01Δ. Τεταρτημόρια
🎯 Κατανοώ τα τεταρτημόρια
1
Τι εκφράζει το πρώτο τεταρτημόριο \(Q_1\);

Το \(Q_1\) είναι η διάμεσος του πρώτου μισού των ταξινομημένων δεδομένων.

Χωρίζει περίπου το κατώτερο \(25\%\) των δεδομένων από τα υπόλοιπα.

2
Με ποιο γνωστό μέτρο θέσης ταυτίζεται το δεύτερο τεταρτημόριο \(Q_2\);

Το δεύτερο τεταρτημόριο βρίσκεται στο κέντρο της ταξινομημένης σειράς.

Ισχύει \(Q_2=\delta\), δηλαδή είναι η διάμεσος.

3
Τι εκφράζει το τρίτο τεταρτημόριο \(Q_3\);

Το \(Q_3\) είναι η διάμεσος του δεύτερου μισού των ταξινομημένων δεδομένων.

Περίπου το \(75\%\) των δεδομένων βρίσκεται μέχρι το \(Q_3\).

4
Ποια είναι η πρώτη ενέργεια πριν υπολογίσουμε τα τεταρτημόρια;

Τα τεταρτημόρια εξαρτώνται από τη θέση των παρατηρήσεων.

Πρώτα τοποθετούμε τα δεδομένα σε αύξουσα σειρά.

5
Όταν το πλήθος των δεδομένων είναι περιττό, τι κάνουμε με τη διάμεσο πριν βρούμε \(Q_1\) και \(Q_3\);

Η κεντρική παρατήρηση είναι το \(Q_2\).

Την εξαιρούμε και βρίσκουμε τις διαμέσους του αριστερού και του δεξιού μισού.

6
Ποια σχέση ισχύει πάντα μεταξύ των \(Q_1,Q_2,Q_3\);

Τα τεταρτημόρια ακολουθούν τη διάταξη των δεδομένων.

Ισχύει \(Q_1\le Q_2\le Q_3\).

7
Μπορούν δύο τεταρτημόρια να έχουν την ίδια τιμή;

Ναι, ιδιαίτερα όταν υπάρχουν επαναλαμβανόμενες παρατηρήσεις.

Είναι δυνατό να ισχύει, για παράδειγμα, \(Q_1=Q_2\).

8
Σε πόσα περίπου ίσα μέρη χωρίζουν τα δεδομένα τα \(Q_1,Q_2,Q_3\);

Τα τρία τεταρτημόρια λειτουργούν ως τρία όρια θέσης.

Χωρίζουν τα δεδομένα σε τέσσερα περίπου ίσα μέρη.

🎯 Υπολογίζω τεταρτημόρια σε περιττό πλήθος δεδομένων
9
Να βρείτε τα \(Q_1,Q_2,Q_3\) των δεδομένων \(2,4,6,8,10\).

Ταξινομούμε: \(2,4,6,8,10\). Επειδή το πλήθος είναι περιττό, εξαιρούμε τη διάμεσο \(Q_2=6\) και χωρίζουμε τα υπόλοιπα σε δύο μισά.

Άρα \(Q_1=3\), \(Q_2=6\), \(Q_3=9\).

10
Να βρείτε τα \(Q_1,Q_2,Q_3\) των δεδομένων \(1,3,5,7,9,11,13\).

Ταξινομούμε: \(1,3,5,7,9,11,13\). Επειδή το πλήθος είναι περιττό, εξαιρούμε τη διάμεσο \(Q_2=7\) και χωρίζουμε τα υπόλοιπα σε δύο μισά.

Άρα \(Q_1=3\), \(Q_2=7\), \(Q_3=11\).

11
Να βρείτε τα \(Q_1,Q_2,Q_3\) των δεδομένων \(12,4,8,6,10\).

Ταξινομούμε: \(4,6,8,10,12\). Επειδή το πλήθος είναι περιττό, εξαιρούμε τη διάμεσο \(Q_2=8\) και χωρίζουμε τα υπόλοιπα σε δύο μισά.

Άρα \(Q_1=5\), \(Q_2=8\), \(Q_3=11\).

12
Να βρείτε τα \(Q_1,Q_2,Q_3\) των δεδομένων \(3,5,5,7,9,11,13\).

