01Γ. Μέση τιμή και διάμεσος
🎯 Υπολογίζω τη μέση τιμή
1
Να βρείτε τη μέση τιμή των αριθμών \(6,8,10\).

Προσθέτουμε τις παρατηρήσεις: \(6+8+10=24\).

Διαιρούμε με το πλήθος \(3\): \(\bar{x}=\frac{24}{3}=8\).

2
Να βρείτε τη μέση τιμή των αριθμών \(4,6,8,10\).

Το άθροισμα είναι \(4+6+8+10=28\).

Άρα \(\bar{x}=\frac{28}{4}=7\).

3
Να βρείτε τη μέση τιμή των αριθμών \(12,15,18\).

Το άθροισμα είναι \(45\).

Άρα \(\bar{x}=\frac{45}{3}=15\).

4
Να βρείτε τη μέση τιμή των αριθμών \(5,7,9,11,13\).

Το άθροισμα είναι \(45\).

Άρα \(\bar{x}=\frac{45}{5}=9\).

5
Να βρείτε τη μέση τιμή των αριθμών \(2,4,4,6\).

Το άθροισμα είναι \(16\).

Άρα \(\bar{x}=\frac{16}{4}=4\).

6
Να βρείτε τη μέση τιμή των αριθμών \(-2,0,4,6\).

Το άθροισμα είναι \(-2+0+4+6=8\).

Άρα \(\bar{x}=\frac{8}{4}=2\).

7
Να βρείτε τη μέση τιμή των αριθμών \(3,5,7,9,11,13\).

Το άθροισμα είναι \(48\).

Άρα \(\bar{x}=\frac{48}{6}=8\).

8
Να βρείτε τη μέση τιμή των αριθμών \(10,10,12,14,14\).

Το άθροισμα είναι \(60\).

Άρα \(\bar{x}=\frac{60}{5}=12\).

🎯 Βρίσκω άθροισμα, πλήθος ή άγνωστη τιμή από τη μέση τιμή
9
Πέντε παρατηρήσεις έχουν μέση τιμή \(8\). Να βρείτε το άθροισμά τους.

Ισχύει \(\bar{x}=\frac{S}{n}\), άρα \(8=\frac{S}{5}\).

Επομένως \(S=40\).

10
Οκτώ παρατηρήσεις έχουν μέση τιμή \(12\). Να βρείτε το άθροισμά τους.

Έχουμε \(S=n\bar{x}=8\cdot12\).

Άρα \(S=96\).

11
Ένα σύνολο έχει άθροισμα \(54\) και μέση τιμή \(9\). Πόσες παρατηρήσεις έχει;

Ισχύει \(9=\frac{54}{n}\).

Άρα \(n=6\).

12
Ένα σύνολο έχει άθροισμα \(72\) και μέση τιμή \(8\). Να βρείτε το πλήθος των παρατηρήσεων.

Έχουμε \(8=\frac{72}{n}\).

Άρα \(n=9\).

13
Οι αριθμοί \(4,6,8,x\) έχουν μέση τιμή \(7\). Να βρείτε το \(x\).

Το συνολικό άθροισμα πρέπει να είναι \(4\cdot7=28\). Οι γνωστοί αριθμοί έχουν άθροισμα \(18\).

Άρα \(x=28-18=10\).

14
Οι αριθμοί \(5,7,x,11,12\) έχουν μέση τιμή \(9\). Να βρείτε το \(x\).

Το συνολικό άθροισμα είναι \(5\cdot9=45\). Οι γνωστές τιμές έχουν άθροισμα \(35\).

Άρα \(x=10\).

15
Οι αριθμοί \(3,6,9,x\) έχουν μέση τιμή \(8\). Να βρείτε το \(x\).

Το συνολικό άθροισμα πρέπει να είναι \(4\cdot8=32\). Οι γνωστές τιμές έχουν άθροισμα \(18\).

Άρα \(x=14\).

16
Οι αριθμοί \(10,12,14,16,x\) έχουν μέση τιμή \(14\). Να βρείτε το \(x\).

Το συνολικό άθροισμα είναι \(5\cdot14=70\). Οι γνωστές τιμές έχουν άθροισμα \(52\).

Άρα \(x=18\).

🎯 Βρίσκω τη διάμεσο σε περιττό πλήθος δεδομένων
17
Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων \(3,5,7,9,11\).

