01Α2. Δυνάμεις φυσικών αριθμών
ΘΕΩΡΙΑ
01Α2.α 📘 Τι είναι δύναμη;
Όταν ο ίδιος φυσικός αριθμός πολλαπλασιάζεται πολλές φορές με τον εαυτό του, το γινόμενο γράφεται πιο σύντομα με τη μορφή δύναμης.
\(a^ν=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{ν\text{ παράγοντες}}\)
Ο αριθμός \(a\) λέγεται βάση και ο αριθμός \(ν\) λέγεται εκθέτης.
Παράδειγμα
\(3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81\)
01Α2.β 📘 Πώς διαβάζουμε μια δύναμη;
Η δύναμη \(5^3\) διαβάζεται «πέντε στην τρίτη» ή «πέντε εις την τρίτη».
Για τον εκθέτη \(2\) χρησιμοποιούμε συχνά τη λέξη τετράγωνο και για τον εκθέτη \(3\) τη λέξη κύβος.
\(7^2=49\qquad\text{και}\qquad 4^3=64\)
Άρα το \(7^2\) διαβάζεται και «το τετράγωνο του \(7\)», ενώ το \(4^3\) και «ο κύβος του \(4\)».
01Α2.γ 📘 Από γινόμενο σε δύναμη και αντίστροφα
Για να γράψουμε ένα επαναλαμβανόμενο γινόμενο ως δύναμη:
1. Βρίσκουμε τον αριθμό που επαναλαμβάνεται. Αυτός είναι η βάση.
2. Μετράμε πόσες φορές εμφανίζεται ως παράγοντας. Αυτός είναι ο εκθέτης.
Παράδειγμα
\(6\cdot6\cdot6\cdot6\cdot6=6^5\)
Αντίστροφα:
\(2^6=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\)
01Α2.δ 📘 Δύναμη με εκθέτη 1
Κάθε φυσικός αριθμός με εκθέτη \(1\) είναι ίσος με τον ίδιο τον αριθμό.
\(a^1=a\)
Παράδειγμα
\(9^1=9\)
01Α2.ε 📘 Οι δυνάμεις του 10
Οι δυνάμεις του \(10\) έχουν πολύ απλή μορφή:
\(10^1=10\)
\(10^2=100\)
\(10^3=1\,000\)
\(10^4=10\,000\)
Γενικά, το \(10^ν\) είναι ο αριθμός \(1\) ακολουθούμενος από \(ν\) μηδενικά.
01Α2.στ 📘 Υπολογίζω σωστά μια δύναμη
Για να υπολογίσουμε μια δύναμη, γράφουμε πρώτα το αντίστοιχο γινόμενο και στη συνέχεια κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς.
Παράδειγμα
\(2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32\)
Σε μεγαλύτερους αριθμούς είναι συχνά χρήσιμο να υπολογίζουμε σταδιακά:
\(12^2=12\cdot12=144\)
01Α2.ζ 📘 Δυνάμεις μέσα σε αριθμητικές παραστάσεις
Όταν μια αριθμητική παράσταση περιέχει δυνάμεις, τις υπολογίζουμε πριν από τους πολλαπλασιασμούς, τις διαιρέσεις, τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις.
Η σειρά είναι:
1. Παρενθέσεις.
2. Δυνάμεις.
3. Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις.
4. Προσθέσεις και αφαιρέσεις.
Παράδειγμα
\(6+2^3\cdot4=6+8\cdot4=6+32=38\)
01Α2.η 📘 Παρενθέσεις και δυνάμεις
Οι παρενθέσεις καθορίζουν ποιος αριθμός αποτελεί τη βάση της δύναμης.
Παράδειγμα
\((2+3)^2=5^2=25\)
Ενώ:
\(2+3^2=2+9=11\)
Οι δύο παραστάσεις μοιάζουν, αλλά έχουν διαφορετική τιμή.
01Α2.θ 📘 Πώς σκέφτομαι σε μια άσκηση με δυνάμεις;
1. Εντοπίζω τη βάση και τον εκθέτη.
2. Αν χρειάζεται, μετατρέπω τη δύναμη σε επαναλαμβανόμενο γινόμενο.
