01Β. Κανονικά πολύγωνα
🎯 Αναγνωρίζω κανονικά πολύγωνα
1
Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό;

Όταν όλες οι πλευρές του είναι ίσες και όλες οι γωνίες του είναι ίσες.

Αυτή είναι η βασική ιδιότητα ενός κανονικού πολυγώνου.

2
Ένα πολύγωνο έχει όλες τις πλευρές ίσες αλλά όχι όλες τις γωνίες ίσες. Είναι κανονικό;

Για να είναι κανονικό χρειάζονται και ίσες πλευρές και ίσες γωνίες.

Άρα δεν είναι κανονικό.

3
Ένα πολύγωνο έχει όλες τις γωνίες ίσες αλλά οι πλευρές του δεν είναι όλες ίσες. Είναι κανονικό;

Η ισότητα των γωνιών από μόνη της δεν αρκεί.

Άρα δεν είναι κανονικό.

4
Πώς ονομάζεται ένα κανονικό πολύγωνο με \(3\) πλευρές;

Κανονικό τρίγωνο σημαίνει ότι όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες του είναι ίσες.

Είναι ισόπλευρο τρίγωνο.

5
Πώς ονομάζεται το κανονικό τετράπλευρο;

Το κανονικό τετράπλευρο έχει τέσσερις ίσες πλευρές και τέσσερις ορθές γωνίες.

Είναι τετράγωνο.

6
Στο κανονικό πολύγωνο, οι κορυφές μπορούν να θεωρηθούν σημεία ενός ίδιου κύκλου;

Ναι. Ένα κανονικό πολύγωνο μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο με κοινό κέντρο το \(O\).

Έτσι ορίζονται οι ίσες κεντρικές γωνίες του.

7
Τι ονομάζουμε κεντρική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου;

Είναι η γωνία με κορυφή το κέντρο \(O\) και πλευρές που περνούν από δύο διαδοχικές κορυφές.

Όλες οι κεντρικές γωνίες του κανονικού πολυγώνου είναι ίσες.

8
Το παρακάτω σχήμα παριστάνει κανονικό εξάγωνο. Πόσες ίσες κεντρικές γωνίες σχηματίζονται γύρω από το \(O\);
O

Κάθε πλευρά αντιστοιχεί σε μία κεντρική γωνία.

Άρα σχηματίζονται \(6\) ίσες κεντρικές γωνίες.

🎯 Υπολογίζω την κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου
9
Να βρείτε την κεντρική γωνία \(\omega\) ενός κανονικού \(3\)-γώνου.

Οι \(3\) ίσες κεντρικές γωνίες συμπληρώνουν \(360^\circ\).

Άρα \(\omega=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ\).

10
Να βρείτε την κεντρική γωνία \(\omega\) ενός κανονικού \(4\)-γώνου.

Οι \(4\) ίσες κεντρικές γωνίες συμπληρώνουν \(360^\circ\).

Άρα \(\omega=\frac{360^\circ}{4}=90^\circ\).

11
Να βρείτε την κεντρική γωνία \(\omega\) ενός κανονικού \(5\)-γώνου.

Οι \(5\) ίσες κεντρικές γωνίες συμπληρώνουν \(360^\circ\).

Άρα \(\omega=\frac{360^\circ}{5}=72^\circ\).

12
Να βρείτε την κεντρική γωνία \(\omega\) ενός κανονικού \(6\)-γώνου.

Οι \(6\) ίσες κεντρικές γωνίες συμπληρώνουν \(360^\circ\).

Άρα \(\omega=\frac{360^\circ}{6}=60^\circ\).

13
Να βρείτε την κεντρική γωνία \(\omega\) ενός κανονικού \(8\)-γώνου.

Οι \(8\) ίσες κεντρικές γωνίες συμπληρώνουν \(360^\circ\).

Άρα \(\omega=\frac{360^\circ}{8}=45^\circ\).

14
Να βρείτε την κεντρική γωνία \(\omega\) ενός κανονικού \(9\)-γώνου.

Οι \(9\) ίσες κεντρικές γωνίες συμπληρώνουν \(360^\circ\).

Άρα \(\omega=\frac{360^\circ}{9}=40^\circ\).

15
Να βρείτε την κεντρική γωνία \(\omega\) ενός κανονικού \(10\)-γώνου.

Οι \(10\) ίσες κεντρικές γωνίες συμπληρώνουν \(360^\circ\).

