05Γ. Από το πρόβλημα στην αλγεβρική παράσταση
🎯 Μεταφράζω λεκτικές φράσεις σε αλγεβρικές παραστάσεις
1
Να γράψεις αλγεβρικά: «ένας αριθμός \(x\) αυξημένος κατά \(7\)».

Η λέξη «αυξημένος» δηλώνει πρόσθεση.

Η παράσταση είναι \(x+7\).

2
Να γράψεις αλγεβρικά: «ένας αριθμός \(x\) μειωμένος κατά \(5\)».

Η λέξη «μειωμένος» δηλώνει αφαίρεση.

Η παράσταση είναι \(x-5\).

3
Να γράψεις αλγεβρικά: «το τριπλάσιο ενός αριθμού \(x\)».

Το τριπλάσιο σημαίνει \(3\) φορές τον αριθμό.

Η παράσταση είναι \(3x\).

4
Να γράψεις αλγεβρικά: «το μισό ενός αριθμού \(x\)».

Το μισό του \(x\) είναι \(\frac{x}{2}\).

5
Να γράψεις αλγεβρικά: «το τετραπλάσιο του \(x\) αυξημένο κατά \(3\)».

Πρώτα σχηματίζουμε \(4x\) και μετά προσθέτουμε \(3\).

Η παράσταση είναι \(4x+3\).

6
Να γράψεις αλγεβρικά: «το διπλάσιο του \(x\) μειωμένο κατά \(6\)».

Η παράσταση είναι \(2x-6\).

7
Να γράψεις αλγεβρικά: «το άθροισμα των αριθμών \(x\) και \(y\)».

Η παράσταση είναι \(x+y\).

8
Να γράψεις αλγεβρικά: «η διαφορά του \(x\) από το \(12\)».

«Η διαφορά του \(x\) από το \(12\)» σημαίνει \(12-x\).

9
Να γράψεις αλγεβρικά: «το γινόμενο των \(a\) και \(b\)».

Η παράσταση είναι \(ab\).

10
Να γράψεις αλγεβρικά: «το πηλίκο του \(x\) προς \(5\)».

Η παράσταση είναι \(\frac{x}{5}\).

11
Να γράψεις αλγεβρικά: «τρεις περισσότεροι από \(x\)».

Η παράσταση είναι \(x+3\).

12
Να γράψεις αλγεβρικά: «πέντε λιγότεροι από το διπλάσιο του \(x\)».

Το διπλάσιο είναι \(2x\) και αφαιρούμε \(5\).

Η παράσταση είναι \(2x-5\).

💶 Μετατρέπω προβλήματα κόστους σε παραστάσεις
13
Ένα τετράδιο κοστίζει \(3\) €. Αν αγοράσουμε \(x\) τετράδια, να γράψεις την παράσταση για το συνολικό κόστος.

Κάθε τετράδιο κοστίζει \(3\) €.

Το συνολικό κόστος είναι \(3x\) €.

14
Ένα εισιτήριο κοστίζει \(5\) € και υπάρχει πάγια χρέωση \(2\) €. Αν αγοράσουμε \(x\) εισιτήρια, ποια παράσταση δίνει το συνολικό κόστος;

Τα εισιτήρια κοστίζουν \(5x\) € και προσθέτουμε το πάγιο \(2\) €.

Η παράσταση είναι \(5x+2\).

15
Ένα πάρκινγκ χρεώνει \(4\) € για την είσοδο και \(2\) € για κάθε ώρα. Αν μείνουμε \(h\) ώρες, ποια παράσταση δίνει τη χρέωση;

Η μεταβλητή χρέωση είναι \(2h\) και το πάγιο \(4\).

Η παράσταση είναι \(2h+4\).

16
Ένα ταξί χρεώνει \(3\) € εκκίνηση και \(1{,}5\) € ανά km. Αν διανύσει \(x\) km, να γράψεις την παράσταση του κόστους.

Η διαδρομή κοστίζει \(1{,}5x\) € και προστίθεται το πάγιο \(3\) €.

Η παράσταση είναι \(1{,}5x+3\).

17
Ένα γυμναστήριο ζητά \(20\) € εγγραφή και \(15\) € τον μήνα. Για \(m\) μήνες, ποια παράσταση δίνει το συνολικό κόστος;

Το μεταβλητό κόστος είναι \(15m\) και το πάγιο \(20\).

Άρα \(15m+20\).

18
Ένα παιδί έχει \(x\) €. Ξοδεύει \(7\) €. Ποια παράσταση δίνει τα χρήματα που απομένουν;

Αφαιρούμε \(7\) από το αρχικό ποσό.