Τα δεδομένα είναι ήδη σε αύξουσα σειρά και το πλήθος είναι \(5\).

Η μεσαία, δηλαδή η 3η παρατήρηση, είναι \(7\). Άρα διάμεσος \(=7\).

18
Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων \(12,4,9,7,15\).

Ταξινομούμε: \(4,7,9,12,15\).

Η μεσαία τιμή είναι \(9\).

19
Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων \(2,8,5,1,9,4,7\).

Ταξινομούμε: \(1,2,4,5,7,8,9\).

Η 4η τιμή είναι \(5\), άρα η διάμεσος είναι \(5\).

20
Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων \(20,18,16,14,12\).

Σε αύξουσα σειρά: \(12,14,16,18,20\).

Η διάμεσος είναι \(16\).

21
Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων \(5,5,7,8,10\).

Τα δεδομένα είναι ταξινομημένα και έχουν πλήθος \(5\).

Η 3η παρατήρηση είναι \(7\), άρα διάμεσος \(=7\).

22
Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων \(-3,-1,0,4,8\).

Το πλήθος είναι περιττό και τα δεδομένα είναι ήδη ταξινομημένα.

Η μεσαία τιμή είναι \(0\).

23
Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων \(11,3,6,14,8,9,5\).

Ταξινομούμε: \(3,5,6,8,9,11,14\).

Η 4η παρατήρηση είναι \(8\), άρα διάμεσος \(=8\).

24
Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων \(1,2,2,3,100\).

Τα δεδομένα είναι ήδη σε αύξουσα σειρά.

Η μεσαία τιμή είναι \(2\), άρα η διάμεσος είναι \(2\).

🎯 Βρίσκω τη διάμεσο σε άρτιο πλήθος δεδομένων
25
Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων \(2,4,6,8\).

Υπάρχουν \(4\) παρατηρήσεις. Οι δύο μεσαίες είναι \(4\) και \(6\).

Η διάμεσος είναι \(\frac{4+6}{2}=5\).

26
Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων \(9,3,7,5\).

Ταξινομούμε: \(3,5,7,9\). Οι δύο μεσαίες είναι \(5\) και \(7\).

Η διάμεσος είναι \(\frac{5+7}{2}=6\).

27
Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων \(1,3,4,8,10,12\).

Οι δύο μεσαίες παρατηρήσεις είναι η 3η και η 4η, δηλαδή \(4\) και \(8\).

Η διάμεσος είναι \(\frac{4+8}{2}=6\).

28
Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων \(14,6,10,8,12,4\).

Ταξινομούμε: \(4,6,8,10,12,14\).

Οι δύο μεσαίες είναι \(8\) και \(10\), άρα διάμεσος \(=9\).

29
Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων \(5,5,7,7\).

Οι δύο μεσαίες τιμές είναι \(5\) και \(7\).

Η διάμεσος είναι \(\frac{5+7}{2}=6\).

30
Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων \(-4,-2,2,6\).

Οι δύο μεσαίες τιμές είναι \(-2\) και \(2\).

Η διάμεσος είναι \(\frac{-2+2}{2}=0\).

31
Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων \(2,4,6,8,10,12,14,16\).

Οι δύο μεσαίες παρατηρήσεις είναι η 4η και η 5η, δηλαδή \(8\) και \(10\).

Η διάμεσος είναι \(9\).

32
Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων \(1,2,3,50\).

Οι δύο μεσαίες τιμές είναι \(2\) και \(3\).

Η διάμεσος είναι \(\frac{2+3}{2}=2,5\).

🎯 Συγκρίνω μέση τιμή και διάμεσο
33
Για τα δεδομένα \(2,4,6,8,10\), να βρείτε μέση τιμή και διάμεσο.

Η μέση τιμή είναι \(\frac{30}{5}=6\). Η μεσαία τιμή είναι επίσης \(6\).

Άρα μέση τιμή \(=6\) και διάμεσος \(=6\).

34
Για τα δεδομένα \(1,2,3,4,20\), να βρείτε μέση τιμή και διάμεσο.

Η μέση τιμή είναι \(\frac{30}{5}=6\). Η μεσαία τιμή είναι \(3\).

Άρα μέση τιμή \(=6\) και διάμεσος \(=3\).

35
Για τα δεδομένα \(5,6,7,8,9\), να βρείτε μέση τιμή και διάμεσο.

