03Β. Μεταφορά
🎯 Κατανοώ τι είναι μεταφορά
1
Τι ονομάζουμε μεταφορά ενός σχήματος;

Στη μεταφορά κάθε σημείο του σχήματος μετακινείται κατά την ίδια απόσταση και προς την ίδια κατεύθυνση.

Άρα το σχήμα «γλιστρά» χωρίς να αλλάζει μορφή ή μέγεθος.

2
Με ποιο γεωμετρικό αντικείμενο περιγράφεται μία μεταφορά;

Χρειαζόμαστε μέτρο και κατεύθυνση για να περιγράψουμε πλήρως τη μετακίνηση.

Άρα η μεταφορά περιγράφεται με ένα διάνυσμα μεταφοράς.

3
Αν το σημείο \(A\) μεταφέρεται στο \(A^{\prime}\) με διάνυσμα \(\vec{u}\), ποια σχέση ισχύει;

Το διάνυσμα από την αρχική θέση στην τελική θέση είναι ακριβώς το διάνυσμα μεταφοράς.

Άρα \(\overrightarrow{AA^{\prime}}=\vec{u}\).

4
Στη μεταφορά ενός πολυγώνου, μεταφέρουμε μόνο μία κορυφή;

Όχι. Κάθε κορυφή μετακινείται με το ίδιο διάνυσμα.

Έτσι βρίσκουμε όλες τις κορυφές της εικόνας του πολυγώνου.

5
Μπορεί μία μεταφορά να αλλάξει το σχήμα ενός τριγώνου;

Η μεταφορά διατηρεί τα μήκη των πλευρών και τα μέτρα των γωνιών.

Άρα το τρίγωνο διατηρεί το σχήμα και το μέγεθός του.

6
Αν μία μεταφορά είναι \(5\) μονάδες δεξιά και \(2\) πάνω, κινούνται όλα τα σημεία με τον ίδιο τρόπο;

Ναι. Αυτό είναι ακριβώς το βασικό χαρακτηριστικό της μεταφοράς.

Κάθε σημείο μετακινείται \(5\) δεξιά και \(2\) πάνω.

7
Αν ένα σχήμα μεταφερθεί \(4\) μονάδες αριστερά, αλλάζει ο προσανατολισμός του;

Η μεταφορά δεν περιστρέφει ούτε αναστρέφει το σχήμα.

Άρα ο προσανατολισμός του παραμένει ίδιος.

8
Πότε μία μεταφορά αφήνει κάθε σημείο στην ίδια θέση;

Αυτό συμβαίνει μόνο όταν δεν υπάρχει καθόλου μετακίνηση.

Άρα η μεταφορά γίνεται κατά το μηδενικό διάνυσμα.

🎯 Μεταφέρω ένα σημείο στο επίπεδο
9
Το σημείο \(A(2,3)\) μεταφέρεται 4 μονάδες δεξιά και καμία κατακόρυφη μετακίνηση. Να βρείτε την εικόνα \(A^{\prime}\).

Στην τετμημένη προσθέτουμε \(4\) και στην τεταγμένη προσθέτουμε \(0\).

Άρα \(A^{\prime}(6,3)\).

10
Το σημείο \(A(-1,4)\) μεταφέρεται καμία οριζόντια μετακίνηση και 3 μονάδες κάτω. Να βρείτε την εικόνα \(A^{\prime}\).

Στην τετμημένη προσθέτουμε \(0\) και στην τεταγμένη προσθέτουμε \(-3\).

Άρα \(A^{\prime}(-1,1)\).

11
Το σημείο \(A(5,-2)\) μεταφέρεται 2 μονάδες αριστερά και καμία κατακόρυφη μετακίνηση. Να βρείτε την εικόνα \(A^{\prime}\).

Στην τετμημένη προσθέτουμε \(-2\) και στην τεταγμένη προσθέτουμε \(0\).

Άρα \(A^{\prime}(3,-2)\).

12
Το σημείο \(A(0,0)\) μεταφέρεται 3 μονάδες δεξιά και 5 μονάδες πάνω. Να βρείτε την εικόνα \(A^{\prime}\).