3. Υπολογίζω πρώτα όλες τις δυνάμεις.
4. Συνεχίζω με τη γνωστή προτεραιότητα πράξεων.
5. Ελέγχω αν μπέρδεψα τη δύναμη με απλό πολλαπλασιασμό.
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ
Α. Αναγνώριση και γραφή δυνάμεων
1✅ Να γράψετε ως δύναμη το γινόμενο \(5\cdot5\cdot5\cdot5\).
Απάντηση
Ο παράγοντας \(5\) εμφανίζεται τέσσερις φορές.
2✅ Να γράψετε τη δύναμη \(7^3\) ως γινόμενο ίσων παραγόντων.
Απάντηση
Η βάση είναι \(7\) και ο εκθέτης \(3\), άρα χρησιμοποιούμε τρεις ίσους παράγοντες.
3✅ Στη δύναμη \(12^5\), ποια είναι η βάση και ποιος ο εκθέτης;
Απάντηση
Ο αριθμός που επαναλαμβάνεται ως παράγοντας είναι η βάση, ενώ ο επάνω αριθμός δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται.
Β. Υπολογισμός δυνάμεων
4✅ Να υπολογίσετε \(4^3\).
Απάντηση
\(4^3=4\cdot4\cdot4=16\cdot4=64\)
5✅ Να υπολογίσετε \(6^2\) και \(3^4\).
Απάντηση
\(6^2=6\cdot6=36\)
\(3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81\)
6✅ Ένας μαθητής γράφει \(2^5=2\cdot5=10\). Να εξηγήσετε το λάθος και να βρείτε το σωστό αποτέλεσμα.
Απάντηση
Ο εκθέτης \(5\) δεν είναι παράγοντας. Δείχνει ότι η βάση \(2\) πρέπει να εμφανιστεί πέντε φορές.
\(2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32\)
Γ. Δυνάμεις του 10
7✅ Να γράψετε ως φυσικό αριθμό τη δύναμη \(10^6\).
Απάντηση
Γράφουμε \(1\) και ακολουθούν έξι μηδενικά.
8✅ Να γράψετε τον αριθμό \(100\,000\) ως δύναμη του \(10\).
Απάντηση
Μετά το \(1\) υπάρχουν πέντε μηδενικά.
9✅ Να συμπληρώσετε: \(10^ν=10\,000\). Να βρείτε το \(ν\).
Απάντηση
Ο αριθμός \(10\,000\) έχει τέσσερα μηδενικά μετά το \(1\).
Δ. Προτεραιότητα πράξεων με δυνάμεις
10✅ Να υπολογίσετε την παράσταση \(5+2^3\).
Απάντηση
Υπολογίζουμε πρώτα τη δύναμη.
\(5+2^3=5+8=13\)
11✅ Να υπολογίσετε \(3\cdot2^4+7\).
Απάντηση
Πρώτα υπολογίζουμε τη δύναμη, μετά τον πολλαπλασιασμό και τέλος την πρόσθεση.
\(3\cdot2^4+7=3\cdot16+7=48+7=55\)
12✅ Να υπολογίσετε \((4+2)^2-5\).
Απάντηση
Πρώτα κάνουμε την πράξη μέσα στην παρένθεση και έπειτα υπολογίζουμε τη δύναμη.
\((4+2)^2-5=6^2-5=36-5=31\)
Ε. Παγίδες και έξυπνες εφαρμογές
13✅ Ποιος είναι μεγαλύτερος, ο αριθμός \(2^5\) ή ο αριθμός \(5^2\);
Απάντηση
\(2^5=32\)
\(5^2=25\)
14✅ Να βρείτε τον φυσικό αριθμό που πρέπει να μπει στη θέση του \(x\), ώστε \(x^2=81\).
Απάντηση
Αναζητούμε φυσικό αριθμό που όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του δίνει \(81\).
\(9\cdot9=81\)
15✅ Ένα τετράγωνο έχει πλευρά \(8\,cm\). Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χρησιμοποιώντας δύναμη.
Απάντηση
Το εμβαδόν τετραγώνου είναι το γινόμενο της πλευράς με τον εαυτό της.
\(8\cdot8=8^2=64\)