03Δ. Κεντρική συμμετρία
🎯 Κατανοώ την κεντρική συμμετρία
1
Τι ονομάζουμε κεντρική συμμετρία ως προς σημείο \(O\);

Η κεντρική συμμετρία είναι στροφή κατά \(180^\circ\) γύρω από το σημείο \(O\).

Το σημείο \(O\) λέγεται κέντρο συμμετρίας.

2
Αν το \(A^{\prime}\) είναι το συμμετρικό του \(A\) ως προς \(O\), ποια βασική σχέση ισχύει;

Τα σημεία \(A,O,A^{\prime}\) είναι συνευθειακά και το \(O\) βρίσκεται ανάμεσα στα \(A,A^{\prime}\).

Επιπλέον \(OA=OA^{\prime}\), άρα το \(O\) είναι μέσο του \(AA^{\prime}\).

3
Ποια στροφή είναι ισοδύναμη με κεντρική συμμετρία;

Η κεντρική συμμετρία είναι ειδική περίπτωση στροφής.

Είναι στροφή κατά \(180^\circ\).

4
Αν ένα σημείο συμπίπτει με το κέντρο \(O\), ποιο είναι το συμμετρικό του;

Η απόσταση από το κέντρο είναι \(0\), άρα το σημείο δεν μετακινείται.

Το συμμετρικό του \(O\) είναι το ίδιο το \(O\).

5
Σε κεντρική συμμετρία έχει σημασία αν η στροφή των \(180^\circ\) γίνει δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα;

Και στις δύο περιπτώσεις κάθε σημείο φτάνει στο ίδιο διαμετρικά αντίθετο σημείο.

Άρα η φορά δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα.

6
Στο παρακάτω σχήμα το \(O\) είναι μέσο του \(AA^{\prime}\). Είναι τα \(A,A^{\prime}\) συμμετρικά ως προς \(O\);
A O A′ OA OA′

Τα σημεία είναι συνευθειακά και \(OA=OA^{\prime}\).

Άρα τα \(A,A^{\prime}\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\).

7
Αν \(OA=5\,cm\) και \(A^{\prime}\) είναι το συμμετρικό του \(A\) ως προς \(O\), πόσο είναι \(OA^{\prime}\);

Στην κεντρική συμμετρία το \(O\) είναι μέσο του \(AA^{\prime}\).

Άρα \(OA^{\prime}=5\,cm\).

8
Αν \(A\) και \(A^{\prime}\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\), πόσο είναι η γωνία \(\widehat{AOA^{\prime}}\);

Η κεντρική συμμετρία είναι στροφή \(180^\circ\).

Άρα \(\widehat{AOA^{\prime}}=180^\circ\).

🎯 Βρίσκω συμμετρικό σημείο ως προς την αρχή \(O(0,0)\)
9
Να βρείτε το συμμετρικό \(A^{\prime}\) του σημείου \(A(2,3)\) ως προς την αρχή \(O(0,0)\).

Στην κεντρική συμμετρία ως προς \(O(0,0)\) αλλάζουν πρόσημο και οι δύο συντεταγμένες: \((x,y)\mapsto(-x,-y)\).

Άρα \(A^{\prime}(-2,-3)\).

10
Να βρείτε το συμμετρικό \(A^{\prime}\) του σημείου \(A(-4,1)\) ως προς την αρχή \(O(0,0)\).

Στην κεντρική συμμετρία ως προς \(O(0,0)\) αλλάζουν πρόσημο και οι δύο συντεταγμένες: \((x,y)\mapsto(-x,-y)\).

Άρα \(A^{\prime}(4,-1)\).

11
Να βρείτε το συμμετρικό \(A^{\prime}\) του σημείου \(A(5,-2)\) ως προς την αρχή \(O(0,0)\).

Στην κεντρική συμμετρία ως προς \(O(0,0)\) αλλάζουν πρόσημο και οι δύο συντεταγμένες: \((x,y)\mapsto(-x,-y)\).

