GMATHS - Αξιολόγηση Δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη
06Β. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο
Εκθέτης 0 • αρνητικός εκθέτης • αντιστροφή κλάσματος • ιδιότητες ακεραίων εκθετών • πρόσημο και παρενθέσεις • εφαρμογές • παγίδες
🤖
AI CHECK
1.Για κάθε \(a\ne0\) ισχύει \(a^0=1\).
Σωστή απάντηση: Α

Κάθε μη μηδενική βάση με εκθέτη \(0\) δίνει αποτέλεσμα \(1\).
📘
ΘΕΩΡΙΑ
2.Ποια προϋπόθεση χρειάζεται στον ορισμό \(a^0=1\);
Σωστή απάντηση: Β

Η βάση πρέπει να είναι διαφορετική από το μηδέν. Η παράσταση \(0^0\) δεν ορίζεται.
⚡
5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ
3.Η τιμή της δύναμης \(7^0\) είναι:
Σωστή απάντηση: Β

Επειδή \(7\ne0\), ισχύει \(7^0=1\).
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ
4.Η δύναμη \(\left(-\frac25\right)^0\) είναι ίση με:
Σωστή απάντηση: Γ

Η βάση \(-\frac25\) είναι μη μηδενική, άρα η μηδενική της δύναμη είναι \(1\).
⚠
ΠΑΓΙΔΑ
5.Η παράσταση \(0^0\) είναι ίση με \(1\).
Σωστή απάντηση: Β

Ο κανόνας \(a^0=1\) απαιτεί \(a\ne0\). Η παράσταση \(0^0\) δεν ορίζεται.
🧠
ΜΟΤΙΒΟ
6.Στο μοτίβο \(3^3=27\), \(3^2=9\), \(3^1=3\), η επόμενη τιμή είναι:
Σωστή απάντηση: Β

Κάθε φορά που ο εκθέτης μειώνεται κατά \(1\), διαιρούμε με \(3\). Άρα \(3^0=3:3=1\).
📘
ΟΡΙΣΜΟΣ
7.Ποια σχέση ορίζει τη δύναμη με αρνητικό ακέραιο εκθέτη;
Σωστή απάντηση: Β

Για \(a\ne0\) και \(ν＞0\), ορίζουμε \(a^{-ν}=\frac1{a^ν}\).
⚡
5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ
8.Να υπολογίσετε \(2^{-3}\).
Σωστή απάντηση: Γ

\(2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18\).
⚡
5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ
9.Η τιμή της δύναμης \(5^{-2}\) είναι:
Σωστή απάντηση: Γ

\(5^{-2}=\frac1{5^2}=\frac1{25}\).
🔍
ΒΡΕΣ ΤΟ ΛΑΘΟΣ
10.Ο αρνητικός εκθέτης κάνει πάντοτε το αποτέλεσμα αρνητικό.
Σωστή απάντηση: Β

Ο αρνητικός εκθέτης δηλώνει αντιστροφή. Το πρόσημο εξαρτάται από τη βάση και από το αν ο εκθέτης είναι άρτιος ή περιττός.
⚖
ΠΡΟΣΗΜΟ
11.Η δύναμη \((-2)^{-4}\) είναι ίση με:
Σωστή απάντηση: Β

\((-2)^{-4}=\frac1{(-2)^4}=\frac1{16}\). Ο θετικός εκθέτης \(4\) είναι άρτιος.
⚖
ΠΡΟΣΗΜΟ
12.Η δύναμη \((-2)^{-3}\) είναι ίση με:
Σωστή απάντηση: Β

\((-2)^{-3}=\frac1{(-2)^3}=-\frac18\).
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ
13.Η δύναμη \((-3)^{-2}\) είναι:
Σωστή απάντηση: Α

\((-3)^{-2}=\frac1{(-3)^2}=\frac19\).
⚠
ΠΑΡΕΝΘΕΣΕΙΣ
14.Η παράσταση \(-3^{-2}\) είναι ίση με:
Σωστή απάντηση: Β

Το πρώτο πλην βρίσκεται έξω από τη δύναμη: \(-3^{-2}=-\frac1{3^2}=-\frac19\).
⚖
ΣΥΓΚΡΙΣΗ
15.Αν \(A=(-3)^{-2}\) και \(B=-3^{-2}\), τότε:
Σωστή απάντηση: Β

\(A=\frac19\) και \(B=-\frac19\), άρα \(A＞B\).
📘
ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΒΑΣΗ
16.Ποια σχέση είναι σωστή;
Σωστή απάντηση: Α