Ταξινομούμε: \(3,5,5,7,9,11,13\). Επειδή το πλήθος είναι περιττό, εξαιρούμε τη διάμεσο \(Q_2=7\) και χωρίζουμε τα υπόλοιπα σε δύο μισά.

Άρα \(Q_1=5\), \(Q_2=7\), \(Q_3=11\).

13
Να βρείτε τα \(Q_1,Q_2,Q_3\) των δεδομένων \(-5,-3,-1,2,4\).

Ταξινομούμε: \(-5,-3,-1,2,4\). Επειδή το πλήθος είναι περιττό, εξαιρούμε τη διάμεσο \(Q_2=-1\) και χωρίζουμε τα υπόλοιπα σε δύο μισά.

Άρα \(Q_1=-4\), \(Q_2=-1\), \(Q_3=3\).

14
Να βρείτε τα \(Q_1,Q_2,Q_3\) των δεδομένων \(2,4,5,7,9,10,12,14,16\).

Ταξινομούμε: \(2,4,5,7,9,10,12,14,16\). Επειδή το πλήθος είναι περιττό, εξαιρούμε τη διάμεσο \(Q_2=9\) και χωρίζουμε τα υπόλοιπα σε δύο μισά.

Άρα \(Q_1=4,5\), \(Q_2=9\), \(Q_3=13\).

15
Να βρείτε τα \(Q_1,Q_2,Q_3\) των δεδομένων \(20,12,16,14,18,22,24\).

Ταξινομούμε: \(12,14,16,18,20,22,24\). Επειδή το πλήθος είναι περιττό, εξαιρούμε τη διάμεσο \(Q_2=18\) και χωρίζουμε τα υπόλοιπα σε δύο μισά.

Άρα \(Q_1=14\), \(Q_2=18\), \(Q_3=22\).

16
Να βρείτε τα \(Q_1,Q_2,Q_3\) των δεδομένων \(0,1,1,2,3,5,8\).

Ταξινομούμε: \(0,1,1,2,3,5,8\). Επειδή το πλήθος είναι περιττό, εξαιρούμε τη διάμεσο \(Q_2=2\) και χωρίζουμε τα υπόλοιπα σε δύο μισά.

Άρα \(Q_1=1\), \(Q_2=2\), \(Q_3=5\).

🎯 Υπολογίζω τεταρτημόρια σε άρτιο πλήθος δεδομένων
17
Να βρείτε τα \(Q_1,Q_2,Q_3\) των δεδομένων \(2,4,6,8\).

Ταξινομούμε: \(2,4,6,8\). Το πλήθος είναι άρτιο, οπότε \(Q_2\) είναι το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων τιμών.

Άρα \(Q_1=3\), \(Q_2=5\), \(Q_3=7\).

18
Να βρείτε τα \(Q_1,Q_2,Q_3\) των δεδομένων \(1,3,5,7,9,11\).

Ταξινομούμε: \(1,3,5,7,9,11\). Το πλήθος είναι άρτιο, οπότε \(Q_2\) είναι το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων τιμών.

Άρα \(Q_1=3\), \(Q_2=6\), \(Q_3=9\).

19
Να βρείτε τα \(Q_1,Q_2,Q_3\) των δεδομένων \(10,2,8,4,6,12\).

Ταξινομούμε: \(2,4,6,8,10,12\). Το πλήθος είναι άρτιο, οπότε \(Q_2\) είναι το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων τιμών.

Άρα \(Q_1=4\), \(Q_2=7\), \(Q_3=10\).

20
Να βρείτε τα \(Q_1,Q_2,Q_3\) των δεδομένων \(2,2,4,4,6,6,8,8\).

Ταξινομούμε: \(2,2,4,4,6,6,8,8\). Το πλήθος είναι άρτιο, οπότε \(Q_2\) είναι το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων τιμών.

Άρα \(Q_1=3\), \(Q_2=5\), \(Q_3=7\).

21
Να βρείτε τα \(Q_1,Q_2,Q_3\) των δεδομένων \(-6,-4,-2,0,2,4\).

Ταξινομούμε: \(-6,-4,-2,0,2,4\). Το πλήθος είναι άρτιο, οπότε \(Q_2\) είναι το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων τιμών.

