02Ε. Εμβαδόν κυκλικού τομέα
🎯 Κατανοώ το εμβαδόν κυκλικού τομέα
1
Τι ονομάζουμε κυκλικό τομέα;

Είναι το μέρος του κυκλικού δίσκου που περιέχεται ανάμεσα σε δύο ακτίνες και στο αντίστοιχο τόξο.

Ο κυκλικός τομέας καθορίζεται από την ακτίνα και την επίκεντρη γωνία του.

2
Ποιος είναι ο βασικός τύπος για το εμβαδόν κυκλικού τομέα ακτίνας \(\rho\) και επίκεντρης γωνίας \(\mu^\circ\);

Ο τομέας αποτελεί το \(\frac{\mu}{360}\) του κυκλικού δίσκου.

Άρα \(E_{\mathrm{τομ.}}=\pi\rho^2\cdot\frac{\mu}{360}\).

3
Τι μέρος του εμβαδού του κυκλικού δίσκου είναι ένας τομέας \(180^\circ\);

Το \(180^\circ\) είναι το μισό του πλήρους κύκλου.

Άρα ο τομέας έχει το \(\frac12\) του εμβαδού του δίσκου.

4
Τι μέρος του εμβαδού του κυκλικού δίσκου είναι ένας τομέας \(90^\circ\);

Το \(90^\circ\) είναι το \(\frac14\) των \(360^\circ\).

Άρα ο τομέας έχει το \(\frac14\) του εμβαδού του δίσκου.

5
Τι μέρος του εμβαδού του κυκλικού δίσκου είναι ένας τομέας \(60^\circ\);

Έχουμε \(\frac{60}{360}=\frac16\).

Άρα ο τομέας έχει το \(\frac16\) του εμβαδού του δίσκου.

6
Αν δύο κυκλικοί τομείς του ίδιου κύκλου έχουν ίσες επίκεντρες γωνίες, τι ισχύει για τα εμβαδά τους;

Έχουν ίδια ακτίνα και ίδιο λόγο \(\frac{\mu}{360}\).

Άρα έχουν ίσα εμβαδά.

7
Πώς συνδέεται το εμβαδόν κυκλικού τομέα με το μήκος \(S\) του αντίστοιχου τόξου;

Ο τύπος του τομέα μπορεί να γραφεί και με το μήκος του τόξου.

Ισχύει \(E_{\mathrm{τομ.}}=\frac12 S\rho\).

8
Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα ενός τομέα αλλά κρατήσουμε την ίδια γωνία, τι συμβαίνει στο εμβαδόν;

Το εμβαδόν είναι ανάλογο του \(\rho^2\).

Άρα το εμβαδόν γίνεται \(2^2=4\) φορές μεγαλύτερο.

🎯 Υπολογίζω εμβαδόν τομέα από ακτίνα και γωνία
9
Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(\rho=6\,\text{cm}\) και επίκεντρη γωνία \(\mu=60^\circ\). Να βρείτε το εμβαδόν του.

Χρησιμοποιούμε \(E=\pi\rho^2\cdot\frac{\mu}{360}=\pi\cdot6^2\cdot\frac{60}{360}\).

Άρα \(E=6\pi\,\text{cm}^2\).

10
Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(\rho=8\,\text{cm}\) και επίκεντρη γωνία \(\mu=90^\circ\). Να βρείτε το εμβαδόν του.

Χρησιμοποιούμε \(E=\pi\rho^2\cdot\frac{\mu}{360}=\pi\cdot8^2\cdot\frac{90}{360}\).

Άρα \(E=16\pi\,\text{cm}^2\).

11
Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(\rho=10\,\text{cm}\) και επίκεντρη γωνία \(\mu=180^\circ\). Να βρείτε το εμβαδόν του.

Χρησιμοποιούμε \(E=\pi\rho^2\cdot\frac{\mu}{360}=\pi\cdot10^2\cdot\frac{180}{360}\).

Άρα \(E=50\pi\,\text{cm}^2\).