Άρα \(\omega=\frac{360^\circ}{10}=36^\circ\).

16
Να βρείτε την κεντρική γωνία \(\omega\) ενός κανονικού \(12\)-γώνου.

Οι \(12\) ίσες κεντρικές γωνίες συμπληρώνουν \(360^\circ\).

Άρα \(\omega=\frac{360^\circ}{12}=30^\circ\).

🎯 Υπολογίζω την εσωτερική γωνία κανονικού πολυγώνου
17
Να βρείτε την εσωτερική γωνία \(\varphi\) ενός κανονικού \(3\)-γώνου.

Η κεντρική γωνία είναι \(\omega=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ\). Για κάθε πλευρά ισχύει \(\varphi+\omega=180^\circ\).

Άρα \(\varphi=180^\circ-120^\circ=60^\circ\).

18
Να βρείτε την εσωτερική γωνία \(\varphi\) ενός κανονικού \(4\)-γώνου.

Η κεντρική γωνία είναι \(\omega=\frac{360^\circ}{4}=90^\circ\). Για κάθε πλευρά ισχύει \(\varphi+\omega=180^\circ\).

Άρα \(\varphi=180^\circ-90^\circ=90^\circ\).

19
Να βρείτε την εσωτερική γωνία \(\varphi\) ενός κανονικού \(5\)-γώνου.

Η κεντρική γωνία είναι \(\omega=\frac{360^\circ}{5}=72^\circ\). Για κάθε πλευρά ισχύει \(\varphi+\omega=180^\circ\).

Άρα \(\varphi=180^\circ-72^\circ=108^\circ\).

20
Να βρείτε την εσωτερική γωνία \(\varphi\) ενός κανονικού \(6\)-γώνου.

Η κεντρική γωνία είναι \(\omega=\frac{360^\circ}{6}=60^\circ\). Για κάθε πλευρά ισχύει \(\varphi+\omega=180^\circ\).

Άρα \(\varphi=180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

21
Να βρείτε την εσωτερική γωνία \(\varphi\) ενός κανονικού \(8\)-γώνου.

Η κεντρική γωνία είναι \(\omega=\frac{360^\circ}{8}=45^\circ\). Για κάθε πλευρά ισχύει \(\varphi+\omega=180^\circ\).

Άρα \(\varphi=180^\circ-45^\circ=135^\circ\).

22
Να βρείτε την εσωτερική γωνία \(\varphi\) ενός κανονικού \(9\)-γώνου.

Η κεντρική γωνία είναι \(\omega=\frac{360^\circ}{9}=40^\circ\). Για κάθε πλευρά ισχύει \(\varphi+\omega=180^\circ\).

Άρα \(\varphi=180^\circ-40^\circ=140^\circ\).

23
Να βρείτε την εσωτερική γωνία \(\varphi\) ενός κανονικού \(10\)-γώνου.

Η κεντρική γωνία είναι \(\omega=\frac{360^\circ}{10}=36^\circ\). Για κάθε πλευρά ισχύει \(\varphi+\omega=180^\circ\).

Άρα \(\varphi=180^\circ-36^\circ=144^\circ\).

24
Να βρείτε την εσωτερική γωνία \(\varphi\) ενός κανονικού \(12\)-γώνου.

Η κεντρική γωνία είναι \(\omega=\frac{360^\circ}{12}=30^\circ\). Για κάθε πλευρά ισχύει \(\varphi+\omega=180^\circ\).

Άρα \(\varphi=180^\circ-30^\circ=150^\circ\).

🎯 Από την κεντρική γωνία βρίσκω το πλήθος των πλευρών
25
Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία \(\omega=120^\circ\). Να βρείτε το πλήθος \(\nu\) των πλευρών του.

Ισχύει \(\omega=\frac{360^\circ}{\nu}\), άρα \(\nu=\frac{360^\circ}{120^\circ}\).

Άρα \(\nu=3\), δηλαδή το πολύγωνο είναι κανονικό \(3\)-γωνο.

26
Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία \(\omega=90^\circ\). Να βρείτε το πλήθος \(\nu\) των πλευρών του.

Ισχύει \(\omega=\frac{360^\circ}{\nu}\), άρα \(\nu=\frac{360^\circ}{90^\circ}\).

Άρα \(\nu=4\), δηλαδή το πολύγωνο είναι κανονικό \(4\)-γωνο.

