01Ε. ΕΚΠ και ΜΚΔ φυσικών αριθμών
κοινοί διαιρέτες • κοινά πολλαπλάσια • ΜΚΔ • ΕΚΠ • πρώτοι μεταξύ τους • ανάλυση σε πρώτους παράγοντες • προβλήματα ομαδοποίησης • επαναλαμβανόμενα γεγονότα • AI Check • παγίδες
🤖
AI CHECK1.Το AI γράφει: «Ο ΜΚΔ δύο φυσικών αριθμών είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης τους».
Σωστή απάντηση: Α
Αυτός είναι ο ορισμός του ΜΚΔ.
Αυτός είναι ο ορισμός του ΜΚΔ.
📘
ΘΕΩΡΙΑ2.Το ΕΚΠ δύο μη μηδενικών φυσικών αριθμών είναι:
Σωστή απάντηση: Α
Το ΕΚΠ είναι το μικρότερο θετικό κοινό πολλαπλάσιο.
Το ΕΚΠ είναι το μικρότερο θετικό κοινό πολλαπλάσιο.
⚡
5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ3.Ποιος είναι ο ΜΚΔ των \(12\) και \(18\);
Σωστή απάντηση: Γ
Οι κοινοί διαιρέτες είναι \(1,2,3,6\), άρα ΜΚΔ \(=6\).
Οι κοινοί διαιρέτες είναι \(1,2,3,6\), άρα ΜΚΔ \(=6\).
⚡
5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ4.Ποιο είναι το ΕΚΠ των \(4\) και \(6\);
Σωστή απάντηση: Γ
Τα πρώτα κοινά πολλαπλάσια είναι \(12,24,\ldots\), άρα ΕΚΠ \(=12\).
Τα πρώτα κοινά πολλαπλάσια είναι \(12,24,\ldots\), άρα ΕΚΠ \(=12\).
⚠
ΠΑΓΙΔΑ5.Αν δύο αριθμοί έχουν ΜΚΔ ίσο με \(1\), τότε είναι πρώτοι αριθμοί.
Σωστή απάντηση: Β
Λέγονται πρώτοι μεταξύ τους· δεν χρειάζεται να είναι και οι δύο πρώτοι.
Λέγονται πρώτοι μεταξύ τους· δεν χρειάζεται να είναι και οι δύο πρώτοι.
💬
ΜΥΘΟΣ Ή ΑΛΗΘΕΙΑ6.Οι αριθμοί \(8\) και \(15\) είναι πρώτοι μεταξύ τους.
Σωστή απάντηση: Α
Ο μόνος κοινός διαιρέτης τους είναι το \(1\).
Ο μόνος κοινός διαιρέτης τους είναι το \(1\).
☷
ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ7.Ο ΜΚΔ των \(20\) και \(30\) είναι:
Σωστή απάντηση: Β
Οι κοινοί διαιρέτες είναι \(1,2,5,10\).
Οι κοινοί διαιρέτες είναι \(1,2,5,10\).
☷
ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ8.Το ΕΚΠ των \(8\) και \(12\) είναι:
Σωστή απάντηση: Γ
Το \(24\) είναι το μικρότερο θετικό κοινό πολλαπλάσιο.
Το \(24\) είναι το μικρότερο θετικό κοινό πολλαπλάσιο.
🔎
ΝΤΕΤΕΚΤΙΒ9.Ποιος από τους αριθμούς είναι κοινός διαιρέτης των \(24\) και \(36\);
Σωστή απάντηση: Β
Το \(6\) διαιρεί και το \(24\) και το \(36\).
Το \(6\) διαιρεί και το \(24\) και το \(36\).
🔎
ΝΤΕΤΕΚΤΙΒ10.Ποιος είναι κοινός πολλαπλάσιος των \(5\) και \(8\);
Σωστή απάντηση: Γ
Το \(40\) διαιρείται και με \(5\) και με \(8\).
Το \(40\) διαιρείται και με \(5\) και με \(8\).
📘
ΘΕΩΡΙΑ11.Αν \(ΜΚΔ(α,β)=1\), τότε οι \(α,β\) λέγονται:
Σωστή απάντηση: Β
Αυτός είναι ο ορισμός των πρώτων μεταξύ τους αριθμών.
Αυτός είναι ο ορισμός των πρώτων μεταξύ τους αριθμών.
