01Ε. ΕΚΠ και ΜΚΔ φυσικών αριθμών
🎯 Κατανοώ τα κοινά πολλαπλάσια και το ΕΚΠ
1
Να γράψεις τα πρώτα έξι θετικά πολλαπλάσια του \(4\).

Είναι \(4,8,12,16,20,24\).

2
Να γράψεις τα πρώτα έξι θετικά πολλαπλάσια του \(6\).

Είναι \(6,12,18,24,30,36\).

3
Να βρεις τα κοινά πολλαπλάσια των \(4\) και \(6\) που είναι μικρότερα από \(50\).

Τα κοινά πολλαπλάσια είναι \(12,24,36,48\).

4
Να βρεις το \(ΕΚΠ(4,6)\).

Το μικρότερο θετικό κοινό πολλαπλάσιο των \(4\) και \(6\) είναι το \(12\).

Άρα \(ΕΚΠ(4,6)=12\).

5
Να βρεις το \(ΕΚΠ(3,5)\).

Τα πρώτα κοινά πολλαπλάσια είναι \(15,30,\ldots\).

Άρα \(ΕΚΠ(3,5)=15\).

6
Να βρεις το \(ΕΚΠ(6,8)\).

Πολλαπλάσια του \(6\): \(6,12,18,24,\ldots\). Πολλαπλάσια του \(8\): \(8,16,24,\ldots\).

Άρα \(ΕΚΠ(6,8)=24\).

7
Να βρεις το \(ΕΚΠ(8,12)\).

Το πρώτο θετικό κοινό πολλαπλάσιο είναι το \(24\).

Άρα \(ΕΚΠ(8,12)=24\).

8
Να βρεις το \(ΕΚΠ(9,15)\).

Το μικρότερο θετικό κοινό πολλαπλάσιο είναι το \(45\).

Άρα \(ΕΚΠ(9,15)=45\).

9
Να βρεις το \(ΕΚΠ(10,25)\).

Το \(50\) είναι το μικρότερο θετικό πολλαπλάσιο και των δύο αριθμών.

Άρα \(ΕΚΠ(10,25)=50\).

10
Να βρεις το \(ΕΚΠ(7,14)\).

Ο \(14\) είναι πολλαπλάσιο και του \(7\) και του \(14\).

Άρα \(ΕΚΠ(7,14)=14\).

11
Αν ένας αριθμός είναι πολλαπλάσιο του άλλου, ποιο είναι το ΕΚΠ τους;

Είναι ο μεγαλύτερος από τους δύο αριθμούς.

12
Τι ονομάζουμε Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο δύο μη μηδενικών φυσικών αριθμών;

Το μικρότερο θετικό κοινό πολλαπλάσιό τους.

🔎 Κατανοώ τους κοινούς διαιρέτες και το ΜΚΔ
13
Να γράψεις όλους τους διαιρέτες του \(18\).

Οι διαιρέτες του \(18\) είναι \(1,2,3,6,9,18\).

14
Να γράψεις όλους τους διαιρέτες του \(24\).

Οι διαιρέτες του \(24\) είναι \(1,2,3,4,6,8,12,24\).

15
Να βρεις τους κοινούς διαιρέτες των \(18\) και \(24\).

Οι κοινοί διαιρέτες είναι \(1,2,3,6\).

16
Να βρεις το \(ΜΚΔ(18,24)\).

Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης είναι το \(6\).

Άρα \(ΜΚΔ(18,24)=6\).

17
Να βρεις το \(ΜΚΔ(12,20)\).

Κοινοί διαιρέτες είναι \(1,2,4\).

Άρα \(ΜΚΔ(12,20)=4\).

18
Να βρεις το \(ΜΚΔ(15,25)\).

Κοινοί διαιρέτες είναι \(1,5\).

Άρα \(ΜΚΔ(15,25)=5\).

19
Να βρεις το \(ΜΚΔ(14,21)\).

Οι κοινοί διαιρέτες είναι \(1,7\).

Άρα \(ΜΚΔ(14,21)=7\).

20
Να βρεις το \(ΜΚΔ(16,24)\).

Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης είναι το \(8\).

Άρα \(ΜΚΔ(16,24)=8\).

21
Να βρεις το \(ΜΚΔ(27,36)\).

Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης είναι το \(9\).

Άρα \(ΜΚΔ(27,36)=9\).

22
Να βρεις το \(ΜΚΔ(11,22)\).

Ο \(11\) διαιρεί και τους δύο αριθμούς και είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.

Άρα \(ΜΚΔ(11,22)=11\).

23
Αν ένας αριθμός διαιρεί ακριβώς τον άλλο, ποιο είναι το ΜΚΔ τους;

Είναι ο μικρότερος από τους δύο αριθμούς.