27
Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία \(\omega=72^\circ\). Να βρείτε το πλήθος \(\nu\) των πλευρών του.

Ισχύει \(\omega=\frac{360^\circ}{\nu}\), άρα \(\nu=\frac{360^\circ}{72^\circ}\).

Άρα \(\nu=5\), δηλαδή το πολύγωνο είναι κανονικό \(5\)-γωνο.

28
Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία \(\omega=60^\circ\). Να βρείτε το πλήθος \(\nu\) των πλευρών του.

Ισχύει \(\omega=\frac{360^\circ}{\nu}\), άρα \(\nu=\frac{360^\circ}{60^\circ}\).

Άρα \(\nu=6\), δηλαδή το πολύγωνο είναι κανονικό \(6\)-γωνο.

29
Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία \(\omega=45^\circ\). Να βρείτε το πλήθος \(\nu\) των πλευρών του.

Ισχύει \(\omega=\frac{360^\circ}{\nu}\), άρα \(\nu=\frac{360^\circ}{45^\circ}\).

Άρα \(\nu=8\), δηλαδή το πολύγωνο είναι κανονικό \(8\)-γωνο.

30
Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία \(\omega=40^\circ\). Να βρείτε το πλήθος \(\nu\) των πλευρών του.

Ισχύει \(\omega=\frac{360^\circ}{\nu}\), άρα \(\nu=\frac{360^\circ}{40^\circ}\).

Άρα \(\nu=9\), δηλαδή το πολύγωνο είναι κανονικό \(9\)-γωνο.

31
Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία \(\omega=36^\circ\). Να βρείτε το πλήθος \(\nu\) των πλευρών του.

Ισχύει \(\omega=\frac{360^\circ}{\nu}\), άρα \(\nu=\frac{360^\circ}{36^\circ}\).

Άρα \(\nu=10\), δηλαδή το πολύγωνο είναι κανονικό \(10\)-γωνο.

32
Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία \(\omega=30^\circ\). Να βρείτε το πλήθος \(\nu\) των πλευρών του.

Ισχύει \(\omega=\frac{360^\circ}{\nu}\), άρα \(\nu=\frac{360^\circ}{30^\circ}\).

Άρα \(\nu=12\), δηλαδή το πολύγωνο είναι κανονικό \(12\)-γωνο.

🎯 Από την εσωτερική γωνία βρίσκω το πλήθος των πλευρών
33
Ένα κανονικό πολύγωνο έχει εσωτερική γωνία \(\varphi=60^\circ\). Να βρείτε πόσες πλευρές έχει.

Η αντίστοιχη κεντρική γωνία είναι \(\omega=180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

Άρα \(\nu=\frac{360^\circ}{120^\circ}=3\). Το πολύγωνο έχει \(3\) πλευρές.

34
Ένα κανονικό πολύγωνο έχει εσωτερική γωνία \(\varphi=90^\circ\). Να βρείτε πόσες πλευρές έχει.

Η αντίστοιχη κεντρική γωνία είναι \(\omega=180^\circ-90^\circ=90^\circ\).

Άρα \(\nu=\frac{360^\circ}{90^\circ}=4\). Το πολύγωνο έχει \(4\) πλευρές.

35
Ένα κανονικό πολύγωνο έχει εσωτερική γωνία \(\varphi=108^\circ\). Να βρείτε πόσες πλευρές έχει.

Η αντίστοιχη κεντρική γωνία είναι \(\omega=180^\circ-108^\circ=72^\circ\).

Άρα \(\nu=\frac{360^\circ}{72^\circ}=5\). Το πολύγωνο έχει \(5\) πλευρές.

36
Ένα κανονικό πολύγωνο έχει εσωτερική γωνία \(\varphi=120^\circ\). Να βρείτε πόσες πλευρές έχει.

Η αντίστοιχη κεντρική γωνία είναι \(\omega=180^\circ-120^\circ=60^\circ\).

Άρα \(\nu=\frac{360^\circ}{60^\circ}=6\). Το πολύγωνο έχει \(6\) πλευρές.

37
Ένα κανονικό πολύγωνο έχει εσωτερική γωνία \(\varphi=135^\circ\). Να βρείτε πόσες πλευρές έχει.

Η αντίστοιχη κεντρική γωνία είναι \(\omega=180^\circ-135^\circ=45^\circ\).

Άρα \(\nu=\frac{360^\circ}{45^\circ}=8\). Το πολύγωνο έχει \(8\) πλευρές.