↔
ΠΟΙΟ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ;12.Ποιο ζεύγος είναι πρώτο μεταξύ του;
Σωστή απάντηση: Α
\(ΜΚΔ(9,14)=1\), ενώ \(ΜΚΔ(9,15)=3\).
\(ΜΚΔ(9,14)=1\), ενώ \(ΜΚΔ(9,15)=3\).
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ13.\(ΜΚΔ(16,24)=\)
Σωστή απάντηση: Γ
Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης είναι \(8\).
Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης είναι \(8\).
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ14.\(ΕΚΠ(10,15)=\)
Σωστή απάντηση: Γ
Το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο είναι \(30\).
Το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο είναι \(30\).
📊
DATA CHECK15.Οι αριθμοί \(18\) και \(24\) έχουν κοινό διαιρέτη τον:
Σωστή απάντηση: Β
\(18:6=3\) και \(24:6=4\).
\(18:6=3\) και \(24:6=4\).
📊
DATA CHECK16.Ποιος αριθμός είναι κοινό πολλαπλάσιο των \(6\) και \(9\);
Σωστή απάντηση: Β
Το \(18\) είναι πολλαπλάσιο και του \(6\) και του \(9\).
Το \(18\) είναι πολλαπλάσιο και του \(6\) και του \(9\).
🛠
ΒΡΕΣ ΤΟ ΛΑΘΟΣ17.Μαθητής λέει: «\(ΜΚΔ(12,18)=18\), επειδή το \(18\) είναι ο μεγαλύτερος αριθμός».
Σωστή απάντηση: Β
Ο ΜΚΔ πρέπει να είναι διαιρέτης και των δύο αριθμών. Το \(18\) δεν διαιρεί το \(12\).
Ο ΜΚΔ πρέπει να είναι διαιρέτης και των δύο αριθμών. Το \(18\) δεν διαιρεί το \(12\).
🛠
ΒΡΕΣ ΤΟ ΛΑΘΟΣ18.Μαθητής λέει: «\(ΕΚΠ(4,6)=24\), επειδή \(4\cdot6=24\)».
Σωστή απάντηση: Β
Το \(24\) είναι κοινό πολλαπλάσιο, αλλά όχι το ελάχιστο. Το ΕΚΠ είναι \(12\).
Το \(24\) είναι κοινό πολλαπλάσιο, αλλά όχι το ελάχιστο. Το ΕΚΠ είναι \(12\).
🧮
ΠΡΩΤΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ19.Η ανάλυση του \(12\) σε πρώτους παράγοντες είναι:
Σωστή απάντηση: Α
\(12=2\cdot2\cdot3=2^2\cdot3\).
\(12=2\cdot2\cdot3=2^2\cdot3\).
🧮
ΠΡΩΤΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ20.Η ανάλυση του \(18\) σε πρώτους παράγοντες είναι:
Σωστή απάντηση: Α
\(18=2\cdot3\cdot3=2\cdot3^2\).
\(18=2\cdot3\cdot3=2\cdot3^2\).
✓
CHECKLIST21.Για τον ΜΚΔ μέσω πρώτων παραγόντων επιλέγουμε:
Σωστή απάντηση: Α
Για τον ΜΚΔ κρατάμε μόνο τους κοινούς με τον μικρότερο εκθέτη.
Για τον ΜΚΔ κρατάμε μόνο τους κοινούς με τον μικρότερο εκθέτη.
✓
CHECKLIST22.Για το ΕΚΠ μέσω πρώτων παραγόντων επιλέγουμε:
Σωστή απάντηση: Β
Αυτός είναι ο κανόνας υπολογισμού του ΕΚΠ με πρώτους παράγοντες.
Αυτός είναι ο κανόνας υπολογισμού του ΕΚΠ με πρώτους παράγοντες.
🧠
CHALLENGE23.Αν \(24=2^3\cdot3\) και \(36=2^2\cdot3^2\), τότε \(ΜΚΔ(24,36)=\)
Σωστή απάντηση: Β
Παίρνουμε \(2^2\cdot3=12\).
Παίρνουμε \(2^2\cdot3=12\).
🧠
CHALLENGE24.Αν \(24=2^3\cdot3\) και \(36=2^2\cdot3^2\), τότε \(ΕΚΠ(24,36)=\)
Σωστή απάντηση: Γ
Παίρνουμε \(2^3\cdot3^2=72\).
Παίρνουμε \(2^3\cdot3^2=72\).
