03Γ. Στροφή
🎯 Κατανοώ τη στροφή και τα στοιχεία της
1
Τι ονομάζουμε στροφή ενός σχήματος;

Στη στροφή κάθε σημείο του σχήματος περιστρέφεται γύρω από ένα σταθερό σημείο κατά την ίδια γωνία και με την ίδια φορά.

Η στροφή καθορίζεται από κέντρο, γωνία και φορά στροφής.

2
Ποια είναι τα βασικά στοιχεία μιας στροφής;

Χρειαζόμαστε το σημείο γύρω από το οποίο γίνεται η περιστροφή και το μέγεθος και τη φορά της περιστροφής.

Άρα τα στοιχεία είναι το κέντρο, η γωνία και η φορά της στροφής.

3
Τι ονομάζουμε κέντρο στροφής;

Είναι το σταθερό σημείο γύρω από το οποίο περιστρέφονται όλα τα σημεία του σχήματος.

Το κέντρο στροφής παραμένει ακίνητο.

4
Αν το σημείο \(A\) έχει εικόνα \(A^{\prime}\) μετά από στροφή γύρω από το \(O\), τι ισχύει για τις αποστάσεις \(OA\) και \(OA^{\prime}\);

Η στροφή διατηρεί την απόσταση κάθε σημείου από το κέντρο.

Άρα \(OA=OA^{\prime}\).

5
Αν το \(A\) μετατρέπεται σε \(A^{\prime}\) με στροφή γωνίας \(60^\circ\) γύρω από το \(O\), ποια γωνία σχηματίζουν οι ημιευθείες \(OA\) και \(OA^{\prime}\);

Η γωνία ανάμεσα στην αρχική και την τελική ακτίνα είναι ίση με τη γωνία στροφής.

Άρα \(\widehat{AOA^{\prime}}=60^\circ\).

6
Ποια φορά ονομάζουμε θετική στη στροφή;

Συνήθως θετική φορά θεωρούμε την αντίθετη από τη φορά των δεικτών του ρολογιού.

Άρα θετική φορά σημαίνει αντιωρολογιακή στροφή.

7
Ποια φορά ονομάζουμε αρνητική στη στροφή;

Αρνητική φορά θεωρούμε τη φορά των δεικτών του ρολογιού.

Άρα αρνητική φορά σημαίνει ωρολογιακή στροφή.

8
Τι συμβαίνει σε ένα σημείο που συμπίπτει με το κέντρο της στροφής;

Η απόστασή του από το κέντρο είναι \(0\), επομένως δεν αλλάζει θέση.

Άρα το κέντρο στροφής παραμένει σταθερό.

🎯 Αναγνωρίζω γωνία και φορά στροφής
9
Μία στροφή \(90^\circ\) κατά τη θετική φορά είναι ωρολογιακή ή αντιωρολογιακή;

Η θετική φορά είναι αντίθετη από τη φορά των δεικτών του ρολογιού.

Άρα είναι αντιωρολογιακή.

10
Μία στροφή \(90^\circ\) κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού μπορεί να γραφτεί ως ποια αρνητική γωνία;

Η ωρολογιακή φορά αντιστοιχεί σε αρνητική γωνία.

Άρα γράφεται \(-90^\circ\).

11
Ποια θετική γωνία στροφής είναι ισοδύναμη με στροφή \(-90^\circ\);

Προσθέτουμε έναν πλήρη κύκλο \(360^\circ\).

Άρα \(-90^\circ\) είναι ισοδύναμη με \(270^\circ\).

12
Ποια θετική γωνία στροφής είναι ισοδύναμη με \(-180^\circ\);

Προσθέτουμε \(360^\circ\).

Άρα \(-180^\circ\) είναι ισοδύναμη με \(180^\circ\).

13
Ποια αρνητική γωνία είναι ισοδύναμη με θετική στροφή \(90^\circ\);

Αφαιρούμε \(360^\circ\): \(90^\circ-360^\circ=-270^\circ\).

Άρα \(90^\circ\) είναι ισοδύναμη με \(-270^\circ\).

