07c_askhseis_02a Αξονική συμμετρία

02Α. Αξονική συμμετρία

🎯 Κατανοώ την αξονική συμμετρία

Τι ονομάζουμε αξονική συμμετρία;

Αξονική συμμετρία είναι ο μετασχηματισμός που αντιστοιχίζει κάθε σημείο \(A\) σε ένα σημείο \(A'\) ως προς μια ευθεία \(ε\), που λέγεται άξονας συμμετρίας.

Πώς ονομάζεται η ευθεία ως προς την οποία παίρνουμε συμμετρικά σημεία;

Ονομάζεται άξονας συμμετρίας.

Τι σχέση έχει ο άξονας συμμετρίας με το τμήμα \(AA'\) δύο συμμετρικών σημείων;

Ο άξονας είναι κάθετος στο \(AA'\) και περνά από το μέσο του.

Συμμετρικά σημεία Α και Α΄

Τα σημεία \(A\) και \(A'\) είναι συμμετρικά ως προς την \(ε\). Τι ισχύει για τις αποστάσεις τους από την \(ε\);

Είναι ίσες.

Αν \(A\) και \(A'\) είναι συμμετρικά ως προς \(ε\), βρίσκεται το \(AA'\) κάθετα στην \(ε\);

Ναι.

Αν \(M\) είναι το σημείο όπου το \(AA'\) τέμνει τον άξονα \(ε\), τι ισχύει;

\(AM=MA'\).

Πού βρίσκεται το συμμετρικό ενός σημείου που ανήκει στον ίδιο τον άξονα;

Στο ίδιο σημείο. Ένα σημείο του άξονα μένει σταθερό.

Σημείο πάνω στον άξονα

Ποιο είναι το συμμετρικό του σημείου \(A\) ως προς την \(ε\);

Το ίδιο το \(A\), επειδή βρίσκεται πάνω στον άξονα.

Η αξονική συμμετρία αλλάζει το μήκος ενός τμήματος;

Όχι. Διατηρεί τα μήκη.

Η αξονική συμμετρία αλλάζει το μέτρο μιας γωνίας;

Όχι. Διατηρεί τα μέτρα των γωνιών.

Γιατί λέμε ότι η αξονική συμμετρία είναι ισομετρία;

Επειδή διατηρεί τις αποστάσεις.

Ποια απλή εικόνα βοηθά να καταλάβουμε την αξονική συμμετρία;

Η εικόνα ενός σχήματος σε καθρέφτη ή η δίπλωση ενός χαρτιού πάνω σε μια ευθεία.

📍 Κατασκευάζω το συμμετρικό σημείου

Συμμετρικά σημεία Α και Α΄

Πώς κατασκευάζουμε το συμμετρικό \(A'\) του \(A\) ως προς την \(ε\);

Φέρνουμε από το \(A\) κάθετη στην \(ε\), βρίσκουμε το σημείο τομής \(M\), και στην άλλη πλευρά της \(ε\) παίρνουμε \(A'\) ώστε \(AM=MA'\).

Το σημείο \(A\) απέχει \(4\) cm από άξονα \(ε\). Πόσο απέχει το συμμετρικό του \(A'\) από τον άξονα;

Επίσης \(4\) cm.

Τα συμμετρικά σημεία \(A,A'\) απέχουν μεταξύ τους \(10\) cm. Πόσο απέχει καθένα από τον άξονα;

Ο άξονας περνά από το μέσο του \(AA'\).

Άρα κάθε σημείο απέχει \(10:2=5\) cm από τον άξονα.

Το \(A\) απέχει \(6\) cm από τον άξονα. Ποια είναι η απόσταση \(AA'\);

Το συμμετρικό βρίσκεται \(6\) cm στην άλλη πλευρά.

Άρα \(AA'=6+6=12\) cm.

Αν \(AA'=14\) cm, πόσο απέχει το \(A\) από τον άξονα;

\(14:2=7\) cm.

Μπορεί το συμμετρικό σημείο να βρίσκεται στην ίδια πλευρά του άξονα με το αρχικό;

Όχι, εκτός αν το αρχικό σημείο βρίσκεται πάνω στον άξονα.

Αν \(A\) είναι 3 cm αριστερά από κατακόρυφο άξονα, πού βρίσκεται το \(A'\);

3 cm δεξιά από τον άξονα, πάνω στην ίδια κάθετη.

Αν \(B\) είναι 5 cm πάνω από οριζόντιο άξονα, πού βρίσκεται το \(B'\);

5 cm κάτω από τον άξονα, πάνω στην ίδια κάθετη.

Αν \(A\) βρίσκεται πάνω στον άξονα, ποια είναι η απόσταση \(AA'\);

\(0\), επειδή \(A'=A\).

Ποια δύο πράγματα πρέπει να ελέγξουμε σε μια σωστή κατασκευή συμμετρικού σημείου;

Το \(AA'\) να είναι κάθετο στον άξονα και τα δύο σημεία να απέχουν ίσα από αυτόν.

