07c_askhseis_02c Βασικές γεωμετρικές κατασκευές

02Γ. Βασικές γεωμετρικές κατασκευές

🧰 Χρησιμοποιώ σωστά χάρακα και διαβήτη

Ποια είναι τα δύο βασικά όργανα στις κλασικές γεωμετρικές κατασκευές;

Ο χάρακας και ο διαβήτης.

Σε μια γεωμετρική κατασκευή, σε τι χρησιμοποιούμε κυρίως τον χάρακα;

Για να χαράζουμε ευθείες, ημιευθείες και ευθύγραμμα τμήματα.

Σε τι χρησιμοποιούμε κυρίως τον διαβήτη;

Για να μεταφέρουμε μήκη και να χαράζουμε κύκλους ή τόξα με συγκεκριμένη ακτίνα.

Γιατί δεν αλλάζουμε το άνοιγμα του διαβήτη όταν μεταφέρουμε ένα μήκος;

Για να παραμείνει ίδιο το μήκος που μεταφέρουμε.

Τι σημαίνει «χαράζω τόξο με κέντρο το σημείο \(A\)»;

Τοποθετώ τη μύτη του διαβήτη στο \(A\) και χαράζω τόξο με το επιλεγμένο άνοιγμα.

Τι καθορίζει το άνοιγμα του διαβήτη;

Την ακτίνα του κύκλου ή του τόξου που χαράζουμε.

Μπορεί ο διαβήτης να χρησιμοποιηθεί για να ελέγξουμε αν δύο τμήματα είναι ίσα;

Ναι. Παίρνουμε με τον διαβήτη το μήκος του ενός και το συγκρίνουμε με το άλλο.

Όταν δύο τόξα τέμνονται, τι μας δίνει το κοινό τους σημείο;

Ένα σημείο που απέχει από τα κέντρα των τόξων όσο είναι οι αντίστοιχες ακτίνες.

Γιατί στις κατασκευές χαράζουμε συχνά δύο τόξα ίδιας ακτίνας;

Για να δημιουργήσουμε σημεία που έχουν ίσες αποστάσεις από δύο δεδομένα σημεία.

Πρέπει μια γεωμετρική κατασκευή να βασίζεται μόνο στην εικόνα;

Όχι. Πρέπει να ακολουθεί συγκεκριμένα βήματα και γεωμετρικές ιδιότητες.

Τι πρέπει να κάνουμε μετά την ολοκλήρωση μιας κατασκευής;

Να ελέγξουμε αν το σχήμα ικανοποιεί τις ζητούμενες ιδιότητες.

Ποιο είναι το βασικό πλεονέκτημα του διαβήτη σε σχέση με απλή οπτική εκτίμηση;

Μεταφέρει ακριβώς αποστάσεις χωρίς να βασιζόμαστε στο μάτι.

📏 Μεταφέρω μήκος και βρίσκω μέσο τμήματος

Μεταφορά μήκους

Πώς μεταφέρουμε το μήκος ενός τμήματος \(AB\) πάνω σε μια ημιευθεία με αρχή \(Γ\);

Ανοίγουμε τον διαβήτη όσο το \(AB\), βάζουμε κέντρο στο \(Γ\) και σημειώνουμε το σημείο \(Δ\) όπου το τόξο τέμνει την ημιευθεία. Τότε \(ΓΔ=AB\).

Αν \(AB=6\) cm και μεταφέρουμε το μήκος του σε ημιευθεία με αρχή \(Γ\), πόσο θα είναι το νέο τμήμα \(ΓΔ\);

Θα είναι \(6\) cm.

Ποιο όργανο κρατά ακριβώς το μήκος του τμήματος κατά τη μεταφορά;

Ο διαβήτης.

Αν αλλάξουμε το άνοιγμα του διαβήτη πριν σημειώσουμε το νέο σημείο, θα έχουμε σωστή μεταφορά;

Όχι. Το νέο τμήμα δεν θα είναι υποχρεωτικά ίσο με το αρχικό.

Τι ονομάζουμε μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος \(AB\);

Το σημείο \(M\) του τμήματος για το οποίο ισχύει \(AM=MB\).

Αν \(AB=10\) cm και \(M\) είναι το μέσο του, πόσο είναι το \(AM\);

\(AM=5\) cm.

Αν \(AM=4\) cm και \(M\) είναι το μέσο του \(AB\), πόσο είναι το \(AB\);

\(AB=8\) cm.

Αν ένα σημείο βρίσκεται πάνω στο \(AB\) αλλά δεν ισχύει \(AM=MB\), είναι μέσο;

Όχι.

Πώς μπορούμε να βρούμε το μέσο ενός τμήματος χωρίς μέτρηση με βαθμολογημένο χάρακα;

Με κατασκευή της μεσοκαθέτου του τμήματος.

Πού βρίσκεται το μέσο \(M\) του \(AB\) σε σχέση με τη μεσοκάθετο του \(AB\);

Βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετο.

