07c_askhseis_01c Κύκλος και βασικά στοιχεία

01Γ. Κύκλος και βασικά στοιχεία

🎯 Κατανοώ τον κύκλο και το κέντρο του

Τι ονομάζουμε κύκλο;

Κύκλος είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που απέχουν την ίδια απόσταση από ένα σταθερό σημείο.

Πώς ονομάζεται το σταθερό σημείο από το οποίο όλα τα σημεία του κύκλου απέχουν το ίδιο;

Ονομάζεται κέντρο του κύκλου.

Τι ονομάζουμε ακτίνα ενός κύκλου;

Την απόσταση του κέντρου από οποιοδήποτε σημείο του κύκλου.

Πώς συμβολίζουμε συχνά την ακτίνα;

Με το γράμμα \(ρ\).

Πώς συμβολίζουμε έναν κύκλο με κέντρο \(O\) και ακτίνα \(ρ\);

Συμβολίζεται \((O,ρ)\).

Με ποιο γεωμετρικό όργανο σχεδιάζουμε έναν κύκλο;

Με διαβήτη.

Όλα τα σημεία ενός κύκλου απέχουν το ίδιο από το κέντρο;

Ναι. Αυτή η κοινή απόσταση είναι η ακτίνα.

Αν ένα σημείο απέχει από το κέντρο όσο η ακτίνα, πού βρίσκεται;

Βρίσκεται πάνω στον κύκλο.

Αν ένα σημείο απέχει από το κέντρο λιγότερο από την ακτίνα, πού βρίσκεται;

Βρίσκεται στο εσωτερικό του κυκλικού δίσκου.

Αν ένα σημείο απέχει από το κέντρο περισσότερο από την ακτίνα, πού βρίσκεται;

Βρίσκεται έξω από τον κύκλο.

Κύκλος και κυκλικός δίσκος

Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα σε κύκλο και κυκλικό δίσκο;

Ο κύκλος είναι μόνο η περιφέρεια, ενώ ο κυκλικός δίσκος περιλαμβάνει και όλα τα εσωτερικά σημεία.

Μπορούν δύο διαφορετικοί κύκλοι να έχουν ίδιο κέντρο αλλά διαφορετικές ακτίνες;

Ναι. Τότε λέγονται ομόκεντροι κύκλοι.

📍 Μελετώ την ακτίνα και τις θέσεις σημείων

Ακτίνα OA

Ποιο τμήμα του σχήματος είναι ακτίνα;

Το \(OA\), επειδή ενώνει το κέντρο \(O\) με σημείο \(A\) του κύκλου.

Κύκλος έχει ακτίνα \(5\) cm. Πόσο απέχει κάθε σημείο του κύκλου από το κέντρο;

\(5\) cm.

Αν \(OA\) και \(OB\) είναι ακτίνες του ίδιου κύκλου, τι σχέση έχουν;

Είναι ίσες: \(OA=OB\).

Σε κύκλο ακτίνας \(7\) cm, μπορεί μια ακτίνα να έχει μήκος \(6\) cm;

Όχι. Όλες οι ακτίνες του ίδιου κύκλου έχουν μήκος \(7\) cm.

Αν \(OA=4\) cm και το \(A\) ανήκει στον κύκλο με κέντρο \(O\), ποια είναι η ακτίνα;

\(ρ=4\) cm.

Ένας κύκλος έχει ακτίνα \(3,5\) cm. Πόσο είναι το μήκος οποιασδήποτε άλλης ακτίνας;

\(3,5\) cm.

Αν δύο σημεία \(A,B\) ανήκουν στον ίδιο κύκλο με κέντρο \(O\), τι ισχύει για \(OA,OB\);

\(OA=OB\), επειδή και τα δύο είναι ακτίνες.

Σημείο \(P\) απέχει \(6\) cm από το κέντρο κύκλου ακτίνας \(6\) cm. Πού βρίσκεται;

Πάνω στον κύκλο.

Σημείο \(P\) απέχει \(4\) cm από το κέντρο κύκλου ακτίνας \(6\) cm. Πού βρίσκεται;

Στο εσωτερικό του κυκλικού δίσκου.

Σημείο \(P\) απέχει \(9\) cm από το κέντρο κύκλου ακτίνας \(6\) cm. Πού βρίσκεται;

Έξω από τον κύκλο.

Θέσεις σημείων ως προς κύκλο

Ποιο από τα σημεία \(A,B,Γ\) βρίσκεται πάνω στον κύκλο;

Το \(B\), επειδή βρίσκεται ακριβώς στην περιφέρεια.

Θέσεις σημείων ως προς κύκλο

Ποιο σημείο είναι εσωτερικό και ποιο εξωτερικό;

Το \(A\) είναι εσωτερικό και το \(Γ\) εξωτερικό.

