Για να περιγράψουμε τη μάζα αρκεί ένας αριθμός και μία μονάδα μέτρησης.

Άρα η μάζα είναι βαθμωτό μέγεθος.

Για την πλήρη περιγραφή της ταχύτητας χρειάζονται μέτρο και κατεύθυνση.

Άρα η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος.

Η θερμοκρασία περιγράφεται μόνο με αριθμητική τιμή και μονάδα.

Άρα είναι βαθμωτό μέγεθος.

Η δύναμη έχει μέτρο και κατεύθυνση.

Άρα είναι διανυσματικό μέγεθος.

Η μετατόπιση χρειάζεται αρχική θέση, τελική θέση και κατεύθυνση.

Άρα είναι διανυσματικό μέγεθος.

Το εμβαδόν περιγράφεται από έναν αριθμό και μία μονάδα επιφάνειας.

Άρα είναι βαθμωτό μέγεθος.

Το βάρος είναι δύναμη και επομένως έχει μέτρο και κατεύθυνση.

Άρα είναι διανυσματικό μέγεθος.

Το βαθμωτό μέγεθος προσδιορίζεται μόνο από αριθμητική τιμή, ενώ το διανυσματικό απαιτεί και κατεύθυνση.

Άρα στο διάνυσμα δεν αρκεί μόνο το μέτρο.

Το πρώτο γράμμα δείχνει την αρχή και το δεύτερο το πέρας.

Άρα αρχή είναι το \(A\) και πέρας το \(B\).

Σημείο εφαρμογής είναι η αρχή του διανύσματος.

Άρα σημείο εφαρμογής είναι το \(\Gamma\).

Γράφουμε πρώτα το γράμμα της αρχής και έπειτα το γράμμα του πέρατος.

Το διάνυσμα είναι \(\overrightarrow{MN}\).

Η σειρά των γραμμάτων ακολουθεί τη φορά της μετακίνησης.

Το διάνυσμα είναι \(\overrightarrow{K\Lambda}\).

Στο πρώτο η αρχή είναι το \(A\), ενώ στο δεύτερο η αρχή είναι το \(B\).

Άρα έχουν ανταλλαγμένη αρχή και πέρας.

Η αρχή είναι το \(A\) και το πέρας το \(B\).

Άρα συμβολίζεται \(\overrightarrow{AB}\).

Αντιστρέφοντας τη φορά, ανταλλάσσονται αρχή και πέρας.

Προκύπτει το \(\overrightarrow{BA}\).

Ναι. Συχνά χρησιμοποιούνται μικρά ελληνικά γράμματα με βέλος.

Για παράδειγμα \(\vec{\alpha}\), \(\vec{\beta}\), \(\vec{\gamma}\).

Είναι η ευθεία που ορίζουν τα άκρα του διανύσματος ή οποιαδήποτε ευθεία παράλληλη προς αυτή.

Η διεύθυνση δεν καθορίζει από μόνη της προς ποια πλευρά κινείται το βέλος.

Η φορά δείχνει προς ποιο από τα δύο άκρα κατευθύνεται το βέλος.

Καθορίζεται από την αρχή και το πέρας.

Η κατεύθυνση καθορίζεται από δύο στοιχεία.

Είναι ο συνδυασμός της διεύθυνσης και της φοράς.

Βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία.

Άρα έχουν ίδια διεύθυνση.

Το πρώτο κατευθύνεται από \(A\) προς \(B\), ενώ το δεύτερο από \(B\) προς \(A\).

Άρα έχουν αντίθετη φορά.

Οι ευθείες τους είναι παράλληλες και τα βέλη δείχνουν προς την ίδια πλευρά.

Άρα έχουν ίδια διεύθυνση και ίδια φορά.

Έχουν ίδια διεύθυνση αλλά αντίθετη φορά.

Άρα δεν έχουν ίδια κατεύθυνση.

Όχι. Η ίδια διεύθυνση επιτρέπει δύο αντίθετες φορές.

Χρειάζεται να γνωρίζουμε και τη φορά.

