06c_ergasia_02e Εμβαδόν κυκλικού τομέα

GMATHS - Εργασία 02Ε. Εμβαδόν κυκλικού τομέα

02Ε. Εμβαδόν κυκλικού τομέα

κυκλικός τομέας • E=πρ²·μ/360 • ημικύκλιο • τεταρτοκύκλιο • εύρεση γωνίας • εύρεση ακτίνας • μήκος τόξου • E=½Sρ • μεταβολές ακτίνας και γωνίας • σύνθετα σχήματα • AI Check • παγίδες

🤖

AI CHECK

1.Κυκλικός τομέας είναι το μέρος του κυκλικού δίσκου που περικλείεται από δύο ακτίνες και το αντίστοιχο τόξο.

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Α

Αυτός είναι ο ορισμός του κυκλικού τομέα.

⚡

5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ

2.Ολόκληρος ο κύκλος αντιστοιχεί σε:

Α. \(90^\circ\) Β. \(180^\circ\) Γ. \(270^\circ\) Δ. \(360^\circ\)

Σωστή απάντηση: Δ

Ο πλήρης κύκλος έχει \(360^\circ\).

⚠

ΠΑΓΙΔΑ

3.Το κλάσμα του κύκλου που αντιστοιχεί σε γωνία \(\mu^\circ\) είναι \(\frac{360}{\mu}\).

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Β

Το σωστό κλάσμα είναι \(\frac{\mu}{360}\).

💬

ΜΥΘΟΣ Ή ΑΛΗΘΕΙΑ

4.Ο τομέας \(180^\circ\) είναι το μισό του κύκλου.

Α. Αλήθεια Β. Μύθος

Σωστή απάντηση: Α

\(180/360=1/2\).

↔

ΠΟΙΟ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ;

5.Ποιος τύπος είναι σωστός;

Α. \(E_t=\pi\rho^2\frac{\mu}{360}\) Β. \(E_t=2\pi\rho\frac{\mu}{360}\)

Σωστή απάντηση: Α

Το πρώτο είναι εμβαδόν τομέα, το δεύτερο μήκος τόξου.

☷

ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

6.Το εμβαδόν κυκλικού τομέα δίνεται από:

Α. \(E=\pi\rho^2\frac{\mu}{360}\) Β. \(E=2\pi\rho\) Γ. \(E=\pi\rho\) Δ. \(E=\frac{360}{\mu}\)

Σωστή απάντηση: Α

Παίρνουμε το αντίστοιχο μέρος του εμβαδού του κύκλου.

🔎

ΝΤΕΤΕΚΤΙΒ

7.Το εμβαδόν ενός κύκλου ακτίνας \(\rho\) είναι:

Α. \(2\pi\rho\) Β. \(\pi\rho^2\) Γ. \(\pi\rho\) Δ. \(\rho^2/\pi\)

Σωστή απάντηση: Β

Ο βασικός τύπος είναι \(E=\pi\rho^2\).

🤖

AI CHECK

8.Το AI γράφει: «Εμβαδόν τομέα = εμβαδόν κύκλου × \(\frac{\mu}{360}\)».

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Α

Αυτός είναι ο βασικός κανόνας.

⏱

10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ

9.Για \(\mu=90^\circ\), το κλάσμα του κύκλου είναι:

Α. \(1/2\) Β. \(1/3\) Γ. \(1/4\) Δ. \(1/6\)

Σωστή απάντηση: Γ

\(90/360=1/4\).

✓

CHECKLIST

10.Για να βρω εμβαδόν τομέα χρειάζομαι κυρίως:

Α. Ακτίνα και επίκεντρη γωνία Β. Μόνο διάμετρο Γ. Μόνο τόξο χωρίς άλλο στοιχείο Δ. Περίμετρο τετραγώνου

Σωστή απάντηση: Α

Ο βασικός τύπος χρησιμοποιεί \(\rho\) και \(\mu\).