14
Μία στροφή \(360^\circ\) αλλάζει τη θέση ενός σχήματος;

Μετά από έναν πλήρη κύκλο κάθε σημείο επιστρέφει στην αρχική του θέση.

Άρα το σχήμα παραμένει στην ίδια θέση.

15
Μία στροφή \(180^\circ\) εξαρτάται από το αν την κάνουμε ωρολογιακά ή αντιωρολογιακά;

Και στις δύο περιπτώσεις φτάνουμε στο διαμετρικά αντίθετο σημείο.

Άρα για στροφή \(180^\circ\) η φορά δεν επηρεάζει το τελικό αποτέλεσμα.

16
Πόσες στροφές των \(90^\circ\) κατά την ίδια φορά ισοδυναμούν με μία πλήρη περιστροφή;

Έχουμε \(4\cdot90^\circ=360^\circ\).

Άρα χρειάζονται \(4\) στροφές των \(90^\circ\).

🎯 Στρέφω σημεία κατά \(90^\circ\) γύρω από την αρχή \(O\)
17
Το σημείο \(A(2,1)\) στρέφεται κατά \(90^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(A^{\prime}\).

Για στροφή \(90^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O\), ισχύει \((x,y)\mapsto(-y,x)\).

Άρα \(A^{\prime}(-1,2)\).

18
Το σημείο \(A(-3,2)\) στρέφεται κατά \(90^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(A^{\prime}\).

Για στροφή \(90^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O\), ισχύει \((x,y)\mapsto(-y,x)\).

Άρα \(A^{\prime}(-2,-3)\).

19
Το σημείο \(A(4,-1)\) στρέφεται κατά \(90^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(A^{\prime}\).

Για στροφή \(90^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O\), ισχύει \((x,y)\mapsto(-y,x)\).

Άρα \(A^{\prime}(1,4)\).

20
Το σημείο \(A(-2,-5)\) στρέφεται κατά \(90^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(A^{\prime}\).

Για στροφή \(90^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O\), ισχύει \((x,y)\mapsto(-y,x)\).

Άρα \(A^{\prime}(5,-2)\).

21
Το σημείο \(A(0,6)\) στρέφεται κατά \(90^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(A^{\prime}\).

Για στροφή \(90^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O\), ισχύει \((x,y)\mapsto(-y,x)\).

Άρα \(A^{\prime}(-6,0)\).

22
Το σημείο \(A(7,0)\) στρέφεται κατά \(90^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(A^{\prime}\).

Για στροφή \(90^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O\), ισχύει \((x,y)\mapsto(-y,x)\).

Άρα \(A^{\prime}(0,7)\).

23
Το σημείο \(A(3,3)\) στρέφεται κατά \(90^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(A^{\prime}\).

Για στροφή \(90^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O\), ισχύει \((x,y)\mapsto(-y,x)\).

Άρα \(A^{\prime}(-3,3)\).

24
Το σημείο \(A(-4,1)\) στρέφεται κατά \(90^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(A^{\prime}\).

Για στροφή \(90^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O\), ισχύει \((x,y)\mapsto(-y,x)\).

Άρα \(A^{\prime}(-1,-4)\).

🎯 Στρέφω σημεία κατά \(180^\circ\) γύρω από την αρχή \(O\)
25
Το σημείο \(B(2,3)\) στρέφεται κατά \(180^\circ\) γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(B^{\prime}\).

Για στροφή \(180^\circ\) γύρω από το \(O\), ισχύει \((x,y)\mapsto(-x,-y)\).

Άρα \(B^{\prime}(-2,-3)\).

26
Το σημείο \(B(-4,1)\) στρέφεται κατά \(180^\circ\) γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(B^{\prime}\).

Για στροφή \(180^\circ\) γύρω από το \(O\), ισχύει \((x,y)\mapsto(-x,-y)\).

Άρα \(B^{\prime}(4,-1)\).

27
Το σημείο \(B(5,-2)\) στρέφεται κατά \(180^\circ\) γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(B^{\prime}\).

Για στροφή \(180^\circ\) γύρω από το \(O\), ισχύει \((x,y)\mapsto(-x,-y)\).