Αν \(AB=14\) cm, πόσο απέχει το μέσο \(M\) από κάθε άκρο;

\(7\) cm.

Ποιος είναι ο βασικός έλεγχος ότι ένα σημείο \(M\) είναι πράγματι μέσο του \(AB\);

Να ανήκει στο τμήμα \(AB\) και να ισχύει \(AM=MB\).

✂️ Κατασκευάζω μεσοκάθετο

Μεσοκάθετος τμήματος

Τι ονομάζουμε μεσοκάθετο ενός ευθύγραμμου τμήματος;

Την ευθεία που είναι κάθετη στο τμήμα και περνά από το μέσο του.

Ποιο είναι το πρώτο βήμα για την κατασκευή της μεσοκαθέτου του \(AB\);

Ανοίγουμε τον διαβήτη σε ακτίνα μεγαλύτερη από το μισό του \(AB\).

Γιατί η ακτίνα των τόξων πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μισό του \(AB\);

Για να τέμνονται τα τόξα που έχουν κέντρα τα \(A\) και \(B\).

Από ποια σημεία χαράζουμε τα δύο ζεύγη τόξων στη μεσοκάθετο;

Από τα άκρα \(A\) και \(B\) του τμήματος.

Πρέπει τα τόξα με κέντρα \(A\) και \(B\) να έχουν την ίδια ακτίνα;

Ναι.

Τι κάνουμε αφού βρούμε τα δύο σημεία τομής των τόξων;

Τα ενώνουμε με ευθεία.

Η ευθεία που ενώνει τα δύο σημεία τομής των τόξων τι είναι;

Η μεσοκάθετος του \(AB\).

Πού τέμνει η μεσοκάθετος το τμήμα \(AB\);

Στο μέσο του.

Τι γωνία σχηματίζει η μεσοκάθετος με το \(AB\);

Ορθή γωνία \(90^\circ\).

Αν ένα σημείο \(P\) βρίσκεται στη μεσοκάθετο του \(AB\), τι ισχύει;

Ισχύει \(PA=PB\).

Αν για ένα σημείο \(P\) ισχύει \(PA=PB\), πού βρίσκεται το \(P\);

Βρίσκεται στη μεσοκάθετο του \(AB\).

Ποια δύο βασικά χαρακτηριστικά πρέπει να ελέγξουμε για μια σωστή μεσοκάθετο;

Να περνά από το μέσο του τμήματος και να είναι κάθετη σε αυτό.

📐 Κατασκευάζω κάθετη και παράλληλη

Κάθετη από σημείο

Τι σημαίνει ότι δύο ευθείες είναι κάθετες;

Ότι τέμνονται και σχηματίζουν ορθή γωνία \(90^\circ\).

Πώς ελέγχουμε ότι μια κατασκευασμένη ευθεία είναι κάθετη σε μια άλλη;

Ελέγχουμε ότι σχηματίζουν γωνία \(90^\circ\).

Μπορούμε να κατασκευάσουμε κάθετη σε ευθεία από σημείο που βρίσκεται πάνω σε αυτή;

Ναι.

Μπορούμε να κατασκευάσουμε κάθετη σε ευθεία από σημείο που βρίσκεται έξω από αυτή;

Ναι.

Ποια ιδέα χρησιμοποιούμε για την κατασκευή κάθετης από εξωτερικό σημείο \(P\);

Χαράζουμε τόξο με κέντρο \(P\) που τέμνει την ευθεία σε δύο σημεία και κατασκευάζουμε τη μεσοκάθετο του τμήματος που ορίζουν.

Αν μία ευθεία \(ζ\) είναι κάθετη στην \(ε\), πόση είναι η γωνία τους;

\(90^\circ\).

Τι σημαίνει ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες;

Ότι βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο.

Πώς μπορούμε να κατασκευάσουμε παράλληλη προς \(ε\) από σημείο \(P\) εκτός της \(ε\);

Κατασκευάζουμε πρώτα μία κάθετη στην \(ε\) από το \(P\) και μετά από το \(P\) κάθετη σε αυτήν.

Αν δύο ευθείες είναι κάθετες στην ίδια ευθεία, τι σχέση έχουν μεταξύ τους;

Είναι παράλληλες.

Αν \(ζ\perp ε\) και \(η\perp ζ\), τι σχέση έχουν \(η\) και \(ε\);

Είναι παράλληλες.

Μπορούν δύο διαφορετικές παράλληλες ευθείες να τέμνονται;

Όχι.

Ποιο είναι το βασικό κριτήριο της κατασκευής παράλληλης με διπλή κάθετη;

Δύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία είναι παράλληλες.

🔷 Κατασκευάζω διχοτόμο γωνίας

Διχοτόμος γωνίας

Τι ονομάζουμε διχοτόμο μιας γωνίας;

Την ημιευθεία που χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες.

Από πού ξεκινά η διχοτόμος μιας γωνίας;

Από την κορυφή της γωνίας.