📘

ΤΟΜΕΑΣ

11.Για \(\rho=6cm\), \(\mu=60^\circ\), το εμβαδόν είναι:

Α. \(3\pi cm^2\) Β. \(6\pi cm^2\) Γ. \(12\pi cm^2\) Δ. \(36\pi cm^2\)

Σωστή απάντηση: Β

\(36\pi\cdot60/360=6\pi cm^2\).

📐

ΤΟΜΕΑΣ

12.Για \(\rho=8cm\), \(\mu=90^\circ\), το εμβαδόν είναι:

Α. \(8\pi cm^2\) Β. \(16\pi cm^2\) Γ. \(32\pi cm^2\) Δ. \(64\pi cm^2\)

Σωστή απάντηση: Β

\(64\pi\cdot1/4=16\pi cm^2\).

🧮

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ

13.Για \(\rho=5m\), \(\mu=180^\circ\), το εμβαδόν είναι:

Α. \(25\pi m^2\) Β. \(\frac{25\pi}{2}m^2\) Γ. \(5\pi m^2\) Δ. \(50\pi m^2\)

Σωστή απάντηση: Β

Το ημικύκλιο είναι το μισό του πλήρους δίσκου.

🎯

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ

14.Για \(\rho=3m\), \(\mu=100^\circ\), το εμβαδόν είναι:

Α. \(\frac{5\pi}{2}m^2\) Β. \(5\pi m^2\) Γ. \(9\pi m^2\) Δ. \(\frac{9\pi}{2}m^2\)

Σωστή απάντηση: Α

\(9\pi\cdot100/360=5\pi/2\).

⚠

ΠΑΓΙΔΑ

15.Για τομέα \(60^\circ\), χρησιμοποιούμε \(\frac{60}{180}\).

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Β

Πρέπει να χρησιμοποιούμε \(\frac{60}{360}\).

⚡

5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ

16.Ημικύκλιο έχει εμβαδόν:

Α. \(\pi\rho^2\) Β. \(\frac{\pi\rho^2}{2}\) Γ. \(\frac{\pi\rho^2}{4}\) Δ. \(2\pi\rho^2\)

Σωστή απάντηση: Β

Είναι το μισό του κύκλου.

⚡

5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ

17.Τεταρτοκύκλιο έχει εμβαδόν:

Α. \(\frac{\pi\rho^2}{2}\) Β. \(\frac{\pi\rho^2}{3}\) Γ. \(\frac{\pi\rho^2}{4}\) Δ. \(\frac{\pi\rho^2}{6}\)

Σωστή απάντηση: Γ

Είναι το \(1/4\) του κύκλου.

📊

REAL DATA

18.Τομέας \(60^\circ\) είναι ποιο μέρος του κύκλου;

Α. \(1/3\) Β. \(1/4\) Γ. \(1/6\) Δ. \(1/8\)

Σωστή απάντηση: Γ

\(60/360=1/6\).

📋

DATA CHECK

19.Τομέας \(120^\circ\) είναι:

Α. \(1/2\) του κύκλου Β. \(1/3\) του κύκλου Γ. \(1/4\) του κύκλου Δ. \(2/3\) του κύκλου

Σωστή απάντηση: Β

\(120/360=1/3\).

📍

DATA CHECK

20.Τομέας \(45^\circ\) είναι:

Α. \(1/8\) του κύκλου Β. \(1/6\) του κύκλου Γ. \(1/4\) του κύκλου Δ. \(1/2\) του κύκλου

Σωστή απάντηση: Α

\(45/360=1/8\).

☷

ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

21.Αν ο κύκλος έχει εμβαδόν \(40cm^2\), ο τομέας \(90^\circ\) έχει εμβαδόν:

Α. \(5cm^2\) Β. \(10cm^2\) Γ. \(20cm^2\) Δ. \(40cm^2\)

Σωστή απάντηση: Β

Ο τομέας είναι το \(1/4\) του κύκλου.