Στην τετμημένη προσθέτουμε \(3\) και στην τεταγμένη προσθέτουμε \(5\).

Άρα \(A^{\prime}(3,5)\).

13
Το σημείο \(A(-4,-1)\) μεταφέρεται 6 μονάδες δεξιά και 2 μονάδες πάνω. Να βρείτε την εικόνα \(A^{\prime}\).

Στην τετμημένη προσθέτουμε \(6\) και στην τεταγμένη προσθέτουμε \(2\).

Άρα \(A^{\prime}(2,1)\).

14
Το σημείο \(A(3,7)\) μεταφέρεται 5 μονάδες αριστερά και 4 μονάδες κάτω. Να βρείτε την εικόνα \(A^{\prime}\).

Στην τετμημένη προσθέτουμε \(-5\) και στην τεταγμένη προσθέτουμε \(-4\).

Άρα \(A^{\prime}(-2,3)\).

15
Το σημείο \(A(-2,5)\) μεταφέρεται 1 μονάδες δεξιά και 6 μονάδες κάτω. Να βρείτε την εικόνα \(A^{\prime}\).

Στην τετμημένη προσθέτουμε \(1\) και στην τεταγμένη προσθέτουμε \(-6\).

Άρα \(A^{\prime}(-1,-1)\).

16
Το σημείο \(A(6,1)\) μεταφέρεται 3 μονάδες αριστερά και 4 μονάδες πάνω. Να βρείτε την εικόνα \(A^{\prime}\).

Στην τετμημένη προσθέτουμε \(-3\) και στην τεταγμένη προσθέτουμε \(4\).

Άρα \(A^{\prime}(3,5)\).

🎯 Χρησιμοποιώ τον κανόνα των συντεταγμένων
17
Το σημείο \(M(1,2)\) μεταφέρεται κατά διάνυσμα \(\vec{u}=(3,-1)\). Να βρείτε το \(M^{\prime}\).

Για μεταφορά κατά \((a,b)\) ισχύει \(M(x,y)\mapsto M^{\prime}(x+a,y+b)\).

Άρα \(M^{\prime}(1+(3),2+(-1))=M^{\prime}(4,1)\).

18
Το σημείο \(M(-2,5)\) μεταφέρεται κατά διάνυσμα \(\vec{u}=(4,2)\). Να βρείτε το \(M^{\prime}\).

Για μεταφορά κατά \((a,b)\) ισχύει \(M(x,y)\mapsto M^{\prime}(x+a,y+b)\).

Άρα \(M^{\prime}(-2+(4),5+(2))=M^{\prime}(2,7)\).

19
Το σημείο \(M(3,-4)\) μεταφέρεται κατά διάνυσμα \(\vec{u}=(-5,3)\). Να βρείτε το \(M^{\prime}\).

Για μεταφορά κατά \((a,b)\) ισχύει \(M(x,y)\mapsto M^{\prime}(x+a,y+b)\).

Άρα \(M^{\prime}(3+(-5),-4+(3))=M^{\prime}(-2,-1)\).

20
Το σημείο \(M(0,6)\) μεταφέρεται κατά διάνυσμα \(\vec{u}=(2,-7)\). Να βρείτε το \(M^{\prime}\).

Για μεταφορά κατά \((a,b)\) ισχύει \(M(x,y)\mapsto M^{\prime}(x+a,y+b)\).

Άρα \(M^{\prime}(0+(2),6+(-7))=M^{\prime}(2,-1)\).

21
Το σημείο \(M(-5,-3)\) μεταφέρεται κατά διάνυσμα \(\vec{u}=(6,5)\). Να βρείτε το \(M^{\prime}\).

Για μεταφορά κατά \((a,b)\) ισχύει \(M(x,y)\mapsto M^{\prime}(x+a,y+b)\).

Άρα \(M^{\prime}(-5+(6),-3+(5))=M^{\prime}(1,2)\).

22
Το σημείο \(M(7,1)\) μεταφέρεται κατά διάνυσμα \(\vec{u}=(-4,-2)\). Να βρείτε το \(M^{\prime}\).

Για μεταφορά κατά \((a,b)\) ισχύει \(M(x,y)\mapsto M^{\prime}(x+a,y+b)\).