📏 Υπολογίζω ακτίνα και διάμετρο

Διάμετρος AB

Ποιο τμήμα του σχήματος είναι διάμετρος;

Το \(AB\), επειδή έχει άκρα στον κύκλο και περνά από το κέντρο \(O\).

Τι ονομάζουμε διάμετρο κύκλου;

Χορδή που περνά από το κέντρο του κύκλου.

Ποια σχέση συνδέει τη διάμετρο \(δ\) με την ακτίνα \(ρ\);

\(δ=2ρ\).

Κύκλος έχει ακτίνα \(4\) cm. Ποια είναι η διάμετρός του;

\(δ=2\cdot4=8\) cm.

Κύκλος έχει ακτίνα \(6,5\) cm. Ποια είναι η διάμετρός του;

\(δ=2\cdot6,5=13\) cm.

Κύκλος έχει διάμετρο \(10\) cm. Ποια είναι η ακτίνα του;

\(ρ=10:2=5\) cm.

Κύκλος έχει διάμετρο \(18\) cm. Ποια είναι η ακτίνα του;

\(ρ=18:2=9\) cm.

Κύκλος έχει ακτίνα \(x\) cm και διάμετρο \(14\) cm. Να βρεις το \(x\).

\(2x=14\).

Άρα \(x=7\) cm.

Μια διάμετρος χωρίζεται από το κέντρο σε δύο ίσα τμήματα. Τι παριστάνουν αυτά;

Δύο ακτίνες του κύκλου.

Πού βρίσκεται το κέντρο πάνω σε μια διάμετρο;

Στο μέσο της διαμέτρου.

Ποια είναι η μεγαλύτερη χορδή ενός κύκλου;

Η διάμετρος.

Αν μια χορδή περνά από το κέντρο, πώς ονομάζεται;

Διάμετρος.

🟠 Αναγνωρίζω χορδές και διαμέτρους

Χορδή ΔΕ

Ποιο τμήμα του σχήματος είναι χορδή;

Το \(ΔΕ\), επειδή έχει και τα δύο άκρα του πάνω στον κύκλο.

Τι ονομάζουμε χορδή ενός κύκλου;

Ευθύγραμμο τμήμα του οποίου και τα δύο άκρα ανήκουν στον κύκλο.

Κάθε διάμετρος είναι χορδή;

Ναι. Είναι μάλιστα η χορδή που περνά από το κέντρο.

Κάθε χορδή είναι διάμετρος;

Όχι. Διάμετρος είναι μόνο η χορδή που περνά από το κέντρο.

Μπορεί μια χορδή να έχει ένα άκρο έξω από τον κύκλο;

Όχι. Και τα δύο άκρα της πρέπει να ανήκουν στον κύκλο.

Δύο σημεία \(A,B\) του κύκλου ενώνονται με ευθύγραμμο τμήμα. Πώς ονομάζεται το \(AB\);

Χορδή.

Αν η χορδή \(AB\) περνά από το κέντρο \(O\), τι είδους χορδή είναι;

Διάμετρος.

Αν μια χορδή δεν περνά από το κέντρο, είναι μικρότερη από τη διάμετρο;

Ναι. Η διάμετρος είναι η μεγαλύτερη χορδή του κύκλου.

Ποια έχει μεγαλύτερο μήκος στον ίδιο κύκλο: μια διάμετρος ή μια οποιαδήποτε άλλη χορδή;

Η διάμετρος.

Μπορούν δύο διαφορετικές χορδές να έχουν ίδιο μήκος;

Ναι, είναι δυνατόν.

Αν \(AB\) είναι διάμετρος και \(ΓΔ\) απλή χορδή του ίδιου κύκλου, ποια δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη;

Η \(ΓΔ\) δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από τη διάμετρο \(AB\).

Ποια βασική λεπτομέρεια ελέγχουμε για να ξεχωρίσουμε χορδή από ακτίνα;

Η χορδή έχει δύο άκρα πάνω στον κύκλο, ενώ η ακτίνα έχει ένα άκρο στο κέντρο και ένα πάνω στον κύκλο.

🌙 Μελετώ τόξα και ημικύκλια

Τι ονομάζουμε τόξο κύκλου;

Το μέρος του κύκλου που βρίσκεται ανάμεσα σε δύο σημεία του.

Δύο σημεία \(A,B\) του κύκλου σε πόσα τόξα χωρίζουν τον κύκλο;

Σε δύο τόξα με άκρα τα \(A,B\).

Πώς συμβολίζουμε ένα τόξο με άκρα \(A,B\);

Συμβολίζεται \(\widehat{AB}\).

