07c_askhseis_02b Συμμετρία ως προς σημείο

02Β. Συμμετρία ως προς σημείο

📘 Βασική έννοια της συμμετρίας ως προς σημείο

Τι σημαίνει ότι τα σημεία \(A\) και \(A'\) είναι συμμετρικά ως προς σημείο \(O\);

Το \(O\) είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος \(AA'\).

Ποιο σημείο λέγεται κέντρο συμμετρίας;

Το σημείο ως προς το οποίο παίρνουμε το συμμετρικό ενός σημείου ή ενός σχήματος.

Αν \(A'\) είναι το συμμετρικό του \(A\) ως προς \(O\), τι σχέση έχουν τα \(OA\) και \(OA'\);

Ισχύει \(OA=OA'\).

Αν \(A'\) είναι συμμετρικό του \(A\) ως προς \(O\), πού βρίσκεται το \(O\);

Το \(O\) είναι το μέσο του \(AA'\).

Ποιο είναι το συμμετρικό του ίδιου του κέντρου \(O\);

Το ίδιο το \(O\).

Αν \(A\) και \(A'\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\), είναι τα \(A,O,A'\) συνευθειακά;

Ναι, βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Αν \(OA=5\) cm, πόσο είναι το \(OA'\);

Είναι επίσης \(5\) cm.

Αν \(OA=7\) cm, πόσο είναι το \(AA'\);

Είναι \(14\) cm.

Αν \(AA'=18\) cm, πόσο είναι το \(OA\);

Είναι \(9\) cm.

Πώς ονομάζεται αλλιώς η συμμετρία ως προς σημείο;

Κεντρική συμμετρία.

Με ποια περιστροφή ισοδυναμεί η συμμετρία ως προς σημείο;

Με περιστροφή κατά \(180^\circ\) γύρω από το κέντρο συμμετρίας.

Αν πάρουμε δύο φορές το συμμετρικό ενός σημείου ως προς το ίδιο κέντρο, πού καταλήγουμε;

Επιστρέφουμε στο αρχικό σημείο.

🔷 Κατασκευάζω συμμετρικά σημεία και σχήματα

Ποιο είναι το πρώτο βήμα για να κατασκευάσουμε το συμμετρικό \(A'\) του \(A\) ως προς \(O\);

Χαράζουμε την ευθεία \(AO\).

Πού τοποθετούμε το \(A'\);

Στην προέκταση της \(AO\), στην άλλη πλευρά του \(O\), ώστε \(OA'=OA\).

Ποια δύο πράγματα ελέγχουμε για σωστή κατασκευή συμμετρικού σημείου;

Ότι \(A,O,A'\) είναι συνευθειακά και ότι \(OA=OA'\).

Αν το \(A\) απέχει \(4\) cm από το \(O\), σε ποια απόσταση θα βάλουμε το \(A'\);

Σε απόσταση \(4\) cm από το \(O\), στην αντίθετη πλευρά.

Αν το \(A\) βρίσκεται σε ευθεία που περνά από το \(O\), πού θα βρίσκεται το \(A'\);

Στην ίδια ευθεία, στην αντίθετη πλευρά του \(O\).

Πώς κατασκευάζουμε το συμμετρικό ενός τμήματος \(AB\);

Κατασκευάζουμε τα συμμετρικά \(A'\) και \(B'\) των άκρων και τα ενώνουμε.

Ποιο είναι το συμμετρικό του τμήματος \(AB\);

Το τμήμα \(A'B'\).

Πώς κατασκευάζουμε το συμμετρικό τριγώνου \(ABΓ\);

Κατασκευάζουμε τα συμμετρικά \(A',B',Γ'\) και τα ενώνουμε με την ίδια σειρά.

Αν το σημείο \(A\) συμπίπτει με το κέντρο \(O\), ποιο είναι το συμμετρικό του;

Το ίδιο το \(O\).

Αν \(O\) είναι μέσο του \(AA'\), τι μπορούμε να πούμε για τα \(A,A'\);

Είναι συμμετρικά ως προς το \(O\).

Αν \(OA=OA'\) αλλά τα \(A,O,A'\) δεν είναι συνευθειακά, είναι συμμετρικά;

Όχι. Χρειάζεται και συνευθειακότητα.

Αν \(A,O,A'\) είναι συνευθειακά αλλά \(OA\neq OA'\), είναι συμμετρικά;

Όχι. Χρειάζεται και ισότητα αποστάσεων.

📐 Ιδιότητες της κεντρικής συμμετρίας

Η κεντρική συμμετρία διατηρεί τα μήκη;

Ναι. Το συμμετρικό τμήμα έχει ίδιο μήκος με το αρχικό.

Αν \(AB=6\) cm, πόσο είναι το συμμετρικό \(A'B'\);

Είναι \(6\) cm.

Η κεντρική συμμετρία διατηρεί τα μέτρα των γωνιών;

Ναι.

Αν μία γωνία είναι \(70^\circ\), πόση είναι η συμμετρική της;

Είναι επίσης \(70^\circ\).

Η κεντρική συμμετρία διατηρεί το σχήμα και το μέγεθος;

Ναι. Το συμμετρικό σχήμα είναι ίσο με το αρχικό.