12
Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(\rho=12\,\text{cm}\) και επίκεντρη γωνία \(\mu=30^\circ\). Να βρείτε το εμβαδόν του.

Χρησιμοποιούμε \(E=\pi\rho^2\cdot\frac{\mu}{360}=\pi\cdot12^2\cdot\frac{30}{360}\).

Άρα \(E=12\pi\,\text{cm}^2\).

13
Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(\rho=9\,\text{cm}\) και επίκεντρη γωνία \(\mu=120^\circ\). Να βρείτε το εμβαδόν του.

Χρησιμοποιούμε \(E=\pi\rho^2\cdot\frac{\mu}{360}=\pi\cdot9^2\cdot\frac{120}{360}\).

Άρα \(E=27\pi\,\text{cm}^2\).

14
Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(\rho=15\,\text{cm}\) και επίκεντρη γωνία \(\mu=72^\circ\). Να βρείτε το εμβαδόν του.

Χρησιμοποιούμε \(E=\pi\rho^2\cdot\frac{\mu}{360}=\pi\cdot15^2\cdot\frac{72}{360}\).

Άρα \(E=45\pi\,\text{cm}^2\).

15
Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(\rho=14\,\text{cm}\) και επίκεντρη γωνία \(\mu=45^\circ\). Να βρείτε το εμβαδόν του.

Χρησιμοποιούμε \(E=\pi\rho^2\cdot\frac{\mu}{360}=\pi\cdot14^2\cdot\frac{45}{360}\).

Άρα \(E=24,5\pi\,\text{cm}^2\).

16
Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(\rho=18\,\text{cm}\) και επίκεντρη γωνία \(\mu=40^\circ\). Να βρείτε το εμβαδόν του.

Χρησιμοποιούμε \(E=\pi\rho^2\cdot\frac{\mu}{360}=\pi\cdot18^2\cdot\frac{40}{360}\).

Άρα \(E=36\pi\,\text{cm}^2\).

🎯 Βρίσκω το εμβαδόν τομέα ως μέρος του δίσκου
17
Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν \(144\,\text{cm}^2\). Να βρείτε το εμβαδόν τομέα επίκεντρης γωνίας \(90^\circ\).

Ο τομέας αποτελεί το \(\frac{90}{360}\) του δίσκου.

Άρα \(E=144\cdot\frac{90}{360}=36\,\text{cm}^2\).

18
Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν \(180\,\text{cm}^2\). Να βρείτε το εμβαδόν τομέα επίκεντρης γωνίας \(60^\circ\).

Ο τομέας αποτελεί το \(\frac{60}{360}\) του δίσκου.

Άρα \(E=180\cdot\frac{60}{360}=30\,\text{cm}^2\).

19
Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν \(240\,\text{cm}^2\). Να βρείτε το εμβαδόν τομέα επίκεντρης γωνίας \(120^\circ\).

Ο τομέας αποτελεί το \(\frac{120}{360}\) του δίσκου.

Άρα \(E=240\cdot\frac{120}{360}=80\,\text{cm}^2\).

20
Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν \(300\,\text{cm}^2\). Να βρείτε το εμβαδόν τομέα επίκεντρης γωνίας \(72^\circ\).

Ο τομέας αποτελεί το \(\frac{72}{360}\) του δίσκου.

Άρα \(E=300\cdot\frac{72}{360}=60\,\text{cm}^2\).

21
Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν \(360\,\text{cm}^2\). Να βρείτε το εμβαδόν τομέα επίκεντρης γωνίας \(45^\circ\).

Ο τομέας αποτελεί το \(\frac{45}{360}\) του δίσκου.

Άρα \(E=360\cdot\frac{45}{360}=45\,\text{cm}^2\).

22
Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν \(420\,\text{cm}^2\). Να βρείτε το εμβαδόν τομέα επίκεντρης γωνίας \(180^\circ\).

Ο τομέας αποτελεί το \(\frac{180}{360}\) του δίσκου.

Άρα \(E=420\cdot\frac{180}{360}=210\,\text{cm}^2\).