↔
ΣΥΓΚΡΙΣΗ25.Για τους \(12\) και \(18\), ποιο είναι μεγαλύτερο;
Σωστή απάντηση: Β
\(ΜΚΔ=6\), ενώ \(ΕΚΠ=36\).
\(ΜΚΔ=6\), ενώ \(ΕΚΠ=36\).
✓
ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ26.Ο ΜΚΔ δύο αριθμών δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από κανέναν από τους δύο.
Σωστή απάντηση: Α
Ο ΜΚΔ είναι διαιρέτης και των δύο, άρα δεν ξεπερνά τον μικρότερο.
Ο ΜΚΔ είναι διαιρέτης και των δύο, άρα δεν ξεπερνά τον μικρότερο.
✓
ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ27.Το ΕΚΠ δύο θετικών αριθμών είναι τουλάχιστον όσο ο μεγαλύτερος από αυτούς.
Σωστή απάντηση: Α
Κάθε κοινό πολλαπλάσιο πρέπει να είναι πολλαπλάσιο και του μεγαλύτερου.
Κάθε κοινό πολλαπλάσιο πρέπει να είναι πολλαπλάσιο και του μεγαλύτερου.
⚡
5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ28.\(ΜΚΔ(14,21)=\)
Σωστή απάντηση: Γ
Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης είναι \(7\).
Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης είναι \(7\).
⚡
5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ29.\(ΕΚΠ(14,21)=\)
Σωστή απάντηση: Γ
Το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο είναι \(42\).
Το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο είναι \(42\).
🔎
ΝΤΕΤΕΚΤΙΒ30.Ποιος αριθμός ΔΕΝ είναι κοινός διαιρέτης των \(30\) και \(45\);
Σωστή απάντηση: Δ
Το \(10\) δεν διαιρεί το \(45\).
Το \(10\) δεν διαιρεί το \(45\).
🔎
ΝΤΕΤΕΚΤΙΒ31.Ποιος αριθμός είναι το ΕΚΠ των \(3\) και \(7\);
Σωστή απάντηση: Γ
Επειδή \(3\) και \(7\) είναι πρώτοι μεταξύ τους, ΕΚΠ \(=3\cdot7=21\).
Επειδή \(3\) και \(7\) είναι πρώτοι μεταξύ τους, ΕΚΠ \(=3\cdot7=21\).
💬
ΜΥΘΟΣ Ή ΑΛΗΘΕΙΑ32.Αν δύο αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε το ΕΚΠ τους ισούται με το γινόμενό τους.
Σωστή απάντηση: Α
Όταν ο ΜΚΔ είναι \(1\), δεν υπάρχει κοινός πρώτος παράγοντας.
Όταν ο ΜΚΔ είναι \(1\), δεν υπάρχει κοινός πρώτος παράγοντας.
⚠
ΠΑΓΙΔΑ33.Οι αριθμοί \(6\) και \(35\) είναι σύνθετοι, άρα δεν μπορούν να είναι πρώτοι μεταξύ τους.
Σωστή απάντηση: Β
Μπορούν. \(ΜΚΔ(6,35)=1\).
Μπορούν. \(ΜΚΔ(6,35)=1\).
📦
ΠΡΟΒΛΗΜΑ34.Έχουμε \(24\) κόκκινα και \(36\) μπλε αντικείμενα. Θέλουμε ίδιες ομάδες χωρίς υπόλοιπο. Ο μέγιστος αριθμός ομάδων είναι:
Σωστή απάντηση: Β
Χρησιμοποιούμε \(ΜΚΔ(24,36)=12\).
Χρησιμοποιούμε \(ΜΚΔ(24,36)=12\).
📦
ΠΡΟΒΛΗΜΑ35.Στο προηγούμενο πρόβλημα, κάθε ομάδα θα έχει κόκκινα αντικείμενα:
Σωστή απάντηση: Α
\(24:12=2\).
\(24:12=2\).
📦
ΠΡΟΒΛΗΜΑ36.Στο ίδιο πρόβλημα, κάθε ομάδα θα έχει μπλε αντικείμενα:
Σωστή απάντηση: Β
\(36:12=3\).
\(36:12=3\).
🚌
ΠΡΟΒΛΗΜΑ37.Δύο λεωφορεία περνούν από μια στάση κάθε \(12\) και \(18\) λεπτά. Αν περάσουν μαζί τώρα, μετά από πόσα λεπτά θα ξαναπεράσουν μαζί;
Σωστή απάντηση: Γ
Χρησιμοποιούμε \(ΕΚΠ(12,18)=36\).