Άρα \(A^{\prime}(-5,2)\).

12
Να βρείτε το συμμετρικό \(A^{\prime}\) του σημείου \(A(-3,-6)\) ως προς την αρχή \(O(0,0)\).

Στην κεντρική συμμετρία ως προς \(O(0,0)\) αλλάζουν πρόσημο και οι δύο συντεταγμένες: \((x,y)\mapsto(-x,-y)\).

Άρα \(A^{\prime}(3,6)\).

13
Να βρείτε το συμμετρικό \(A^{\prime}\) του σημείου \(A(0,7)\) ως προς την αρχή \(O(0,0)\).

Στην κεντρική συμμετρία ως προς \(O(0,0)\) αλλάζουν πρόσημο και οι δύο συντεταγμένες: \((x,y)\mapsto(-x,-y)\).

Άρα \(A^{\prime}(0,-7)\).

14
Να βρείτε το συμμετρικό \(A^{\prime}\) του σημείου \(A(8,0)\) ως προς την αρχή \(O(0,0)\).

Στην κεντρική συμμετρία ως προς \(O(0,0)\) αλλάζουν πρόσημο και οι δύο συντεταγμένες: \((x,y)\mapsto(-x,-y)\).

Άρα \(A^{\prime}(-8,0)\).

15
Να βρείτε το συμμετρικό \(A^{\prime}\) του σημείου \(A(4,4)\) ως προς την αρχή \(O(0,0)\).

Στην κεντρική συμμετρία ως προς \(O(0,0)\) αλλάζουν πρόσημο και οι δύο συντεταγμένες: \((x,y)\mapsto(-x,-y)\).

Άρα \(A^{\prime}(-4,-4)\).

16
Να βρείτε το συμμετρικό \(A^{\prime}\) του σημείου \(A(-5,2)\) ως προς την αρχή \(O(0,0)\).

Στην κεντρική συμμετρία ως προς \(O(0,0)\) αλλάζουν πρόσημο και οι δύο συντεταγμένες: \((x,y)\mapsto(-x,-y)\).

Άρα \(A^{\prime}(5,-2)\).

🎯 Βρίσκω συμμετρικό σημείο ως προς \(O(a,b)\)
17
Το σημείο \(A(1,2)\) έχει κέντρο συμμετρίας \(O(4,5)\). Να βρείτε το συμμετρικό του \(A^{\prime}\).

Αφού το \(O\) είναι μέσο του \(AA^{\prime}\), ισχύει \(x^{\prime}=2\cdot4-(1)\) και \(y^{\prime}=2\cdot5-(2)\).

Άρα \(A^{\prime}(7,8)\).

18
Το σημείο \(A(2,-1)\) έχει κέντρο συμμετρίας \(O(5,3)\). Να βρείτε το συμμετρικό του \(A^{\prime}\).

Αφού το \(O\) είναι μέσο του \(AA^{\prime}\), ισχύει \(x^{\prime}=2\cdot5-(2)\) και \(y^{\prime}=2\cdot3-(-1)\).

Άρα \(A^{\prime}(8,7)\).

19
Το σημείο \(A(-2,3)\) έχει κέντρο συμμετρίας \(O(1,1)\). Να βρείτε το συμμετρικό του \(A^{\prime}\).

Αφού το \(O\) είναι μέσο του \(AA^{\prime}\), ισχύει \(x^{\prime}=2\cdot1-(-2)\) και \(y^{\prime}=2\cdot1-(3)\).

Άρα \(A^{\prime}(4,-1)\).

20
Το σημείο \(A(4,0)\) έχει κέντρο συμμετρίας \(O(2,-3)\). Να βρείτε το συμμετρικό του \(A^{\prime}\).

Αφού το \(O\) είναι μέσο του \(AA^{\prime}\), ισχύει \(x^{\prime}=2\cdot2-(4)\) και \(y^{\prime}=2\cdot-3-(0)\).