23
Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν \(540\,\text{cm}^2\). Να βρείτε το εμβαδόν τομέα επίκεντρης γωνίας \(30^\circ\).

Ο τομέας αποτελεί το \(\frac{30}{360}\) του δίσκου.

Άρα \(E=540\cdot\frac{30}{360}=45\,\text{cm}^2\).

24
Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν \(720\,\text{cm}^2\). Να βρείτε το εμβαδόν τομέα επίκεντρης γωνίας \(150^\circ\).

Ο τομέας αποτελεί το \(\frac{150}{360}\) του δίσκου.

Άρα \(E=720\cdot\frac{150}{360}=300\,\text{cm}^2\).

🎯 Βρίσκω την επίκεντρη γωνία από το εμβαδόν τομέα
25
Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν \(100\,\text{cm}^2\) και ένας τομέας του έχει εμβαδόν \(25\,\text{cm}^2\). Να βρείτε την επίκεντρη γωνία του τομέα.

Ισχύει \(\frac{E_{\mathrm{τομ.}}}{E_{\mathrm{δίσκου}}}=\frac{\mu}{360}\), άρα \(\frac{25}{100}=\frac{\mu}{360}\).

Άρα \(\mu=90^\circ\).

26
Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν \(120\,\text{cm}^2\) και ένας τομέας του έχει εμβαδόν \(40\,\text{cm}^2\). Να βρείτε την επίκεντρη γωνία του τομέα.

Ισχύει \(\frac{E_{\mathrm{τομ.}}}{E_{\mathrm{δίσκου}}}=\frac{\mu}{360}\), άρα \(\frac{40}{120}=\frac{\mu}{360}\).

Άρα \(\mu=120^\circ\).

27
Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν \(180\,\text{cm}^2\) και ένας τομέας του έχει εμβαδόν \(30\,\text{cm}^2\). Να βρείτε την επίκεντρη γωνία του τομέα.

Ισχύει \(\frac{E_{\mathrm{τομ.}}}{E_{\mathrm{δίσκου}}}=\frac{\mu}{360}\), άρα \(\frac{30}{180}=\frac{\mu}{360}\).

Άρα \(\mu=60^\circ\).

28
Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν \(240\,\text{cm}^2\) και ένας τομέας του έχει εμβαδόν \(80\,\text{cm}^2\). Να βρείτε την επίκεντρη γωνία του τομέα.

Ισχύει \(\frac{E_{\mathrm{τομ.}}}{E_{\mathrm{δίσκου}}}=\frac{\mu}{360}\), άρα \(\frac{80}{240}=\frac{\mu}{360}\).

Άρα \(\mu=120^\circ\).

29
Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν \(300\,\text{cm}^2\) και ένας τομέας του έχει εμβαδόν \(75\,\text{cm}^2\). Να βρείτε την επίκεντρη γωνία του τομέα.

Ισχύει \(\frac{E_{\mathrm{τομ.}}}{E_{\mathrm{δίσκου}}}=\frac{\mu}{360}\), άρα \(\frac{75}{300}=\frac{\mu}{360}\).

Άρα \(\mu=90^\circ\).

30
Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν \(360\,\text{cm}^2\) και ένας τομέας του έχει εμβαδόν \(60\,\text{cm}^2\). Να βρείτε την επίκεντρη γωνία του τομέα.

Ισχύει \(\frac{E_{\mathrm{τομ.}}}{E_{\mathrm{δίσκου}}}=\frac{\mu}{360}\), άρα \(\frac{60}{360}=\frac{\mu}{360}\).

Άρα \(\mu=60^\circ\).

31
Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν \(400\,\text{cm}^2\) και ένας τομέας του έχει εμβαδόν \(200\,\text{cm}^2\). Να βρείτε την επίκεντρη γωνία του τομέα.

Ισχύει \(\frac{E_{\mathrm{τομ.}}}{E_{\mathrm{δίσκου}}}=\frac{\mu}{360}\), άρα \(\frac{200}{400}=\frac{\mu}{360}\).