Το μέτρο ενός διανύσματος είναι το μήκος του αντίστοιχου ευθύγραμμου τμήματος.

Άρα \(\left|\overrightarrow{AB}\right|=7\,\text{cm}\).

Το μέτρο του διανύσματος είναι ακριβώς το μήκος του τμήματος \(MN\).

Άρα \(MN=12\,\text{cm}\).

Η αλλαγή φοράς δεν αλλάζει το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος.

Άρα \(\left|\overrightarrow{BA}\right|=5\,\text{cm}\).

Το μέτρο είναι μήκος.

Άρα είναι πάντοτε μη αρνητικός αριθμός.

Συγκρίνουμε τις αριθμητικές τιμές των μηκών.

Μεγαλύτερο μέτρο έχει το διάνυσμα των \(9\, ext{cm}\).

Η ισότητα των μέτρων είναι μόνο μία από τις τρεις προϋποθέσεις ισότητας διανυσμάτων.

Χρειάζονται επιπλέον ίδια διεύθυνση και ίδια φορά.

Μέτρο \(0\) σημαίνει ότι το αντίστοιχο ευθύγραμμο τμήμα έχει μήκος \(0\).

Άρα αρχή και πέρας συμπίπτουν.

Το μήκος του βέλους παριστάνει το μέτρο.

Άρα το πρώτο διάνυσμα έχει διπλάσιο μέτρο.

Πρέπει να συμφωνούν και στα τρία βασικά χαρακτηριστικά.

Έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια φορά και ίσα μέτρα.

Ικανοποιούνται και οι τρεις προϋποθέσεις ισότητας.

Άρα τα διανύσματα είναι ίσα.

Η φορά είναι διαφορετική.

Άρα δεν είναι ίσα.

Για ισότητα απαιτείται και ίδια διεύθυνση.

Άρα δεν είναι ίσα.

Οι απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου είναι παράλληλες και ίσες, ενώ τα δύο βέλη έχουν ίδια φορά.

Άρα \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{\Delta\Gamma}\).

Οι πλευρές \(A\Delta\) και \(B\Gamma\) είναι παράλληλες και ίσες και οι φορές συμφωνούν.

Άρα \(\overrightarrow{A\Delta}=\overrightarrow{B\Gamma}\).

Οι απέναντι πλευρές ορθογωνίου είναι παράλληλες και ίσες, και τα βέλη δείχνουν προς την ίδια πλευρά.

Άρα τα δύο διανύσματα είναι ίσα.

Όχι. Μπορεί να έχουν διαφορετική διεύθυνση ή διαφορετική φορά.

Χρειάζονται ίδια διεύθυνση, ίδια φορά και ίσα μέτρα.

Έχουν ίδια διεύθυνση και ίσα μέτρα, αλλά οι φορές τους είναι αντίθετες.

Αυτές είναι οι τρεις προϋποθέσεις για αντίθετα διανύσματα.

Αντιστρέφουμε αρχή και πέρας.

Το αντίθετο είναι \(\overrightarrow{BA}\).

Αντίθετα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα.

Άρα \(\left|\overrightarrow{BA}\right|=8\,cm\).

Έχουν ίσα μέτρα, ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά.

Άρα είναι αντίθετα.

Για να είναι αντίθετα πρέπει τα μέτρα τους να είναι ίσα.

Άρα δεν είναι αντίθετα.

Οι πλευρές είναι παράλληλες και ίσες, αλλά τα δύο βέλη έχουν αντίθετη φορά.

Άρα είναι αντίθετα διανύσματα.

Οι πλευρές είναι παράλληλες και ίσες, ενώ οι φορές είναι αντίθετες.

Άρα είναι αντίθετα διανύσματα.

Αντίθετα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα.

Άρα \(\left|\vec{\alpha}\right|=\left|\vec{\beta}\right|\).

Είναι διάνυσμα του οποίου η αρχή και το πέρας συμπίπτουν.

Παράδειγμα είναι το \(\overrightarrow{AA}\).