24
Τι ονομάζουμε Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη δύο φυσικών αριθμών;

Τον μεγαλύτερο από τους κοινούς διαιρέτες τους.

🧩 Υπολογίζω ΕΚΠ και ΜΚΔ με πρώτους παράγοντες
25
Να αναλύσεις τους \(12\) και \(18\) σε πρώτους παράγοντες και να βρεις το ΕΚΠ τους.

\(12=2^2\cdot3\), \(18=2\cdot3^2\).

Για το ΕΚΠ παίρνουμε όλους τους πρώτους παράγοντες με τον μεγαλύτερο εκθέτη: \(2^2\cdot3^2=36\).

26
Με τις ίδιες αναλύσεις, να βρεις το \(ΜΚΔ(12,18)\).

Κοινοί πρώτοι παράγοντες με τον μικρότερο εκθέτη: \(2\cdot3=6\).

Άρα \(ΜΚΔ(12,18)=6\).

27
Να βρεις το \(ΕΚΠ(20,30)\) με ανάλυση σε πρώτους παράγοντες.

\(20=2^2\cdot5\), \(30=2\cdot3\cdot5\).

Άρα \(ΕΚΠ=2^2\cdot3\cdot5=60\).

28
Να βρεις το \(ΜΚΔ(20,30)\) με ανάλυση σε πρώτους παράγοντες.

Κοινοί πρώτοι παράγοντες: \(2\) και \(5\).

Άρα \(ΜΚΔ=2\cdot5=10\).

29
Να βρεις το \(ΕΚΠ(24,36)\).

\(24=2^3\cdot3\), \(36=2^2\cdot3^2\).

Άρα \(ΕΚΠ=2^3\cdot3^2=72\).

30
Να βρεις το \(ΜΚΔ(24,36)\).

\(ΜΚΔ=2^2\cdot3=12\).

31
Να βρεις το \(ΕΚΠ(18,45)\).

\(18=2\cdot3^2\), \(45=3^2\cdot5\).

Άρα \(ΕΚΠ=2\cdot3^2\cdot5=90\).

32
Να βρεις το \(ΜΚΔ(18,45)\).

Ο κοινός πρώτος παράγοντας είναι το \(3\) με εκθέτη \(2\).

Άρα \(ΜΚΔ=3^2=9\).

33
Να βρεις το \(ΕΚΠ(28,42)\).

\(28=2^2\cdot7\), \(42=2\cdot3\cdot7\).

Άρα \(ΕΚΠ=2^2\cdot3\cdot7=84\).

34
Να βρεις το \(ΜΚΔ(28,42)\).

Κοινοί πρώτοι παράγοντες: \(2\) και \(7\).

Άρα \(ΜΚΔ=14\).

35
Να βρεις το \(ΕΚΠ(8,12,18)\).

\(8=2^3\), \(12=2^2\cdot3\), \(18=2\cdot3^2\).

Άρα \(ΕΚΠ=2^3\cdot3^2=72\).

36
Να βρεις το \(ΜΚΔ(24,36,60)\).

\(24=2^3\cdot3\), \(36=2^2\cdot3^2\), \(60=2^2\cdot3\cdot5\).

Άρα \(ΜΚΔ=2^2\cdot3=12\).

⚠️ Ελέγχω πρώτους μεταξύ τους και βασικές ιδιότητες
37
Πότε δύο φυσικοί αριθμοί λέγονται πρώτοι μεταξύ τους;

Όταν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους είναι \(1\).

38
Να εξετάσεις αν οι \(8\) και \(15\) είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Ο μόνος κοινός διαιρέτης τους είναι το \(1\).

Άρα \(ΜΚΔ(8,15)=1\) και είναι πρώτοι μεταξύ τους.

39
Να εξετάσεις αν οι \(12\) και \(25\) είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Δεν έχουν κοινό πρώτο παράγοντα.

Άρα \(ΜΚΔ(12,25)=1\) και είναι πρώτοι μεταξύ τους.

40
Να εξετάσεις αν οι \(14\) και \(21\) είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Έχουν κοινό διαιρέτη το \(7\).

Άρα \(ΜΚΔ(14,21)=7\neq1\) και δεν είναι πρώτοι μεταξύ τους.

41
Να εξετάσεις αν οι \(16\) και \(27\) είναι πρώτοι μεταξύ τους.

\(16=2^4\) και \(27=3^3\), χωρίς κοινό πρώτο παράγοντα.

Άρα είναι πρώτοι μεταξύ τους.

42
Αν δύο αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους, τι σχέση έχει το ΕΚΠ τους με το γινόμενό τους;

Το ΕΚΠ τους είναι ίσο με το γινόμενό τους.

43
Να βρεις το \(ΕΚΠ(7,20)\) χρησιμοποιώντας ότι οι αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους.

\(ΜΚΔ(7,20)=1\).