Άρα \(\mu=180^\circ\).

32
Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν \(540\,\text{cm}^2\) και ένας τομέας του έχει εμβαδόν \(90\,\text{cm}^2\). Να βρείτε την επίκεντρη γωνία του τομέα.

Ισχύει \(\frac{E_{\mathrm{τομ.}}}{E_{\mathrm{δίσκου}}}=\frac{\mu}{360}\), άρα \(\frac{90}{540}=\frac{\mu}{360}\).

Άρα \(\mu=60^\circ\).

🎯 Βρίσκω την ακτίνα από το εμβαδόν τομέα
33
Κυκλικός τομέας έχει επίκεντρη γωνία \(90^\circ\) και εμβαδόν \(9\pi\,\text{cm}^2\). Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου.

Από \(E=\pi\rho^2\cdot\frac{\mu}{360}\) έχουμε \(9\pi=\pi\rho^2\cdot\frac{90}{360}\).

Λύνοντας βρίσκουμε \(\rho=6\,\text{cm}\).

34
Κυκλικός τομέας έχει επίκεντρη γωνία \(60^\circ\) και εμβαδόν \(6\pi\,\text{cm}^2\). Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου.

Από \(E=\pi\rho^2\cdot\frac{\mu}{360}\) έχουμε \(6\pi=\pi\rho^2\cdot\frac{60}{360}\).

Λύνοντας βρίσκουμε \(\rho=6\,\text{cm}\).

35
Κυκλικός τομέας έχει επίκεντρη γωνία \(120^\circ\) και εμβαδόν \(12\pi\,\text{cm}^2\). Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου.

Από \(E=\pi\rho^2\cdot\frac{\mu}{360}\) έχουμε \(12\pi=\pi\rho^2\cdot\frac{120}{360}\).

Λύνοντας βρίσκουμε \(\rho=6\,\text{cm}\).

36
Κυκλικός τομέας έχει επίκεντρη γωνία \(45^\circ\) και εμβαδόν \(8\pi\,\text{cm}^2\). Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου.

Από \(E=\pi\rho^2\cdot\frac{\mu}{360}\) έχουμε \(8\pi=\pi\rho^2\cdot\frac{45}{360}\).

Λύνοντας βρίσκουμε \(\rho=8\,\text{cm}\).

37
Κυκλικός τομέας έχει επίκεντρη γωνία \(180^\circ\) και εμβαδόν \(32\pi\,\text{cm}^2\). Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου.

Από \(E=\pi\rho^2\cdot\frac{\mu}{360}\) έχουμε \(32\pi=\pi\rho^2\cdot\frac{180}{360}\).

Λύνοντας βρίσκουμε \(\rho=8\,\text{cm}\).

38
Κυκλικός τομέας έχει επίκεντρη γωνία \(90^\circ\) και εμβαδόν \(25\pi\,\text{cm}^2\). Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου.

Από \(E=\pi\rho^2\cdot\frac{\mu}{360}\) έχουμε \(25\pi=\pi\rho^2\cdot\frac{90}{360}\).

Λύνοντας βρίσκουμε \(\rho=10\,\text{cm}\).

39
Κυκλικός τομέας έχει επίκεντρη γωνία \(72^\circ\) και εμβαδόν \(20\pi\,\text{cm}^2\). Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου.

Από \(E=\pi\rho^2\cdot\frac{\mu}{360}\) έχουμε \(20\pi=\pi\rho^2\cdot\frac{72}{360}\).

Λύνοντας βρίσκουμε \(\rho=10\,\text{cm}\).

40
Κυκλικός τομέας έχει επίκεντρη γωνία \(40^\circ\) και εμβαδόν \(10\pi\,\text{cm}^2\). Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου.

Από \(E=\pi\rho^2\cdot\frac{\mu}{360}\) έχουμε \(10\pi=\pi\rho^2\cdot\frac{40}{360}\).

Λύνοντας βρίσκουμε \(\rho=15\,\text{cm}\).