Τι ονομάζουμε ημικύκλιο;

Τόξο του οποίου η χορδή είναι διάμετρος.

Αν \(AB\) είναι διάμετρος, τι παριστάνει καθένα από τα δύο τόξα με άκρα \(A,B\);

Ημικύκλιο.

Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα σε χορδή \(AB\) και τόξο \(\widehat{AB}\);

Η χορδή είναι ευθύγραμμο τμήμα, ενώ το τόξο είναι μέρος της περιφέρειας του κύκλου.

Μπορούν τα ίδια σημεία \(A,B\) να ορίζουν και χορδή και τόξο;

Ναι. Η χορδή είναι το ευθύγραμμο τμήμα \(AB\), ενώ τα ίδια σημεία ορίζουν δύο τόξα πάνω στον κύκλο.

Αν τα άκρα μιας χορδής είναι άκρα διαμέτρου, τι ειδικό προκύπτει στα αντίστοιχα τόξα;

Τα δύο τόξα είναι ημικύκλια.

Ένα ημικύκλιο είναι μισός κύκλος ή μισός κυκλικός δίσκος;

Είναι το μισό της περιφέρειας του κύκλου, δηλαδή τόξο.

Μπορεί ένα τόξο να είναι ευθύγραμμο τμήμα;

Όχι. Το τόξο είναι καμπύλο μέρος του κύκλου.

Μπορεί η χορδή ενός τόξου να είναι ακτίνα;

Όχι, γιατί η χορδή έχει δύο άκρα πάνω στον κύκλο, ενώ η ακτίνα έχει ένα άκρο στο κέντρο.

Ποιο στοιχείο συνδέει με ευθύγραμμο τμήμα τα άκρα ενός τόξου;

Η χορδή του τόξου.

🎯 Εφαρμόζω και αποφεύγω παγίδες

Κύκλος έχει ακτίνα \(5\) cm. Να βρεις τη διάμετρο.

\(δ=2ρ=2\cdot5=10\) cm.

Κύκλος έχει διάμετρο \(16\) cm. Να βρεις την ακτίνα.

\(ρ=16:2=8\) cm.

Σημείο \(A\) απέχει \(7\) cm από το κέντρο κύκλου ακτίνας \(7\) cm. Πού βρίσκεται;

Πάνω στον κύκλο.

Σημείο \(B\) απέχει \(3\) cm από το κέντρο κύκλου ακτίνας \(5\) cm. Πού βρίσκεται;

Στο εσωτερικό του κυκλικού δίσκου.

Σημείο \(Γ\) απέχει \(9\) cm από το κέντρο κύκλου ακτίνας \(6\) cm. Πού βρίσκεται;

Έξω από τον κύκλο.

Ένας μαθητής λέει: «Κάθε χορδή είναι διάμετρος». Είναι σωστό;

Όχι. Διάμετρος είναι μόνο η χορδή που περνά από το κέντρο.

Ένας μαθητής λέει: «Η ακτίνα ενώνει δύο σημεία του κύκλου». Να διορθώσεις.

Η ακτίνα ενώνει το κέντρο με ένα σημείο του κύκλου.

Ένας μαθητής λέει: «Ο κύκλος περιλαμβάνει όλη την εσωτερική περιοχή». Να διορθώσεις.

Η εσωτερική περιοχή μαζί με τον κύκλο αποτελεί τον κυκλικό δίσκο. Ο κύκλος είναι μόνο η περιφέρεια.

Ένας μαθητής λέει: «Η διάμετρος είναι ίση με την ακτίνα». Είναι σωστό;

Όχι. \(δ=2ρ\).

Ένας μαθητής λέει: «Το κέντρο είναι σημείο του κύκλου». Είναι σωστό;

Όχι γενικά. Το κέντρο βρίσκεται στο εσωτερικό και δεν ανήκει στην περιφέρεια του κύκλου.

Δύο κύκλοι έχουν ακτίνες \(4\) cm και \(7\) cm. Ποιος έχει μεγαλύτερη διάμετρο και πόση;

Ο δεύτερος. Η διάμετρός του είναι \(2\cdot7=14\) cm.

Να γράψεις τον βασικό κανόνα για τα στοιχεία του κύκλου.

Κέντρο: σταθερό σημείο \(O\).

Ακτίνα: από το κέντρο σε σημείο του κύκλου.

Διάμετρος: χορδή που περνά από το κέντρο και ισούται με \(2ρ\).

Χορδή: τμήμα με άκρα πάνω στον κύκλο.

Τόξο: μέρος της περιφέρειας ανάμεσα σε δύο σημεία.

Ημικύκλιο: τόξο με χορδή μια διάμετρο.

Τέλος