Άρα \(A^{\prime}(0,-6)\).

21
Το σημείο \(A(-1,-2)\) έχει κέντρο συμμετρίας \(O(3,2)\). Να βρείτε το συμμετρικό του \(A^{\prime}\).

Αφού το \(O\) είναι μέσο του \(AA^{\prime}\), ισχύει \(x^{\prime}=2\cdot3-(-1)\) και \(y^{\prime}=2\cdot2-(-2)\).

Άρα \(A^{\prime}(7,6)\).

22
Το σημείο \(A(5,4)\) έχει κέντρο συμμετρίας \(O(-1,2)\). Να βρείτε το συμμετρικό του \(A^{\prime}\).

Αφού το \(O\) είναι μέσο του \(AA^{\prime}\), ισχύει \(x^{\prime}=2\cdot-1-(5)\) και \(y^{\prime}=2\cdot2-(4)\).

Άρα \(A^{\prime}(-7,0)\).

23
Το σημείο \(A(0,6)\) έχει κέντρο συμμετρίας \(O(2,1)\). Να βρείτε το συμμετρικό του \(A^{\prime}\).

Αφού το \(O\) είναι μέσο του \(AA^{\prime}\), ισχύει \(x^{\prime}=2\cdot2-(0)\) και \(y^{\prime}=2\cdot1-(6)\).

Άρα \(A^{\prime}(4,-4)\).

24
Το σημείο \(A(-3,1)\) έχει κέντρο συμμετρίας \(O(-1,-2)\). Να βρείτε το συμμετρικό του \(A^{\prime}\).

Αφού το \(O\) είναι μέσο του \(AA^{\prime}\), ισχύει \(x^{\prime}=2\cdot-1-(-3)\) και \(y^{\prime}=2\cdot-2-(1)\).

Άρα \(A^{\prime}(1,-5)\).

🎯 Βρίσκω το κέντρο συμμετρίας δύο σημείων
25
Τα σημεία \(A(2,4)\) και \(A^{\prime}(8,10)\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\). Να βρείτε το \(O\).

Το κέντρο συμμετρίας είναι το μέσο του τμήματος που ενώνει ένα σημείο με το συμμετρικό του.

Άρα \(O\left(\frac{2+8}{2},\frac{4+10}{2}\right)=O(5,7)\).

26
Τα σημεία \(A(-4,2)\) και \(A^{\prime}(6,-2)\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\). Να βρείτε το \(O\).

Το κέντρο συμμετρίας είναι το μέσο του τμήματος που ενώνει ένα σημείο με το συμμετρικό του.

Άρα \(O\left(\frac{-4+6}{2},\frac{2+-2}{2}\right)=O(1,0)\).

27
Τα σημεία \(A(1,-3)\) και \(A^{\prime}(7,5)\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\). Να βρείτε το \(O\).

Το κέντρο συμμετρίας είναι το μέσο του τμήματος που ενώνει ένα σημείο με το συμμετρικό του.

Άρα \(O\left(\frac{1+7}{2},\frac{-3+5}{2}\right)=O(4,1)\).

28
Τα σημεία \(A(-6,-4)\) και \(A^{\prime}(2,8)\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\). Να βρείτε το \(O\).

Το κέντρο συμμετρίας είναι το μέσο του τμήματος που ενώνει ένα σημείο με το συμμετρικό του.

Άρα \(O\left(\frac{-6+2}{2},\frac{-4+8}{2}\right)=O(-2,2)\).

29
Τα σημεία \(A(0,0)\) και \(A^{\prime}(10,6)\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\). Να βρείτε το \(O\).

Το κέντρο συμμετρίας είναι το μέσο του τμήματος που ενώνει ένα σημείο με το συμμετρικό του.

Άρα \(O\left(\frac{0+10}{2},\frac{0+6}{2}\right)=O(5,3)\).