Άρα \(B^{\prime}(-5,2)\).

28
Το σημείο \(B(-3,-6)\) στρέφεται κατά \(180^\circ\) γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(B^{\prime}\).

Για στροφή \(180^\circ\) γύρω από το \(O\), ισχύει \((x,y)\mapsto(-x,-y)\).

Άρα \(B^{\prime}(3,6)\).

29
Το σημείο \(B(0,7)\) στρέφεται κατά \(180^\circ\) γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(B^{\prime}\).

Για στροφή \(180^\circ\) γύρω από το \(O\), ισχύει \((x,y)\mapsto(-x,-y)\).

Άρα \(B^{\prime}(0,-7)\).

30
Το σημείο \(B(8,0)\) στρέφεται κατά \(180^\circ\) γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(B^{\prime}\).

Για στροφή \(180^\circ\) γύρω από το \(O\), ισχύει \((x,y)\mapsto(-x,-y)\).

Άρα \(B^{\prime}(-8,0)\).

31
Το σημείο \(B(4,4)\) στρέφεται κατά \(180^\circ\) γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(B^{\prime}\).

Για στροφή \(180^\circ\) γύρω από το \(O\), ισχύει \((x,y)\mapsto(-x,-y)\).

Άρα \(B^{\prime}(-4,-4)\).

32
Το σημείο \(B(-5,2)\) στρέφεται κατά \(180^\circ\) γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(B^{\prime}\).

Για στροφή \(180^\circ\) γύρω από το \(O\), ισχύει \((x,y)\mapsto(-x,-y)\).

Άρα \(B^{\prime}(5,-2)\).

🎯 Στρέφω σημεία κατά \(270^\circ\) γύρω από την αρχή \(O\)
33
Το σημείο \(\Gamma(2,1)\) στρέφεται κατά \(270^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(\Gamma^{\prime}\).

Η στροφή \(270^\circ\) αντιωρολογιακά είναι ίδια με \(-90^\circ\). Ισχύει \((x,y)\mapsto(y,-x)\).

Άρα \(\Gamma^{\prime}(1,-2)\).

34
Το σημείο \(\Gamma(-3,2)\) στρέφεται κατά \(270^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(\Gamma^{\prime}\).

Η στροφή \(270^\circ\) αντιωρολογιακά είναι ίδια με \(-90^\circ\). Ισχύει \((x,y)\mapsto(y,-x)\).

Άρα \(\Gamma^{\prime}(2,3)\).

35
Το σημείο \(\Gamma(4,-1)\) στρέφεται κατά \(270^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(\Gamma^{\prime}\).

Η στροφή \(270^\circ\) αντιωρολογιακά είναι ίδια με \(-90^\circ\). Ισχύει \((x,y)\mapsto(y,-x)\).

Άρα \(\Gamma^{\prime}(-1,-4)\).

36
Το σημείο \(\Gamma(-2,-5)\) στρέφεται κατά \(270^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(\Gamma^{\prime}\).

Η στροφή \(270^\circ\) αντιωρολογιακά είναι ίδια με \(-90^\circ\). Ισχύει \((x,y)\mapsto(y,-x)\).

Άρα \(\Gamma^{\prime}(-5,2)\).

37
Το σημείο \(\Gamma(0,6)\) στρέφεται κατά \(270^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(\Gamma^{\prime}\).

Η στροφή \(270^\circ\) αντιωρολογιακά είναι ίδια με \(-90^\circ\). Ισχύει \((x,y)\mapsto(y,-x)\).

Άρα \(\Gamma^{\prime}(6,0)\).

38
Το σημείο \(\Gamma(7,0)\) στρέφεται κατά \(270^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(\Gamma^{\prime}\).

Η στροφή \(270^\circ\) αντιωρολογιακά είναι ίδια με \(-90^\circ\). Ισχύει \((x,y)\mapsto(y,-x)\).

Άρα \(\Gamma^{\prime}(0,-7)\).

39
Το σημείο \(\Gamma(3,3)\) στρέφεται κατά \(270^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(\Gamma^{\prime}\).