Ένας μαθητής τοποθετεί το \(A'\) στην άλλη πλευρά του άξονα αλλά σε διαφορετική απόσταση. Είναι σωστό;

Όχι. Οι αποστάσεις από τον άξονα πρέπει να είναι ίσες.

Ένας μαθητής τοποθετεί το \(A'\) σε ίση απόσταση, αλλά όχι πάνω στην κάθετη από το \(A\). Είναι σωστό;

Όχι. Πρέπει και το \(AA'\) να είναι κάθετο στον άξονα.

📐 Μελετώ συμμετρικά τμήματα και σχήματα

Συμμετρικά ευθύγραμμα τμήματα

Τι ισχύει για τα μήκη \(AB\) και \(A'B'\);

Είναι ίσα.

Το τμήμα \(AB\) έχει μήκος \(7\) cm. Πόσο είναι το συμμετρικό του \(A'B'\);

\(7\) cm.

Το συμμετρικό μιας ευθείας ως προς άξονα είναι τι είδους σχήμα;

Ευθεία.

Το συμμετρικό μιας ημιευθείας είναι τι είδους σχήμα;

Ημιευθεία.

Το συμμετρικό ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι τι είδους σχήμα;

Ευθύγραμμο τμήμα ίσο με το αρχικό.

Το συμμετρικό μιας γωνίας \(50^\circ\) πόσες μοίρες έχει;

\(50^\circ\).

Συμμετρικά τρίγωνα

Τα τρίγωνα \(ABΓ\) και \(A'B'Γ'\) είναι συμμετρικά. Τι ισχύει για τις αντίστοιχες πλευρές τους;

Οι αντίστοιχες πλευρές είναι ίσες.

Συμμετρικά τρίγωνα

Τι ισχύει για τις αντίστοιχες γωνίες των δύο τριγώνων;

Είναι ίσες.

Αν \(AB=5\) cm και το \(A'B'\) είναι το συμμετρικό του, πόσο είναι \(A'B'\);

\(5\) cm.

Αν \(\angle A=70^\circ\), πόσο είναι η συμμετρική γωνία \(\angle A'\);

\(70^\circ\).

Το συμμετρικό ενός κύκλου ως προς άξονα είναι ξανά κύκλος;

Ναι, με ίδια ακτίνα.

Αν κύκλος έχει ακτίνα \(4\) cm, ποια είναι η ακτίνα του συμμετρικού του κύκλου;

\(4\) cm.

🪞 Αναγνωρίζω άξονες συμμετρίας

Τι σημαίνει ότι μια ευθεία είναι άξονας συμμετρίας ενός σχήματος;

Αν διπλώσουμε νοητά το σχήμα πάνω σε αυτή την ευθεία, τα δύο μέρη συμπίπτουν.

Ισοσκελές τρίγωνο

Πόσους άξονες συμμετρίας δείχνει το ισοσκελές τρίγωνο του σχήματος;

Έναν.

Ορθογώνιο

Πόσους άξονες συμμετρίας έχει ένα ορθογώνιο που δεν είναι τετράγωνο;

Δύο: τις ευθείες που περνούν από τα μέσα των απέναντι πλευρών.

Τετράγωνο

Πόσους άξονες συμμετρίας έχει το τετράγωνο;

Τέσσερις.

Κύκλος

Πόσους άξονες συμμετρίας έχει ένας κύκλος;

Άπειρους. Κάθε ευθεία που περνά από το κέντρο του είναι άξονας συμμετρίας.

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο πόσους άξονες συμμετρίας έχει;

Τρεις.

Ένα σκαληνό τρίγωνο έχει άξονα συμμετρίας;

Όχι.

Ένα γενικό παραλληλόγραμμο έχει υποχρεωτικά άξονα συμμετρίας;

Όχι.

Μια ευθεία που χωρίζει ένα σχήμα σε δύο ίσα εμβαδά είναι πάντα άξονας συμμετρίας;

Όχι. Τα δύο μέρη πρέπει να είναι κατοπτρικά και να συμπίπτουν με δίπλωση.

Κάθε διάμετρος κύκλου ορίζει άξονα συμμετρίας;

Ναι, η ευθεία που περιέχει τη διάμετρο είναι άξονας συμμετρίας.

Μπορεί ένα σχήμα να έχει περισσότερους από έναν άξονες συμμετρίας;

Ναι, όπως το ορθογώνιο, το τετράγωνο και ο κύκλος.

Μπορεί ένα σχήμα να μην έχει κανέναν άξονα συμμετρίας;

Ναι, όπως ένα γενικό σκαληνό τρίγωνο.

🧠 Εφαρμόζω ιδιότητες της αξονικής συμμετρίας

Αν δύο συμμετρικά σημεία απέχουν \(18\) cm, πόσο απέχει καθένα από τον άξονα;

\(18:2=9\) cm.

Σημείο \(A\) απέχει \(2,5\) cm από τον άξονα. Ποια είναι η απόσταση \(AA'\);

\(2\cdot2,5=5\) cm.

Τμήμα \(AB=9\) cm. Ποιο είναι το μήκος του συμμετρικού του;

\(9\) cm.

