01Β – Δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη – Τυποποιημένη μορφή – ΣΤΥΛ ΜΑΘΗΜΑ

01Β. Δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη – Τυποποιημένη μορφή

ΘΕΩΡΙΑ

1📘 Δύναμη με εκθέτη μηδέν

Επεκτείνουμε την έννοια της δύναμης ώστε ο εκθέτης να μπορεί να είναι και \(0\) ή αρνητικός ακέραιος.

\(a^0=1\), με \(a\ne0\)

Παράδειγμα 1
\(7^0=1\), \((-5)^0=1\), \(\left(\frac23\right)^0=1\).

Προσοχή: Ο κανόνας \(a^0=1\) χρησιμοποιείται μόνο για \(a\ne0\).

2📘 Δύναμη με αρνητικό ακέραιο εκθέτη

Αρνητικός εκθέτης σημαίνει ότι παίρνουμε τον αντίστροφο της αντίστοιχης δύναμης με θετικό εκθέτη.

\(a^{-ν}=\frac{1}{a^ν}\), με \(a\ne0\) και \(ν＞0\)

Παράδειγμα 2
\(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac18\).

Παράδειγμα 3
\((-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac19\).

Πώς σκέφτομαι: Βλέπω αρνητικό εκθέτη → παίρνω τον αντίστροφο → κάνω τον εκθέτη θετικό.

3📘 Αρνητικός εκθέτης σε κλάσμα

Όταν η βάση είναι κλάσμα και ο εκθέτης είναι αρνητικός, αντιστρέφουμε το κλάσμα και αλλάζουμε τον εκθέτη σε θετικό.

\(\left(\frac ab\right)^{-ν}=\left(\frac ba\right)^ν\), με \(a\ne0\), \(b\ne0\)

Παράδειγμα 4
\(\left(\frac34\right)^{-2}=\left(\frac43\right)^2=\frac{16}{9}\).

Παράδειγμα 5
\(\left(-\frac25\right)^{-3}=\left(-\frac52\right)^3=-\frac{125}{8}\).

Προσοχή: Δεν αλλάζουμε μόνο το πρόσημο του εκθέτη. Πρέπει να αντιστρέψουμε και τη βάση.

4📘 Ιδιότητες δυνάμεων με ακέραιους εκθέτες

Οι γνωστές ιδιότητες των δυνάμεων συνεχίζουν να ισχύουν και για ακέραιους εκθέτες.

\(a^μ\cdot a^ν=a^{μ+ν}\)
\(\frac{a^μ}{a^ν}=a^{μ-ν}\)
\((a^μ)^ν=a^{μν}\)
\((ab)^ν=a^νb^ν\)
\(\left(\frac ab\right)^ν=\frac{a^ν}{b^ν}\)

Παράδειγμα 6
\(5^{-2}\cdot5^7=5^5\).

Παράδειγμα 7
\(\frac{3^4}{3^{-2}}=3^{4-(-2)}=3^6\).

Παράδειγμα 8
\((2^{-3})^2=2^{-6}=\frac1{64}\).

Γρήγορη σκέψη: Στο πηλίκο με αρνητικό εκθέτη προσέχω ιδιαίτερα ότι \(μ-(-ν)=μ+ν\).

5📘 Δυνάμεις του 10

Οι δυνάμεις του \(10\) μας βοηθούν να γράφουμε πολύ μεγάλους ή πολύ μικρούς αριθμούς σύντομα.

\(10^3=1000\), \(10^2=100\), \(10^1=10\), \(10^0=1\)

\(10^{-1}=0{,}1\), \(10^{-2}=0{,}01\), \(10^{-3}=0{,}001\)

Παράδειγμα 9
\(10^{-5}=0{,}00001\).

Να θυμάμαι: \(10^{-ν}=\frac{1}{10^ν}\).

6📘 Τυποποιημένη μορφή

Ένας θετικός αριθμός γράφεται σε τυποποιημένη μορφή όταν έχει τη μορφή:

\(a\cdot10^ν\), με \(1\le a＜10\) και \(ν\) ακέραιο

Για πολύ μεγάλους αριθμούς ο εκθέτης είναι θετικός. Για πολύ μικρούς θετικούς αριθμούς ο εκθέτης είναι αρνητικός.

Παράδειγμα 10
\(65\,000\,000=6{,}5\cdot10^7\).

Παράδειγμα 11
\(0{,}00000495=4{,}95\cdot10^{-6}\).

Πώς βρίσκω τον εκθέτη: Μετακινώ την υποδιαστολή ώστε να μείνει αριστερά της ακριβώς ένα μη μηδενικό ψηφίο. Οι θέσεις που μετακινήθηκε καθορίζουν τον εκθέτη.
Προσοχή: \(32\cdot10^{-4}\) δεν είναι τυποποιημένη μορφή. Η σωστή γραφή είναι \(3{,}2\cdot10^{-3}\).

7📘 Από την τυποποιημένη στη δεκαδική μορφή

Αν ο εκθέτης είναι θετικός, μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα δεξιά. Αν είναι αρνητικός, προς τα αριστερά.

Παράδειγμα 12
\(3{,}4\cdot10^5=340\,000\).