Άρα \(Q_1=-4\), \(Q_2=-1\), \(Q_3=2\).

22
Να βρείτε τα \(Q_1,Q_2,Q_3\) των δεδομένων \(3,5,7,9,11,13,15,17\).

Ταξινομούμε: \(3,5,7,9,11,13,15,17\). Το πλήθος είναι άρτιο, οπότε \(Q_2\) είναι το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων τιμών.

Άρα \(Q_1=6\), \(Q_2=10\), \(Q_3=14\).

23
Να βρείτε τα \(Q_1,Q_2,Q_3\) των δεδομένων \(1,2,4,5,7,8,10,12,14,16\).

Ταξινομούμε: \(1,2,4,5,7,8,10,12,14,16\). Το πλήθος είναι άρτιο, οπότε \(Q_2\) είναι το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων τιμών.

Άρα \(Q_1=4\), \(Q_2=7,5\), \(Q_3=12\).

24
Να βρείτε τα \(Q_1,Q_2,Q_3\) των δεδομένων \(4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26\).

Ταξινομούμε: \(4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26\). Το πλήθος είναι άρτιο, οπότε \(Q_2\) είναι το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων τιμών.

Άρα \(Q_1=9\), \(Q_2=15\), \(Q_3=21\).

🎯 Υπολογίζω το ενδοτεταρτημοριακό εύρος
25
Για \(Q_1=4\) και \(Q_3=10\), να βρείτε το ενδοτεταρτημοριακό εύρος \(Q\).

Χρησιμοποιούμε τον τύπο \(Q=Q_3-Q_1\).

Άρα \(Q=10-4=6\).

26
Για \(Q_1=7\) και \(Q_3=15\), να βρείτε το ενδοτεταρτημοριακό εύρος \(Q\).

Χρησιμοποιούμε τον τύπο \(Q=Q_3-Q_1\).

Άρα \(Q=15-7=8\).

27
Για \(Q_1=-3\) και \(Q_3=5\), να βρείτε το ενδοτεταρτημοριακό εύρος \(Q\).

Χρησιμοποιούμε τον τύπο \(Q=Q_3-Q_1\).

Άρα \(Q=5--3=8\).

28
Για \(Q_1=3\) και \(Q_3=9\), να βρείτε το ενδοτεταρτημοριακό εύρος \(Q\).

Χρησιμοποιούμε τον τύπο \(Q=Q_3-Q_1\).

Άρα \(Q=9-3=6\).

29
Για \(Q_1=6\) και \(Q_3=14\), να βρείτε το ενδοτεταρτημοριακό εύρος \(Q\).

Χρησιμοποιούμε τον τύπο \(Q=Q_3-Q_1\).

Άρα \(Q=14-6=8\).

30
Για \(Q_1=1\) και \(Q_3=5\), να βρείτε το ενδοτεταρτημοριακό εύρος \(Q\).

Χρησιμοποιούμε τον τύπο \(Q=Q_3-Q_1\).

Άρα \(Q=5-1=4\).

31
Για \(Q_1=9\) και \(Q_3=21\), να βρείτε το ενδοτεταρτημοριακό εύρος \(Q\).

Χρησιμοποιούμε τον τύπο \(Q=Q_3-Q_1\).

Άρα \(Q=21-9=12\).

32
Για \(Q_1=12,5\) και \(Q_3=17,5\), να βρείτε το ενδοτεταρτημοριακό εύρος \(Q\).

Χρησιμοποιούμε τον τύπο \(Q=Q_3-Q_1\).

Άρα \(Q=17,5-12,5=5\).

🎯 Βρίσκω άγνωστο τεταρτημόριο ή άγνωστο δεδομένο
33
Αν \(Q=9\) και \(Q_3=14\), να βρείτε το \(Q_1\).

Από \(Q=Q_3-Q_1\) έχουμε \(9=14-Q_1\).

Άρα \(Q_1=5\).

34
Αν \(Q_1=6\) και \(Q=7\), να βρείτε το \(Q_3\).

Έχουμε \(Q_3=Q+Q_1\).

Άρα \(Q_3=13\).