30
Τα σημεία \(A(-3,7)\) και \(A^{\prime}(5,1)\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\). Να βρείτε το \(O\).

Το κέντρο συμμετρίας είναι το μέσο του τμήματος που ενώνει ένα σημείο με το συμμετρικό του.

Άρα \(O\left(\frac{-3+5}{2},\frac{7+1}{2}\right)=O(1,4)\).

31
Τα σημεία \(A(4,-6)\) και \(A^{\prime}(-2,2)\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\). Να βρείτε το \(O\).

Το κέντρο συμμετρίας είναι το μέσο του τμήματος που ενώνει ένα σημείο με το συμμετρικό του.

Άρα \(O\left(\frac{4+-2}{2},\frac{-6+2}{2}\right)=O(1,-2)\).

32
Τα σημεία \(A(-8,3)\) και \(A^{\prime}(2,-7)\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\). Να βρείτε το \(O\).

Το κέντρο συμμετρίας είναι το μέσο του τμήματος που ενώνει ένα σημείο με το συμμετρικό του.

Άρα \(O\left(\frac{-8+2}{2},\frac{3+-7}{2}\right)=O(-3,-2)\).

🎯 Χρησιμοποιώ τη γεωμετρική ιδιότητα του μέσου
33
Τα \(A,A^{\prime}\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\) και \(AA^{\prime}=14\,cm\). Να βρείτε \(OA\).

Το \(O\) είναι μέσο του \(AA^{\prime}\).

Άρα \(OA=\frac{14}{2}=7\,cm\).

34
Τα \(B,B^{\prime}\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\) και \(OB=9\,cm\). Να βρείτε \(BB^{\prime}\).

Ισχύει \(OB=OB^{\prime}=9\,cm\).

Άρα \(BB^{\prime}=18\,cm\).

35
Ένα σημείο \(M\) απέχει \(6\,cm\) από το κέντρο \(O\). Πόσο απέχει το συμμετρικό \(M^{\prime}\) από το \(M\);

Το \(O\) είναι μέσο του \(MM^{\prime}\), άρα \(OM=OM^{\prime}=6\,cm\).

Άρα \(MM^{\prime}=12\,cm\).

36
Αν \(OA=OA^{\prime}\) και τα \(A,O,A^{\prime}\) είναι συνευθειακά με το \(O\) ανάμεσα στα \(A,A^{\prime}\), τι συμπεραίνουμε;

Το \(O\) είναι μέσο του \(AA^{\prime}\).

Άρα τα \(A,A^{\prime}\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\).

37
Αν το \(O\) είναι μέσο του \(AB\), ποιο είναι το συμμετρικό του \(A\) ως προς \(O\);

Το συμμετρικό βρίσκεται στην ίδια ευθεία, στην απέναντι πλευρά του \(O\), σε ίση απόσταση.

Άρα το συμμετρικό του \(A\) είναι το \(B\).

38
Αν το \(O\) είναι μέσο του \(CD\), ποιο είναι το συμμετρικό του \(D\) ως προς \(O\);

Η κεντρική συμμετρία ανταλλάσσει τα άκρα ενός τμήματος που έχει μέσο το \(O\).

Άρα το συμμετρικό του \(D\) είναι το \(C\).

39
Τα \(A,A^{\prime}\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\). Αν \(OA=3x+1\) και \(OA^{\prime}=5x-7\), να βρείτε το \(x\).

Ισχύει \(OA=OA^{\prime}\), άρα \(3x+1=5x-7\).

Έχουμε \(8=2x\), άρα \(x=4\).

40
Τα \(B,B^{\prime}\) είναι συμμετρικά ως προς \(O\). Αν \(BB^{\prime}=20\,cm\), πόσο είναι \(OB\);

Το \(O\) είναι μέσο του \(BB^{\prime}\).

Άρα \(OB=10\,cm\).

