01Δ. Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί
ΘΕΩΡΙΑ
01Α4.α 📘 Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού
Ένας φυσικός αριθμός δ λέγεται διαιρέτης ενός φυσικού αριθμού α, όταν η διαίρεση του α με τον δ είναι ακριβής, δηλαδή έχει υπόλοιπο μηδέν.
Παράδειγμα 1
Οι διαιρέτες του \(12\) είναι:
\(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12\)
Για παράδειγμα, \(12:3=4\), άρα το \(3\) είναι διαιρέτης του \(12\).
01Α4.β 📘 Τι είναι πρώτος αριθμός;
Ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από το \(1\) λέγεται πρώτος, όταν έχει ακριβώς δύο θετικούς διαιρέτες:
\(1\) και τον ίδιο τον αριθμό.
Παράδειγμα 2
Ο \(7\) έχει διαιρέτες μόνο τους \(1\) και \(7\).
01Α4.γ 📘 Τι είναι σύνθετος αριθμός;
Ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από το \(1\) λέγεται σύνθετος, όταν έχει περισσότερους από δύο θετικούς διαιρέτες.
Παράδειγμα 3
Ο \(12\) έχει διαιρέτες:
\(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12\)
01Α4.δ 📘 Ο αριθμός 1 είναι πρώτος ή σύνθετος;
Ο αριθμός \(1\) έχει μόνο έναν θετικό διαιρέτη, τον ίδιο τον \(1\).
Για να είναι ένας αριθμός πρώτος πρέπει να έχει ακριβώς δύο θετικούς διαιρέτες, ενώ για να είναι σύνθετος πρέπει να έχει περισσότερους από δύο.
01Α4.ε 📘 Οι πρώτοι αριθμοί που πρέπει να γνωρίζω
Οι πρώτοι αριθμοί μέχρι το \(50\) είναι:
\(2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47\)
Ο \(2\) είναι ο μοναδικός άρτιος πρώτος αριθμός.
01Α4.στ 📘 Πώς ελέγχω αν ένας αριθμός είναι πρώτος;
Για να ελέγξω αν ένας αριθμός είναι πρώτος, εξετάζω αν έχει κάποιον διαιρέτη διαφορετικό από το \(1\) και τον εαυτό του.
1. Ελέγχω αν είναι άρτιος.
2. Ελέγχω αν διαιρείται ακριβώς με μικρότερους φυσικούς αριθμούς.
3. Αν βρω έναν επιπλέον διαιρέτη, ο αριθμός είναι σύνθετος.
Παράδειγμα 4
Ο \(29\) δεν διαιρείται ακριβώς με \(2,3,4\) ή \(5\). Δεν εμφανίζεται άλλος διαιρέτης εκτός από \(1\) και \(29\), άρα είναι πρώτος.
01Α4.ζ 📘 Το κόσκινο του Ερατοσθένη
Το κόσκινο του Ερατοσθένη είναι ένας οργανωμένος τρόπος για να βρίσκουμε τους πρώτους αριθμούς μέχρι έναν συγκεκριμένο αριθμό.
1. Γράφουμε τους φυσικούς αριθμούς από το \(2\) και μετά.
2. Κρατάμε το \(2\) και διαγράφουμε τα μεγαλύτερα πολλαπλάσιά του.
3. Κρατάμε το \(3\) και διαγράφουμε τα μεγαλύτερα πολλαπλάσιά του.
4. Συνεχίζουμε με τον επόμενο αριθμό που δεν έχει διαγραφεί.
Οι αριθμοί που μένουν είναι πρώτοι.
01Α4.η 📘 Ανάλυση σύνθετου αριθμού σε πρώτους παράγοντες
Κάθε σύνθετος φυσικός αριθμός μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών.
Παράδειγμα 5
Για τον αριθμό \(60\):
\(60=2\cdot30=2\cdot2\cdot15=2\cdot2\cdot3\cdot5\)
Άρα:
\(60=2^2\cdot3\cdot5\)
01Α4.θ 📘 Η σωστή μέθοδος στις ασκήσεις
1. Αν ζητούν τους διαιρέτες ενός αριθμού, τους βρίσκω συστηματικά σε ζευγάρια.
2. Αν ζητούν αν ένας αριθμός είναι πρώτος, ελέγχω αν έχει διαιρέτη διαφορετικό από \(1\) και τον εαυτό του.
3. Αν βρω έστω έναν τέτοιο διαιρέτη, ο αριθμός είναι σύνθετος.
4. Αν ζητούν ανάλυση σε πρώτους παράγοντες, συνεχίζω τις διαιρέσεις μέχρι να μείνουν μόνο πρώτοι αριθμοί.
5. Στο τέλος ελέγχω πολλαπλασιάζοντας τους πρώτους παράγοντες.