Χρησιμοποιούμε \(ΕΚΠ(12,18)=36\).
🔔
ΠΡΟΒΛΗΜΑ38.Δύο κουδούνια χτυπούν κάθε \(8\) και \(10\) λεπτά. Θα ξαναχτυπήσουν μαζί μετά από:
Σωστή απάντηση: Γ
\(ΕΚΠ(8,10)=40\).
\(ΕΚΠ(8,10)=40\).
🧠
CHALLENGE39.\(ΜΚΔ(36,48)=\)
Σωστή απάντηση: Γ
Οι κοινοί πρώτοι παράγοντες δίνουν \(2^2\cdot3=12\).
Οι κοινοί πρώτοι παράγοντες δίνουν \(2^2\cdot3=12\).
🧠
CHALLENGE40.\(ΕΚΠ(36,48)=\)
Σωστή απάντηση: Γ
\(36=2^2\cdot3^2\), \(48=2^4\cdot3\), άρα ΕΚΠ \(=2^4\cdot3^2=144\).
\(36=2^2\cdot3^2\), \(48=2^4\cdot3\), άρα ΕΚΠ \(=2^4\cdot3^2=144\).
🤖
AI CHECK41.Το AI γράφει: «\(ΜΚΔ(25,40)=5\)».
Σωστή απάντηση: Α
Οι κοινοί διαιρέτες είναι \(1,5\).
Οι κοινοί διαιρέτες είναι \(1,5\).
🤖
AI CHECK42.Το AI γράφει: «\(ΕΚΠ(25,40)=200\)».
Σωστή απάντηση: Α
\(25=5^2\), \(40=2^3\cdot5\), άρα ΕΚΠ \(=2^3\cdot5^2=200\).
\(25=5^2\), \(40=2^3\cdot5\), άρα ΕΚΠ \(=2^3\cdot5^2=200\).
☷
ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ43.Αν \(ΜΚΔ(α,β)=α\), τότε:
Σωστή απάντηση: Α
Αφού ο ΜΚΔ είναι ο \(α\), ο \(α\) είναι κοινός διαιρέτης και άρα διαιρεί τον \(β\).
Αφού ο ΜΚΔ είναι ο \(α\), ο \(α\) είναι κοινός διαιρέτης και άρα διαιρεί τον \(β\).
☷
ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ44.Αν \(ΕΚΠ(α,β)=β\), τότε:
Σωστή απάντηση: Α
Αν το \(β\) είναι κοινό πολλαπλάσιο και ελάχιστο, τότε ο \(α\) διαιρεί τον \(β\).
Αν το \(β\) είναι κοινό πολλαπλάσιο και ελάχιστο, τότε ο \(α\) διαιρεί τον \(β\).
💡
ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ45.Σε πρόβλημα όπου ζητείται «ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός ίδιων ομάδων», συνήθως χρησιμοποιούμε:
Σωστή απάντηση: Α
Η λέξη «μεγαλύτερος δυνατός αριθμός ίδιων ομάδων» παραπέμπει σε κοινό διαιρέτη και ειδικά στον ΜΚΔ.
Η λέξη «μεγαλύτερος δυνατός αριθμός ίδιων ομάδων» παραπέμπει σε κοινό διαιρέτη και ειδικά στον ΜΚΔ.
💡
ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ46.Σε πρόβλημα όπου δύο γεγονότα επαναλαμβάνονται και ζητείται πότε θα συμπέσουν ξανά, συνήθως χρησιμοποιούμε:
Σωστή απάντηση: Β
Ψάχνουμε το πρώτο κοινό πολλαπλάσιο των χρονικών περιόδων.
Ψάχνουμε το πρώτο κοινό πολλαπλάσιο των χρονικών περιόδων.
🧠
CHALLENGE47.Αν \(18=2\cdot3^2\) και \(30=2\cdot3\cdot5\), τότε \(ΜΚΔ(18,30)=\)
Σωστή απάντηση: Β
Κοινοί παράγοντες με μικρότερους εκθέτες: \(2\cdot3=6\).
Κοινοί παράγοντες με μικρότερους εκθέτες: \(2\cdot3=6\).