🎯 Βρίσκω το συμμετρικό ολόκληρου σχήματος
41
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(1,1)\), \(B(4,1)\), \(Γ(2,3)\) και κέντρο συμμετρίας \(O(0,0)\). Να βρείτε τις κορυφές του συμμετρικού πολυγώνου.

Για κάθε κορυφή χρησιμοποιούμε \(x^{\prime}=2\cdot0-x\), \(y^{\prime}=2\cdot0-y\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(-1,-1)\), \(B^{\prime}(-4,-1)\), \(Γ^{\prime}(-2,-3)\).

42
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(-2,1)\), \(B(1,1)\), \(Γ(1,4)\) και κέντρο συμμετρίας \(O(1,0)\). Να βρείτε τις κορυφές του συμμετρικού πολυγώνου.

Για κάθε κορυφή χρησιμοποιούμε \(x^{\prime}=2\cdot1-x\), \(y^{\prime}=2\cdot0-y\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(4,-1)\), \(B^{\prime}(1,-1)\), \(Γ^{\prime}(1,-4)\).

43
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(2,-1)\), \(B(5,-1)\), \(Γ(5,2)\) και κέντρο συμμετρίας \(O(2,1)\). Να βρείτε τις κορυφές του συμμετρικού πολυγώνου.

Για κάθε κορυφή χρησιμοποιούμε \(x^{\prime}=2\cdot2-x\), \(y^{\prime}=2\cdot1-y\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(2,3)\), \(B^{\prime}(-1,3)\), \(Γ^{\prime}(-1,0)\).

44
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(-3,-2)\), \(B(-1,-2)\), \(Γ(-1,1)\) και κέντρο συμμετρίας \(O(-1,0)\). Να βρείτε τις κορυφές του συμμετρικού πολυγώνου.

Για κάθε κορυφή χρησιμοποιούμε \(x^{\prime}=2\cdot-1-x\), \(y^{\prime}=2\cdot0-y\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(1,2)\), \(B^{\prime}(-1,2)\), \(Γ^{\prime}(-1,-1)\).

45
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(1,1)\), \(B(4,1)\), \(Γ(4,3)\), \(Δ(1,3)\) και κέντρο συμμετρίας \(O(2,2)\). Να βρείτε τις κορυφές του συμμετρικού πολυγώνου.

Για κάθε κορυφή χρησιμοποιούμε \(x^{\prime}=2\cdot2-x\), \(y^{\prime}=2\cdot2-y\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(3,3)\), \(B^{\prime}(0,3)\), \(Γ^{\prime}(0,1)\), \(Δ^{\prime}(3,1)\).

46
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(-3,0)\), \(B(0,0)\), \(Γ(1,2)\), \(Δ(-2,2)\) και κέντρο συμμετρίας \(O(0,1)\). Να βρείτε τις κορυφές του συμμετρικού πολυγώνου.

Για κάθε κορυφή χρησιμοποιούμε \(x^{\prime}=2\cdot0-x\), \(y^{\prime}=2\cdot1-y\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(3,2)\), \(B^{\prime}(0,2)\), \(Γ^{\prime}(-1,0)\), \(Δ^{\prime}(2,0)\).

47
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(2,2)\), \(B(5,2)\), \(Γ(5,5)\), \(Δ(2,5)\) και κέντρο συμμετρίας \(O(1,1)\). Να βρείτε τις κορυφές του συμμετρικού πολυγώνου.

Για κάθε κορυφή χρησιμοποιούμε \(x^{\prime}=2\cdot1-x\), \(y^{\prime}=2\cdot1-y\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(0,0)\), \(B^{\prime}(-3,0)\), \(Γ^{\prime}(-3,-3)\), \(Δ^{\prime}(0,-3)\).

48
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(-1,-1)\), \(B(2,-1)\), \(Γ(3,1)\), \(Δ(0,3)\), \(E(-2,1)\) και κέντρο συμμετρίας \(O(0,0)\). Να βρείτε τις κορυφές του συμμετρικού πολυγώνου.