Η παράσταση είναι \(x-7\).

19
Σε έναν λογαριασμό υπάρχουν \(x\) €. Κατατίθενται ακόμη \(25\) €. Ποια παράσταση δίνει το νέο υπόλοιπο;

Η παράσταση είναι \(x+25\).

20
Ένα προϊόν κοστίζει \(x\) €. Αγοράζουμε \(4\) ίδια προϊόντα. Ποια παράσταση δίνει το κόστος;

Η παράσταση είναι \(4x\).

21
Ένα σχολείο αγοράζει \(x\) μπάλες των \(8\) € και πληρώνει \(12\) € μεταφορικά. Να γράψεις το συνολικό κόστος.

Το κόστος των μπαλών είναι \(8x\) και τα μεταφορικά \(12\).

Άρα \(8x+12\).

22
Ένα κατάστημα έχει τιμή \(x\) € για ένα αντικείμενο και κάνει έκπτωση \(4\) €. Ποια παράσταση δίνει τη νέα τιμή;

Η νέα τιμή είναι \(x-4\).

23
Μια συνδρομή κοστίζει \(6\) € ανά εβδομάδα. Ποια παράσταση δίνει το κόστος για \(w\) εβδομάδες;

Η παράσταση είναι \(6w\).

24
Ποια είναι η βασική ιδέα όταν ένα πρόβλημα έχει πάγιο και μεταβλητό κόστος;

Γράφουμε «μεταβλητό κόστος × πλήθος» και προσθέτουμε το πάγιο.

👥 Περιγράφω ηλικίες και διαδοχικούς αριθμούς
25
Η ηλικία της Μαρίας είναι \(x\) έτη. Πόση θα είναι σε \(4\) χρόνια;

Θα είναι \(x+4\) ετών.

26
Η ηλικία του Νίκου είναι \(x\) έτη. Πόση ήταν πριν από \(6\) χρόνια;

Ήταν \(x-6\) ετών.

27
Ο πατέρας είναι \(25\) χρόνια μεγαλύτερος από το παιδί που έχει ηλικία \(x\). Ποια παράσταση δίνει την ηλικία του πατέρα;

Η ηλικία του πατέρα είναι \(x+25\).

28
Η αδελφή είναι \(3\) χρόνια μικρότερη από ένα παιδί ηλικίας \(x\). Ποια είναι η ηλικία της;

Η ηλικία της είναι \(x-3\).

29
Ένας αριθμός είναι \(x\). Ποια παράσταση δίνει τον επόμενό του ακέραιο;

Ο επόμενος ακέραιος είναι \(x+1\).

30
Ποια παράσταση δίνει τον προηγούμενο ακέραιο του \(x\);

Ο προηγούμενος ακέραιος είναι \(x-1\).

31
Να γράψεις δύο διαδοχικούς ακεραίους αν ο πρώτος είναι \(n\).

Οι αριθμοί είναι \(n\) και \(n+1\).

32
Να γράψεις τρεις διαδοχικούς ακεραίους αν ο πρώτος είναι \(n\).

Οι αριθμοί είναι \(n,\ n+1,\ n+2\).

33
Να γράψεις δύο διαδοχικούς άρτιους αριθμούς αν ο πρώτος είναι \(2n\).

Ο επόμενος άρτιος είναι κατά \(2\) μεγαλύτερος.

Άρα \(2n\) και \(2n+2\).

34
Να γράψεις δύο διαδοχικούς περιττούς αριθμούς αν ο πρώτος είναι \(2n+1\).

Ο επόμενος περιττός είναι \(2n+3\).

35
Ένας αριθμός είναι \(x\). Ποια παράσταση δίνει το άθροισμά του με τον επόμενο ακέραιο;

Ο επόμενος είναι \(x+1\).

Το άθροισμα είναι \(x+(x+1)\).

36
Ένας αριθμός είναι \(x\). Ποια παράσταση δίνει τη διαφορά του από τον προηγούμενό του;

Ο προηγούμενος είναι \(x-1\).

Η διαφορά είναι \(x-(x-1)\).

📐 Μετατρέπω γεωμετρικά προβλήματα σε παραστάσεις
37
Ένα ορθογώνιο έχει μήκος \(x\) cm και πλάτος \(5\) cm. Να γράψεις παράσταση για την περίμετρο.

Η περίμετρος είναι \(2(x+5)\).

38
Ένα ορθογώνιο έχει μήκος \(x\) cm και πλάτος \(3\) cm. Να γράψεις παράσταση για το εμβαδόν.