☷

ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

22.Αν ο τομέας είναι το \(1/8\) του κύκλου, η γωνία του είναι:

Α. \(30^\circ\) Β. \(45^\circ\) Γ. \(60^\circ\) Δ. \(90^\circ\)

Σωστή απάντηση: Β

\(360/8=45^\circ\).

☷

ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

23.Αν ο τομέας είναι το \(1/3\) του κύκλου, η γωνία του είναι:

Α. \(60^\circ\) Β. \(90^\circ\) Γ. \(120^\circ\) Δ. \(180^\circ\)

Σωστή απάντηση: Γ

\(360/3=120^\circ\).

☷

ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

24.Αν ο τομέας είναι το \(3/4\) του κύκλου, η γωνία του είναι:

Α. \(180^\circ\) Β. \(240^\circ\) Γ. \(270^\circ\) Δ. \(300^\circ\)

Σωστή απάντηση: Γ

\(360\cdot3/4=270^\circ\).

☷

ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

25.Από \(\frac{E_t}{E_k}=\frac{\mu}{360}\), προκύπτει:

Α. \(\mu=360\frac{E_t}{E_k}\) Β. \(\mu=\frac{E_k}{E_t}\) Γ. \(\mu=E_tE_k\) Δ. \(\mu=180\frac{E_k}{E_t}\)

Σωστή απάντηση: Α

Πολλαπλασιάζουμε με 360.

☷

ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

26.Αν \(E_t=12cm^2\) και \(E_k=48cm^2\), η γωνία είναι:

Α. \(45^\circ\) Β. \(90^\circ\) Γ. \(120^\circ\) Δ. \(180^\circ\)

Σωστή απάντηση: Β

\(12/48=1/4\), άρα \(\mu=90^\circ\).

🛠

ΒΡΕΣ ΤΟ ΛΑΘΟΣ

27.Μαθητής γράφει: «Αν ο τομέας είναι το \(1/6\) του κύκλου, η γωνία είναι \(30^\circ\)».

Α. Δεν υπάρχει λάθος Β. Υπάρχει λάθος

Σωστή απάντηση: Β

Η γωνία είναι \(360/6=60^\circ\).

🧠

CHALLENGE

28.Κύκλος εμβαδού \(72cm^2\). Τομέας \(60^\circ\) έχει εμβαδόν:

Α. \(6cm^2\) Β. \(12cm^2\) Γ. \(18cm^2\) Δ. \(24cm^2\)

Σωστή απάντηση: Β

Ο τομέας είναι το \(1/6\) του κύκλου: \(72/6=12\).

✓

CHECKLIST

29.Για να βρω τη γωνία από τα εμβαδά συγκρίνω:

Α. \(E_t/E_k\) Β. \(E_k+E_t\) Γ. \(E_k-E_t\) Δ. \(E_t\cdot E_k\)

Σωστή απάντηση: Α

Ο λόγος των εμβαδών είναι ίσος με \(\mu/360\).

🔄

ΣΧΕΣΗ

30.Για σταθερή ακτίνα, αν διπλασιάσω τη γωνία, το εμβαδόν:

Α. Διπλασιάζεται Β. Τετραπλασιάζεται Γ. Μένει ίδιο Δ. Υποδιπλασιάζεται

Σωστή απάντηση: Α

Για σταθερή ακτίνα, το εμβαδόν είναι ανάλογο της γωνίας.

🧩

ΣΧΕΣΗ

31.Για ίδια ακτίνα, τομείς \(40^\circ\) και \(120^\circ\) έχουν λόγο εμβαδών:

Α. \(1:2\) Β. \(1:3\) Γ. \(2:3\) Δ. \(3:1\)

Σωστή απάντηση: Β

\(40:120=1:3\).

⚠

ΠΑΓΙΔΑ

32.Για ίδια ακτίνα, τομέας \(120^\circ\) έχει διπλάσιο εμβαδόν από τομέα \(40^\circ\).