Ο αρνητικός εκθέτης αντιστρέφει ολόκληρη την κλασματική βάση και γίνεται θετικός.
⚡
5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ
17.Να υπολογίσετε \(\left(\frac23\right)^{-2}\).
Σωστή απάντηση: Β

Αντιστρέφουμε τη βάση: \(\left(\frac23\right)^{-2}=\left(\frac32\right)^2=\frac94\).
🏆
ΠΡΟΚΛΗΣΗ
18.Να υπολογίσετε \(\left(-\frac35\right)^{-3}\).
Σωστή απάντηση: Γ

\(\left(-\frac35\right)^{-3}=\left(-\frac53\right)^3=-\frac{125}{27}\).
⚡
5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ
19.Η τιμή της δύναμης \(\left(\frac47\right)^{-1}\) είναι:
Σωστή απάντηση: Γ

Εκθέτης \(-1\) σημαίνει ότι παίρνουμε τον αντίστροφο: \(\left(\frac47\right)^{-1}=\frac74\).
🔍
ΒΡΕΣ ΤΟ ΛΑΘΟΣ
20.Στη δύναμη \(\left(\frac25\right)^{-3}\) αντιστρέφουμε μόνο τον παρονομαστή.
Σωστή απάντηση: Β

Αντιστρέφουμε ολόκληρη τη βάση: \(\left(\frac25\right)^{-3}=\left(\frac52\right)^3\).
✓
ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ
21.Στη σχέση \(\left(\frac ab\right)^{-ν}=\left(\frac ba\right)^ν\) πρέπει:
Σωστή απάντηση: Γ

Η αρχική και η ανεστραμμένη βάση πρέπει να ορίζονται, άρα απαιτούνται \(a\ne0\) και \(b\ne0\).
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ
22.Να υπολογίσετε \(\left(\frac52\right)^{-3}\).
Σωστή απάντηση: Β

\(\left(\frac52\right)^{-3}=\left(\frac25\right)^3=\frac8{125}\).
⚡
5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ
23.Να υπολογίσετε \(\left(-\frac47\right)^{-2}\).
Σωστή απάντηση: Γ

\(\left(-\frac47\right)^{-2}=\left(-\frac74\right)^2=\frac{49}{16}\).
🏆
ΠΡΟΚΛΗΣΗ
24.Να υπολογίσετε \(\left(-\frac23\right)^{-4}\).
Σωστή απάντηση: Β

\(\left(-\frac23\right)^{-4}=\left(-\frac32\right)^4=\frac{81}{16}\). Ο εκθέτης είναι άρτιος.
🧠
ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ
25.Το πρόσημο μιας δύναμης με αρνητικό εκθέτη καθορίζεται μόνο από το πλην του εκθέτη.
Σωστή απάντηση: Β

Το πλην του εκθέτη δηλώνει αντιστροφή. Το πρόσημο καθορίζεται από τη βάση και την αρτιότητα του αντίστοιχου θετικού εκθέτη.
📘
ΙΔΙΑ ΒΑΣΗ
26.Ποια ιδιότητα ισχύει και για ακέραιους εκθέτες;
Σωστή απάντηση: Α

Στο γινόμενο δυνάμεων με την ίδια βάση προσθέτουμε τους ακέραιους εκθέτες.
🏆
ΠΡΟΚΛΗΣΗ
27.Να απλοποιήσετε \(5^3\cdot5^{-7}\).
Σωστή απάντηση: Α

\(5^3\cdot5^{-7}=5^{3+(-7)}=5^{-4}=\frac1{5^4}=\frac1{625}\).
⚡
5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ
28.Να υπολογίσετε \(2^{-3}\cdot2^5\).
Σωστή απάντηση: Β

\(2^{-3}\cdot2^5=2^{-3+5}=2^2=4\).
🧩
ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ
29.Να απλοποιήσετε \((-3)^2\cdot(-3)^{-5}\).
Σωστή απάντηση: Α

\((-3)^2\cdot(-3)^{-5}=(-3)^{2+(-5)}=(-3)^{-3}=\frac1{(-3)^3}=-\frac1{27}\).
⚡
5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ
30.Για \(a\ne0\), το γινόμενο \(a^0\cdot a^5\) είναι:
Σωστή απάντηση: Β

\(a^0\cdot a^5=a^{0+5}=a^5\).
📘
ΠΗΛΙΚΟ
31.Ποια ιδιότητα ισχύει για \(a\ne0\);
Σωστή απάντηση: Α