Η στροφή \(270^\circ\) αντιωρολογιακά είναι ίδια με \(-90^\circ\). Ισχύει \((x,y)\mapsto(y,-x)\).

Άρα \(\Gamma^{\prime}(3,-3)\).

40
Το σημείο \(\Gamma(-4,1)\) στρέφεται κατά \(270^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε το \(\Gamma^{\prime}\).

Η στροφή \(270^\circ\) αντιωρολογιακά είναι ίδια με \(-90^\circ\). Ισχύει \((x,y)\mapsto(y,-x)\).

Άρα \(\Gamma^{\prime}(1,4)\).

🎯 Στρέφω ολόκληρο σχήμα
41
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(1,1)\), \(B(4,1)\), \(Γ(2,3)\). Στρέφεται κατά \(90^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε τις κορυφές της εικόνας.

Εφαρμόζουμε σε κάθε κορυφή τον ίδιο κανόνα στροφής: \((x,y)\mapsto(-y,x)\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(-1,1)\), \(B^{\prime}(-1,4)\), \(Γ^{\prime}(-3,2)\).

42
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(-2,1)\), \(B(1,1)\), \(Γ(1,4)\). Στρέφεται κατά \(180^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε τις κορυφές της εικόνας.

Εφαρμόζουμε σε κάθε κορυφή τον ίδιο κανόνα στροφής: \((x,y)\mapsto(-x,-y)\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(2,-1)\), \(B^{\prime}(-1,-1)\), \(Γ^{\prime}(-1,-4)\).

43
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(2,-1)\), \(B(5,-1)\), \(Γ(5,2)\). Στρέφεται κατά \(270^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε τις κορυφές της εικόνας.

Εφαρμόζουμε σε κάθε κορυφή τον ίδιο κανόνα στροφής: \((x,y)\mapsto(y,-x)\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(-1,-2)\), \(B^{\prime}(-1,-5)\), \(Γ^{\prime}(2,-5)\).

44
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(-3,-2)\), \(B(-1,-2)\), \(Γ(-1,1)\). Στρέφεται κατά \(90^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε τις κορυφές της εικόνας.

Εφαρμόζουμε σε κάθε κορυφή τον ίδιο κανόνα στροφής: \((x,y)\mapsto(-y,x)\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(2,-3)\), \(B^{\prime}(2,-1)\), \(Γ^{\prime}(-1,-1)\).

45
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(1,1)\), \(B(4,1)\), \(Γ(4,3)\), \(Δ(1,3)\). Στρέφεται κατά \(180^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε τις κορυφές της εικόνας.

Εφαρμόζουμε σε κάθε κορυφή τον ίδιο κανόνα στροφής: \((x,y)\mapsto(-x,-y)\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(-1,-1)\), \(B^{\prime}(-4,-1)\), \(Γ^{\prime}(-4,-3)\), \(Δ^{\prime}(-1,-3)\).

46
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(-3,0)\), \(B(0,0)\), \(Γ(1,2)\), \(Δ(-2,2)\). Στρέφεται κατά \(270^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε τις κορυφές της εικόνας.

Εφαρμόζουμε σε κάθε κορυφή τον ίδιο κανόνα στροφής: \((x,y)\mapsto(y,-x)\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(0,3)\), \(B^{\prime}(0,0)\), \(Γ^{\prime}(2,-1)\), \(Δ^{\prime}(2,2)\).

47
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(2,2)\), \(B(5,2)\), \(Γ(5,5)\), \(Δ(2,5)\). Στρέφεται κατά \(90^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε τις κορυφές της εικόνας.

Εφαρμόζουμε σε κάθε κορυφή τον ίδιο κανόνα στροφής: \((x,y)\mapsto(-y,x)\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(-2,2)\), \(B^{\prime}(-2,5)\), \(Γ^{\prime}(-5,5)\), \(Δ^{\prime}(-5,2)\).

48
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(-1,-1)\), \(B(2,-1)\), \(Γ(3,1)\), \(Δ(0,3)\), \(E(-2,1)\). Στρέφεται κατά \(180^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O(0,0)\). Να βρείτε τις κορυφές της εικόνας.

