07b_askhseis_02a Μέση τιμή – διάμεσος

02Α. Μέση τιμή – διάμεσος – επικρατούσα τιμή

🎯 Κατανοώ τα τρία μέτρα θέσης

Τι ονομάζουμε μέση τιμή ενός συνόλου ποσοτικών δεδομένων;

Προσθέτουμε όλες τις τιμές και διαιρούμε το άθροισμα με το πλήθος τους.

Τι ονομάζουμε διάμεσο;

Αφού βάλουμε τα δεδομένα σε αύξουσα σειρά, η διάμεσος είναι η μεσαία τιμή αν το πλήθος είναι περιττό.

Πώς βρίσκουμε τη διάμεσο όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο;

Βρίσκουμε τις δύο μεσαίες τιμές και υπολογίζουμε τον μέσο όρο τους.

Τι ονομάζουμε επικρατούσα τιμή;

Είναι η τιμή που εμφανίζεται τις περισσότερες φορές.

Μπορεί ένα σύνολο δεδομένων να μην έχει επικρατούσα τιμή;

Ναι. Αν όλες οι τιμές εμφανίζονται το ίδιο πλήθος φορών, δεν υπάρχει μοναδική επικρατούσα τιμή.

Μπορεί ένα σύνολο να έχει δύο επικρατούσες τιμές;

Ναι, αν δύο διαφορετικές τιμές εμφανίζονται με την ίδια μεγαλύτερη συχνότητα.

Ποιο μέτρο επηρεάζεται συνήθως περισσότερο από μια πολύ μεγάλη απόμακρη τιμή;

Η μέση τιμή, επειδή χρησιμοποιεί όλες τις αριθμητικές τιμές στον υπολογισμό της.

Ποιο μέτρο επηρεάζεται συνήθως λιγότερο από μία ακραία τιμή;

Η διάμεσος, επειδή εξαρτάται κυρίως από τη θέση των τιμών στην ταξινομημένη σειρά.

Έχει νόημα να υπολογίσουμε μέση τιμή για δεδομένα «κόκκινο, μπλε, πράσινο»;

Όχι, γιατί πρόκειται για κατηγορικά δεδομένα.

Μπορούμε να βρούμε επικρατούσα τιμή σε κατηγορικά δεδομένα;

Ναι. Η επικρατούσα τιμή είναι απλώς η κατηγορία που εμφανίζεται συχνότερα.

Γιατί λέμε ότι μέση τιμή, διάμεσος και επικρατούσα τιμή είναι μέτρα θέσης;

Γιατί μας δίνουν μια εικόνα για το πού περίπου συγκεντρώνονται ή βρίσκονται τα δεδομένα.

Πριν βρούμε διάμεσο, ποιο βήμα είναι απαραίτητο;

Να ταξινομήσουμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά.

➗ Υπολογίζω τη μέση τιμή

Να βρεις τη μέση τιμή των δεδομένων \(4, 6, 8, 10, 12\).

Άθροισμα τιμών: \(4+6+8+10+12=40\).

Πλήθος παρατηρήσεων: \(5\).

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{40}{5}=8\).

Να βρεις τη μέση τιμή των δεδομένων \(5, 7, 9, 11, 13\).

Άθροισμα τιμών: \(5+7+9+11+13=45\).

Πλήθος παρατηρήσεων: \(5\).

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{45}{5}=9\).

Να βρεις τη μέση τιμή των δεδομένων \(2, 4, 6, 8\).

Άθροισμα τιμών: \(2+4+6+8=20\).

Πλήθος παρατηρήσεων: \(4\).

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{20}{4}=5\).

Να βρεις τη μέση τιμή των δεδομένων \(10, 12, 14, 16\).

Άθροισμα τιμών: \(10+12+14+16=52\).

Πλήθος παρατηρήσεων: \(4\).

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{52}{4}=13\).

Να βρεις τη μέση τιμή των δεδομένων \(3, 5, 7, 9, 11, 13\).

Άθροισμα τιμών: \(3+5+7+9+11+13=48\).

Πλήθος παρατηρήσεων: \(6\).

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{48}{6}=8\).