Το εμβαδόν είναι \(3x\) cm².

39
Ένα τετράγωνο έχει πλευρά \(x\) cm. Να γράψεις παράσταση για την περίμετρο.

Η περίμετρος είναι \(4x\) cm.

40
Ένα τετράγωνο έχει πλευρά \(x\) cm. Να γράψεις παράσταση για το εμβαδόν.

Το εμβαδόν είναι \(x^2\) cm².

41
Ένα τρίγωνο έχει πλευρές \(x\), \(x+2\) και \(x+4\). Να γράψεις παράσταση για την περίμετρο.

Η περίμετρος είναι \(x+(x+2)+(x+4)\).

42
Ένα ορθογώνιο έχει μήκος \(x+2\) και πλάτος \(x\). Να γράψεις παράσταση για την περίμετρο.

Η περίμετρος είναι \(2[(x+2)+x]\).

43
Ένα ορθογώνιο έχει μήκος \(x+3\) και πλάτος \(2\). Να γράψεις παράσταση για το εμβαδόν.

Το εμβαδόν είναι \(2(x+3)\).

44
Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά \(a\). Να γράψεις την περίμετρό του.

Η περίμετρος είναι \(3a\).

45
Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει ίσες πλευρές \(x\) και βάση \(5\). Να γράψεις την περίμετρο.

Η περίμετρος είναι \(2x+5\).

46
Ένα μονοπάτι έχει μήκος \(x\) m και επεκτείνεται κατά \(12\) m. Ποιο είναι το νέο μήκος;

Το νέο μήκος είναι \(x+12\) m.

47
Ένα σύρμα μήκους \(x\) m κόβεται κατά \(3\) m. Ποια παράσταση δίνει το μήκος που απομένει;

Η παράσταση είναι \(x-3\).

48
Ποια γεωμετρική πληροφορία πρέπει να εντοπίζουμε πριν γράψουμε παράσταση για περίμετρο ή εμβαδόν;

Πρέπει να ξεχωρίζουμε ποια μήκη δίνονται και ποιος τύπος αντιστοιχεί στο ζητούμενο μέγεθος.

⚠️ Επιλέγω σωστή παράσταση και αποφεύγω παγίδες
49
Ποια παράσταση περιγράφει σωστά: «το διπλάσιο ενός αριθμού \(x\), αυξημένο κατά \(5\)»; \(2(x+5)\) ή \(2x+5\);

Σωστή είναι η \(2x+5\).

Πρώτα παίρνουμε το διπλάσιο \(2x\) και μετά προσθέτουμε \(5\).

50
Ποια παράσταση περιγράφει σωστά: «το διπλάσιο του αθροίσματος \(x+5\)»;

Η σωστή παράσταση είναι \(2(x+5)\).

51
Ποια παράσταση περιγράφει «τρεις φορές έναν αριθμό μειωμένο κατά \(2\)» αν εννοούμε τρεις φορές το αποτέλεσμα της μείωσης;

Η παράσταση είναι \(3(x-2)\).

52
Ποια παράσταση περιγράφει «το τριπλάσιο του \(x\), μειωμένο κατά \(2\)»;

Η παράσταση είναι \(3x-2\).

53
Ένας μαθητής γράφει για «πέντε περισσότερο από το διπλάσιο του \(x\)» την παράσταση \(2(x+5)\). Να διορθώσεις.

Το σωστό είναι \(2x+5\).

54
Ένας μαθητής γράφει για «το μισό του αθροίσματος \(x+4\)» την παράσταση \(\frac{x}{2}+4\). Να διορθώσεις.

Πρέπει να διαιρεθεί ολόκληρο το άθροισμα με \(2\).

Η σωστή παράσταση είναι \(\frac{x+4}{2}\).

55
Ένας μαθητής γράφει για «η διαφορά του \(x\) από το \(10\)» την παράσταση \(x-10\). Να διορθώσεις.

Η φράση σημαίνει ότι αφαιρούμε το \(x\) από το \(10\).

Σωστά: \(10-x\).

56
Ένας μαθητής γράφει για «το άθροισμα δύο διαδοχικών αριθμών με πρώτο \(x\)» την παράσταση \(x+x\). Να διορθώσεις.

Ο δεύτερος αριθμός είναι \(x+1\).

Άρα η παράσταση είναι \(x+(x+1)\).

57
Να εξηγήσεις γιατί οι παρενθέσεις είναι σημαντικές στην παράσταση \(3(x+2)\).