Άρα \(M^{\prime}(7+(-4),1+(-2))=M^{\prime}(3,-1)\).

23
Το σημείο \(M(-1,0)\) μεταφέρεται κατά διάνυσμα \(\vec{u}=(5,4)\). Να βρείτε το \(M^{\prime}\).

Για μεταφορά κατά \((a,b)\) ισχύει \(M(x,y)\mapsto M^{\prime}(x+a,y+b)\).

Άρα \(M^{\prime}(-1+(5),0+(4))=M^{\prime}(4,4)\).

24
Το σημείο \(M(4,5)\) μεταφέρεται κατά διάνυσμα \(\vec{u}=(-6,1)\). Να βρείτε το \(M^{\prime}\).

Για μεταφορά κατά \((a,b)\) ισχύει \(M(x,y)\mapsto M^{\prime}(x+a,y+b)\).

Άρα \(M^{\prime}(4+(-6),5+(1))=M^{\prime}(-2,6)\).

🎯 Βρίσκω το διάνυσμα μεταφοράς
25
Το σημείο \(A(1,2)\) έχει εικόνα \(A^{\prime}(5,4)\) μετά από μεταφορά. Να βρείτε το διάνυσμα μεταφοράς.

Υπολογίζουμε τη μεταβολή των συντεταγμένων: \(\Delta x=5-1=4\), \(\Delta y=4-2=2\).

Άρα το διάνυσμα μεταφοράς είναι \((4,2)\).

26
Το σημείο \(A(-3,1)\) έχει εικόνα \(A^{\prime}(2,-2)\) μετά από μεταφορά. Να βρείτε το διάνυσμα μεταφοράς.

Υπολογίζουμε τη μεταβολή των συντεταγμένων: \(\Delta x=2--3=5\), \(\Delta y=-2-1=-3\).

Άρα το διάνυσμα μεταφοράς είναι \((5,-3)\).

27
Το σημείο \(A(4,-1)\) έχει εικόνα \(A^{\prime}(1,5)\) μετά από μεταφορά. Να βρείτε το διάνυσμα μεταφοράς.

Υπολογίζουμε τη μεταβολή των συντεταγμένων: \(\Delta x=1-4=-3\), \(\Delta y=5--1=6\).

Άρα το διάνυσμα μεταφοράς είναι \((-3,6)\).

28
Το σημείο \(A(0,0)\) έχει εικόνα \(A^{\prime}(-4,3)\) μετά από μεταφορά. Να βρείτε το διάνυσμα μεταφοράς.

Υπολογίζουμε τη μεταβολή των συντεταγμένων: \(\Delta x=-4-0=-4\), \(\Delta y=3-0=3\).

Άρα το διάνυσμα μεταφοράς είναι \((-4,3)\).

29
Το σημείο \(A(2,6)\) έχει εικόνα \(A^{\prime}(7,1)\) μετά από μεταφορά. Να βρείτε το διάνυσμα μεταφοράς.

Υπολογίζουμε τη μεταβολή των συντεταγμένων: \(\Delta x=7-2=5\), \(\Delta y=1-6=-5\).

Άρα το διάνυσμα μεταφοράς είναι \((5,-5)\).

30
Το σημείο \(A(-5,-2)\) έχει εικόνα \(A^{\prime}(-1,4)\) μετά από μεταφορά. Να βρείτε το διάνυσμα μεταφοράς.

Υπολογίζουμε τη μεταβολή των συντεταγμένων: \(\Delta x=-1--5=4\), \(\Delta y=4--2=6\).

Άρα το διάνυσμα μεταφοράς είναι \((4,6)\).

31
Το σημείο \(A(6,3)\) έχει εικόνα \(A^{\prime}(2,-1)\) μετά από μεταφορά. Να βρείτε το διάνυσμα μεταφοράς.

Υπολογίζουμε τη μεταβολή των συντεταγμένων: \(\Delta x=2-6=-4\), \(\Delta y=-1-3=-4\).

Άρα το διάνυσμα μεταφοράς είναι \((-4,-4)\).