Να βρεις τη μέση τιμή των δεδομένων \(6, 8, 10, 12, 14, 16\).

Άθροισμα τιμών: \(6+8+10+12+14+16=66\).

Πλήθος παρατηρήσεων: \(6\).

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{66}{6}=11\).

Να βρεις τη μέση τιμή των δεδομένων \(20, 25, 30, 35\).

Άθροισμα τιμών: \(20+25+30+35=110\).

Πλήθος παρατηρήσεων: \(4\).

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{110}{4}=27,5\).

Να βρεις τη μέση τιμή των δεδομένων \(7, 7, 9, 9, 13\).

Άθροισμα τιμών: \(7+7+9+9+13=45\).

Πλήθος παρατηρήσεων: \(5\).

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{45}{5}=9\).

Να βρεις τη μέση τιμή των δεδομένων \(12, 14, 16, 18, 20\).

Άθροισμα τιμών: \(12+14+16+18+20=80\).

Πλήθος παρατηρήσεων: \(5\).

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{80}{5}=16\).

Να βρεις τη μέση τιμή των δεδομένων \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\).

Άθροισμα τιμών: \(1+2+3+4+5+6+7=28\).

Πλήθος παρατηρήσεων: \(7\).

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{28}{7}=4\).

Να βρεις τη μέση τιμή των δεδομένων \(15, 17, 19, 21, 23\).

Άθροισμα τιμών: \(15+17+19+21+23=95\).

Πλήθος παρατηρήσεων: \(5\).

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{95}{5}=19\).

Να βρεις τη μέση τιμή των δεδομένων \(8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\).

Άθροισμα τιμών: \(8+10+12+14+16+18+20=98\).

Πλήθος παρατηρήσεων: \(7\).

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{98}{7}=14\).

↔ Βρίσκω τη διάμεσο

Να βρεις τη διάμεσο των δεδομένων \(3, 5, 7, 9, 11\).

Ταξινομημένα δεδομένα: \(3, 5, 7, 9, 11\).

Η μεσαία τιμή είναι \(7\).

Να βρεις τη διάμεσο των δεδομένων \(2, 4, 6, 8, 10\).

Ταξινομημένα δεδομένα: \(2, 4, 6, 8, 10\).

Η μεσαία τιμή είναι \(6\).

Να βρεις τη διάμεσο των δεδομένων \(1, 4, 6, 8, 12, 14, 16\).

Ταξινομημένα δεδομένα: \(1, 4, 6, 8, 12, 14, 16\).

Η μεσαία τιμή είναι \(8\).

Να βρεις τη διάμεσο των δεδομένων \(5, 7, 9, 11, 13, 15\).

Ταξινομημένα δεδομένα: \(5, 7, 9, 11, 13, 15\).

Οι δύο μεσαίες τιμές είναι \(9\) και \(11\).

Διάμεσος: \(\displaystyle \frac{9+11}2=10\).

Να βρεις τη διάμεσο των δεδομένων \(2, 3, 3, 6, 9\).

Ταξινομημένα δεδομένα: \(2, 3, 3, 6, 9\).

Η μεσαία τιμή είναι \(3\).

Να βρεις τη διάμεσο των δεδομένων \(1, 2, 4, 4, 8, 10\).

Ταξινομημένα δεδομένα: \(1, 2, 4, 4, 8, 10\).

Οι δύο μεσαίες τιμές είναι \(4\) και \(4\).

Διάμεσος: \(\displaystyle \frac{4+4}2=4\).

Να βρεις τη διάμεσο των δεδομένων \(7, 8, 9, 10, 11\).

Ταξινομημένα δεδομένα: \(7, 8, 9, 10, 11\).

Η μεσαία τιμή είναι \(9\).

Να βρεις τη διάμεσο των δεδομένων \(4, 6, 8, 10\).

Ταξινομημένα δεδομένα: \(4, 6, 8, 10\).

Οι δύο μεσαίες τιμές είναι \(6\) και \(8\).

Διάμεσος: \(\displaystyle \frac{6+8}2=7\).

Να βρεις τη διάμεσο των δεδομένων \(12, 14, 15, 17, 20, 22, 30\).