Το άθροισμα είναι \(35\), άρα μέση τιμή \(=7\). Η μεσαία τιμή είναι \(7\).

Άρα και τα δύο μέτρα είναι ίσα με \(7\).

36
Για τα δεδομένα \(2,2,2,2,12\), ποιο μέτρο είναι μεγαλύτερο, η μέση τιμή ή η διάμεσος;

Η μέση τιμή είναι \(\frac{20}{5}=4\). Η διάμεσος είναι \(2\).

Άρα μεγαλύτερη είναι η μέση τιμή.

37
Για τα δεδομένα \(0,8,8,8,8\), ποιο μέτρο είναι μεγαλύτερο;

Η μέση τιμή είναι \(\frac{32}{5}=6,4\). Η διάμεσος είναι \(8\).

Άρα μεγαλύτερη είναι η διάμεσος.

38
Μπορούν η μέση τιμή και η διάμεσος να είναι ίσες;

Ναι. Αυτό συμβαίνει σε πολλά σύνολα δεδομένων, ιδιαίτερα όταν οι τιμές είναι συμμετρικά κατανεμημένες γύρω από ένα κέντρο.

Άρα είναι δυνατό να συμπίπτουν.

39
Μπορούν η μέση τιμή και η διάμεσος να είναι διαφορετικές;

Ναι. Αν οι τιμές δεν είναι συμμετρικές ή υπάρχει ακραία τιμή, τα δύο μέτρα μπορεί να διαφέρουν.

Άρα δεν είναι απαραίτητο να είναι ίσες.

40
Για τα δεδομένα \(3,4,5,6,7\), ποιο μέτρο θέσης βρίσκεται ακριβώς στο κέντρο της ταξινομημένης σειράς;

Η διάμεσος είναι η μεσαία τιμή της ταξινομημένης σειράς.

Άρα η διάμεσος είναι \(5\).

🎯 Μελετώ την επίδραση μιας ακραίας τιμής
41
Για τα δεδομένα \(5,6,7,8,9\), η μέση τιμή είναι \(7\). Αν το \(9\) αντικατασταθεί από \(29\), τι συμβαίνει στη μέση τιμή;

Το νέο άθροισμα είναι \(5+6+7+8+29=55\).

Η νέα μέση τιμή είναι \(11\), άρα αυξάνεται σημαντικά.

42
Στο προηγούμενο σύνολο \(5,6,7,8,29\), ποια είναι η διάμεσος;

Η σειρά είναι ήδη ταξινομημένη και η μεσαία τιμή είναι \(7\).

Η διάμεσος παραμένει \(7\).

43
Για τα δεδομένα \(10,11,12,13,14\), αν το \(14\) γίνει \(100\), ποιο μέτρο επηρεάζεται περισσότερο: η μέση τιμή ή η διάμεσος;

Η ακραία τιμή αλλάζει πολύ το συνολικό άθροισμα, άρα επηρεάζει έντονα τη μέση τιμή. Η διάμεσος παραμένει η μεσαία τιμή \(12\).

Άρα περισσότερο επηρεάζεται η μέση τιμή.

44
Για τα δεδομένα \(1,2,3,4,100\), ποιο από τα δύο μέτρα περιγράφει καλύτερα μια «τυπική» τιμή των περισσότερων παρατηρήσεων;

Η μέση τιμή τραβιέται προς τα πάνω από το \(100\), ενώ η διάμεσος είναι \(3\).

Η διάμεσος είναι πιο αντιπροσωπευτική για τις περισσότερες τιμές του συνόλου.

45
Αν προσθέσουμε μια πολύ μεγάλη ακραία τιμή σε ένα σύνολο δεδομένων, η μέση τιμή τείνει να αυξηθεί ή να μειωθεί;

Η πολύ μεγάλη τιμή αυξάνει το συνολικό άθροισμα.

Άρα η μέση τιμή τείνει να αυξηθεί.

46
Αν προσθέσουμε μια πολύ μικρή ακραία τιμή σε ένα σύνολο, τι συμβαίνει συνήθως στη μέση τιμή;

Η πολύ μικρή τιμή μειώνει το συνολικό άθροισμα σε σχέση με το πλήθος.

Άρα η μέση τιμή τείνει να μειωθεί.

47
Γιατί η διάμεσος θεωρείται πιο ανθεκτική σε ακραίες τιμές;

Η διάμεσος εξαρτάται κυρίως από τη θέση των μεσαίων παρατηρήσεων και όχι από το μέγεθος των πολύ ακραίων τιμών.