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Β

Έχει τριπλάσιο, επειδή \(120/40=3\).

💬

ΜΥΘΟΣ Ή ΑΛΗΘΕΙΑ

33.Για σταθερή γωνία, το εμβαδόν τομέα είναι ανάλογο με \(\rho^2\).

Α. Αλήθεια Β. Μύθος

Σωστή απάντηση: Α

Ο τύπος περιέχει \(\rho^2\).

🔎

ΝΤΕΤΕΚΤΙΒ

34.Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα και κρατήσουμε ίδια τη γωνία, το εμβαδόν:

Α. Διπλασιάζεται Β. Τετραπλασιάζεται Γ. Εξαπλασιάζεται Δ. Μένει ίδιο

Σωστή απάντηση: Β

\((2\rho)^2=4\rho^2\).

📊

ΜΕΤΑΒΟΛΗ

35.Αν τριπλασιάσουμε την ακτίνα και κρατήσουμε ίδια τη γωνία, το εμβαδόν:

Α. Τριπλασιάζεται Β. Εξαπλασιάζεται Γ. Εννιαπλασιάζεται Δ. Δωδεκαπλασιάζεται

Σωστή απάντηση: Γ

\((3\rho)^2=9\rho^2\).

🧠

CHALLENGE

36.Για ίδια γωνία, ακτίνες \(2cm\) και \(6cm\) δίνουν λόγο εμβαδών:

Α. \(1:3\) Β. \(1:6\) Γ. \(1:9\) Δ. \(2:6\)

Σωστή απάντηση: Γ

Τετραγωνίζουμε τον λόγο ακτίνων: \(2^2:6^2=4:36=1:9\).

🧠

CHALLENGE

37.Τομέας \(90^\circ\) έχει εμβαδόν \(12{,}56cm^2\). Η ακτίνα είναι:

Α. \(2cm\) Β. \(4cm\) Γ. \(6cm\) Δ. \(8cm\)

Σωστή απάντηση: Β

\(12{,}56=3{,}14\rho^2/4\Rightarrow\rho^2=16\Rightarrow\rho=4\).

↔

ΠΟΙΟ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ;

38.Στον ίδιο κύκλο ποιος τομέας έχει μεγαλύτερο εμβαδόν;

Α. \(60^\circ\) Β. \(150^\circ\)

Σωστή απάντηση: Β

Για ίδια ακτίνα, μεγαλύτερη γωνία σημαίνει μεγαλύτερο εμβαδόν.

🔎

CRITICAL CHECK

39.Τομέας ακτίνας \(12cm\) έχει εμβαδόν \(24\pi cm^2\). Η γωνία είναι:

Α. \(30^\circ\) Β. \(60^\circ\) Γ. \(90^\circ\) Δ. \(120^\circ\)

Σωστή απάντηση: Β

\(24\pi=144\pi\mu/360\Rightarrow\mu=60^\circ\).

📘

ΘΕΩΡΙΑ

40.Αν \(S\) είναι το μήκος τόξου του τομέα, τότε:

Α. \(E_t=\frac12S\rho\) Β. \(E_t=S+\rho\) Γ. \(E_t=2S\rho\) Δ. \(E_t=S/\rho\)

Σωστή απάντηση: Α

Το εμβαδόν μπορεί να γραφεί ως \(\frac12S\rho\).

⚖

ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

41.Τομέας ακτίνας \(6cm\), μήκος τόξου \(4\pi cm\). Το εμβαδόν είναι:

Α. \(6\pi cm^2\) Β. \(12\pi cm^2\) Γ. \(24\pi cm^2\) Δ. \(48\pi cm^2\)

Σωστή απάντηση: Β

\(E=\frac12\cdot4\pi\cdot6=12\pi\).