Άρα \(ΕΚΠ(7,20)=7\cdot20=140\).

44
Να βρεις το \(ΕΚΠ(9,16)\).

Οι \(9\) και \(16\) είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Άρα \(ΕΚΠ=9\cdot16=144\).

45
Να εξετάσεις αν είναι σωστό: \(ΜΚΔ(18,35)=1\).

\(18=2\cdot3^2\) και \(35=5\cdot7\), χωρίς κοινό πρώτο παράγοντα.

Άρα είναι σωστό.

46
Να εξετάσεις αν είναι σωστό: \(ΕΚΠ(6,9)=54\).

Λάθος. Το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο είναι το \(18\).

47
Να εξετάσεις αν είναι σωστό: \(ΜΚΔ(24,32)=8\).

Σωστό, γιατί ο \(8\) είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.

48
Ένας μαθητής λέει: «Το ΕΚΠ είναι πάντα το γινόμενο των δύο αριθμών». Να διορθώσεις.

Αυτό ισχύει όταν οι αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Γενικά το ΕΚΠ μπορεί να είναι μικρότερο από το γινόμενο.

⏱️ Λύνω προβλήματα επανάληψης με ΕΚΠ
49
Δύο φώτα αναβοσβήνουν κάθε \(6\) s και \(8\) s. Αν ανάψουν μαζί τώρα, μετά από πόσα δευτερόλεπτα θα ανάψουν πάλι μαζί;

Χρειαζόμαστε το \(ΕΚΠ(6,8)\).

\(ΕΚΠ(6,8)=24\), άρα θα ανάψουν μαζί μετά από \(24\) s.

50
Δύο λεωφορεία περνούν από μια στάση κάθε \(12\) και \(18\) λεπτά. Αν περάσουν μαζί στις 08:00, μετά από πόσα λεπτά θα ξαναπεράσουν μαζί;

\(ΕΚΠ(12,18)=36\).

Άρα θα ξαναπεράσουν μαζί μετά από \(36\) λεπτά.

51
Δύο μηχανές ολοκληρώνουν έναν κύκλο κάθε \(15\) s και \(20\) s. Πότε θα ολοκληρώσουν ξανά κύκλο ταυτόχρονα;

\(ΕΚΠ(15,20)=60\).

Άρα μετά από \(60\) s.

52
Τρία κουδούνια χτυπούν κάθε \(4\), \(6\) και \(10\) λεπτά. Σε πόσα λεπτά θα χτυπήσουν πάλι μαζί;

\(ΕΚΠ(4,6,10)=60\).

Άρα μετά από \(60\) λεπτά.

53
Τρεις αθλητές κάνουν έναν γύρο σε \(6\), \(8\) και \(12\) λεπτά. Αν ξεκινήσουν μαζί, πότε θα ξαναβρεθούν ταυτόχρονα στην αφετηρία;

\(ΕΚΠ(6,8,12)=24\).

Άρα σε \(24\) λεπτά.

54
Δύο αυτόματες συσκευές ενεργοποιούνται κάθε \(9\) και \(12\) λεπτά. Πότε θα ενεργοποιηθούν ξανά μαζί;

\(ΕΚΠ(9,12)=36\).

Άρα σε \(36\) λεπτά.

55
Ένα φανάρι αλλάζει ένδειξη κάθε \(14\) s και ένα άλλο κάθε \(21\) s. Αν αλλάξουν μαζί τώρα, πότε θα ξανασυμπέσουν;

\(ΕΚΠ(14,21)=42\).

Άρα μετά από \(42\) s.

56
Δύο περιπολίες περνούν από ένα σημείο κάθε \(16\) και \(24\) λεπτά. Πόσα λεπτά θα περάσουν μέχρι να βρεθούν ξανά μαζί;

\(ΕΚΠ(16,24)=48\).

Άρα \(48\) λεπτά.

57
Δύο εργασίες επαναλαμβάνονται κάθε \(18\) και \(30\) ημέρες. Αν ξεκίνησαν την ίδια ημέρα, μετά από πόσες ημέρες θα συμπέσουν ξανά;

\(ΕΚΠ(18,30)=90\).

Άρα μετά από \(90\) ημέρες.

58
Τρία σήματα εκπέμπονται κάθε \(5\), \(8\) και \(12\) δευτερόλεπτα. Μετά από πόσα δευτερόλεπτα θα εκπέμψουν ξανά μαζί;

\(ΕΚΠ(5,8,12)=120\).

Άρα μετά από \(120\) s.

59
Δύο τροχοί κάνουν μία πλήρη περιστροφή σε \(20\) s και \(30\) s. Αν ξεκινήσουν μαζί, πότε θα βρεθούν ξανά ταυτόχρονα στην αρχική θέση;

\(ΕΚΠ(20,30)=60\).