38
Ένα κανονικό πολύγωνο έχει εσωτερική γωνία \(\varphi=140^\circ\). Να βρείτε πόσες πλευρές έχει.

Η αντίστοιχη κεντρική γωνία είναι \(\omega=180^\circ-140^\circ=40^\circ\).

Άρα \(\nu=\frac{360^\circ}{40^\circ}=9\). Το πολύγωνο έχει \(9\) πλευρές.

39
Ένα κανονικό πολύγωνο έχει εσωτερική γωνία \(\varphi=144^\circ\). Να βρείτε πόσες πλευρές έχει.

Η αντίστοιχη κεντρική γωνία είναι \(\omega=180^\circ-144^\circ=36^\circ\).

Άρα \(\nu=\frac{360^\circ}{36^\circ}=10\). Το πολύγωνο έχει \(10\) πλευρές.

40
Ένα κανονικό πολύγωνο έχει εσωτερική γωνία \(\varphi=150^\circ\). Να βρείτε πόσες πλευρές έχει.

Η αντίστοιχη κεντρική γωνία είναι \(\omega=180^\circ-150^\circ=30^\circ\).

Άρα \(\nu=\frac{360^\circ}{30^\circ}=12\). Το πολύγωνο έχει \(12\) πλευρές.

🎯 Ελέγχω αν μια γωνία μπορεί να ανήκει σε κανονικό πολύγωνο
41
Μπορεί κανονικό πολύγωνο να έχει κεντρική γωνία \(50^\circ\); Να αιτιολογήσετε.

Θα έπρεπε \(\nu=\frac{360}{50}=7,2\).

Το πλήθος των πλευρών πρέπει να είναι ακέραιος αριθμός. Εδώ δεν είναι, άρα τέτοιο κανονικό πολύγωνο δεν υπάρχει.

42
Μπορεί κανονικό πολύγωνο να έχει κεντρική γωνία \(24^\circ\); Να αιτιολογήσετε.

Θα έπρεπε \(\nu=\frac{360}{24}=15\).

Επειδή το αποτέλεσμα είναι θετικός ακέραιος μεγαλύτερος ή ίσος του 3, τέτοιο κανονικό πολύγωνο υπάρχει.

43
Μπορεί κανονικό πολύγωνο να έχει κεντρική γωνία \(32^\circ\); Να αιτιολογήσετε.

Θα έπρεπε \(\nu=\frac{360}{32}=11,25\).

Το πλήθος των πλευρών πρέπει να είναι ακέραιος αριθμός. Εδώ δεν είναι, άρα τέτοιο κανονικό πολύγωνο δεν υπάρχει.

44
Μπορεί κανονικό πολύγωνο να έχει κεντρική γωνία \(15^\circ\); Να αιτιολογήσετε.

Θα έπρεπε \(\nu=\frac{360}{15}=24\).

Επειδή το αποτέλεσμα είναι θετικός ακέραιος μεγαλύτερος ή ίσος του 3, τέτοιο κανονικό πολύγωνο υπάρχει.

45
Μπορεί κανονικό πολύγωνο να έχει εσωτερική γωνία \(100^\circ\); Να αιτιολογήσετε.

Τότε \(\omega=180^\circ-100^\circ=80^\circ\) και \(\nu=\frac{360}{80}=4,5\).

Το πλήθος των πλευρών δεν είναι ακέραιο, άρα τέτοιο κανονικό πολύγωνο δεν υπάρχει.

46
Μπορεί κανονικό πολύγωνο να έχει εσωτερική γωνία \(135^\circ\); Να αιτιολογήσετε.

Τότε \(\omega=180^\circ-135^\circ=45^\circ\) και \(\nu=\frac{360}{45}=8\).

Το πλήθος των πλευρών είναι ακέραιο, άρα τέτοιο κανονικό πολύγωνο υπάρχει.

47
Μπορεί κανονικό πολύγωνο να έχει εσωτερική γωνία \(160^\circ\); Να αιτιολογήσετε.

Τότε \(\omega=180^\circ-160^\circ=20^\circ\) και \(\nu=\frac{360}{20}=18\).

Το πλήθος των πλευρών είναι ακέραιο, άρα τέτοιο κανονικό πολύγωνο υπάρχει.

48
Μπορεί κανονικό πολύγωνο να έχει εσωτερική γωνία \(158^\circ\); Να αιτιολογήσετε.