🔎

ΝΤΕΤΕΚΤΙΒ

42.Τομέας ακτίνας \(10cm\), μήκος τόξου \(5\pi cm\). Το εμβαδόν είναι:

Α. \(10\pi cm^2\) Β. \(20\pi cm^2\) Γ. \(25\pi cm^2\) Δ. \(50\pi cm^2\)

Σωστή απάντηση: Γ

\(E=\frac12\cdot5\pi\cdot10=25\pi\).

🕵

ARC CHECK

43.Αν γνωρίζω μήκος τόξου \(S\) και ακτίνα \(\rho\), χρειάζεται οπωσδήποτε να βρω πρώτα τη γωνία;

Α. Ναι Β. Όχι

Σωστή απάντηση: Β

Μπορώ να χρησιμοποιήσω απευθείας \(E=\frac12S\rho\).

🔎

FORMULA CHECK

44.Ποιος τύπος αφορά μήκος τόξου;

Α. \(S=2\pi\rho\frac{\mu}{360}\) Β. \(E=\pi\rho^2\frac{\mu}{360}\)

Σωστή απάντηση: Α

Ο πρώτος δίνει μήκος, ο δεύτερος εμβαδόν.

🧭

ΜΕΘΟΔΟΣ

45.Σε σύνθετο κυκλικό σχήμα η σωστή στρατηγική είναι:

Α. Υπολογίζω κάθε τομέα χωριστά και προσθέτω ή αφαιρώ Β. Χρησιμοποιώ έναν τυχαίο τύπο Γ. Υπολογίζω μόνο μήκος κύκλου Δ. Αγνοώ τις γωνίες

Σωστή απάντηση: Α

Διασπούμε το σχήμα σε γνωστούς τομείς.

📐

ΜΟΝΑΔΕΣ

46.Αν η ακτίνα είναι σε cm, το εμβαδόν τομέα γράφεται σε:

Α. cm Β. cm² Γ. m Δ. μοίρες

Σωστή απάντηση: Β

Το εμβαδόν εκφράζεται σε τετραγωνικές μονάδες.

✓

ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ

47.Η επίκεντρη γωνία εκφράζεται σε μοίρες ενώ το εμβαδόν σε τετραγωνικές μονάδες.

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Α

Είναι διαφορετικά μεγέθη με διαφορετικές μονάδες.

⚠

ΠΑΓΙΔΑ

48.Αν \(\rho=4cm\) και \(\mu=90^\circ\), το αποτέλεσμα γράφεται σε cm.

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Β

Το εμβαδόν γράφεται σε cm².

🧭

ΣΕΙΡΑ ΒΗΜΑΤΩΝ

49.Ποια σειρά είναι σωστή;

Α. Ακτίνα → γωνία → \(\mu/360\) → \(E=\pi\rho^2\frac{\mu}{360}\) → τετραγωνικές μονάδες Β. Γωνία → περίμετρος τετραγώνου → διάμετρος Γ. Μόνο \(2\pi\rho\) Δ. Αγνοώ τη γωνία

Σωστή απάντηση: Α

Αυτή είναι η σωστή διαδικασία.

🧠

CHALLENGE

50.Κύκλος ακτίνας \(6cm\). Τομέας \(120^\circ\) έχει εμβαδόν:

Α. \(6\pi cm^2\) Β. \(12\pi cm^2\) Γ. \(18\pi cm^2\) Δ. \(24\pi cm^2\)

Σωστή απάντηση: Β

\(36\pi\cdot120/360=12\pi\).

📊

ΑΝΑΓΝΩΣΗ

51.Κύκλος ακτίνας \(6cm\). Τομέας \(240^\circ\) έχει εμβαδόν:

Α. \(12\pi cm^2\) Β. \(18\pi cm^2\) Γ. \(24\pi cm^2\) Δ. \(36\pi cm^2\)

Σωστή απάντηση: Γ

\(36\pi\cdot240/360=24\pi\).