32
Το σημείο \(A(-2,7)\) έχει εικόνα \(A^{\prime}(3,7)\) μετά από μεταφορά. Να βρείτε το διάνυσμα μεταφοράς.

Υπολογίζουμε τη μεταβολή των συντεταγμένων: \(\Delta x=3--2=5\), \(\Delta y=7-7=0\).

Άρα το διάνυσμα μεταφοράς είναι \((5,0)\).

🎯 Μεταφέρω ολόκληρο σχήμα
33
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(0,0)\), \(B(3,0)\), \(Γ(1,2)\). Μεταφέρεται κατά το διάνυσμα \((2,1)\). Να βρείτε τις κορυφές της εικόνας.

Σε κάθε κορυφή προσθέτουμε το ίδιο διάνυσμα \((2,1)\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(2,1)\), \(B^{\prime}(5,1)\), \(Γ^{\prime}(3,3)\).

34
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(-2,1)\), \(B(1,1)\), \(Γ(1,4)\). Μεταφέρεται κατά το διάνυσμα \((4,-2)\). Να βρείτε τις κορυφές της εικόνας.

Σε κάθε κορυφή προσθέτουμε το ίδιο διάνυσμα \((4,-2)\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(2,-1)\), \(B^{\prime}(5,-1)\), \(Γ^{\prime}(5,2)\).

35
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(2,-1)\), \(B(5,-1)\), \(Γ(5,2)\). Μεταφέρεται κατά το διάνυσμα \((-3,4)\). Να βρείτε τις κορυφές της εικόνας.

Σε κάθε κορυφή προσθέτουμε το ίδιο διάνυσμα \((-3,4)\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(-1,3)\), \(B^{\prime}(2,3)\), \(Γ^{\prime}(2,6)\).

36
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(-4,-2)\), \(B(-1,-2)\), \(Γ(-1,1)\). Μεταφέρεται κατά το διάνυσμα \((5,3)\). Να βρείτε τις κορυφές της εικόνας.

Σε κάθε κορυφή προσθέτουμε το ίδιο διάνυσμα \((5,3)\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(1,1)\), \(B^{\prime}(4,1)\), \(Γ^{\prime}(4,4)\).

37
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(1,1)\), \(B(4,1)\), \(Γ(4,3)\), \(Δ(1,3)\). Μεταφέρεται κατά το διάνυσμα \((-2,5)\). Να βρείτε τις κορυφές της εικόνας.

Σε κάθε κορυφή προσθέτουμε το ίδιο διάνυσμα \((-2,5)\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(-1,6)\), \(B^{\prime}(2,6)\), \(Γ^{\prime}(2,8)\), \(Δ^{\prime}(-1,8)\).

38
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(-3,0)\), \(B(0,0)\), \(Γ(1,2)\), \(Δ(-2,2)\). Μεταφέρεται κατά το διάνυσμα \((3,-1)\). Να βρείτε τις κορυφές της εικόνας.

Σε κάθε κορυφή προσθέτουμε το ίδιο διάνυσμα \((3,-1)\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(0,-1)\), \(B^{\prime}(3,-1)\), \(Γ^{\prime}(4,1)\), \(Δ^{\prime}(1,1)\).

39
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(2,2)\), \(B(6,2)\), \(Γ(6,5)\), \(Δ(2,5)\). Μεταφέρεται κατά το διάνυσμα \((-4,-3)\). Να βρείτε τις κορυφές της εικόνας.

Σε κάθε κορυφή προσθέτουμε το ίδιο διάνυσμα \((-4,-3)\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(-2,-1)\), \(B^{\prime}(2,-1)\), \(Γ^{\prime}(2,2)\), \(Δ^{\prime}(-2,2)\).

40
Ένα πολύγωνο έχει κορυφές \(A(-1,-1)\), \(B(2,-1)\), \(Γ(3,1)\), \(Δ(0,3)\), \(E(-2,1)\). Μεταφέρεται κατά το διάνυσμα \((5,2)\). Να βρείτε τις κορυφές της εικόνας.

Σε κάθε κορυφή προσθέτουμε το ίδιο διάνυσμα \((5,2)\).

