02Δ. Εμβαδόν κυκλικού δίσκου

02Δ.α 📘 Τι είναι ο κυκλικός δίσκος;

Ο κύκλος είναι η γραμμή της περιφέρειας, ενώ ο κυκλικός δίσκος περιλαμβάνει τον κύκλο μαζί με όλα τα σημεία που βρίσκονται στο εσωτερικό του.

Όταν ζητούμε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου, μετράμε την επιφάνεια που καταλαμβάνει.

02Δ.β 📘 Ο βασικός τύπος

Αν ο κυκλικός δίσκος έχει ακτίνα \(\rho\), τότε το εμβαδόν του είναι:

\(E=\pi\rho^2\)

Στις αριθμητικές εφαρμογές μπορούμε να χρησιμοποιούμε:

\(\pi\approx3{,}14\)

02Δ.γ 📘 Γιατί εμφανίζεται το \(\pi\rho^2\);

Αν χωρίσουμε έναν κυκλικό δίσκο σε πολλά ίσα κομμάτια και τα τοποθετήσουμε εναλλάξ, το σχήμα που προκύπτει μοιάζει όλο και περισσότερο με ορθογώνιο.

Η βάση αυτού του ορθογωνίου προσεγγίζει το μισό μήκος του κύκλου, δηλαδή \(\pi\rho\), και το ύψος του είναι \(\rho\).

\(E\approx\pi\rho\cdot\rho=\pi\rho^2\)

02Δ.δ 📘 Όταν δίνεται η ακτίνα

Αν γνωρίζω την ακτίνα, αντικαθιστώ απευθείας στον τύπο:

\(E=\pi\rho^2\)

Παράδειγμα 1
Για \(\rho=4\,cm\):

\(E=\pi\cdot4^2=16\pi\,cm^2\approx50{,}24\,cm^2\)

02Δ.ε 📘 Όταν δίνεται η διάμετρος

Αν δίνεται η διάμετρος \(\delta\), πρώτα βρίσκω την ακτίνα:

\(\rho=\frac{\delta}{2}\)

και μετά εφαρμόζω:

\(E=\pi\rho^2\)

Παράδειγμα 2
Για \(\delta=10\,cm\):

\(\rho=5\,cm\)

\(E=25\pi\,cm^2\approx78{,}5\,cm^2\)

02Δ.στ 📘 Πώς βρίσκω την ακτίνα από το εμβαδόν;

Από τον τύπο:

\(E=\pi\rho^2\)

προκύπτει:

\(\rho^2=\frac{E}{\pi}\)

και επομένως:

\(\rho=\sqrt{\frac{E}{\pi}}\)

02Δ.ζ 📘 Από το μήκος κύκλου στο εμβαδόν

Αν γνωρίζω το μήκος του κύκλου \(L\), πρώτα βρίσκω την ακτίνα από:

\(L=2\pi\rho\)

\(\rho=\frac{L}{2\pi}\)

και μετά:

\(E=\pi\rho^2\)

02Δ.η 📘 Τι συμβαίνει όταν αλλάζει η ακτίνα;

Το εμβαδόν εξαρτάται από το τετράγωνο της ακτίνας.

Αν η ακτίνα διπλασιαστεί:

\(E'=\pi(2\rho)^2=4\pi\rho^2=4E\)

Άρα το εμβαδόν τετραπλασιάζεται.

Αν η ακτίνα τριπλασιαστεί, το εμβαδόν γίνεται \(9\) φορές μεγαλύτερο.

02Δ.θ 📘 Κυκλικός δακτύλιος

Η περιοχή ανάμεσα σε δύο ομόκεντρους κύκλους λέγεται κυκλικός δακτύλιος.

Αν \(R\) είναι η μεγάλη ακτίνα και \(\rho\) η μικρή, τότε:

\(E_{\text{δακτυλίου}}=\pi R^2-\pi\rho^2\)

ή:

\(E_{\text{δακτυλίου}}=\pi(R^2-\rho^2)\)

02Δ.ι 📘 Ημικύκλιο και μέρος κυκλικού δίσκου

Αν ένα σχήμα είναι ακριβώς μισός κυκλικός δίσκος, τότε το εμβαδόν του είναι το μισό του πλήρους δίσκου:

\(E_{\text{ημικυκλίου}}=\frac{\pi\rho^2}{2}\)

Αν έχουμε δύο ίσα ημικύκλια, το άθροισμα των εμβαδών τους ισούται με το εμβαδόν ενός πλήρους κυκλικού δίσκου ίδιας ακτίνας.

02Δ.ια 📘 Μονάδες μέτρησης

Αν η ακτίνα μετριέται σε \(cm\), το εμβαδόν γράφεται σε \(cm^2\).

Αν η ακτίνα μετριέται σε \(m\), το εμβαδόν γράφεται σε \(m^2\).

Πριν εφαρμόσω τον τύπο, πρέπει όλα τα μήκη να είναι στην ίδια μονάδα.

02Δ.ιβ 📘 Η σωστή διαδικασία

1. Εντοπίζω αν δίνεται ακτίνα, διάμετρος, μήκος κύκλου ή εμβαδόν.

2. Βρίσκω πρώτα την ακτίνα, αν δεν είναι ήδη γνωστή.

3. Χρησιμοποιώ \(E=\pi\rho^2\).

4. Σε δακτύλιο αφαιρώ τα δύο εμβαδά.

5. Ελέγχω τις μονάδες και τη λογικότητα του αποτελέσματος.