Άρα μετά από \(60\) s.

60
Σε μια άσκηση με επαναλαμβανόμενα γεγονότα, πότε επιλέγουμε ΕΚΠ;

Όταν ζητάμε πότε δύο ή περισσότερα γεγονότα που επαναλαμβάνονται περιοδικά θα συμβούν ξανά ταυτόχρονα.

🎯 Λύνω προβλήματα ομαδοποίησης και συνδυάζω ΕΚΠ–ΜΚΔ
61
Έχουμε \(24\) κόκκινες και \(36\) μπλε χάντρες και θέλουμε να φτιάξουμε όσο το δυνατόν περισσότερα ίδια σακουλάκια χωρίς να περισσέψει καμία. Πόσα σακουλάκια μπορούμε να φτιάξουμε;

Χρειαζόμαστε το \(ΜΚΔ(24,36)=12\).

Άρα μπορούμε να φτιάξουμε \(12\) ίδια σακουλάκια.

62
Έχουμε κορδέλες μήκους \(48\) cm και \(60\) cm και θέλουμε να τις κόψουμε σε ίσα κομμάτια με το μεγαλύτερο δυνατό μήκος. Πόσο θα είναι κάθε κομμάτι;

Χρειαζόμαστε το \(ΜΚΔ(48,60)=12\).

Άρα κάθε κομμάτι θα έχει μήκος \(12\) cm.

63
Έχουμε \(42\) μήλα και \(56\) πορτοκάλια και θέλουμε να φτιάξουμε τα περισσότερα ίδια καλάθια χωρίς περίσσευμα. Πόσα καλάθια θα φτιάξουμε;

\(ΜΚΔ(42,56)=14\).

Άρα θα φτιάξουμε \(14\) ίδια καλάθια.

64
Δύο ξύλα έχουν μήκη \(72\) cm και \(90\) cm. Θέλουμε να τα κόψουμε σε ίσα, όσο το δυνατόν μεγαλύτερα κομμάτια. Ποιο θα είναι το μήκος κάθε κομματιού;

\(ΜΚΔ(72,90)=18\).

Άρα κάθε κομμάτι θα έχει μήκος \(18\) cm.

65
Έχουμε \(30\) τετράδια και \(45\) μολύβια και θέλουμε να φτιάξουμε τα περισσότερα ίδια πακέτα. Πόσα πακέτα θα γίνουν;

\(ΜΚΔ(30,45)=15\).

Άρα θα γίνουν \(15\) ίδια πακέτα.

66
Ένα ορθογώνιο δάπεδο έχει διαστάσεις \(84\) cm και \(126\) cm. Θέλουμε να το καλύψουμε με τα μεγαλύτερα δυνατά τετράγωνα πλακίδια χωρίς κοπή. Πόση θα είναι η πλευρά κάθε πλακιδίου;

\(ΜΚΔ(84,126)=42\).

Άρα η πλευρά κάθε τετραγώνου θα είναι \(42\) cm.

67
Έχουμε \(64\) άσπρες και \(80\) μαύρες κάρτες. Θέλουμε να τις μοιράσουμε σε όμοιες ομάδες χωρίς περίσσευμα. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ομάδων;

\(ΜΚΔ(64,80)=16\).

Άρα ο μέγιστος αριθμός ομάδων είναι \(16\).

68
Σε ένα πρόβλημα ζητείται «το μεγαλύτερο δυνατό ίσο μήκος κομματιών». Θα χρησιμοποιήσεις ΕΚΠ ή ΜΚΔ;

Χρησιμοποιούμε ΜΚΔ, επειδή ζητάμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των μηκών.

69
Σε ένα πρόβλημα ζητείται «πότε θα ξανασυμβούν μαζί δύο περιοδικά γεγονότα». Θα χρησιμοποιήσεις ΕΚΠ ή ΜΚΔ;

Χρησιμοποιούμε ΕΚΠ.

70
Να βρεις \(ΕΚΠ(18,24)\) και \(ΜΚΔ(18,24)\).

\(ΕΚΠ(18,24)=72\) και \(ΜΚΔ(18,24)=6\).

71
Να ελέγξεις ότι για τους \(18\) και \(24\) ισχύει \(ΕΚΠ\cdot ΜΚΔ=18\cdot24\).

\(72\cdot6=432\) και \(18\cdot24=432\).

Άρα η ισότητα επαληθεύεται.

72
Να γράψεις έναν σύντομο κανόνα για να ξεχωρίζεις πότε χρησιμοποιούμε ΕΚΠ και πότε ΜΚΔ.

Χρησιμοποιούμε ΕΚΠ σε προβλήματα κοινής επανάληψης ή συγχρονισμού και ΜΚΔ σε προβλήματα μεγαλύτερης δυνατής ίσης ομαδοποίησης ή κοπής.

Τέλος