Τότε \(\omega=180^\circ-158^\circ=22^\circ\) και \(\nu=\frac{360}{22}=16,36\).

Το πλήθος των πλευρών δεν είναι ακέραιο, άρα τέτοιο κανονικό πολύγωνο δεν υπάρχει.

🎯 Συνδέω την κεντρική με την εσωτερική γωνία
49
Σε κανονικό πολύγωνο η κεντρική γωνία είναι \(60^\circ\). Να βρείτε την εσωτερική.

Ισχύει \(\varphi+\omega=180^\circ\).

Άρα \(\varphi=180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

50
Σε κανονικό πολύγωνο η εσωτερική γωνία είναι \(135^\circ\). Να βρείτε την κεντρική.

Ισχύει \(\omega=180^\circ-\varphi\).

Άρα \(\omega=45^\circ\).

51
Σε ποιο κανονικό πολύγωνο η εσωτερική γωνία είναι ίση με την κεντρική;

Θέτουμε \(\varphi=\omega\) και \(\varphi+\omega=180^\circ\). Άρα \(2\omega=180^\circ\).

Έχουμε \(\omega=90^\circ\), οπότε \(\nu=\frac{360}{90}=4\). Πρόκειται για τετράγωνο.

52
Σε ποιο κανονικό πολύγωνο η εσωτερική γωνία είναι διπλάσια από την κεντρική;

Θέτουμε \(\varphi=2\omega\) και \(\varphi+\omega=180^\circ\). Άρα \(3\omega=180^\circ\).

Έτσι \(\omega=60^\circ\) και \(\nu=6\). Πρόκειται για κανονικό εξάγωνο.

53
Σε ποιο κανονικό πολύγωνο η εσωτερική γωνία είναι τριπλάσια από την κεντρική;

Θέτουμε \(\varphi=3\omega\). Τότε \(3\omega+\omega=180^\circ\).

Άρα \(\omega=45^\circ\) και \(\nu=8\). Πρόκειται για κανονικό οκτάγωνο.

54
Σε κανονικό πολύγωνο ισχύει \(\varphi=5\omega\). Να βρείτε το πλήθος των πλευρών.

Αφού \(\varphi+\omega=180^\circ\), έχουμε \(6\omega=180^\circ\).

Άρα \(\omega=30^\circ\) και \(\nu=12\).

55
Αν διπλασιάσουμε το πλήθος των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου, τι συμβαίνει στην κεντρική γωνία;

Η κεντρική γωνία είναι \(\omega=\frac{360^\circ}{\nu}\).

Αν το \(\nu\) γίνει \(2\nu\), η κεντρική γωνία γίνεται \(\frac{\omega}{2}\).

56
Όσο αυξάνεται το πλήθος των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου, τι συμβαίνει στην εσωτερική γωνία;

Η κεντρική γωνία \(\omega=\frac{360^\circ}{\nu}\) μικραίνει και \(\varphi=180^\circ-\omega\).

Άρα η εσωτερική γωνία αυξάνεται και πλησιάζει τις \(180^\circ\).

🎯 Διαβάζω κανονικά πολύγωνα από σχήματα
57
Στο παρακάτω κανονικό \(3\)-γωνο να βρείτε την κεντρική γωνία και την εσωτερική γωνία.
O

Η κεντρική γωνία είναι \(\omega=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ\).

Άρα η εσωτερική είναι \(\varphi=180^\circ-120^\circ=60^\circ\).

58
Στο παρακάτω κανονικό \(4\)-γωνο να βρείτε την κεντρική γωνία και την εσωτερική γωνία.
O

Η κεντρική γωνία είναι \(\omega=\frac{360^\circ}{4}=90^\circ\).

Άρα η εσωτερική είναι \(\varphi=180^\circ-90^\circ=90^\circ\).

59
Στο παρακάτω κανονικό \(5\)-γωνο να βρείτε την κεντρική γωνία και την εσωτερική γωνία.
O

Η κεντρική γωνία είναι \(\omega=\frac{360^\circ}{5}=72^\circ\).

Άρα η εσωτερική είναι \(\varphi=180^\circ-72^\circ=108^\circ\).

60
Στο παρακάτω κανονικό \(6\)-γωνο να βρείτε την κεντρική γωνία και την εσωτερική γωνία.
O

Η κεντρική γωνία είναι \(\omega=\frac{360^\circ}{6}=60^\circ\).