Εφαρμόζουμε σε κάθε κορυφή τον ίδιο κανόνα στροφής: \((x,y)\mapsto(-x,-y)\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(1,1)\), \(B^{\prime}(-2,1)\), \(Γ^{\prime}(-3,-1)\), \(Δ^{\prime}(0,-3)\), \(E^{\prime}(2,-1)\).

🎯 Ελέγχω τι διατηρεί η στροφή
49
Ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους \(8\,cm\) στρέφεται γύρω από ένα σημείο. Ποιο είναι το μήκος της εικόνας του;

Η στροφή είναι ισομετρία και διατηρεί τα μήκη.

Άρα η εικόνα έχει μήκος \(8\,cm\).

50
Μία γωνία \(70^\circ\) στρέφεται γύρω από ένα σημείο. Πόσο είναι το μέτρο της εικόνας της;

Η στροφή διατηρεί τα μέτρα των γωνιών.

Άρα η εικόνα της γωνίας είναι επίσης \(70^\circ\).

51
Ένα τρίγωνο έχει περίμετρο \(32\,cm\). Ποια είναι η περίμετρος της εικόνας του μετά από στροφή;

Οι πλευρές διατηρούν τα μήκη τους.

Άρα η περίμετρος παραμένει \(32\,cm\).

52
Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν \(60\,cm^2\). Ποιο είναι το εμβαδόν της εικόνας του μετά από στροφή;

Η στροφή διατηρεί το σχήμα και το μέγεθος.

Άρα το εμβαδόν παραμένει \(60\,cm^2\).

53
Ένα τετράγωνο στρέφεται κατά \(45^\circ\). Παραμένει τετράγωνο;

Η στροφή διατηρεί μήκη και γωνίες.

Άρα η εικόνα του είναι πάλι τετράγωνο.

54
Ένα ισόπλευρο τρίγωνο στρέφεται γύρω από ένα σημείο. Παραμένει ισόπλευρο;

Οι τρεις ίσες πλευρές διατηρούν το μήκος τους.

Άρα η εικόνα παραμένει ισόπλευρο τρίγωνο.

55
Αν \(A\) και \(A^{\prime}\) είναι αντίστοιχα σημεία σε στροφή με κέντρο \(O\), τι ισχύει για \(OA\) και \(OA^{\prime}\);

Κάθε σημείο κινείται πάνω σε κύκλο με κέντρο το \(O\).

Άρα \(OA=OA^{\prime}\).

56
Μπορεί μία στροφή να μετατρέψει μία ορθή γωνία σε γωνία \(80^\circ\);

Η στροφή διατηρεί τα μέτρα των γωνιών.

Άρα μία ορθή γωνία παραμένει \(90^\circ\).

🎯 Βρίσκω την αντίστροφη στροφή και τα στοιχεία της
57
Ποια στροφή αναιρεί στροφή \(90^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το ίδιο κέντρο;

Η αντίστροφη στροφή έχει ίδια γωνία κατά μέτρο και αντίθετη φορά.

Άρα είναι στροφή \(90^\circ\) ωρολογιακά, δηλαδή \(270^\circ\) αντιωρολογιακά.

58
Ποια στροφή αναιρεί στροφή \(270^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το ίδιο κέντρο;

Χρειαζόμαστε συνολικά \(360^\circ\).

Άρα την αναιρεί στροφή \(90^\circ\) αντιωρολογιακά.

59
Ποια στροφή αναιρεί στροφή \(180^\circ\);

Δύο στροφές των \(180^\circ\) δίνουν πλήρη κύκλο \(360^\circ\).

Άρα η αντίστροφη είναι πάλι στροφή \(180^\circ\).

60
Το σημείο \(A\) στρέφεται γύρω από \(O\) και γίνεται \(A^{\prime}\). Αν \(OA=6\,cm\), πόσο είναι \(OA^{\prime}\);

Η απόσταση από το κέντρο της στροφής διατηρείται.

Άρα \(OA^{\prime}=6\,cm\).