Ταξινομημένα δεδομένα: \(12, 14, 15, 17, 20, 22, 30\).

Η μεσαία τιμή είναι \(17\).

Να βρεις τη διάμεσο των δεδομένων \(3, 5, 7, 8, 9, 12\).

Ταξινομημένα δεδομένα: \(3, 5, 7, 8, 9, 12\).

Οι δύο μεσαίες τιμές είναι \(7\) και \(8\).

Διάμεσος: \(\displaystyle \frac{7+8}2=7,5\).

Να βρεις τη διάμεσο των δεδομένων \(10, 10, 12, 14, 18\).

Ταξινομημένα δεδομένα: \(10, 10, 12, 14, 18\).

Η μεσαία τιμή είναι \(12\).

Να βρεις τη διάμεσο των δεδομένων \(6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\).

Ταξινομημένα δεδομένα: \(6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\).

Οι δύο μεσαίες τιμές είναι \(9\) και \(10\).

Διάμεσος: \(\displaystyle \frac{9+10}2=9,5\).

⭐ Βρίσκω την επικρατούσα τιμή

Να βρεις την επικρατούσα τιμή στα δεδομένα \(2, 3, 3, 4, 5\).

Η τιμή \(3\) εμφανίζεται 2 φορές, περισσότερες από κάθε άλλη.

Άρα επικρατούσα τιμή είναι \(3\).

Να βρεις την επικρατούσα τιμή στα δεδομένα \(7, 7, 7, 8, 9, 10\).

Η τιμή \(7\) εμφανίζεται 3 φορές, περισσότερες από κάθε άλλη.

Άρα επικρατούσα τιμή είναι \(7\).

Να βρεις την επικρατούσα τιμή στα δεδομένα \(1, 2, 3, 4, 5\).

Κάθε τιμή εμφανίζεται με την ίδια μέγιστη συχνότητα.

Άρα δεν υπάρχει μοναδική επικρατούσα τιμή.

Να βρεις την επικρατούσα τιμή στα δεδομένα \(4, 4, 5, 5, 6\).

Οι τιμές 4 και 5 εμφανίζονται από 2 φορές, που είναι η μεγαλύτερη συχνότητα.

Άρα υπάρχουν 2 επικρατούσες τιμές.

Να βρεις την επικρατούσα τιμή στα δεδομένα \(2, 2, 3, 4, 4, 4, 5\).

Η τιμή \(4\) εμφανίζεται 3 φορές, περισσότερες από κάθε άλλη.

Άρα επικρατούσα τιμή είναι \(4\).

Να βρεις την επικρατούσα τιμή στα δεδομένα \(8, 9, 9, 10, 11, 11\).

Οι τιμές 9 και 11 εμφανίζονται από 2 φορές, που είναι η μεγαλύτερη συχνότητα.

Άρα υπάρχουν 2 επικρατούσες τιμές.

Να βρεις την επικρατούσα τιμή στα δεδομένα \(5, 5, 5, 5, 5\).

Η τιμή \(5\) εμφανίζεται 5 φορές, περισσότερες από κάθε άλλη.

Άρα επικρατούσα τιμή είναι \(5\).

Να βρεις την επικρατούσα τιμή στα δεδομένα \(1, 1, 2, 3, 3, 4\).

Οι τιμές 1 και 3 εμφανίζονται από 2 φορές, που είναι η μεγαλύτερη συχνότητα.

Άρα υπάρχουν 2 επικρατούσες τιμές.

Να βρεις την επικρατούσα τιμή στα δεδομένα \(10, 12, 12, 12, 14, 16\).

Η τιμή \(12\) εμφανίζεται 3 φορές, περισσότερες από κάθε άλλη.

Άρα επικρατούσα τιμή είναι \(12\).

Να βρεις την επικρατούσα τιμή στα δεδομένα \(6, 7, 8, 9, 9, 9, 10\).

Η τιμή \(9\) εμφανίζεται 3 φορές, περισσότερες από κάθε άλλη.

Άρα επικρατούσα τιμή είναι \(9\).