Άρα η εσωτερική είναι \(\varphi=180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

61
Στο παρακάτω κανονικό \(8\)-γωνο να βρείτε την κεντρική γωνία και την εσωτερική γωνία.
O

Η κεντρική γωνία είναι \(\omega=\frac{360^\circ}{8}=45^\circ\).

Άρα η εσωτερική είναι \(\varphi=180^\circ-45^\circ=135^\circ\).

62
Στο παρακάτω κανονικό \(10\)-γωνο να βρείτε την κεντρική γωνία και την εσωτερική γωνία.
O

Η κεντρική γωνία είναι \(\omega=\frac{360^\circ}{10}=36^\circ\).

Άρα η εσωτερική είναι \(\varphi=180^\circ-36^\circ=144^\circ\).

63
Στο παρακάτω κανονικό \(12\)-γωνο να βρείτε την κεντρική γωνία και την εσωτερική γωνία.
O

Η κεντρική γωνία είναι \(\omega=\frac{360^\circ}{12}=30^\circ\).

Άρα η εσωτερική είναι \(\varphi=180^\circ-30^\circ=150^\circ\).

64
Στο παρακάτω κανονικό \(15\)-γωνο να βρείτε την κεντρική γωνία και την εσωτερική γωνία.
O

Η κεντρική γωνία είναι \(\omega=\frac{360^\circ}{15}=24^\circ\).

Άρα η εσωτερική είναι \(\varphi=180^\circ-24^\circ=156^\circ\).

🎯 Μικτή εξάσκηση στα κανονικά πολύγωνα
65
Να βρείτε την κεντρική και την εσωτερική γωνία κανονικού \(18\)-γώνου.

\(\omega=\frac{360^\circ}{18}=20^\circ\).

Άρα \(\varphi=180^\circ-20^\circ=160^\circ\).

66
Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία \(20^\circ\). Να βρείτε το πλήθος των πλευρών και την εσωτερική γωνία.

\(\nu=\frac{360}{20}=18\).

Άρα έχει \(18\) πλευρές και \(\varphi=160^\circ\).

67
Ένα κανονικό πολύγωνο έχει εσωτερική γωνία \(156^\circ\). Να βρείτε το πλήθος των πλευρών.

\(\omega=180^\circ-156^\circ=24^\circ\).

Άρα \(\nu=\frac{360}{24}=15\).

68
Σε κανονικό πολύγωνο η εσωτερική γωνία είναι \(4\) φορές την κεντρική. Να βρείτε το πλήθος των πλευρών.

Έχουμε \(\varphi=4\omega\) και \(\varphi+\omega=180^\circ\), άρα \(5\omega=180^\circ\).

Έτσι \(\omega=36^\circ\) και \(\nu=10\).

69
Η κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου είναι \(x+10^\circ\) και η εσωτερική \(4x+20^\circ\). Να βρείτε το \(x\) και το πλήθος των πλευρών.

Ισχύει \((x+10)+(4x+20)=180\), άρα \(5x+30=180\).

Έτσι \(x=30\), \(\omega=40^\circ\) και \(\varphi=140^\circ\). Άρα \(\nu=\frac{360}{40}=9\).

70
Η κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου είναι \(x+20^\circ\) και η εσωτερική \(5x+10^\circ\). Αν το πολύγωνο είναι κανονικό, να βρείτε το \(x\).

Ισχύει \((x+20)+(5x+10)=180\), άρα \(6x+30=180\).

Άρα \(x=25\), οπότε \(\omega=45^\circ\) και \(\nu=\frac{360}{45}=8\).

71
Βρείτε κανονικό πολύγωνο με κεντρική γωνία \(30^\circ\) και ελέγξτε αν η εσωτερική του είναι \(150^\circ\).

\(\nu=\frac{360}{30}=12\).

Η εσωτερική είναι \(180^\circ-30^\circ=150^\circ\), άρα ο ισχυρισμός είναι σωστός.

72
Ποια βασική διαδικασία ακολουθώ όταν μου δίνεται μία από τις δύο γωνίες ενός κανονικού πολυγώνου;

Αν δίνεται η κεντρική, βρίσκω \( u=360/\omega\). Αν δίνεται η εσωτερική, πρώτα βρίσκω \(\omega=180^\circ- arphi\).

Έπειτα ελέγχω ότι το \(\nu\) είναι ακέραιος αριθμός τουλάχιστον \(3\).

Τέλος