35
Τα ταξινομημένα δεδομένα είναι \(2,4,x,8,10\) και \(Q_2=6\). Να βρείτε το \(x\).

Με \(5\) παρατηρήσεις, το \(Q_2\) είναι η 3η παρατήρηση.

Άρα \(x=6\).

36
Τα ταξινομημένα δεδομένα είναι \(1,3,5,x,9,11,13\) και \(Q_2=7\). Να βρείτε το \(x\).

Με \(7\) παρατηρήσεις, η 4η τιμή είναι η διάμεσος.

Άρα \(x=7\).

37
Τα ταξινομημένα δεδομένα είναι \(2,4,6,8,x,12\) και \(Q_2=7\). Ποιες τιμές μπορεί να πάρει το \(x\);

Η διάμεσος είναι \(\frac{6+8}{2}=7\) και δεν εξαρτάται από το \(x\), αρκεί να διατηρείται η σειρά.

Άρα \(8\le x\le12\).

38
Στα δεδομένα \(2,4,6,8,10\), ποιες τιμές χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του \(Q_1\);

Εξαιρούμε τη διάμεσο \(6\). Το πρώτο μισό είναι \(2,4\).

Χρησιμοποιούμε τις τιμές \(2\) και \(4\).

39
Στα δεδομένα \(1,3,5,7,9,11\), ποιο είναι το δεύτερο μισό που χρησιμοποιείται για το \(Q_3\);

Με \(6\) παρατηρήσεις, το δεύτερο μισό είναι οι τελευταίες τρεις.

Άρα είναι \(7,9,11\).

40
Αν \(Q_1=8\), \(Q_2=12\) και \(Q_3=18\), να βρείτε το \(Q\).

Για το ενδοτεταρτημοριακό εύρος χρησιμοποιούμε μόνο \(Q_1,Q_3\).

Άρα \(Q=18-8=10\).

🎯 Συγκρίνω τη μεταβλητότητα δύο συνόλων
41
Το σύνολο Α έχει \(Q_1=5,Q_3=9\) και το Β έχει \(Q_1=4,Q_3=12\). Ποιο έχει μεγαλύτερο ενδοτεταρτημοριακό εύρος;

Για το Α: \(Q_A=4\). Για το Β: \(Q_B=8\).

Το σύνολο Β έχει μεγαλύτερο ενδοτεταρτημοριακό εύρος.

42
Δύο ομάδες έχουν ενδοτεταρτημοριακά εύρη \(3\) και \(7\). Ποια έχει μικρότερη μεταβλητότητα στο μεσαίο \(50\%\);

Μικρότερο ενδοτεταρτημοριακό εύρος σημαίνει πιο συγκεντρωμένο μεσαίο \(50\%\).

Η ομάδα με \(Q=3\) έχει μικρότερη μεταβλητότητα.

43
Για την ομάδα Α ισχύει \(Q_1=10,Q_3=16\) και για τη Β \(Q_1=12,Q_3=18\). Πώς συγκρίνονται τα \(Q\);

Και στις δύο ομάδες η διαφορά είναι \(6\).

Τα ενδοτεταρτημοριακά εύρη είναι ίσα.

44
Η ομάδα Α έχει \(Q=4\) και η Β \(Q=9\). Ποια έχει πιο απλωμένο το μεσαίο \(50\%\);

Μεγαλύτερο \(Q\) σημαίνει μεγαλύτερη απόσταση μεταξύ \(Q_1\) και \(Q_3\).

Η ομάδα Β.

45
Δύο σύνολα έχουν ίδιο συνολικό εύρος αλλά διαφορετικό ενδοτεταρτημοριακό εύρος. Μπορούν να έχουν διαφορετική μεταβλητότητα στο κέντρο τους;

Ναι, γιατί το ενδοτεταρτημοριακό εύρος περιγράφει το μεσαίο \(50\%\), ενώ το συνολικό εύρος χρησιμοποιεί μόνο τα άκρα.

Άρα μπορούν να διαφέρουν ως προς την κεντρική μεταβλητότητα.

46
Το Α έχει \(Q_1=2,Q_3=6\) και το Β \(Q_1=20,Q_3=24\). Ποιο έχει μεγαλύτερο \(Q\);

Και στα δύο \(Q=4\).