61
Αν \(\widehat{AOA^{\prime}}=120^\circ\) και η φορά από \(A\) προς \(A^{\prime}\) είναι αντιωρολογιακή, ποια είναι η γωνία στροφής;

Η γωνία που σχηματίζουν οι αρχική και τελική ακτίνα είναι η γωνία στροφής.

Άρα η στροφή είναι \(120^\circ\) αντιωρολογιακά.

62
Αν \(\widehat{BOB^{\prime}}=90^\circ\) και η κίνηση γίνεται ωρολογιακά, πώς γράφεται η γωνία με πρόσημο;

Η ωρολογιακή φορά θεωρείται αρνητική.

Άρα η γωνία είναι \(-90^\circ\).

63
Ένα σημείο βρίσκεται σε απόσταση \(10\,cm\) από το κέντρο στροφής. Σε ποια καμπύλη κινείται όταν περιστρέφεται;

Η απόστασή του από το κέντρο παραμένει σταθερή.

Άρα κινείται πάνω σε κύκλο ακτίνας \(10\,cm\) με κέντρο το κέντρο στροφής.

64
Αν μετά από στροφή \(360^\circ\) το σημείο \(P\) γίνει \(P^{\prime}\), ποια σχέση ισχύει;

Μία πλήρης περιστροφή επαναφέρει το σημείο στην αρχική θέση.

Άρα \(P^{\prime}=P\).

🎯 Μικτή εξάσκηση στη στροφή
65
Το σημείο \(A(3,1)\) στρέφεται κατά \(90^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O\). Να βρείτε το \(A^{\prime}\).

Εφαρμόζουμε \((x,y)\mapsto(-y,x)\).

Άρα \(A^{\prime}(-1,3)\).

66
Το σημείο \(B(-2,5)\) στρέφεται κατά \(180^\circ\) γύρω από το \(O\). Να βρείτε το \(B^{\prime}\).

Εφαρμόζουμε \((x,y)\mapsto(-x,-y)\).

Άρα \(B^{\prime}(2,-5)\).

67
Το σημείο \(\Gamma(4,-3)\) στρέφεται κατά \(270^\circ\) αντιωρολογιακά γύρω από το \(O\). Να βρείτε το \(\Gamma^{\prime}\).

Εφαρμόζουμε \((x,y)\mapsto(y,-x)\).

Άρα \(\Gamma^{\prime}(-3,-4)\).

68
Ένα τμήμα \(AB=11\,cm\) στρέφεται κατά \(75^\circ\). Ποιο είναι το μήκος της εικόνας \(A^{\prime}B^{\prime}\);

Η στροφή διατηρεί τα μήκη.

Άρα \(A^{\prime}B^{\prime}=11\,cm\).

69
Ένα τρίγωνο έχει εμβαδόν \(42\,cm^2\) και στρέφεται γύρω από ένα σημείο. Ποιο είναι το εμβαδόν της εικόνας του;

Η στροφή είναι ισομετρία και δεν αλλάζει το εμβαδόν.

Άρα το εμβαδόν παραμένει \(42\,cm^2\).

70
Ποια στροφή κατά θετική φορά είναι ισοδύναμη με \(-90^\circ\);

Προσθέτουμε \(360^\circ\).

Άρα είναι \(270^\circ\) αντιωρολογιακά.

71
Το \(A\) απέχει \(7\,cm\) από το κέντρο \(O\). Μετά από στροφή γίνεται \(A^{\prime}\). Να βρείτε \(OA^{\prime}\).

Η απόσταση από το κέντρο διατηρείται.

Άρα \(OA^{\prime}=7\,cm\).

72
Ποια είναι η βασική στρατηγική για να κατασκευάσουμε την εικόνα ενός πολυγώνου μετά από στροφή;

Στρέφουμε κάθε κορυφή γύρω από το ίδιο κέντρο, κατά την ίδια γωνία και με την ίδια φορά, και έπειτα ενώνουμε τις νέες κορυφές με την ίδια σειρά.

Έτσι προκύπτει σχήμα ίσο με το αρχικό, με διατηρημένα μήκη και γωνίες.

Τέλος