Για κάθε κορυφή χρησιμοποιούμε \(x^{\prime}=2\cdot0-x\), \(y^{\prime}=2\cdot0-y\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(1,1)\), \(B^{\prime}(-2,1)\), \(Γ^{\prime}(-3,-1)\), \(Δ^{\prime}(0,-3)\), \(E^{\prime}(2,-1)\).

🎯 Ελέγχω τι διατηρεί η κεντρική συμμετρία
49
Ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους \(9\,cm\) έχει συμμετρικό ως προς κέντρο \(O\). Ποιο είναι το μήκος του συμμετρικού τμήματος;

Η κεντρική συμμετρία είναι στροφή \(180^\circ\), άρα ισομετρία.

Το συμμετρικό τμήμα έχει μήκος \(9\,cm\).

50
Μία γωνία \(55^\circ\) έχει συμμετρική ως προς σημείο \(O\). Πόσο είναι το μέτρο της;

Η κεντρική συμμετρία διατηρεί τα μέτρα των γωνιών.

Άρα η συμμετρική γωνία είναι \(55^\circ\).

51
Ένα τρίγωνο έχει περίμετρο \(26\,cm\). Ποια είναι η περίμετρος του συμμετρικού του;

Όλες οι αντίστοιχες πλευρές έχουν ίσα μήκη.

Άρα η περίμετρος παραμένει \(26\,cm\).

52
Ένα τετράπλευρο έχει εμβαδόν \(48\,cm^2\). Ποιο είναι το εμβαδόν του συμμετρικού του;

Η κεντρική συμμετρία διατηρεί το μέγεθος του σχήματος.

Άρα το εμβαδόν παραμένει \(48\,cm^2\).

53
Ένα παραλληλόγραμμο έχει απέναντι πλευρές παράλληλες. Μετά από κεντρική συμμετρία παραμένουν οι αντίστοιχες πλευρές παράλληλες;

Η κεντρική συμμετρία διατηρεί την παραλληλία.

Άρα οι αντίστοιχες ευθείες παραμένουν παράλληλες.

54
Μπορεί η κεντρική συμμετρία να μετατρέψει ένα τετράγωνο σε μη τετράγωνο;

Διατηρούνται όλα τα μήκη και οι γωνίες.

Άρα το συμμετρικό ενός τετραγώνου είναι πάλι τετράγωνο.

55
Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει συμμετρικό ως προς \(O\). Παραμένει ισοσκελές;

Οι ίσες πλευρές διατηρούν τα μήκη τους.

Άρα το συμμετρικό τρίγωνο παραμένει ισοσκελές.

56
Αν \(AB\) και \(A^{\prime}B^{\prime}\) είναι αντίστοιχα τμήματα σε κεντρική συμμετρία, τι ισχύει για τα μήκη τους;

Η κεντρική συμμετρία είναι ισομετρία.

Άρα \(AB=A^{\prime}B^{\prime}\).

🎯 Αναγνωρίζω σχήματα με κέντρο συμμετρίας
57
Έχει το παραλληλόγραμμο κέντρο συμμετρίας;

Με στροφή \(180^\circ\) γύρω από το σημείο τομής των διαγωνίων του, το παραλληλόγραμμο συμπίπτει με τον εαυτό του.

Άρα έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο τομής των διαγωνίων.

58
Έχει το ορθογώνιο κέντρο συμμετρίας;

Το ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο.

Άρα έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο τομής των διαγωνίων του.

59
Έχει το τετράγωνο κέντρο συμμετρίας;

Με στροφή \(180^\circ\) γύρω από το κέντρο του συμπίπτει με τον εαυτό του.

Άρα έχει κέντρο συμμετρίας.

60
Έχει ο ρόμβος κέντρο συμμετρίας;

Ο ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο.