Οι κορυφές της εικόνας είναι \(A^{\prime}(4,1)\), \(B^{\prime}(7,1)\), \(Γ^{\prime}(8,3)\), \(Δ^{\prime}(5,5)\), \(E^{\prime}(3,3)\).

🎯 Ελέγχω τι διατηρεί η μεταφορά
41
Ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους \(7\,cm\) μεταφέρεται κατά ένα διάνυσμα. Ποιο είναι το μήκος της εικόνας του;

Η μεταφορά διατηρεί τα μήκη.

Άρα η εικόνα του έχει μήκος \(7\,cm\).

42
Μία γωνία \(65^\circ\) μεταφέρεται κατά ένα διάνυσμα. Πόσο είναι το μέτρο της εικόνας της;

Η μεταφορά διατηρεί τα μέτρα των γωνιών.

Άρα η εικόνα της γωνίας είναι επίσης \(65^\circ\).

43
Ένα τρίγωνο έχει περίμετρο \(28\,cm\). Ποια είναι η περίμετρος της εικόνας του μετά από μεταφορά;

Όλες οι πλευρές διατηρούν το μήκος τους.

Άρα η περίμετρος παραμένει \(28\,cm\).

44
Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν \(48\,cm^2\). Ποιο είναι το εμβαδόν της εικόνας του μετά από μεταφορά;

Η μεταφορά δεν αλλάζει το μέγεθος του σχήματος.

Άρα το εμβαδόν παραμένει \(48\,cm^2\).

45
Δύο παράλληλες ευθείες μεταφέρονται κατά το ίδιο διάνυσμα. Παραμένουν παράλληλες;

Η μεταφορά διατηρεί τη διεύθυνση των ευθειών.

Άρα οι εικόνες τους παραμένουν παράλληλες.

46
Ένα τετράγωνο μεταφέρεται κατά ένα διάνυσμα. Μπορεί η εικόνα του να γίνει ορθογώνιο που δεν είναι τετράγωνο;

Η μεταφορά διατηρεί μήκη και γωνίες.

Άρα η εικόνα παραμένει τετράγωνο.

47
Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές. Μετά από μεταφορά παραμένει ισοσκελές;

Οι ίσες πλευρές διατηρούν τα μήκη τους.

Άρα η εικόνα του παραμένει ισοσκελές τρίγωνο.

48
Η μεταφορά μπορεί να αλλάξει την ορθή γωνία ενός ορθογωνίου;

Τα μέτρα των γωνιών δεν αλλάζουν.

Άρα κάθε ορθή γωνία παραμένει \(90^\circ\).

🎯 Βρίσκω την αντίστροφη μεταφορά
49
Ένα σχήμα μεταφέρθηκε κατά το διάνυσμα \((4,2)\). Ποιο διάνυσμα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να επιστρέψει ακριβώς στην αρχική του θέση;

Για να αναιρέσουμε μία μεταφορά, χρησιμοποιούμε το αντίθετο διάνυσμα.

Άρα η αντίστροφη μεταφορά γίνεται κατά \((-4,-2)\).

50
Ένα σχήμα μεταφέρθηκε κατά το διάνυσμα \((5,-3)\). Ποιο διάνυσμα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να επιστρέψει ακριβώς στην αρχική του θέση;

Για να αναιρέσουμε μία μεταφορά, χρησιμοποιούμε το αντίθετο διάνυσμα.

Άρα η αντίστροφη μεταφορά γίνεται κατά \((-5,3)\).

51
Ένα σχήμα μεταφέρθηκε κατά το διάνυσμα \((-2,6)\). Ποιο διάνυσμα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να επιστρέψει ακριβώς στην αρχική του θέση;

Για να αναιρέσουμε μία μεταφορά, χρησιμοποιούμε το αντίθετο διάνυσμα.

Άρα η αντίστροφη μεταφορά γίνεται κατά \((2,-6)\).

52
Ένα σχήμα μεταφέρθηκε κατά το διάνυσμα \((7,0)\). Ποιο διάνυσμα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να επιστρέψει ακριβώς στην αρχική του θέση;

Για να αναιρέσουμε μία μεταφορά, χρησιμοποιούμε το αντίθετο διάνυσμα.