🎯 Υπολογίζω εμβαδά ημικυκλίου και τεταρτοκυκλίου
41
Κυκλικός δίσκος έχει ακτίνα \(7\,\text{cm}\). Να βρείτε το εμβαδόν ημικυκλίου.

Το εμβαδόν του δίσκου είναι \(49\pi\). Το ημικύκλιο είναι το μισό.

Άρα \(E=\frac{49\pi}{2}\,\text{cm}^2\).

42
Κυκλικός δίσκος έχει ακτίνα \(8\,\text{cm}\). Να βρείτε το εμβαδόν τεταρτοκυκλίου.

Το εμβαδόν του δίσκου είναι \(64\pi\). Το τεταρτοκύκλιο είναι το \(\frac14\).

Άρα \(E=16\pi\,\text{cm}^2\).

43
Κυκλικός δίσκος έχει ακτίνα \(12\,\text{cm}\). Να βρείτε το εμβαδόν τομέα \(60^\circ\).

Ο δίσκος έχει εμβαδόν \(144\pi\), και ο τομέας είναι το \(\frac16\).

Άρα \(E=24\pi\,\text{cm}^2\).

44
Κυκλικός δίσκος έχει ακτίνα \(10\,\text{cm}\). Να βρείτε το εμβαδόν τομέα \(120^\circ\).

Ο δίσκος έχει εμβαδόν \(100\pi\), και το \(120^\circ\) είναι το \(\frac13\) του κύκλου.

Άρα \(E=\frac{100\pi}{3}\,\text{cm}^2\).

45
Κυκλικός δίσκος έχει διάμετρο \(18\,\text{cm}\). Να βρείτε το εμβαδόν ημικυκλίου.

Η ακτίνα είναι \(9\,\text{cm}\), άρα ο δίσκος έχει εμβαδόν \(81\pi\).

Άρα το ημικύκλιο έχει εμβαδόν \(\frac{81\pi}{2}\,\text{cm}^2\).

46
Κυκλικός δίσκος έχει διάμετρο \(20\,\text{cm}\). Να βρείτε το εμβαδόν τεταρτοκυκλίου.

Η ακτίνα είναι \(10\,\text{cm}\), άρα ο δίσκος έχει εμβαδόν \(100\pi\).

Άρα το τεταρτοκύκλιο έχει εμβαδόν \(25\pi\,\text{cm}^2\).

47
Κυκλικός δίσκος έχει ακτίνα \(9\,\text{cm}\). Να βρείτε το εμβαδόν τομέα \(40^\circ\).

Χρησιμοποιούμε \(E=81\pi\cdot\frac{40}{360}\).

Άρα \(E=9\pi\,\text{cm}^2\).

48
Κυκλικός δίσκος έχει ακτίνα \(15\,\text{cm}\). Να βρείτε το εμβαδόν τομέα \(24^\circ\).

Χρησιμοποιούμε \(E=225\pi\cdot\frac{24}{360}\).

Άρα \(E=15\pi\,\text{cm}^2\).

🎯 Συνδέω το εμβαδόν τομέα με το μήκος τόξου
49
Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(\rho=6\,\text{cm}\) και το αντίστοιχο τόξο έχει μήκος \(S=4\,\text{cm}\). Να βρείτε το εμβαδόν του τομέα.

Χρησιμοποιούμε \(E_{\mathrm{τομ.}}=\frac12 S\rho\).

Άρα \(E=\frac12\cdot4\cdot6=12\,\text{cm}^2\).

50
Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(\rho=8\,\text{cm}\) και το αντίστοιχο τόξο έχει μήκος \(S=6\,\text{cm}\). Να βρείτε το εμβαδόν του τομέα.

Χρησιμοποιούμε \(E_{\mathrm{τομ.}}=\frac12 S\rho\).

Άρα \(E=\frac12\cdot6\cdot8=24\,\text{cm}^2\).

51
Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(\rho=10\,\text{cm}\) και το αντίστοιχο τόξο έχει μήκος \(S=5\,\text{cm}\). Να βρείτε το εμβαδόν του τομέα.