🧠
CHALLENGE48.Αν \(18=2\cdot3^2\) και \(30=2\cdot3\cdot5\), τότε \(ΕΚΠ(18,30)=\)
Σωστή απάντηση: Β
Παίρνουμε \(2\cdot3^2\cdot5=90\).
Παίρνουμε \(2\cdot3^2\cdot5=90\).
↔
ΣΥΓΚΡΙΣΗ49.Ποιο ζεύγος έχει μεγαλύτερο ΜΚΔ;
Σωστή απάντηση: Α
\(ΜΚΔ(12,18)=6\), ενώ \(ΜΚΔ(14,25)=1\).
\(ΜΚΔ(12,18)=6\), ενώ \(ΜΚΔ(14,25)=1\).
🎁
ΠΡΟΒΛΗΜΑ50.Υπάρχουν \(30\) μολύβια και \(45\) στυλό. Θέλουμε να φτιάξουμε τον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό ίδιων πακέτων χωρίς να περισσέψει τίποτα. Πόσα πακέτα;
Σωστή απάντηση: Γ
\(ΜΚΔ(30,45)=15\).
\(ΜΚΔ(30,45)=15\).
🎁
ΠΡΟΒΛΗΜΑ51.Στο προηγούμενο πρόβλημα, κάθε πακέτο έχει μολύβια:
Σωστή απάντηση: Α
\(30:15=2\).
\(30:15=2\).
🎁
ΠΡΟΒΛΗΜΑ52.Στο ίδιο πρόβλημα, κάθε πακέτο έχει στυλό:
Σωστή απάντηση: Β
\(45:15=3\).
\(45:15=3\).
⚠
ΠΑΓΙΔΑ53.Το \(1\) είναι κοινός διαιρέτης κάθε ζεύγους φυσικών αριθμών.
Σωστή απάντηση: Α
Το \(1\) διαιρεί κάθε φυσικό αριθμό.
Το \(1\) διαιρεί κάθε φυσικό αριθμό.
⚠
ΠΑΓΙΔΑ54.Το \(0\) μπορεί να είναι ΕΚΠ δύο θετικών φυσικών αριθμών.
Σωστή απάντηση: Β
Το ΕΚΠ ορίζεται ως το μικρότερο θετικό κοινό πολλαπλάσιο.
Το ΕΚΠ ορίζεται ως το μικρότερο θετικό κοινό πολλαπλάσιο.
📈
ΕΞΥΠΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ55.Αν δύο αριθμοί είναι \(6\) και \(15\), τότε \(ΜΚΔ\cdot ΕΚΠ=\)
Σωστή απάντηση: Γ
\(ΜΚΔ=3\), \(ΕΚΠ=30\), άρα \(3\cdot30=90\), ίσο και με \(6\cdot15\).
\(ΜΚΔ=3\), \(ΕΚΠ=30\), άρα \(3\cdot30=90\), ίσο και με \(6\cdot15\).
🧠
CHALLENGE56.Ποιος είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο των \(6\), \(8\) και \(12\);
Σωστή απάντηση: Β
Το \(24\) διαιρείται με \(6\), \(8\) και \(12\).
Το \(24\) διαιρείται με \(6\), \(8\) και \(12\).
🧠
CHALLENGE57.\(ΜΚΔ(24,36,60)=\)
Σωστή απάντηση: Β
Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης και των τριών είναι \(12\).
Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης και των τριών είναι \(12\).
🧠
CHALLENGE58.\(ΕΚΠ(6,8,12)=\)
Σωστή απάντηση: Γ
Το \(24\) είναι το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο και των τριών.
Το \(24\) είναι το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο και των τριών.
🤖
AI CHECK59.Το AI γράφει: «Για \(12=2^2\cdot3\) και \(30=2\cdot3\cdot5\), ο ΜΚΔ είναι \(2\cdot3=6\)».
Σωστή απάντηση: Α
Κρατάμε τους κοινούς πρώτους παράγοντες με τον μικρότερο εκθέτη.
Κρατάμε τους κοινούς πρώτους παράγοντες με τον μικρότερο εκθέτη.
✓
ΤΕΛΙΚΟ CHECKLIST60.Ποια στρατηγική είναι σωστή;
Σωστή απάντηση: Α
Αυτή είναι η βασική και ασφαλής μέθοδος για ΜΚΔ και ΕΚΠ.
Αυτή είναι η βασική και ασφαλής μέθοδος για ΜΚΔ και ΕΚΠ.