Το τμήμα \(AA\) έχει μήκος \(0\).

Άρα \(\left|\overrightarrow{AA}\right|=0\).

Η αρχή και το πέρας είναι το ίδιο σημείο \(B\).

Άρα είναι μηδενικό διάνυσμα.

Αν τα δύο σημεία ήταν διαφορετικά, η μεταξύ τους απόσταση θα ήταν θετική.

Άρα αρχή και πέρας πρέπει να συμπίπτουν.

Αφού αρχή και πέρας συμπίπτουν, δεν υπάρχει προσανατολισμός από ένα διαφορετικό σημείο προς άλλο.

Άρα δεν έχει συγκεκριμένη φορά.

Δεν υπάρχει μοναδική ευθεία που να ορίζεται από δύο διαφορετικά άκρα.

Άρα δεν έχει συγκεκριμένη διεύθυνση.

Μηδενικό είναι εκείνο στο οποίο αρχή και πέρας είναι το ίδιο σημείο.

Άρα μηδενικό είναι το \(\overrightarrow{CC}\).

Αρχική και τελική θέση συμπίπτουν.

Άρα η συνολική μετατόπιση παριστάνεται με μηδενικό διάνυσμα.

Η απόσταση είναι μόνο αριθμητική τιμή, ενώ η μετατόπιση περιλαμβάνει και κατεύθυνση.

Άρα διανυσματική είναι η μετατόπιση.

Η συνολική διαδρομή είναι \(20+20=40\,m\). Αρχική και τελική θέση συμπίπτουν.

Άρα απόσταση \(40\,m\), μετατόπιση μηδενική.

Η μετατόπιση συνδέει απευθείας την αρχική με την τελική θέση.

Άρα παριστάνεται με \(\overrightarrow{AB}\).

Η απόσταση μετρά ολόκληρη τη διαδρομή, ενώ το μέτρο της μετατόπισης την ευθεία απόσταση αρχής και τέλους.

Άρα γενικά δεν είναι ίσες.

Η αρχική και η τελική θέση είναι ίδιες.

Άρα η μετατόπιση είναι μηδενική.

Ναι, αν κινηθεί και επιστρέψει στην αρχική του θέση.

Άρα απόσταση και μετατόπιση δεν είναι το ίδιο μέγεθος.

Όχι. Χρειάζεται και η κατεύθυνση προς την οποία πνέει.

Άρα η ταχύτητα του ανέμου περιγράφεται διανυσματικά.

Όχι. Πρέπει να γνωρίζουμε και τη διεύθυνση και τη φορά της δύναμης.

Άρα απαιτείται διάνυσμα.

Αρχή είναι το \(K\), πέρας το \(\Lambda\), και το μέτρο είναι το μήκος \(K\Lambda\).

Άρα \(\left|\overrightarrow{K\Lambda}\right|=9\,cm\).

Έχουν ίδια διεύθυνση, ίσα μέτρα και αντίθετη φορά.

Άρα είναι αντίθετα.

Για ισότητα απαιτούνται και ίσα μέτρα.

Άρα δεν είναι ίσα.

Οι διευθύνσεις τους είναι διαφορετικές.

Άρα δεν είναι ίσα.

Οι αντίστοιχες πλευρές είναι ίσες και παράλληλες και τα δύο βέλη έχουν ίδια φορά.

Άρα \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{\Delta\Gamma}\).

Οι πλευρές είναι παράλληλες και ίσες, αλλά οι φορές είναι αντίθετες.

Άρα τα δύο διανύσματα είναι αντίθετα.

Πρόκειται για μηδενικό διάνυσμα.

Είναι το \(\overrightarrow{PP}\) και \(\left|\overrightarrow{PP}\right|=0\).

Ελέγχουμε πρώτα τη διεύθυνση, έπειτα τη φορά και τέλος το μέτρο.

Ίσα: ίδια διεύθυνση, ίδια φορά, ίσο μέτρο. Αντίθετα: ίδια διεύθυνση, αντίθετη φορά, ίσο μέτρο.