Άρα επηρεάζεται λιγότερο από ακραίες παρατηρήσεις.

48
Για τα δεδομένα \(4,5,6,7,8\), αν το \(8\) γίνει \(80\), αλλάζει η διάμεσος;

Η ταξινομημένη σειρά γίνεται \(4,5,6,7,80\). Η μεσαία τιμή παραμένει \(6\).

Άρα η διάμεσος δεν αλλάζει.

🎯 Μελετώ τι συμβαίνει όταν αλλάζουν όλες οι παρατηρήσεις
49
Οι παρατηρήσεις έχουν μέση τιμή \(10\). Αν προσθέσουμε \(3\) σε κάθε παρατήρηση, ποια θα είναι η νέα μέση τιμή;

Όλες οι τιμές αυξάνονται κατά \(3\), άρα και η μέση τιμή αυξάνεται κατά \(3\).

Η νέα μέση τιμή είναι \(13\).

50
Οι παρατηρήσεις έχουν διάμεσο \(8\). Αν προσθέσουμε \(5\) σε κάθε παρατήρηση, ποια θα είναι η νέα διάμεσος;

Όλες οι τιμές μετατοπίζονται κατά \(5\), χωρίς να αλλάζει η σειρά τους.

Η νέα διάμεσος είναι \(13\).

51
Οι παρατηρήσεις έχουν μέση τιμή \(12\). Αν αφαιρέσουμε \(4\) από κάθε τιμή, ποια γίνεται η νέα μέση τιμή;

Η μέση τιμή μειώνεται κατά τον ίδιο αριθμό.

Η νέα μέση τιμή είναι \(8\).

52
Οι παρατηρήσεις έχουν διάμεσο \(15\). Αν αφαιρέσουμε \(2\) από κάθε τιμή, ποια γίνεται η νέα διάμεσος;

Η διάμεσος μετατοπίζεται κατά \(-2\).

Η νέα διάμεσος είναι \(13\).

53
Οι παρατηρήσεις έχουν μέση τιμή \(6\). Αν διπλασιάσουμε όλες τις τιμές, ποια γίνεται η νέα μέση τιμή;

Ο διπλασιασμός όλων των τιμών διπλασιάζει και το άθροισμα, ενώ το πλήθος μένει ίδιο.

Η νέα μέση τιμή είναι \(12\).

54
Οι παρατηρήσεις έχουν διάμεσο \(7\). Αν τριπλασιάσουμε όλες τις τιμές, ποια γίνεται η νέα διάμεσος;

Η σειρά διατηρείται και όλες οι μεσαίες τιμές τριπλασιάζονται.

Η νέα διάμεσος είναι \(21\).

55
Οι παρατηρήσεις έχουν μέση τιμή \(20\). Αν κάθε τιμή διαιρεθεί με \(4\), ποια είναι η νέα μέση τιμή;

Η μέση τιμή διαιρείται με τον ίδιο θετικό αριθμό.

Η νέα μέση τιμή είναι \(5\).

56
Οι παρατηρήσεις έχουν διάμεσο \(18\). Αν κάθε τιμή διαιρεθεί με \(3\), ποια είναι η νέα διάμεσος;

Κάθε τιμή, άρα και η μεσαία θέση, διαιρείται με \(3\).

Η νέα διάμεσος είναι \(6\).

🎯 Εφαρμόζω μέση τιμή και διάμεσο σε προβλήματα
57
Οι βαθμοί ενός μαθητή σε τέσσερα τεστ είναι \(14,16,18,12\). Να βρείτε τη μέση τιμή.

Το άθροισμα είναι \(60\).

Η μέση τιμή είναι \(\frac{60}{4}=15\).

58
Οι χρόνοι αναμονής πέντε πελατών είναι \(4,5,6,8,12\) λεπτά. Να βρείτε τη διάμεσο.

Τα δεδομένα είναι ήδη ταξινομημένα.

Η μεσαία τιμή είναι \(6\) λεπτά.

59
Οι ημερήσιες πωλήσεις μιας εβδομάδας είναι \(20,22,24,26,28\). Να βρείτε μέση τιμή και διάμεσο.

Η μέση τιμή είναι \(\frac{120}{5}=24\). Η μεσαία τιμή είναι \(24\).