Έχουν ίδιο ενδοτεταρτημοριακό εύρος.

47
Γιατί το ενδοτεταρτημοριακό εύρος επηρεάζεται λιγότερο από απόμακρες τιμές σε σχέση με το συνολικό εύρος;

Χρησιμοποιεί μόνο \(Q_1\) και \(Q_3\), δηλαδή το κεντρικό τμήμα των δεδομένων.

Γι’ αυτό είναι πιο ανθεκτικό στις ακραίες τιμές.

48
Αν δύο σύνολα έχουν \(Q_A=5\) και \(Q_B=5\), μπορούμε να συμπεράνουμε ότι έχουν το ίδιο κέντρο;

Το ίδιο \(Q\) δείχνει ίδιο πλάτος του μεσαίου \(50\%\), όχι ίδια θέση.

Άρα όχι.

🎯 Μελετώ πώς μεταβάλλονται τα τεταρτημόρια
49
Αν προσθέσουμε \(3\) σε όλα τα δεδομένα και αρχικά \(Q_1=4,Q_2=7,Q_3=10\), ποια είναι τα νέα τεταρτημόρια;

Προσθέτουμε \(3\) σε κάθε τεταρτημόριο.

Νέα: \(Q_1=7,Q_2=10,Q_3=13\).

50
Στο προηγούμενο παράδειγμα, πώς μεταβάλλεται το ενδοτεταρτημοριακό εύρος;

Αρχικά \(Q=6\) και μετά \(13-7=6\).

Παραμένει ίδιο.

51
Αν αφαιρέσουμε \(5\) από όλα τα δεδομένα και αρχικά \(Q_1=8,Q_2=12,Q_3=17\), ποια είναι τα νέα τεταρτημόρια;

Αφαιρούμε \(5\) από καθένα.

Νέα: \(3,7,12\).

52
Αν διπλασιάσουμε όλα τα δεδομένα και αρχικά \(Q_1=3,Q_2=5,Q_3=8\), ποια είναι τα νέα τεταρτημόρια;

Διπλασιάζουμε κάθε τεταρτημόριο.

Νέα: \(6,10,16\).

53
Αν όλα τα δεδομένα πολλαπλασιαστούν με \(3\), τι συμβαίνει στο \(Q\);

Οι αποστάσεις μεταξύ των τεταρτημορίων τριπλασιάζονται.

Το ενδοτεταρτημοριακό εύρος τριπλασιάζεται.

54
Αν όλα τα δεδομένα διαιρεθούν με \(2\), τι συμβαίνει στα \(Q_1,Q_2,Q_3\);

Η σειρά διατηρείται και κάθε τιμή γίνεται η μισή.

Κάθε τεταρτημόριο διαιρείται με \(2\).

55
Αρχικά \(Q_1=6,Q_3=14\). Αν προσθέσουμε \(10\) σε όλες τις παρατηρήσεις, ποιο είναι το νέο \(Q\);

Αρχικά \(Q=8\). Η κοινή πρόσθεση δεν αλλάζει τη διαφορά.

Το νέο \(Q\) παραμένει \(8\).

56
Αρχικά \(Q=5\). Αν όλες οι παρατηρήσεις πολλαπλασιαστούν με \(4\), ποιο είναι το νέο \(Q\);

Το θετικό γινόμενο κλιμακώνει όλες τις αποστάσεις επί \(4\).

Άρα το νέο \(Q=20\).

🎯 Εφαρμόζω τα τεταρτημόρια σε πραγματικά δεδομένα
57
Οι χρόνοι αναμονής σε λεπτά είναι \(2,3,4,5,6,7,8\). Να βρείτε τα τεταρτημόρια.

Η διάμεσος είναι \(5\). Αριστερά: \(2,3,4\), δεξιά: \(6,7,8\).

Άρα \(Q_1=3,Q_2=5,Q_3=7\).

58
Οι βαθμοί οκτώ μαθητών είναι \(10,12,13,14,16,17,18,20\). Να βρείτε το \(Q\).

\(Q_1=12,5\) και \(Q_3=17,5\).

Άρα \(Q=5\).

59
Οι ημερήσιες πωλήσεις είναι \(20,22,24,26,28,30,32\). Να βρείτε \(Q_1,Q_2,Q_3\).