Ποιο είναι το συμμετρικό μιας ευθείας που περνά από το κέντρο συμμετρίας;

Η ίδια η ευθεία.

Τι γίνεται με μία ευθεία που δεν περνά από το κέντρο συμμετρίας;

Μεταφέρεται σε παράλληλη ευθεία.

Το συμμετρικό ενός κύκλου είναι κύκλος;

Ναι, με την ίδια ακτίνα.

Πού βρίσκεται το κέντρο του συμμετρικού κύκλου;

Στο συμμετρικό σημείο του αρχικού κέντρου ως προς το κέντρο συμμετρίας.

Αν ένα σχήμα έχει κέντρο συμμετρίας \(O\), τι συμβαίνει μετά από περιστροφή \(180^\circ\) γύρω από το \(O\);

Συμπίπτει με τον εαυτό του.

Το παραλληλόγραμμο έχει κέντρο συμμετρίας;

Ναι, το σημείο τομής των διαγωνίων του.

Το ορθογώνιο έχει κέντρο συμμετρίας;

Ναι, το σημείο τομής των διαγωνίων του.

Το τετράγωνο έχει κέντρο συμμετρίας;

Ναι, το σημείο τομής των διαγωνίων του.

Ο κύκλος έχει κέντρο συμμετρίας;

Ναι, το κέντρο του.

🧩 Εφαρμογές και αναγνώριση

Αν \(A'\) είναι συμμετρικό του \(A\) ως προς \(O\) και \(OA=3\) cm, πόσο είναι το \(AA'\);

Είναι \(6\) cm.

Αν \(AA'=20\) cm και το \(O\) είναι κέντρο συμμετρίας, πόσο είναι το \(OA\);

Είναι \(10\) cm.

Αν \(AB=8\) cm και \(A'B'\) είναι το συμμετρικό του, πόσο είναι το \(A'B'\);

Είναι \(8\) cm.

Αν \(\widehat A=45^\circ\), πόση είναι η συμμετρική γωνία \(\widehat{A'}\);

Είναι \(45^\circ\).

Μία ευθεία \(ε\) περνά από το \(O\). Ποιο είναι το συμμετρικό της;

Η ίδια η \(ε\).

Μία ευθεία \(ε\) δεν περνά από το \(O\). Τι σχέση έχει με τη συμμετρική της \(ε'\);

Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες.

Αν το τρίγωνο \(ABΓ\) μεταφερθεί με κεντρική συμμετρία, τι ισχύει για το συμμετρικό τρίγωνο;

Είναι ίσο με το αρχικό τρίγωνο.

Αν ένα σημείο μένει σταθερό μετά από κεντρική συμμετρία ως προς \(O\), ποιο μπορεί να είναι;

Μόνο το ίδιο το κέντρο \(O\).

Αν ένα σχήμα συμπίπτει με τον εαυτό του μετά από περιστροφή \(180^\circ\), τι λέμε για το σημείο περιστροφής;

Είναι κέντρο συμμετρίας του σχήματος.

Ποιο είναι το βασικό κριτήριο για δύο σημεία να είναι συμμετρικά ως προς \(O\);

Το \(O\) να είναι το μέσο του τμήματος που τα ενώνει.

⚠️ Αποφεύγω παγίδες

Μαθητής λέει: «Αρκεί \(OA=OA'\) για να είναι τα σημεία συμμετρικά». Να διορθώσεις.

Δεν αρκεί. Πρέπει επίσης τα \(A,O,A'\) να είναι συνευθειακά.

Μαθητής λέει: «Το συμμετρικό του κέντρου \(O\) είναι διαφορετικό σημείο». Είναι σωστό;

Όχι. Το \(O\) μένει σταθερό.

Μαθητής λέει: «Η κεντρική συμμετρία αλλάζει το μήκος ενός τμήματος». Να διορθώσεις.

Δεν το αλλάζει. Τα μήκη διατηρούνται.

Μαθητής λέει: «Η συμμετρική μιας ευθείας που περνά από το \(O\) είναι διαφορετική παράλληλη». Να διορθώσεις.

Αν η ευθεία περνά από το \(O\), το συμμετρικό της είναι η ίδια ευθεία.

Μαθητής λέει: «Η κεντρική συμμετρία είναι περιστροφή \(90^\circ\)». Να διορθώσεις.

Είναι περιστροφή \(180^\circ\).

Μαθητής λέει: «Αν \(O\) είναι μέσο του \(AA'\), τα σημεία δεν είναι απαραίτητα συμμετρικά». Είναι σωστό;

Όχι. Αν το \(O\) είναι μέσο του \(AA'\), τότε τα σημεία είναι συμμετρικά ως προς \(O\).

Ποιο είναι το πιο γρήγορο σχήμα σκέψης για κεντρική συμμετρία;

Ίδια ευθεία, ίση απόσταση από το κέντρο, αντίθετη πλευρά.

Ποιος είναι ο βασικός κανόνας που πρέπει να θυμάμαι;

Για συμμετρικά σημεία \(A,A'\) ως προς \(O\), το \(O\) είναι το μέσο του \(AA'\): συνευθειακότητα και \(OA=OA'\).

Τέλος