Γωνία \(A\hat{O}B=35^\circ\). Πόσο είναι η συμμετρική της γωνία;

\(35^\circ\).

Τρίγωνο έχει πλευρές \(4,5,6\) cm. Ποιες είναι οι πλευρές του συμμετρικού του;

Επίσης \(4,5,6\) cm.

Κύκλος με ακτίνα \(6\) cm συμμετρίζεται ως προς ευθεία. Ποια είναι η ακτίνα του νέου κύκλου;

\(6\) cm.

Σημείο \(P\) ανήκει στον άξονα συμμετρίας. Τι συμβαίνει μετά τη συμμετρία;

Παραμένει στη θέση του.

Αν ένα σχήμα είναι συμμετρικό ως προς ευθεία \(ε\), τι συμβαίνει όταν το κατοπτρίσουμε ως προς την ίδια \(ε\);

Συμπίπτει με τον εαυτό του.

Αν συμμετρίσουμε ένα σημείο δύο φορές ως προς τον ίδιο άξονα, πού καταλήγουμε;

Στο αρχικό σημείο.

Αν ένα τμήμα είναι κάθετο στον άξονα και το μέσο του βρίσκεται πάνω στον άξονα, τι συμβαίνει με τα άκρα του;

Τα άκρα είναι συμμετρικά μεταξύ τους.

Αν ένα σημείο και το συμμετρικό του απέχουν 12 cm, μπορεί το ένα να απέχει 4 cm και το άλλο 8 cm από τον άξονα;

Όχι. Πρέπει να απέχουν ίσα, δηλαδή από \(6\) cm.

Ποια βασικά μεγέθη διατηρεί η αξονική συμμετρία;

Διατηρεί αποστάσεις, μήκη και μέτρα γωνιών.

🎯 Κατασκευάζω και αποφεύγω παγίδες

Ένας μαθητής λέει: «Το συμμετρικό σημείο βρίσκεται οπουδήποτε στην άλλη πλευρά του άξονα». Είναι σωστό;

Όχι. Πρέπει να βρίσκεται πάνω στην κάθετη από το αρχικό σημείο και στην ίδια απόσταση από τον άξονα.

Ένας μαθητής λέει: «Ένα σημείο του άξονα αλλάζει θέση όταν γίνει συμμετρία». Να διορθώσεις.

Λάθος. Ένα σημείο του άξονα παραμένει σταθερό.

Ένας μαθητής λέει: «Η αξονική συμμετρία αλλάζει τα μήκη». Είναι σωστό;

Όχι. Τα μήκη διατηρούνται.

Ένας μαθητής λέει: «Η αξονική συμμετρία αλλάζει τις γωνίες». Είναι σωστό;

Όχι. Τα μέτρα των γωνιών διατηρούνται.

Ένας μαθητής σχεδιάζει \(A'\) σε ίση απόσταση από τον άξονα αλλά όχι απέναντι από το \(A\). Είναι σωστό;

Όχι. Το \(AA'\) πρέπει να είναι κάθετο στον άξονα.

Ένας μαθητής λέει ότι κάθε τρίγωνο έχει άξονα συμμετρίας. Είναι σωστό;

Όχι. Ένα σκαληνό τρίγωνο δεν έχει άξονα συμμετρίας.

Ένας μαθητής λέει ότι ο κύκλος έχει μόνο δύο άξονες συμμετρίας. Να διορθώσεις.

Ο κύκλος έχει άπειρους άξονες συμμετρίας.

Ένας μαθητής λέει ότι το ορθογώνιο έχει τέσσερις άξονες συμμετρίας. Είναι πάντα σωστό;

Όχι. Ένα ορθογώνιο που δεν είναι τετράγωνο έχει δύο άξονες συμμετρίας.

Ένας μαθητής λέει ότι το τετράγωνο έχει δύο άξονες συμμετρίας. Να διορθώσεις.

Το τετράγωνο έχει τέσσερις άξονες συμμετρίας.

Σε μια κατασκευή, \(AM=MA'\) αλλά το \(AA'\) δεν είναι κάθετο στον άξονα. Είναι τα σημεία συμμετρικά;

Όχι. Χρειάζονται και οι δύο συνθήκες: ίσες αποστάσεις και καθετότητα.

Ποια είναι η πιο πρακτική μέθοδος για να ελέγξουμε οπτικά αν ένα σχήμα έχει άξονα συμμετρίας;

Νοητή ή πραγματική δίπλωση πάνω στην πιθανή ευθεία και έλεγχος αν τα δύο μέρη συμπίπτουν.

Να γράψεις τον βασικό κανόνα για την αξονική συμμετρία.

Για συμμετρικά σημεία \(A,A'\), ο άξονας είναι κάθετος στο \(AA'\) και περνά από το μέσο του.

Σημεία πάνω στον άξονα μένουν σταθερά.

Η συμμετρία διατηρεί μήκη και γωνίες.

Ένα σχήμα έχει άξονα συμμετρίας όταν με δίπλωση πάνω σε αυτόν συμπίπτει με τον εαυτό του.

Τέλος