Άρα έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο τομής των διαγωνίων του.

61
Έχει ο κύκλος κέντρο συμμετρίας;

Με στροφή \(180^\circ\) γύρω από το κέντρο του κάθε σημείο του κύκλου πηγαίνει σε διαμετρικά αντίθετο σημείο του ίδιου κύκλου.

Άρα το κέντρο του κύκλου είναι και κέντρο συμμετρίας.

62
Έχει ένα μη ισόπλευρο τρίγωνο κέντρο συμμετρίας;

Καμία στροφή \(180^\circ\) γύρω από σημείο δεν μπορεί να το κάνει να συμπέσει με τον εαυτό του.

Άρα δεν έχει κέντρο συμμετρίας.

63
Έχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο κέντρο συμμετρίας;

Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει περιστροφική συμμετρία \(120^\circ\), αλλά όχι \(180^\circ\).

Άρα δεν έχει κέντρο συμμετρίας.

64
Ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει κέντρο συμμετρίας;

Με στροφή \(180^\circ\) γύρω από το μέσο του, τα άκρα του ανταλλάσσονται και το τμήμα συμπίπτει με τον εαυτό του.

Άρα το μέσο του τμήματος είναι κέντρο συμμετρίας.

🎯 Μικτή εξάσκηση στην κεντρική συμμετρία
65
Να βρείτε το συμμετρικό του \(A(3,-2)\) ως προς \(O(0,0)\).

Αλλάζουμε πρόσημο και στις δύο συντεταγμένες.

Άρα \(A^{\prime}(-3,2)\).

66
Να βρείτε το συμμετρικό του \(B(1,4)\) ως προς \(O(2,3)\).

Χρησιμοποιούμε \(x^{\prime}=2\cdot2-1=3\), \(y^{\prime}=2\cdot3-4=2\).

Άρα \(B^{\prime}(3,2)\).

67
Τα \(A(2,6)\) και \(A^{\prime}(8,2)\) είναι συμμετρικά. Να βρείτε το κέντρο συμμετρίας.

Το κέντρο είναι το μέσο του \(AA^{\prime}\).

Άρα \(O\left(\frac{2+8}{2},\frac{6+2}{2}\right)=O(5,4)\).

68
Αν \(AA^{\prime}=18\,cm\) και \(O\) είναι το κέντρο συμμετρίας, να βρείτε \(OA\).

Το \(O\) είναι μέσο του \(AA^{\prime}\).

Άρα \(OA=9\,cm\).

69
Ένα τετράγωνο έχει περίμετρο \(32\,cm\). Ποια είναι η περίμετρος του συμμετρικού του ως προς σημείο \(O\);

Η κεντρική συμμετρία διατηρεί τα μήκη.

Άρα η περίμετρος παραμένει \(32\,cm\).

70
Ένα σημείο \(P\) έχει συμμετρικό \(P^{\prime}\) ως προς \(O\). Αν \(OP=7\,cm\), να βρείτε \(PP^{\prime}\).

Ισχύει \(OP=OP^{\prime}=7\,cm\).

Άρα \(PP^{\prime}=14\,cm\).

71
Ποια είναι η σχέση της κεντρικής συμμετρίας με τη στροφή;

Η κεντρική συμμετρία είναι ειδική περίπτωση στροφής.

Είναι ακριβώς στροφή \(180^\circ\) γύρω από το κέντρο συμμετρίας.

72
Ποια είναι η βασική στρατηγική για να κατασκευάσουμε το συμμετρικό ενός πολυγώνου ως προς \(O\);

Για κάθε κορυφή \(A\) βρίσκουμε σημείο \(A^{\prime}\) στην ευθεία \(AO\), στην απέναντι πλευρά του \(O\), ώστε \(OA=OA^{\prime}\).

Έπειτα ενώνουμε τις νέες κορυφές με την ίδια σειρά.

Τέλος