Χρησιμοποιούμε \(E_{\mathrm{τομ.}}=\frac12 S\rho\).

Άρα \(E=\frac12\cdot5\cdot10=25\,\text{cm}^2\).

52
Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(\rho=12\,\text{cm}\) και το αντίστοιχο τόξο έχει μήκος \(S=8\,\text{cm}\). Να βρείτε το εμβαδόν του τομέα.

Χρησιμοποιούμε \(E_{\mathrm{τομ.}}=\frac12 S\rho\).

Άρα \(E=\frac12\cdot8\cdot12=48\,\text{cm}^2\).

53
Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(\rho=15\,\text{cm}\) και το αντίστοιχο τόξο έχει μήκος \(S=4\,\text{cm}\). Να βρείτε το εμβαδόν του τομέα.

Χρησιμοποιούμε \(E_{\mathrm{τομ.}}=\frac12 S\rho\).

Άρα \(E=\frac12\cdot4\cdot15=30\,\text{cm}^2\).

54
Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(\rho=18\,\text{cm}\) και το αντίστοιχο τόξο έχει μήκος \(S=10\,\text{cm}\). Να βρείτε το εμβαδόν του τομέα.

Χρησιμοποιούμε \(E_{\mathrm{τομ.}}=\frac12 S\rho\).

Άρα \(E=\frac12\cdot10\cdot18=90\,\text{cm}^2\).

55
Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(\rho=20\,\text{cm}\) και το αντίστοιχο τόξο έχει μήκος \(S=7\,\text{cm}\). Να βρείτε το εμβαδόν του τομέα.

Χρησιμοποιούμε \(E_{\mathrm{τομ.}}=\frac12 S\rho\).

Άρα \(E=\frac12\cdot7\cdot20=70\,\text{cm}^2\).

56
Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(\rho=24\,\text{cm}\) και το αντίστοιχο τόξο έχει μήκος \(S=12\,\text{cm}\). Να βρείτε το εμβαδόν του τομέα.

Χρησιμοποιούμε \(E_{\mathrm{τομ.}}=\frac12 S\rho\).

Άρα \(E=\frac12\cdot12\cdot24=144\,\text{cm}^2\).

🎯 Λύνω προβλήματα με κυκλικούς τομείς
57
Ένας περιστρεφόμενος βραχίονας μήκους \(6\,m\) σαρώνει γωνία \(90^\circ\). Ποιο εμβαδόν περιοχής σαρώνει;

Η περιοχή είναι κυκλικός τομέας ακτίνας \(6\,m\) και γωνίας \(90^\circ\).

Άρα \(E=36\pi\cdot\frac14=9\pi\,m^2\).

58
Ένας προβολέας φωτίζει κυκλικό τομέα ακτίνας \(10\,m\) και γωνίας \(72^\circ\). Να βρείτε το εμβαδόν που φωτίζεται.

Χρησιμοποιούμε \(E=100\pi\cdot\frac{72}{360}\).

Άρα \(E=20\pi\,m^2\).

59
Ένα αυτόματο ποτιστικό καλύπτει τομέα ακτίνας \(12\,m\) και γωνίας \(120^\circ\). Να βρείτε την επιφάνεια που ποτίζεται.

Ο τομέας είναι το \(\frac13\) του κυκλικού δίσκου.

Άρα \(E=144\pi\cdot\frac13=48\pi\,m^2\).

60
Ένας περιστρεφόμενος αισθητήρας έχει ακτίνα δράσης \(15\,m\) και σαρώνει γωνία \(40^\circ\). Να βρείτε την επιφάνεια που ελέγχει.

Χρησιμοποιούμε \(E=225\pi\cdot\frac{40}{360}\).

Άρα \(E=25\pi\,m^2\).

61
Ένας κυκλικός τομέας πάρκου έχει ακτίνα \(20\,m\) και γωνία \(45^\circ\). Να βρείτε το εμβαδόν του.