Να βρεις την επικρατούσα τιμή στα δεδομένα \(3, 3, 4, 4, 5, 5\).

Οι τιμές 3 και 4 και 5 εμφανίζονται από 2 φορές, που είναι η μεγαλύτερη συχνότητα.

Άρα υπάρχουν 3 επικρατούσες τιμές.

Να βρεις την επικρατούσα τιμή στα δεδομένα \(2, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 9\).

Η τιμή \(8\) εμφανίζεται 3 φορές, περισσότερες από κάθε άλλη.

Άρα επικρατούσα τιμή είναι \(8\).

🧠 Συγκρίνω τα τρία μέτρα

Για τα δεδομένα \(2, 4, 4, 6, 9\), να βρεις μέση τιμή, διάμεσο και επικρατούσα τιμή.

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{25}{5}=5\).

Διάμεσος: \(4\).

Για την επικρατούσα τιμή: επικρατούσα τιμή \(4\).

Για τα δεδομένα \(5, 5, 5, 5, 5\), να βρεις μέση τιμή, διάμεσο και επικρατούσα τιμή.

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{25}{5}=5\).

Διάμεσος: \(5\).

Για την επικρατούσα τιμή: επικρατούσα τιμή \(5\).

Για τα δεδομένα \(1, 2, 2, 3, 7\), να βρεις μέση τιμή, διάμεσο και επικρατούσα τιμή.

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{15}{5}=3\).

Διάμεσος: \(2\).

Για την επικρατούσα τιμή: επικρατούσα τιμή \(2\).

Για τα δεδομένα \(4, 6, 6, 8, 11\), να βρεις μέση τιμή, διάμεσο και επικρατούσα τιμή.

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{35}{5}=7\).

Διάμεσος: \(6\).

Για την επικρατούσα τιμή: επικρατούσα τιμή \(6\).

Για τα δεδομένα \(3, 4, 5, 5, 8\), να βρεις μέση τιμή, διάμεσο και επικρατούσα τιμή.

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{25}{5}=5\).

Διάμεσος: \(5\).

Για την επικρατούσα τιμή: επικρατούσα τιμή \(5\).

Για τα δεδομένα \(6, 7, 7, 9, 11\), να βρεις μέση τιμή, διάμεσο και επικρατούσα τιμή.

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{40}{5}=8\).

Διάμεσος: \(7\).

Για την επικρατούσα τιμή: επικρατούσα τιμή \(7\).

Για τα δεδομένα \(2, 3, 4, 4, 5, 6\), να βρεις μέση τιμή, διάμεσο και επικρατούσα τιμή.

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{24}{6}=4\).

Διάμεσος: \(4\).

Για την επικρατούσα τιμή: επικρατούσα τιμή \(4\).

Για τα δεδομένα \(1, 3, 3, 5, 7, 9\), να βρεις μέση τιμή, διάμεσο και επικρατούσα τιμή.

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{28}{6}=4,67\).

Διάμεσος: \(4\).

Για την επικρατούσα τιμή: επικρατούσα τιμή \(3\).

Για τα δεδομένα \(8, 8, 10, 12, 12, 12\), να βρεις μέση τιμή, διάμεσο και επικρατούσα τιμή.

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{62}{6}=10,33\).

Διάμεσος: \(11\).

Για την επικρατούσα τιμή: επικρατούσα τιμή \(12\).

Για τα δεδομένα \(4, 5, 5, 6, 10, 12\), να βρεις μέση τιμή, διάμεσο και επικρατούσα τιμή.

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{42}{6}=7\).

Διάμεσος: \(5,5\).

Για την επικρατούσα τιμή: επικρατούσα τιμή \(5\).

Για τα δεδομένα \(10, 11, 11, 12, 16\), να βρεις μέση τιμή, διάμεσο και επικρατούσα τιμή.

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{60}{5}=12\).

Διάμεσος: \(11\).

Για την επικρατούσα τιμή: επικρατούσα τιμή \(11\).

Για τα δεδομένα \(2, 2, 4, 6, 6, 8\), να βρεις μέση τιμή, διάμεσο και επικρατούσα τιμή.

Μέση τιμή: \(\displaystyle \frac{28}{6}=4,67\).

