02Ε. Εμβαδόν κυκλικού τομέα
ΘΕΩΡΙΑ
02Ε.α 📘 Τι είναι κυκλικός τομέας;
Κυκλικός τομέας είναι το μέρος του κυκλικού δίσκου που περικλείεται από δύο ακτίνες και το αντίστοιχο τόξο.
Αν η επίκεντρη γωνία του είναι \(\mu^\circ\), τότε ο τομέας αποτελεί το κλάσμα:
\(\frac{\mu}{360}\)
του ολόκληρου κυκλικού δίσκου.
02Ε.β 📘 Ο βασικός τύπος
Ο κυκλικός δίσκος ακτίνας \(\rho\) έχει εμβαδόν:
\(E_{\text{κύκλου}}=\pi\rho^2\)
Άρα ο κυκλικός τομέας γωνίας \(\mu^\circ\) έχει εμβαδόν:
\(E_{\text{τομέα}}=\pi\rho^2\cdot\frac{\mu}{360}\)
02Ε.γ 📘 Ημικύκλιο
Ένα ημικύκλιο αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία \(180^\circ\).
\(E=\pi\rho^2\cdot\frac{180}{360}=\frac{\pi\rho^2}{2}\)
02Ε.δ 📘 Τεταρτοκύκλιο
Ένα τεταρτοκύκλιο αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία \(90^\circ\).
\(E=\pi\rho^2\cdot\frac{90}{360}=\frac{\pi\rho^2}{4}\)
02Ε.ε 📘 Τομέας \(60^\circ\)
Επειδή:
\(\frac{60}{360}=\frac16\)
ο τομέας \(60^\circ\) είναι το \(\frac16\) του κύκλου.
\(E=\frac{\pi\rho^2}{6}\)
02Ε.στ 📘 Πώς βρίσκω τη γωνία;
Αν γνωρίζω το εμβαδόν του τομέα \(E_t\) και το εμβαδόν του κύκλου \(E_k\), τότε:
\(\frac{E_t}{E_k}=\frac{\mu}{360}\)
οπότε:
\(\mu=360^\circ\cdot\frac{E_t}{E_k}\)
02Ε.ζ 📘 Πώς βρίσκω την ακτίνα;
Από:
\(E_t=\pi\rho^2\cdot\frac{\mu}{360}\)
λύνουμε ως προς \(\rho^2\):
\(\rho^2=\frac{360E_t}{\pi\mu}\)
και επομένως:
\(\rho=\sqrt{\frac{360E_t}{\pi\mu}}\)
02Ε.η 📘 Σύνδεση με το μήκος τόξου
Αν \(S\) είναι το μήκος του τόξου του τομέα, τότε:
\(S=2\pi\rho\cdot\frac{\mu}{360}\)
και το εμβαδόν του τομέα μπορεί να γραφεί:
\(E_t=\frac12S\rho\)
02Ε.θ 📘 Όταν αλλάζει η ακτίνα
Για σταθερή γωνία \(\mu\), το εμβαδόν του τομέα είναι ανάλογο με \(\rho^2\).
Αν η ακτίνα διπλασιαστεί:
\(E'=4E\)
Αν η ακτίνα τριπλασιαστεί:
\(E'=9E\)
02Ε.ι 📘 Όταν αλλάζει μόνο η γωνία
Για σταθερή ακτίνα, το εμβαδόν του κυκλικού τομέα είναι ανάλογο με τη γωνία του.
Αν διπλασιαστεί η γωνία, διπλασιάζεται και το εμβαδόν του τομέα.
\(\frac{E_1}{E_2}=\frac{\mu_1}{\mu_2}\)
02Ε.ια 📘 Σύνθετα σχήματα
Σε σύνθετα κυκλικά σχήματα μπορεί να χρειαστεί να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε εμβαδά κυκλικών τομέων.
1. Εντοπίζω την ακτίνα κάθε τομέα.
2. Βρίσκω τη γωνία κάθε τομέα.
3. Υπολογίζω κάθε εμβαδόν χωριστά.
4. Προσθέτω ή αφαιρώ ανάλογα με το ζητούμενο.
02Ε.ιβ 📘 Η σωστή διαδικασία
1. Βρίσκω την ακτίνα.
2. Βρίσκω ή αναγνωρίζω την επίκεντρη γωνία.
3. Υπολογίζω το κλάσμα \(\frac{\mu}{360}\).
4. Χρησιμοποιώ \(E=\pi\rho^2\cdot\frac{\mu}{360}\).
5. Γράφω το αποτέλεσμα σε τετραγωνικές μονάδες.
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ
Α. Βασικοί υπολογισμοί
1✅ Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(6\,cm\) και γωνία \(60^\circ\). Να βρείτε το εμβαδόν του.