Άρα μέση τιμή και διάμεσος είναι \(24\).

60
Οι μισθοί πέντε εργαζομένων είναι \(900,950,1000,1050,5000\) ευρώ. Ποιο μέτρο είναι πιο κατάλληλο για να περιγράψει έναν τυπικό μισθό;

Η πολύ μεγάλη τιμή \(5000\) ανεβάζει έντονα τη μέση τιμή.

Η διάμεσος, που είναι \(1000\) ευρώ, είναι πιο αντιπροσωπευτική.

61
Οι ηλικίες έξι ατόμων είναι \(12,14,16,18,20,22\). Να βρείτε τη διάμεσο.

Οι δύο μεσαίες τιμές είναι \(16\) και \(18\).

Η διάμεσος είναι \(\frac{16+18}{2}=17\).

62
Η μέση θερμοκρασία 5 ημερών ήταν \(18^\circ C\). Ποιο είναι το άθροισμα των πέντε ημερήσιων θερμοκρασιών;

Το άθροισμα είναι \(5\cdot18\).

Άρα είναι \(90^\circ C\).

63
Τέσσερις τιμές έχουν μέση τιμή \(25\). Οι τρεις είναι \(20,24,28\). Να βρείτε την τέταρτη.

Το συνολικό άθροισμα πρέπει να είναι \(4\cdot25=100\). Οι γνωστές τιμές έχουν άθροισμα \(72\).

Η τέταρτη τιμή είναι \(28\).

64
Πέντε χρόνοι είναι \(8,9,10,11,x\) και έχουν διάμεσο \(10\). Αν \(x>11\), ποια μπορεί να είναι η διάμεσος;

Με \(x>11\), η ταξινομημένη σειρά είναι \(8,9,10,11,x\).

Η μεσαία τιμή παραμένει \(10\), άρα η διάμεσος είναι \(10\).

🎯 Μικτή εξάσκηση
65
Να βρείτε μέση τιμή και διάμεσο των δεδομένων \(2,4,6,8,10,12\).

Η μέση τιμή είναι \(\frac{42}{6}=7\). Οι δύο μεσαίες τιμές είναι \(6\) και \(8\).

Η διάμεσος είναι \(7\). Άρα και τα δύο μέτρα είναι \(7\).

66
Να βρείτε μέση τιμή και διάμεσο των δεδομένων \(1,2,3,4,15\).

Η μέση τιμή είναι \(\frac{25}{5}=5\). Η μεσαία τιμή είναι \(3\).

Άρα μέση τιμή \(=5\), διάμεσος \(=3\).

67
Έξι παρατηρήσεις έχουν μέση τιμή \(9\). Να βρείτε το άθροισμά τους.

Ισχύει \(S=6\cdot9\).

Άρα \(S=54\).

68
Οι αριθμοί \(4,5,7,9,x\) έχουν μέση τιμή \(7\). Να βρείτε το \(x\).

Το συνολικό άθροισμα πρέπει να είναι \(35\). Οι γνωστές τιμές έχουν άθροισμα \(25\).

Άρα \(x=10\).

69
Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων \(9,1,5,7,3,11\).

Ταξινομούμε: \(1,3,5,7,9,11\). Οι δύο μεσαίες τιμές είναι \(5\) και \(7\).

Η διάμεσος είναι \(6\).

70
Ένα σύνολο έχει μέση τιμή \(14\). Αν σε κάθε παρατήρηση προσθέσουμε \(2\), ποια θα είναι η νέα μέση τιμή;

Η μέση τιμή αυξάνεται κατά \(2\).

Η νέα μέση τιμή είναι \(16\).

71
Ένα σύνολο έχει διάμεσο \(10\). Αν όλες οι τιμές διπλασιαστούν, ποια θα είναι η νέα διάμεσος;

Οι μεσαίες τιμές διπλασιάζονται μαζί με όλες τις υπόλοιπες.

Η νέα διάμεσος είναι \(20\).

72
Για τα δεδομένα \(5,6,7,8,50\), ποιο μέτρο είναι λιγότερο επηρεασμένο από την τιμή \(50\);

Η ακραία τιμή \(50\) αυξάνει σημαντικά τη μέση τιμή, ενώ η διάμεσος παραμένει η μεσαία τιμή \(7\).

Άρα λιγότερο επηρεάζεται η διάμεσος.

Τέλος