Ο τομέας είναι το \(\frac18\) του δίσκου.

Άρα \(E=400\pi\cdot\frac18=50\pi\,m^2\).

62
Μια πίτσα ακτίνας \(15\,cm\) κόβεται σε \(6\) ίσους τομείς. Ποιο είναι το εμβαδόν κάθε κομματιού;

Κάθε κομμάτι είναι το \(\frac16\) του δίσκου.

Άρα \(E=\frac{225\pi}{6}=37{,}5\pi\,cm^2\).

63
Ένας κυκλικός δίσκος εμβαδού \(360\,m^2\) χωρίζεται σε \(8\) ίσους τομείς. Ποιο είναι το εμβαδόν κάθε τομέα;

Κάθε τομέας είναι το \(\frac18\) του δίσκου.

Άρα \(E=360:8=45\,m^2\).

64
Ένας τομέας καταλαμβάνει το \(30\%\) ενός κυκλικού δίσκου εμβαδού \(500\,cm^2\). Να βρείτε το εμβαδόν του.

Υπολογίζουμε το \(30\%\) του \(500\).

Άρα \(E=0{,}30\cdot500=150\,cm^2\).

🎯 Μικτή εξάσκηση στο εμβαδόν κυκλικού τομέα
65
Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(10\,cm\) και γωνία \(36^\circ\). Να βρείτε το εμβαδόν του.

Χρησιμοποιούμε \(E=100\pi\cdot\frac{36}{360}\).

Άρα \(E=10\pi\,cm^2\).

66
Κυκλικός τομέας έχει ακτίνα \(12\,cm\) και γωνία \(150^\circ\). Να βρείτε το εμβαδόν του.

Χρησιμοποιούμε \(E=144\pi\cdot\frac{150}{360}\).

Άρα \(E=60\pi\,cm^2\).

67
Το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου είναι \(200\,cm^2\). Ποιο είναι το εμβαδόν τομέα \(72^\circ\);

Το \(72^\circ\) είναι το \(\frac15\) του κύκλου.

Άρα \(E=40\,cm^2\).

68
Τομέας έχει εμβαδόν ίσο με το \(\frac18\) του εμβαδού του κυκλικού δίσκου. Πόση είναι η επίκεντρη γωνία;

Ισχύει \(\frac{\mu}{360}=\frac18\).

Άρα \(\mu=45^\circ\).

69
Τομέας έχει εμβαδόν ίσο με το \(\frac35\) του εμβαδού του κυκλικού δίσκου. Πόση είναι η επίκεντρη γωνία;

Ισχύει \(\frac{\mu}{360}=\frac35\).

Άρα \(\mu=216^\circ\).

70
Δύο τομείς του ίδιου κύκλου έχουν γωνίες \(60^\circ\) και \(120^\circ\). Ποιος είναι ο λόγος των εμβαδών τους;

Στον ίδιο κύκλο τα εμβαδά των τομέων είναι ανάλογα των επίκεντρων γωνιών.

Άρα ο λόγος είναι \(60:120=1:2\).

71
Δύο τομείς έχουν την ίδια γωνία, αλλά ο δεύτερος έχει διπλάσια ακτίνα από τον πρώτο. Ποιος είναι ο λόγος των εμβαδών τους;

Για ίδια γωνία, το εμβαδόν είναι ανάλογο του τετραγώνου της ακτίνας.

Άρα ο λόγος των εμβαδών είναι \(1:4\).

72
Ποια είναι η βασική στρατηγική όταν ζητείται εμβαδόν κυκλικού τομέα και γνωρίζουμε ακτίνα και γωνία;

Πρώτα βρίσκουμε το εμβαδόν ολόκληρου του δίσκου \(E=\pi\rho^2\) και στη συνέχεια παίρνουμε το μέρος \(\frac{\mu}{360}\).

Ισοδύναμα εφαρμόζουμε απευθείας \(E_{\mathrm{τομ.}}=\pi\rho^2\cdot\frac{\mu}{360}\).

Τέλος