Απάντηση
\(E=\pi\cdot6^2\cdot\frac{60}{360}\)
\(E=36\pi\cdot\frac16=6\pi\,cm^2\)
2✅ Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(8\,cm\) και γωνία \(90^\circ\). Να βρείτε το εμβαδόν του.
Απάντηση
\(E=\pi\cdot8^2\cdot\frac{90}{360}\)
\(E=64\pi\cdot\frac14=16\pi\,cm^2\)
3✅ Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(5\,m\) και γωνία \(180^\circ\). Να βρείτε το εμβαδόν του.
Απάντηση
Είναι ημικύκλιο:
\(E=\frac{\pi\cdot5^2}{2}=\frac{25\pi}{2}\,m^2\)
4✅ Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(3\,m\) και γωνία \(100^\circ\). Να βρείτε το εμβαδόν του.
Απάντηση
\(E=\pi\cdot3^2\cdot\frac{100}{360}\)
\(E=9\pi\cdot\frac5{18}=\frac{5\pi}{2}\,m^2\)
Β. Εύρεση γωνίας και ακτίνας
5✅ Ένας κυκλικός τομέας έχει εμβαδόν ίσο με το \(\frac18\) του εμβαδού του κύκλου. Να βρείτε τη γωνία του.
Απάντηση
\(\frac{\mu}{360}=\frac18\)
\(\mu=45^\circ\)
6✅ Κύκλος έχει εμβαδόν \(40\,cm^2\). Να βρείτε το εμβαδόν τομέα \(90^\circ\).
Απάντηση
Ο τομέας \(90^\circ\) είναι το \(\frac14\) του κύκλου:
\(E=40\cdot\frac14=10\,cm^2\)
7✅ Κυκλικός τομέας γωνίας \(90^\circ\) έχει εμβαδόν \(12{,}56\,cm^2\). Να βρείτε την ακτίνα.
Απάντηση
\(12{,}56=3{,}14\rho^2\cdot\frac14\)
\(12{,}56=0{,}785\rho^2\)
\(\rho^2=16\Rightarrow\rho=4\,cm\)
8✅ Κυκλικός τομέας ακτίνας \(12\,cm\) έχει εμβαδόν \(24\pi\,cm^2\). Να βρείτε τη γωνία του.
Απάντηση
\(24\pi=\pi\cdot12^2\cdot\frac{\mu}{360}\)
\(24=144\cdot\frac{\mu}{360}\)
\(\mu=60^\circ\)
Γ. Σύνδεση με το μήκος τόξου
9✅ Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(6\,cm\) και μήκος τόξου \(4\pi\,cm\). Να βρείτε το εμβαδόν του.
Απάντηση
Χρησιμοποιούμε:
\(E=\frac12S\rho\)
\(E=\frac12\cdot4\pi\cdot6=12\pi\,cm^2\)
10✅ Κυκλικός τομέας ακτίνας \(10\,cm\) έχει μήκος τόξου \(5\pi\,cm\). Να βρείτε το εμβαδόν του.
Απάντηση
\(E=\frac12\cdot5\pi\cdot10=25\pi\,cm^2\)
Δ. Εφαρμογές και παγίδες
11✅ Για σταθερή ακτίνα, ένας τομέας \(120^\circ\) έχει πόσες φορές το εμβαδόν ενός τομέα \(40^\circ\);
Απάντηση
\(\frac{E_1}{E_2}=\frac{120}{40}=3\)
12✅ Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα ενός τομέα χωρίς να αλλάξουμε τη γωνία, πόσες φορές γίνεται το εμβαδόν;
Απάντηση
\(E'=\pi(2\rho)^2\cdot\frac{\mu}{360}=4E\)
13✅ Αν τριπλασιάσουμε την ακτίνα ενός τομέα χωρίς να αλλάξουμε τη γωνία, πόσες φορές γίνεται το εμβαδόν;
Απάντηση
\(E'=\pi(3\rho)^2\cdot\frac{\mu}{360}=9E\)
14✅ Κυκλικός τομέας ακτίνας \(24\,m\) και γωνίας \(65^\circ\) αντιστοιχεί σε χώρο σφαιροβολίας. Να βρείτε το εμβαδόν του.
Απάντηση
\(E=\pi\cdot24^2\cdot\frac{65}{360}\)
\(E\approx3{,}14\cdot576\cdot\frac{65}{360}\)
\(E\approx326{,}56\,m^2\)
15✅ Ένας μαθητής γράφει για τομέα \(60^\circ\): \(E=\pi\rho^2\cdot\frac{60}{180}\). Πού είναι το λάθος;
Απάντηση
Ολόκληρος ο κύκλος αντιστοιχεί σε \(360^\circ\), όχι σε \(180^\circ\).
\(E=\pi\rho^2\cdot\frac{60}{360}=\frac{\pi\rho^2}{6}\)