📈

ΕΞΥΠΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ

52.Στον ίδιο κύκλο, το άθροισμα των εμβαδών τομέων \(120^\circ\) και \(240^\circ\) είναι:

Α. Το μισό του κύκλου Β. Το εμβαδόν ολόκληρου κύκλου Γ. Διπλάσιο του κύκλου Δ. Το \(1/3\) του κύκλου

Σωστή απάντηση: Β

Οι γωνίες αθροίζουν \(360^\circ\).

↔

ΣΥΓΚΡΙΣΗ

53.Για ίδια ακτίνα, τομέας \(180^\circ\) έχει πόσες φορές το εμβαδόν τομέα \(60^\circ\);

Α. 2 φορές Β. 3 φορές Γ. 4 φορές Δ. 6 φορές

Σωστή απάντηση: Β

\(180/60=3\).

⚠

ΠΑΓΙΔΑ

54.Αν διπλασιαστούν και η ακτίνα και η γωνία, το εμβαδόν γίνεται 4 φορές μεγαλύτερο.

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Β

Η ακτίνα δίνει παράγοντα 4 και η γωνία παράγοντα 2, άρα συνολικά 8.

📊

REAL DATA

55.Χώρος σφαιροβολίας ακτίνας \(24m\), γωνίας \(65^\circ\), έχει εμβαδόν περίπου:

Α. \(163{,}28m^2\) Β. \(326{,}56m^2\) Γ. \(653{,}12m^2\) Δ. \(1306{,}24m^2\)

Σωστή απάντηση: Β

\(E\approx3{,}14\cdot24^2\cdot65/360=326{,}56m^2\).

📋

DATA CHECK

56.Αν ένας κυκλικός τομέας είναι το \(25\%\) του κύκλου, η γωνία του είναι:

Α. \(45^\circ\) Β. \(60^\circ\) Γ. \(90^\circ\) Δ. \(120^\circ\)

Σωστή απάντηση: Γ

Το 25% είναι \(1/4\), άρα \(90^\circ\).

🧮

COMBINATION CHECK

57.Αν ένας τομέας είναι το \(75\%\) του κύκλου, η γωνία του είναι:

Α. \(180^\circ\) Β. \(240^\circ\) Γ. \(270^\circ\) Δ. \(300^\circ\)

Σωστή απάντηση: Γ

\(0{,}75\cdot360=270^\circ\).

🤖

AI CHECK

58.Το AI γράφει: «Για σταθερή ακτίνα, διπλάσια γωνία σημαίνει διπλάσιο εμβαδόν τομέα».

Α. Σωστό Β. Λάθος

Σωστή απάντηση: Α

Το εμβαδόν είναι ανάλογο της γωνίας.

💡

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ

59.Γιατί εμφανίζεται το \(\frac{\mu}{360}\) στον τύπο του εμβαδού;

Α. Επειδή δείχνει ποιο μέρος του πλήρους κύκλου καταλαμβάνει ο τομέας Β. Επειδή το 360 είναι ακτίνα Γ. Επειδή το \(\pi\) είναι 360 Δ. Επειδή το εμβαδόν είναι μήκος

Σωστή απάντηση: Α

Η γωνία καθορίζει το κλάσμα του πλήρους δίσκου.

✓

ΤΕΛΙΚΟ CHECKLIST

60.Ποια είναι η σωστή στρατηγική;

Α. Βρίσκω ακτίνα και γωνία, υπολογίζω \(\mu/360\), χρησιμοποιώ \(E=\pi\rho^2\frac{\mu}{360}\), ή \(E=\frac12S\rho\) αν γνωρίζω μήκος τόξου, και γράφω τετραγωνικές μονάδες. Β. Χρησιμοποιώ πάντα \(2\pi\rho\). Γ. Αγνοώ τη γωνία. Δ. Χρησιμοποιώ πάντα το εμβαδόν όλου του κύκλου.

Σωστή απάντηση: Α

Αυτή συνοψίζει τη σωστή μέθοδο του μαθήματος.