Διάμεσος: \(5\).

Για την επικρατούσα τιμή: επικρατούσες τιμές \(2\), \(6\).

🎯 Εφαρμόζω και επιλέγω το κατάλληλο μέτρο

Οι χρόνοι αναμονής είναι \(4,5,5,6,30\). Ποιο μέτρο περιγράφει καλύτερα έναν «τυπικό» χρόνο αναμονής;

Η μέση τιμή είναι \(10\), επειδή επηρεάζεται πολύ από το \(30\).

Η διάμεσος είναι \(5\).

Άρα εδώ η διάμεσος περιγράφει καλύτερα τον τυπικό χρόνο.

Οι μισθοί πέντε εργαζομένων είναι \(900,950,1000,1050,5000\). Ποιο μέτρο επηρεάζεται περισσότερο από το \(5000\);

Η μέση τιμή αυξάνεται έντονα λόγω της πολύ μεγάλης τιμής \(5000\).

Η διάμεσος παραμένει \(1000\).

Τα δεδομένα είναι \(4,5,5,7,9\). Προσθέτουμε την τιμή \(40\). Τι συμβαίνει κυρίως στη μέση τιμή;

Η μεγάλη τιμή \(40\) αυξάνει σημαντικά τη μέση τιμή.

Η διάμεσος αλλάζει πολύ λιγότερο.

Πέντε βαθμοί έχουν μέση τιμή \(14\). Ποιο είναι το άθροισμά τους;

Άθροισμα \(=5\cdot14=70\).

Έξι τιμές έχουν μέση τιμή \(8\). Ποιο είναι το άθροισμά τους;

Άθροισμα \(=6\cdot8=48\).

Οι τέσσερις τιμές είναι \(5,7,9,x\) και έχουν μέση τιμή \(8\). Να βρεις το \(x\).

Το συνολικό άθροισμα πρέπει να είναι \(4\cdot8=32\).

Οι γνωστές τιμές έχουν άθροισμα \(5+7+9=21\).

Άρα \(x=32-21=11\).

Οι πέντε τιμές είναι \(2,4,6,8,x\) και έχουν μέση τιμή \(6\). Να βρεις το \(x\).

Το συνολικό άθροισμα πρέπει να είναι \(5\cdot6=30\).

Οι γνωστές τιμές έχουν άθροισμα \(20\).

Άρα \(x=10\).

Τα ταξινομημένα δεδομένα είναι \(3,5,x,9,11\) και η διάμεσος είναι \(7\). Να βρεις το \(x\).

Με 5 παρατηρήσεις η διάμεσος είναι η τρίτη τιμή.

Άρα \(x=7\).

Τα ταξινομημένα δεδομένα είναι \(2,4,6,x,10,12\) και η διάμεσος είναι \(7\). Να βρεις το \(x\).

Η διάμεσος είναι ο μέσος των δύο μεσαίων τιμών: \(\frac{6+x}{2}=7\).

Άρα \(6+x=14\) και \(x=8\).

Τα δεδομένα είναι \(4,4,5,6,6\). Ποια είναι η επικρατούσα τιμή;

Οι τιμές \(4\) και \(6\) εμφανίζονται από δύο φορές.

Άρα το σύνολο έχει δύο επικρατούσες τιμές: \(4\) και \(6\).

Σε μια τάξη οι βαθμοί είναι \(12,13,13,14,14,14,15\). Ποια τιμή περιγράφει τον συχνότερο βαθμό;

Η επικρατούσα τιμή είναι \(14\), επειδή εμφανίζεται τρεις φορές.

Να γράψεις έναν πρακτικό κανόνα επιλογής μεταξύ μέσης τιμής, διαμέσου και επικρατούσας τιμής.

Χρησιμοποιώ τη μέση τιμή όταν τα ποσοτικά δεδομένα δεν έχουν έντονες ακραίες τιμές, τη διάμεσο όταν υπάρχουν ακραίες τιμές ή μεγάλη ασυμμετρία, και την επικρατούσα τιμή όταν με ενδιαφέρει η συχνότερη τιμή ή κατηγορία.

Τέλος