Στο πηλίκο δυνάμεων με την ίδια βάση αφαιρούμε τον εκθέτη του παρονομαστή από τον εκθέτη του αριθμητή.
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ
32.Να υπολογίσετε \(\frac{3^{-2}}{3^{-5}}\).
Σωστή απάντηση: Β

\(\frac{3^{-2}}{3^{-5}}=3^{-2-(-5)}=3^3=27\).
⚡
5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ
33.Να υπολογίσετε \(\frac{2^4}{2^{-3}}\).
Σωστή απάντηση: Β

\(\frac{2^4}{2^{-3}}=2^{4-(-3)}=2^7=128\).
🏆
ΠΡΟΚΛΗΣΗ
34.Να απλοποιήσετε \(\frac{5^{-6}}{5^{-2}}\).
Σωστή απάντηση: Β

\(\frac{5^{-6}}{5^{-2}}=5^{-6-(-2)}=5^{-4}=\frac1{625}\).
🔍
ΒΡΕΣ ΤΟ ΛΑΘΟΣ
35.Στο \(\frac{2^4}{2^{-3}}\) υπολογίζουμε τον νέο εκθέτη ως \(4-3=1\).
Σωστή απάντηση: Β

Αφαιρούμε ολόκληρο τον εκθέτη του παρονομαστή: \(4-(-3)=4+3=7\).
📘
ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΔΥΝΑΜΗ
36.Ποια σχέση ισχύει για ακέραιους εκθέτες;
Σωστή απάντηση: Β

Στη δύναμη υψωμένη σε δύναμη πολλαπλασιάζουμε τους εκθέτες.
🏆
ΠΡΟΚΛΗΣΗ
37.Να υπολογίσετε \((2^{-3})^{-2}\).
Σωστή απάντηση: Β

\((2^{-3})^{-2}=2^{(-3)\cdot(-2)}=2^6=64\).
🧩
ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ
38.Να υπολογίσετε \((3^2)^{-3}\).
Σωστή απάντηση: Α

\((3^2)^{-3}=3^{2\cdot(-3)}=3^{-6}=\frac1{3^6}=\frac1{729}\).
🧩
ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ
39.Η δύναμη \(\left((-2)^{-2}\right)^3\) είναι:
Σωστή απάντηση: Α

\(\left((-2)^{-2}\right)^3=(-2)^{-6}=\frac1{(-2)^6}=\frac1{64}\).
⚡
5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ
40.Για \(a\ne0\), η δύναμη \((a^0)^5\) είναι:
Σωστή απάντηση: Β

\(a^0=1\), άρα \((a^0)^5=1^5=1\).
🧮
ΙΔΙΟΣ ΕΚΘΕΤΗΣ
41.Να υπολογίσετε \(2^{-3}\cdot5^{-3}\).
Σωστή απάντηση: Α

Οι εκθέτες είναι ίδιοι: \(2^{-3}\cdot5^{-3}=(2\cdot5)^{-3}=10^{-3}=\frac1{1000}\).
⏱
10 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ
42.Να υπολογίσετε \(\frac{6^{-2}}{3^{-2}}\).
Σωστή απάντηση: Α

Οι εκθέτες είναι ίδιοι: \(\frac{6^{-2}}{3^{-2}}=\left(\frac63\right)^{-2}=2^{-2}=\frac14\).
🏆
ΠΡΟΚΛΗΣΗ
43.Να υπολογίσετε \(\left(\frac23\right)^{-2}\cdot\left(\frac34\right)^{-2}\).
Σωστή απάντηση: Β

Με κοινό εκθέτη: \(\left(\frac23\cdot\frac34\right)^{-2}=\left(\frac12\right)^{-2}=2^2=4\).
🧩
ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ
44.Να απλοποιήσετε \((2^3)^{-2}\cdot2^5\).
Σωστή απάντηση: Α

\((2^3)^{-2}=2^{-6}\), οπότε \(2^{-6}\cdot2^5=2^{-1}=\frac12\).
🏆
ΠΡΟΚΛΗΣΗ
45.Να απλοποιήσετε \(\left(\frac43\right)^2\cdot\left(\frac43\right)^{-3}\).
Σωστή απάντηση: Β

\(\left(\frac43\right)^2\cdot\left(\frac43\right)^{-3}=\left(\frac43\right)^{-1}=\frac34\).
🏆
ΤΕΛΙΚΗ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ
46.Για \(a\ne0\), να απλοποιήσετε \(A=\frac{a^3\cdot a^{-5}}{a^{-4}}\).
Σωστή απάντηση: Β

\(A=a^{3+(-5)-(-4)}=a^{-2+4}=a^2\).
⚡
5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ
47.Η τιμή της δύναμης \((-1)^{-2026}\) είναι:
Σωστή απάντηση: Α

