circ,50^\circ,40^\circ\) να ανήκουν στο ίδιο τρίγωνο;

Όχι, γιατί έχουν άθροισμα \(190^\circ\).

Μπορούν οι γωνίες \(90^\circ,45^\circ,45^\circ\) να ανήκουν στο ίδιο τρίγωνο;

Ναι, γιατί έχουν άθροισμα \(180^\circ\).

Ένας μαθητής λέει ότι τρίγωνο μπορεί να έχει δύο γωνίες \(95^\circ\). Είναι δυνατό;

Όχι. Οι δύο αυτές γωνίες έχουν ήδη άθροισμα \(190^\circ\).

Αν ένα τρίγωνο έχει μία αμβλεία γωνία, τι γνωρίζουμε για τις άλλες δύο;

Οι άλλες δύο είναι υποχρεωτικά οξείες.

Αν ένα τρίγωνο έχει μία ορθή γωνία, τι γνωρίζουμε για τις άλλες δύο;

Οι άλλες δύο είναι οξείες και έχουν άθροισμα \(90^\circ\).

Ποιος είναι ο βασικός κανόνας που πρέπει να εφαρμόζω σε κάθε άσκηση με γωνίες τριγώνου;

Γράφω πρώτα \(\widehat A+\widehat B+\widehat Γ=180^\circ\) και μετά χρησιμοποιώ τις ειδικές πληροφορίες του προβλήματος.

Τέλος