Η διάμεσος είναι \(26\).

Άρα \(Q_1=22,Q_2=26,Q_3=30\).

60
Οι ηλικίες οκτώ ατόμων είναι \(12,14,16,18,20,22,24,26\). Να βρείτε το \(Q\).

\(Q_1=15\), \(Q_3=23\).

Άρα \(Q=8\).

61
Οι χρόνοι διαδρομής είναι \(8,9,10,10,11,12,13,15,18\). Να βρείτε τα τεταρτημόρια.

Η διάμεσος είναι \(11\). Το πρώτο μισό είναι \(8,9,10,10\), το δεύτερο \(12,13,15,18\).

Άρα \(Q_1=9,5,Q_2=11,Q_3=14\).

62
Σε ένα τμήμα έχουμε \(Q_1=13,Q_2=15,Q_3=18\) στους βαθμούς. Τι ποσοστό περίπου βρίσκεται ανάμεσα στα \(Q_1\) και \(Q_3\);

Το διάστημα από \(Q_1\) έως \(Q_3\) αντιστοιχεί στο κεντρικό μισό των δεδομένων.

Περίπου το \(50\%\).

63
Σε έρευνα ύψους φυτών έχουμε \(Q_1=18\) cm και \(Q_3=26\) cm. Να βρείτε το \(Q\).

Υπολογίζουμε \(26-18\).

Άρα \(Q=8\) cm.

64
Δύο τάξεις έχουν \(Q_A=6\) και \(Q_B=3\) στους βαθμούς τους. Σε ποια τάξη είναι πιο συγκεντρωμένο το μεσαίο \(50\%\);

Μικρότερο \(Q\) σημαίνει μεγαλύτερη συγκέντρωση των κεντρικών τιμών.

Στην τάξη Β.

🎯 Μικτή εξάσκηση στα τεταρτημόρια
65
Να βρείτε \(Q_1,Q_2,Q_3\) και \(Q\) για τα δεδομένα \(2,3,5,7,9,11,13\).

Με τη σχολική διαδικασία βρίσκουμε \(Q_1=3\), \(Q_2=7\), \(Q_3=11\).

Άρα \(Q=11-3=8\).

66
Να βρείτε \(Q_1,Q_2,Q_3\) και \(Q\) για τα δεδομένα \(4,6,8,10,12,14,16,18\).

Με τη σχολική διαδικασία βρίσκουμε \(Q_1=7\), \(Q_2=11\), \(Q_3=15\).

Άρα \(Q=15-7=8\).

67
Για ένα σύνολο ισχύει \(Q_1=5,Q_2=9,Q_3=13\). Να βρείτε το \(Q\).

Χρησιμοποιούμε \(Q=Q_3-Q_1\).

Άρα \(Q=8\).

68
Για ένα σύνολο ισχύει \(Q=10\) και \(Q_1=7\). Να βρείτε το \(Q_3\).

Έχουμε \(10=Q_3-7\).

Άρα \(Q_3=17\).

69
Τα δεδομένα \(1,2,3,4,5,6,100\) έχουν μία πολύ μεγάλη ακραία τιμή. Να βρείτε τα τεταρτημόρια.

Η διάμεσος είναι \(4\). Αριστερά: \(1,2,3\), δεξιά: \(5,6,100\).

Άρα \(Q_1=2,Q_2=4,Q_3=6\).

70
Στα δεδομένα \(1,2,3,4,5,6,100\), να βρείτε το ενδοτεταρτημοριακό εύρος.

Έχουμε \(Q_1=2\), \(Q_3=6\).

Άρα \(Q=4\).

71
Αν σε ένα σύνολο προσθέσουμε \(4\) σε όλες τις τιμές και αρχικά \(Q_1=3,Q_3=9\), ποιο είναι το νέο \(Q\);

Αρχικά \(Q=6\). Μετά την πρόσθεση έχουμε \(Q_1=7,Q_3=13\).

Το νέο \(Q=6\).

72
Αν ένα σύνολο έχει \(Q_1=6,Q_2=10,Q_3=14\), είναι δυνατό να ισχύει \(Q_3

Ισχύει πάντα \(Q_1\le Q_2\le Q_3\).

Άρα όχι.

Τέλος