\((-1)^{-2026}=\frac1{(-1)^{2026}}=\frac11=1\).
⚡
5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ
48.Η τιμή της δύναμης \((-1)^{-2025}\) είναι:
Σωστή απάντηση: Β

\((-1)^{-2025}=\frac1{(-1)^{2025}}=\frac1{-1}=-1\).
⚖
ΠΡΟΣΗΜΟ
49.Η δύναμη \((-5)^{-4}\) είναι:
Σωστή απάντηση: Α

\((-5)^{-4}=\frac1{(-5)^4}\). Ο εκθέτης \(4\) είναι άρτιος, άρα η δύναμη είναι θετική.
⚖
ΠΡΟΣΗΜΟ
50.Η δύναμη \((-5)^{-3}\) είναι:
Σωστή απάντηση: Β

\((-5)^{-3}=\frac1{(-5)^3}\). Ο εκθέτης \(3\) είναι περιττός, άρα η δύναμη είναι αρνητική.
🧠
ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ
51.Ποια πρόταση εξηγεί σωστά τα δύο διαφορετικά πλην στη δύναμη \((-2)^{-3}\);
Σωστή απάντηση: Α

Το πλην μέσα στις παρενθέσεις ανήκει στη βάση \(-2\), ενώ το πλην στον εκθέτη δηλώνει ότι παίρνουμε τον αντίστροφο.
⚠
ΠΑΡΕΝΘΕΣΕΙΣ
52.Η παράσταση \(-2^{-4}\) είναι ίση με:
Σωστή απάντηση: Β

Η δύναμη είναι μόνο το \(2^{-4}\). Άρα \(-2^{-4}=-\frac1{2^4}=-\frac1{16}\).
🔍
ΒΡΕΣ ΤΟ ΛΑΘΟΣ
53.Η Μαρία έγραψε \(5^{-2}=-25\). Είναι σωστό;
Σωστή απάντηση: Β

Ο αρνητικός εκθέτης δηλώνει αντιστροφή: \(5^{-2}=\frac1{5^2}=\frac1{25}\).
🚫
ΜΥΘΟΣ Ή ΑΛΗΘΕΙΑ
54.Η σχέση \(a^{-ν}=-a^ν\) ισχύει για κάθε \(a\ne0\).
Σωστή απάντηση: Β

Η σωστή σχέση είναι \(a^{-ν}=\frac1{a^ν}\). Ο αρνητικός εκθέτης δεν βάζει αρνητικό πρόσημο στη δύναμη.
🔬
ΕΦΑΡΜΟΓΗ
55.Ο αριθμός \(0{,}0000041\) γράφεται με δύναμη του \(10\) ως:
Σωστή απάντηση: Α

Μεταφέρουμε την υποδιαστολή \(6\) θέσεις προς τα δεξιά: \(0{,}0000041=4{,}1\cdot10^{-6}\).
⚡
5 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ
56.Η δύναμη \(10^{-3}\) είναι ίση με:
Σωστή απάντηση: Γ

\(10^{-3}=\frac1{10^3}=\frac1{1000}=0{,}001\).
🔬
ΜΙΚΡΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
57.Ο αριθμός \(0{,}00000032\) γράφεται σε τυποποιημένη μορφή ως:
Σωστή απάντηση: Α

Μεταφέρουμε την υποδιαστολή \(7\) θέσεις προς τα δεξιά: \(0{,}00000032=3{,}2\cdot10^{-7}\).
🤖
AI CHECK
58.Το AI γράφει \(\left(\frac23\right)^{-2}=\frac49\). Είναι σωστό;
Σωστή απάντηση: Β

Πρέπει να αντιστρέψουμε τη βάση: \(\left(\frac23\right)^{-2}=\left(\frac32\right)^2=\frac94\).
✓
ΤΕΛΙΚΟ CHECKLIST
59.Ποια είναι η σωστή πρώτη κίνηση όταν βλέπουμε αρνητικό εκθέτη;
Σωστή απάντηση: Α

Ο αρνητικός εκθέτης δηλώνει αντιστροφή: \(a^{-ν}=\frac1{a^ν}\).
🏆
ΤΕΛΙΚΗ ΠΡΟΚΛΗΣΗ
60.Να υπολογίσετε \(A=\frac{(2^{-2})^3\cdot2^8}{2^{-1}}\).
Σωστή απάντηση: Β

\((2^{-2})^3=2^{-6}\). Άρα \(A=2^{-6+8-(-1)}=2^3=8\).