Ποιο είναι το πρώτο βήμα για την κατασκευή διχοτόμου γωνίας;

Με κέντρο την κορυφή χαράζουμε τόξο που τέμνει τις δύο πλευρές της γωνίας.

Μετά το πρώτο τόξο, τι κάνουμε από τα δύο σημεία τομής στις πλευρές της γωνίας;

Με ίδιο άνοιγμα διαβήτη χαράζουμε δύο τόξα που τέμνονται.

Τι κάνουμε με το σημείο τομής των δύο νέων τόξων;

Το ενώνουμε με την κορυφή της γωνίας.

Η ημιευθεία που προκύπτει τι είναι;

Η διχοτόμος της γωνίας.

Αν μία γωνία είναι \(80^\circ\), πόσο είναι καθεμία από τις δύο γωνίες που δημιουργεί η διχοτόμος;

\(40^\circ\).

Αν μία γωνία είναι \(120^\circ\), πόσο είναι καθεμία από τις δύο ίσες γωνίες;

\(60^\circ\).

Αν η διχοτόμος χωρίζει μια γωνία σε δύο γωνίες \(35^\circ\), πόση είναι η αρχική γωνία;

\(70^\circ\).

Αν δύο γωνίες που δημιουργούνται από μια ημιευθεία μέσα σε γωνία δεν είναι ίσες, είναι η ημιευθεία διχοτόμος;

Όχι.

Ποιο είναι το βασικό κριτήριο για να ελέγξουμε ότι μια ημιευθεία είναι διχοτόμος;

Να χωρίζει την αρχική γωνία σε δύο ίσες γωνίες.

Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι ευθεία ή ημιευθεία;

Είναι ημιευθεία με αρχή την κορυφή της γωνίας.

🎯 Εφαρμόζω και αποφεύγω παγίδες

Ένας μαθητής κατασκευάζει μεσοκάθετο αλλά χρησιμοποιεί διαφορετική ακτίνα στα τόξα από τα \(A\) και \(B\). Είναι σωστό;

Όχι. Τα τόξα πρέπει να χαραχθούν με το ίδιο άνοιγμα διαβήτη.

Ένας μαθητής κατασκευάζει μεσοκάθετο και ενώνει μόνο ένα σημείο τομής τόξων με το μέσο που βρήκε «με το μάτι». Είναι ασφαλής μέθοδος;

Όχι. Η κλασική κατασκευή χρησιμοποιεί τα δύο σημεία τομής των ίσων τόξων.

Ένας μαθητής λέει: «Κάθε ευθεία που περνά από το μέσο του \(AB\) είναι μεσοκάθετος». Να διορθώσεις.

Πρέπει επιπλέον να είναι κάθετη στο \(AB\).

Ένας μαθητής λέει: «Κάθε κάθετη στο \(AB\) είναι μεσοκάθετος». Είναι σωστό;

Όχι. Πρέπει να περνά και από το μέσο του \(AB\).

Ένας μαθητής μεταφέρει μήκος αλλά αλλάζει το άνοιγμα του διαβήτη. Ποιο είναι το λάθος;

Δεν διατηρεί το αρχικό μήκος, άρα η μεταφορά δεν είναι ακριβής.

Ένας μαθητής λέει: «Για να φτιάξω παράλληλη αρκεί να σχεδιάσω μια ευθεία που φαίνεται παράλληλη». Είναι σωστό;

Όχι. Χρειάζεται γεωμετρική κατασκευή ή σαφές κριτήριο, όχι οπτική εκτίμηση.

Ένας μαθητής λέει: «Η διχοτόμος χωρίζει μια γωνία σε δύο οποιεσδήποτε μικρότερες γωνίες». Να διορθώσεις.

Η διχοτόμος τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες.

Αν ένα σημείο \(P\) απέχει ίσα από τα άκρα \(A,B\), ποια κατασκευή μας βοηθά να εντοπίσουμε πού βρίσκεται;

Η μεσοκάθετος του \(AB\).

Αν θέλουμε να βρούμε γρήγορα το μέσο ενός τμήματος χωρίς αριθμητική μέτρηση, ποια κατασκευή χρησιμοποιούμε;

Τη μεσοκάθετο.

Αν θέλουμε να χωρίσουμε μια γωνία ακριβώς σε δύο ίσα μέρη, ποια κατασκευή χρησιμοποιούμε;

Τη διχοτόμο.

Αν θέλουμε παράλληλη προς μια ευθεία από εξωτερικό σημείο, ποια βασική τεχνική μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε;

Τη διπλή κάθετη.

Να γράψεις τον βασικό κανόνα για τις βασικές γεωμετρικές κατασκευές.

Χρησιμοποιούμε χάρακα και διαβήτη με σταθερά, ελεγχόμενα βήματα: μεταφέρουμε ίσα μήκη, βρίσκουμε μέσο με μεσοκάθετο, κατασκευάζουμε κάθετες και παράλληλες και χωρίζουμε γωνίες με διχοτόμο.

Τέλος