Άρα η αντίστροφη μεταφορά γίνεται κατά \((-7,0)\).

53
Ένα σχήμα μεταφέρθηκε κατά το διάνυσμα \((0,-4)\). Ποιο διάνυσμα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να επιστρέψει ακριβώς στην αρχική του θέση;

Για να αναιρέσουμε μία μεταφορά, χρησιμοποιούμε το αντίθετο διάνυσμα.

Άρα η αντίστροφη μεταφορά γίνεται κατά \((0,4)\).

54
Ένα σχήμα μεταφέρθηκε κατά το διάνυσμα \((-3,-5)\). Ποιο διάνυσμα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να επιστρέψει ακριβώς στην αρχική του θέση;

Για να αναιρέσουμε μία μεταφορά, χρησιμοποιούμε το αντίθετο διάνυσμα.

Άρα η αντίστροφη μεταφορά γίνεται κατά \((3,5)\).

55
Ένα σχήμα μεταφέρθηκε κατά το διάνυσμα \((1,8)\). Ποιο διάνυσμα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να επιστρέψει ακριβώς στην αρχική του θέση;

Για να αναιρέσουμε μία μεταφορά, χρησιμοποιούμε το αντίθετο διάνυσμα.

Άρα η αντίστροφη μεταφορά γίνεται κατά \((-1,-8)\).

56
Ένα σχήμα μεταφέρθηκε κατά το διάνυσμα \((-6,2)\). Ποιο διάνυσμα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να επιστρέψει ακριβώς στην αρχική του θέση;

Για να αναιρέσουμε μία μεταφορά, χρησιμοποιούμε το αντίθετο διάνυσμα.

Άρα η αντίστροφη μεταφορά γίνεται κατά \((6,-2)\).

🎯 Βρίσκω την αρχική θέση από την εικόνα
57
Το σημείο \(A\) μεταφέρθηκε κατά το διάνυσμα \((3,1)\) και η εικόνα του είναι \(A^{\prime}(5,4)\). Να βρείτε το αρχικό σημείο \(A\).

Αφαιρούμε το διάνυσμα μεταφοράς από τις συντεταγμένες της εικόνας: \(x=5-(3)\), \(y=4-(1)\).

Άρα \(A(2,3)\).

58
Το σημείο \(A\) μεταφέρθηκε κατά το διάνυσμα \((4,-2)\) και η εικόνα του είναι \(A^{\prime}(-1,6)\). Να βρείτε το αρχικό σημείο \(A\).

Αφαιρούμε το διάνυσμα μεταφοράς από τις συντεταγμένες της εικόνας: \(x=-1-(4)\), \(y=6-(-2)\).

Άρα \(A(-5,8)\).

59
Το σημείο \(A\) μεταφέρθηκε κατά το διάνυσμα \((-2,5)\) και η εικόνα του είναι \(A^{\prime}(3,-2)\). Να βρείτε το αρχικό σημείο \(A\).

Αφαιρούμε το διάνυσμα μεταφοράς από τις συντεταγμένες της εικόνας: \(x=3-(-2)\), \(y=-2-(5)\).

Άρα \(A(5,-7)\).

60
Το σημείο \(A\) μεταφέρθηκε κατά το διάνυσμα \((6,3)\) και η εικόνα του είναι \(A^{\prime}(0,0)\). Να βρείτε το αρχικό σημείο \(A\).

Αφαιρούμε το διάνυσμα μεταφοράς από τις συντεταγμένες της εικόνας: \(x=0-(6)\), \(y=0-(3)\).

Άρα \(A(-6,-3)\).

61
Το σημείο \(A\) μεταφέρθηκε κατά το διάνυσμα \((-4,-1)\) και η εικόνα του είναι \(A^{\prime}(7,1)\). Να βρείτε το αρχικό σημείο \(A\).

Αφαιρούμε το διάνυσμα μεταφοράς από τις συντεταγμένες της εικόνας: \(x=7-(-4)\), \(y=1-(-1)\).

Άρα \(A(11,2)\).