Δείχνουν ότι πρώτα θεωρούμε ολόκληρο το άθροισμα \(x+2\) και μετά το πολλαπλασιάζουμε επί \(3\).

58
Ποια παράσταση είναι σωστή για «το ένα τρίτο της διαφοράς \(x-5\)»;

Η σωστή παράσταση είναι \(\frac{x-5}{3}\).

59
Ποια παράσταση είναι σωστή για «τη διαφορά του ενός τρίτου του \(x\) από το \(5\)»;

Η παράσταση είναι \(5-\frac{x}{3}\).

60
Ποιο είναι το βασικό ερώτημα πριν αποφασίσουμε αν χρειάζονται παρενθέσεις;

Εξετάζουμε ποια ποσότητα αφορά ο πολλαπλασιασμός ή η διαίρεση: έναν μόνο όρο ή ολόκληρο άθροισμα/διαφορά.

🎯 Δημιουργώ και ελέγχω προβλήματα από αλγεβρικές παραστάσεις
61
Να διατυπώσεις ένα πρόβλημα που να περιγράφεται από την παράσταση \(4x\).

Παράδειγμα: Κάθε τετράδιο κοστίζει \(4\) €. Αν αγοράσουμε \(x\) τετράδια, το κόστος είναι \(4x\) €.

62
Να διατυπώσεις ένα πρόβλημα που να περιγράφεται από την παράσταση \(3x+5\).

Παράδειγμα: Ένα ταξί χρεώνει \(3\) € ανά km και \(5\) € πάγιο. Για \(x\) km το κόστος είναι \(3x+5\) €.

63
Να διατυπώσεις ένα πρόβλημα που να περιγράφεται από την παράσταση \(x-8\).

Παράδειγμα: Έχουμε \(x\) € και ξοδεύουμε \(8\) €. Απομένουν \(x-8\) €.

64
Να διατυπώσεις ένα πρόβλημα που να περιγράφεται από την παράσταση \(2(x+3)\).

Παράδειγμα: Δύο ίδια κουτιά περιέχουν από \(x+3\) αντικείμενα. Συνολικά υπάρχουν \(2(x+3)\).

65
Να διατυπώσεις ένα πρόβλημα που να περιγράφεται από την παράσταση \(\frac{x}{4}\).

Παράδειγμα: Μοιράζουμε ποσότητα \(x\) ισόποσα σε \(4\) άτομα. Καθένας παίρνει \(\frac{x}{4}\).

66
Να διατυπώσεις ένα πρόβλημα που να περιγράφεται από την παράσταση \(5x+12\).

Παράδειγμα: Αγοράζουμε \(x\) βιβλία των \(5\) € και πληρώνουμε \(12\) € μεταφορικά.

67
Να διατυπώσεις ένα πρόβλημα που να περιγράφεται από την παράσταση \(x+(x+1)\).

Παράδειγμα: Ζητάμε το άθροισμα δύο διαδοχικών ακεραίων, με πρώτο τον \(x\).

68
Να διατυπώσεις ένα γεωμετρικό πρόβλημα που να περιγράφεται από την παράσταση \(2x+6\).

Παράδειγμα: Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει δύο ίσες πλευρές \(x\) και βάση \(6\). Η περίμετρος είναι \(2x+6\).

69
Σε ένα πρόβλημα ξέρουμε ότι κάθε κουτί έχει \(7\) αντικείμενα και έχουμε \(x\) κουτιά. Ποια μεταβλητή επιλέγουμε και ποια παράσταση γράφουμε;

Επιλέγουμε \(x\) για το πλήθος των κουτιών.

Η παράσταση είναι \(7x\).

70
Σε ένα πρόβλημα υπάρχει πάγιο \(10\) € και χρέωση \(4\) € ανά ώρα. Ποια παράσταση δίνει το κόστος για \(h\) ώρες;

Η παράσταση είναι \(4h+10\).

71
Να γράψεις τα βασικά βήματα για να περάσεις από ένα πρόβλημα σε αλγεβρική παράσταση.

Διαβάζω προσεκτικά, ορίζω τη μεταβλητή, εντοπίζω τις πράξεις που περιγράφονται, γράφω την παράσταση και ελέγχω αν χρειάζονται παρενθέσεις.

72
Πώς ελέγχουμε αν η αλγεβρική παράσταση που γράψαμε περιγράφει σωστά το πρόβλημα;

Δίνουμε μια απλή αριθμητική τιμή στη μεταβλητή και ελέγχουμε αν η παράσταση δίνει το ίδιο αποτέλεσμα με τη λογική του προβλήματος.

Τέλος