Παράδειγμα 13
\(2{,}7\cdot10^{-4}=0{,}00027\).

Τυποποιημένη μορφή — ο γρήγορος κανόνας
μεγάλος αριθμός a·10⁺ᵛ πολύ μικρός αριθμός a·10⁻ᵛ Πάντα: 1 ≤ a < 10 Η θέση της υποδιαστολής καθορίζει τον εκθέτη.

8📘 Πράξεις με τυποποιημένη μορφή

Σε γινόμενα αριθμών σε τυποποιημένη μορφή, πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές και χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των δυνάμεων του \(10\).

\((a\cdot10^μ)(b\cdot10^ν)=ab\cdot10^{μ+ν}\)

Παράδειγμα 14
\((2\cdot10^3)(4\cdot10^{-5})=8\cdot10^{-2}\).

Παράδειγμα 15
\((6\cdot10^4)(5\cdot10^3)=30\cdot10^7=3\cdot10^8\).

Βασική ιδέα: Στο τέλος ελέγχω αν ο πρώτος παράγοντας είναι μεταξύ \(1\) και \(10\).

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ

Α. Μηδενικός και αρνητικός εκθέτης

1✅ Να υπολογίσετε \(A=7^0+(-3)^0+\left(\frac25\right)^0\).

Απάντηση

Κάθε μη μηδενικός αριθμός με εκθέτη \(0\) είναι ίσος με \(1\).

\(A=1+1+1=3\)

2✅ Να γράψετε χωρίς αρνητικό εκθέτη το \(5^{-3}\).

Απάντηση

\(5^{-3}=\frac{1}{5^3}=\frac1{125}\)

3✅ Να υπολογίσετε \(\left(\frac23\right)^{-4}\).

Απάντηση

Αντιστρέφουμε τη βάση και κάνουμε τον εκθέτη θετικό.

\(\left(\frac23\right)^{-4}=\left(\frac32\right)^4=\frac{81}{16}\)

4✅ Να συγκρίνετε \((-2)^{-3}\) και \((-2)^{-4}\).

Απάντηση

\((-2)^{-3}=-\frac18\), ενώ \((-2)^{-4}=\frac1{16}\).

Άρα: \((-2)^{-3}＜(-2)^{-4}\).

Β. Ιδιότητες με ακέραιους εκθέτες

5✅ Να απλοποιήσετε \(2^{-4}\cdot2^7\).

Απάντηση

\(2^{-4}\cdot2^7=2^{-4+7}=2^3=8\)

6✅ Να απλοποιήσετε \(\frac{7^3}{7^{-5}}\).

Απάντηση

\(\frac{7^3}{7^{-5}}=7^{3-(-5)}=7^8\)

7✅ Να απλοποιήσετε \((3^{-2})^3\).

Απάντηση

\((3^{-2})^3=3^{-6}=\frac1{729}\)

8✅ Να απλοποιήσετε \(A=\frac{5^{-2}\cdot5^8}{5^3}\).

Απάντηση

\(5^{-2}\cdot5^8=5^6\).

\(A=\frac{5^6}{5^3}=5^3=125\)

Γ. Δυνάμεις του 10 και τυποποιημένη μορφή

9✅ Να γράψετε ως δεκαδικό αριθμό το \(10^{-6}\).

Απάντηση

\(10^{-6}=0{,}000001\)

10✅ Να γράψετε σε τυποποιημένη μορφή το \(0{,}000034\).

Απάντηση

Μετακινούμε την υποδιαστολή \(5\) θέσεις προς τα δεξιά.

\(0{,}000034=3{,}4\cdot10^{-5}\)

11✅ Να γράψετε σε τυποποιημένη μορφή το \(72\,000\,000\).

Απάντηση

\(72\,000\,000=7{,}2\cdot10^7\)

12✅ Να γράψετε σε δεκαδική μορφή το \(4{,}7\cdot10^{-5}\).

Απάντηση

\(4{,}7\cdot10^{-5}=0{,}000047\)

Δ. Πράξεις και εφαρμογές

13✅ Να υπολογίσετε \((3\cdot10^{-4})(2\cdot10^7)\) και να δώσετε το αποτέλεσμα σε τυποποιημένη μορφή.

Απάντηση

\((3\cdot10^{-4})(2\cdot10^7)=6\cdot10^3\)

14✅ Να γράψετε σε τυποποιημένη μορφή το \((6\cdot10^5)(5\cdot10^{-3})\).

Απάντηση

\((6\cdot10^5)(5\cdot10^{-3})=30\cdot10^2=3\cdot10^3\)

15✅ Ένας ψύλλος καταναλώνει περίπου \(1{,}3\cdot10^{-5}\) L αίματος την ημέρα. Πόσο αίμα καταναλώνουν \(200\) ψύλλοι;

Απάντηση

Γράφουμε \(200=2\cdot10^2\).

\(200\cdot1{,}3\cdot10^{-5}=2{,}6\cdot10^{-3}\text{ L}\)

\(2{,}6\cdot10^{-3}\text{ L}=2{,}6\text{ mL}\)

Απάντηση: \(2{,}6\) mL αίματος την ημέρα.