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ
Α. Διαιρέτες – πρώτοι και σύνθετοι
1✅ Να βρείτε όλους τους θετικούς διαιρέτες του \(18\).
Απάντηση
Βρίσκουμε τα ζευγάρια παραγόντων:
\(1\cdot18=18,\quad 2\cdot9=18,\quad 3\cdot6=18\)
2✅ Ο αριθμός \(17\) είναι πρώτος ή σύνθετος;
Απάντηση
Οι μοναδικοί θετικοί διαιρέτες του \(17\) είναι οι \(1\) και \(17\).
3✅ Ο αριθμός \(21\) είναι πρώτος ή σύνθετος;
Απάντηση
Ισχύει:
\(21=3\cdot7\)
Άρα το \(3\) και το \(7\) είναι διαιρέτες του \(21\), εκτός από το \(1\) και το \(21\).
Β. Αναγνώριση πρώτων αριθμών
4✅ Να χαρακτηρίσετε τους αριθμούς \(2,9,13,25,31\) ως πρώτους ή σύνθετους.
Απάντηση
Ο \(2\) έχει διαιρέτες \(1,2\), άρα είναι πρώτος.
Ο \(9=3\cdot3\), άρα είναι σύνθετος.
Ο \(13\) έχει μόνο τους διαιρέτες \(1,13\), άρα είναι πρώτος.
Ο \(25=5\cdot5\), άρα είναι σύνθετος.
Ο \(31\) έχει μόνο τους διαιρέτες \(1,31\), άρα είναι πρώτος.
5✅ Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς μεταξύ \(10\) και \(30\).
Απάντηση
Εξετάζουμε τους αριθμούς και αποκλείουμε όσους έχουν επιπλέον διαιρέτες.
6✅ Να εξηγήσετε γιατί ο \(51\) είναι σύνθετος χωρίς να βρείτε όλους τους διαιρέτες του.
Απάντηση
Το άθροισμα των ψηφίων του είναι:
\(5+1=6\)
Το \(6\) διαιρείται με το \(3\), άρα και το \(51\) διαιρείται με το \(3\).
\(51=3\cdot17\)
Γ. Ανάλυση σε πρώτους παράγοντες
7✅ Να αναλύσετε τον \(24\) σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
Απάντηση
\(24=2\cdot12=2\cdot2\cdot6=2\cdot2\cdot2\cdot3\)
8✅ Να αναλύσετε τον \(90\) σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
Απάντηση
\(90=2\cdot45=2\cdot3\cdot15=2\cdot3\cdot3\cdot5\)
9✅ Αν \(N=2^3\cdot3\cdot5\), να βρείτε τον αριθμό \(N\).
Απάντηση
\(N=8\cdot3\cdot5=24\cdot5=120\)
Δ. Σκέψη με διαιρέτες
10✅ Ένας αριθμός έχει διαιρέτες μόνο τους \(1\) και \(37\). Τι συμπεραίνετε;
Απάντηση
Έχει ακριβώς δύο θετικούς διαιρέτες.
11✅ Ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από το \(2\) είναι άρτιος. Μπορεί να είναι πρώτος;
Απάντηση
Κάθε άρτιος αριθμός διαιρείται με το \(2\).
Αν είναι μεγαλύτερος από το \(2\), τότε οι \(1,2\) και ο ίδιος είναι διαφορετικοί διαιρέτες.
12✅ Ο αριθμός \(1\) έχει μόνο έναν διαιρέτη. Είναι πρώτος;
Απάντηση
Ένας πρώτος αριθμός πρέπει να έχει ακριβώς δύο θετικούς διαιρέτες.
Ε. Παγίδες και έξυπνες εφαρμογές
13✅ Ένας μαθητής λέει: «Κάθε περιττός αριθμός είναι πρώτος». Είναι σωστό;
Απάντηση
Όχι. Για παράδειγμα:
\(9=3\cdot3\)
Ο \(9\) είναι περιττός αλλά σύνθετος.
14✅ Να βρείτε τον μικρότερο σύνθετο φυσικό αριθμό.
Απάντηση
Ο \(2\) και ο \(3\) είναι πρώτοι.
Ο \(4\) έχει διαιρέτες \(1,2,4\).
15✅ Να βρείτε έναν πρώτο αριθμό \(p\) ώστε ο \(2p\) να είναι μεγαλύτερος από \(20\) και μικρότερος από \(30\).
Απάντηση
Θέλουμε:
\(20<2p<30\)
Άρα το \(p\) πρέπει να είναι πρώτος αριθμός μεγαλύτερος από \(10\) και μικρότερος από \(15\).
Οι πρώτοι σε αυτό το διάστημα είναι \(11\) και \(13\).