62
Το σημείο \(A\) μεταφέρθηκε κατά το διάνυσμα \((2,4)\) και η εικόνα του είναι \(A^{\prime}(-3,-5)\). Να βρείτε το αρχικό σημείο \(A\).

Αφαιρούμε το διάνυσμα μεταφοράς από τις συντεταγμένες της εικόνας: \(x=-3-(2)\), \(y=-5-(4)\).

Άρα \(A(-5,-9)\).

63
Το σημείο \(A\) μεταφέρθηκε κατά το διάνυσμα \((5,-6)\) και η εικόνα του είναι \(A^{\prime}(4,8)\). Να βρείτε το αρχικό σημείο \(A\).

Αφαιρούμε το διάνυσμα μεταφοράς από τις συντεταγμένες της εικόνας: \(x=4-(5)\), \(y=8-(-6)\).

Άρα \(A(-1,14)\).

64
Το σημείο \(A\) μεταφέρθηκε κατά το διάνυσμα \((-3,7)\) και η εικόνα του είναι \(A^{\prime}(-6,2)\). Να βρείτε το αρχικό σημείο \(A\).

Αφαιρούμε το διάνυσμα μεταφοράς από τις συντεταγμένες της εικόνας: \(x=-6-(-3)\), \(y=2-(7)\).

Άρα \(A(-3,-5)\).

🎯 Μικτή εξάσκηση στη μεταφορά
65
Το σημείο \(P(2,-1)\) μεταφέρεται \(5\) μονάδες δεξιά και \(3\) πάνω. Να βρείτε το \(P^{\prime}\).

Προσθέτουμε \(5\) στην τετμημένη και \(3\) στην τεταγμένη.

Άρα \(P^{\prime}(7,2)\).

66
Το σημείο \(K(-3,4)\) έχει εικόνα \(K^{\prime}(1,1)\). Να βρείτε το διάνυσμα μεταφοράς.

Έχουμε \(\Delta x=1-(-3)=4\) και \(\Delta y=1-4=-3\).

Άρα το διάνυσμα μεταφοράς είναι \((4,-3)\).

67
Ένα τμήμα \(AB=9\,cm\) μεταφέρεται κατά ένα διάνυσμα. Αν η εικόνα του είναι \(A^{\prime}B^{\prime}\), να βρείτε το \(A^{\prime}B^{\prime}\).

Η μεταφορά διατηρεί τα μήκη.

Άρα \(A^{\prime}B^{\prime}=9\,cm\).

68
Ένα τρίγωνο με εμβαδόν \(30\,cm^2\) μεταφέρεται. Ποιο είναι το εμβαδόν της εικόνας του;

Η μεταφορά διατηρεί το εμβαδόν.

Άρα το νέο εμβαδόν είναι \(30\,cm^2\).

69
Μεταφορά κατά το διάνυσμα \((3,-2)\) στέλνει το \(M(x,y)\) στο \(M^{\prime}\). Να γράψετε τις συντεταγμένες του \(M^{\prime}\).

Προσθέτουμε \(3\) στην τετμημένη και \(-2\) στην τεταγμένη.

Άρα \(M^{\prime}(x+3,y-2)\).

70
Το σημείο \(A^{\prime}(8,5)\) είναι εικόνα του \(A\) μετά από μεταφορά κατά \((2,4)\). Να βρείτε το \(A\).

Αφαιρούμε το διάνυσμα μεταφοράς από την τελική θέση.

Άρα \(A(6,1)\).

71
Ένα σχήμα μεταφέρεται κατά \((-5,3)\). Ποια μεταφορά το επαναφέρει στην αρχική θέση;

Χρησιμοποιούμε το αντίθετο διάνυσμα.

Άρα απαιτείται μεταφορά κατά \((5,-3)\).

72
Ποια είναι η βασική στρατηγική όταν μεταφέρουμε ένα πολύγωνο σε καρτεσιανό επίπεδο;

Μεταφέρουμε κάθε κορυφή χωριστά με το ίδιο ακριβώς διάνυσμα και μετά ενώνουμε τις νέες κορυφές με την ίδια σειρά.

Έτσι η εικόνα διατηρεί το σχήμα, τα μήκη και τις γωνίες του αρχικού πολυγώνου.

Τέλος