03Δ. Αντιστρόφως ανάλογα ποσά
🎯 Αναγνωρίζω αντιστρόφως ανάλογα ποσά
1
Σε έναν πίνακα έχουμε τα ζεύγη \((2,30)\), \((3,20)\), \((5,12)\). Είναι τα ποσά αντιστρόφως ανάλογα;

Υπολογίζουμε τα γινόμενα: \(2\cdot30=60\), \(3\cdot20=60\), \(5\cdot12=60\).

Το γινόμενο είναι σταθερό, άρα τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα.

2
Σε έναν πίνακα έχουμε τα ζεύγη \((1,24)\), \((2,12)\), \((4,7)\). Είναι τα ποσά αντιστρόφως ανάλογα;

Τα γινόμενα είναι \(24\), \(24\) και \(28\).

Δεν είναι σταθερά, άρα τα ποσά δεν είναι αντιστρόφως ανάλογα.

3
Αν όταν ένα ποσό διπλασιάζεται το άλλο υποδιπλασιάζεται, τι ένδειξη έχουμε για τη σχέση τους;

Αυτό είναι χαρακτηριστική συμπεριφορά αντιστρόφως ανάλογων ποσών.

Για πλήρη έλεγχο εξετάζουμε αν το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών παραμένει σταθερό.

4
Η σχέση \(xy=48\) εκφράζει αντιστρόφως ανάλογα ποσά;

Το γινόμενο \(xy\) είναι σταθερό και ίσο με \(48\).

Άρα τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα.

5
Η σχέση \(y=\frac{30}{x}\), με \(x\neq0\), εκφράζει αντιστρόφως ανάλογα ποσά;

Πολλαπλασιάζοντας με \(x\), παίρνουμε \(xy=30\).

Άρα τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα.

6
Η σχέση \(y=4x\) εκφράζει αντιστρόφως ανάλογα ποσά;

Στη σχέση αυτή ο λόγος \(\frac{y}{x}\) είναι σταθερός, όχι το γινόμενο.

Άρα πρόκειται για ανάλογα και όχι για αντιστρόφως ανάλογα ποσά.

7
Για ορθογώνια με σταθερό εμβαδόν \(72\) cm\(^2\), το μήκος και το πλάτος είναι αντιστρόφως ανάλογα;

Αν \(x\) και \(y\) είναι οι πλευρές, τότε \(xy=72\).

Άρα οι δύο πλευρές είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά.

8
Για μια σταθερή απόσταση, η ταχύτητα και ο χρόνος διαδρομής είναι αντιστρόφως ανάλογα;

Ισχύει \(\text{ταχύτητα}\cdot\text{χρόνος}=\text{σταθερή απόσταση}\).

Άρα, για σταθερή απόσταση, τα δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα.

🎯 Βρίσκω τη σταθερά
9
Τα \(x,y\) είναι αντιστρόφως ανάλογα και για \(x=4\) έχουμε \(y=15\). Να βρείτε τη σταθερά \(\alpha\).

Για αντιστρόφως ανάλογα ποσά ισχύει \(xy=\alpha\).

Άρα \(\alpha=4\cdot15=60\).

10
Για \(x=6\) και \(y=8\), να βρείτε τη σταθερά \(\alpha\) της σχέσης \(y=\frac{\alpha}{x}\).

Έχουμε \(\alpha=xy\).

Άρα \(\alpha=6\cdot8=48\).

11
Η υπερβολή \(y=\frac{\alpha}{x}\) περνά από το σημείο \((5,12)\). Να βρείτε το \(\alpha\).

Αντικαθιστούμε \(x=5\), \(y=12\): \(12=\frac{\alpha}{5}\).

Άρα \(\alpha=60\).

12
Η συνάρτηση \(y=\frac{\alpha}{x}\) περνά από το σημείο \((-3,8)\). Να βρείτε το \(\alpha\).

Ισχύει \(\alpha=xy=(-3)\cdot8\).

Άρα \(\alpha=-24\).

13
Για αντιστρόφως ανάλογα ποσά ισχύει \(x=9\), \(y=4\). Να βρείτε \(\alpha\).

Υπολογίζουμε το γινόμενο \(xy\).

Άρα \(\alpha=36\).

14
Η σχέση είναι \(xy=-45\). Ποια είναι η τιμή της σταθεράς \(\alpha\);

Η σταθερά της αντίστροφης αναλογίας είναι το σταθερό γινόμενο.

Άρα \(\alpha=-45\).

15
Η συνάρτηση είναι \(y=\frac{18}{x}\). Ποια είναι η σταθερά \(\alpha\);

Συγκρίνουμε με \(y=\frac{\alpha}{x}\).

Άρα \(\alpha=18\).

16
Η συνάρτηση είναι \(y=-\frac{32}{x}\). Ποια είναι η σταθερά \(\alpha\);

Ο αριθμητής του τύπου είναι η σταθερά \(\alpha\).

Άρα \(\alpha=-32\).

🎯 Συμπληρώνω πίνακες αντιστρόφως ανάλογων ποσών
17
Για τη συνάρτηση \(y=\frac{24}{x}\), να βρείτε τα \(y\) για \(x=1,2,3,4,6\).

Διαιρούμε το \(24\) με κάθε τιμή του \(x\).

Οι τιμές του \(y\) είναι \(24,12,8,6,4\).

18
Για τη συνάρτηση \(y=\frac{36}{x}\), να βρείτε τα \(y\) για \(x=2,3,4,6,9\).

Υπολογίζουμε \(36:x\).

Οι τιμές είναι \(18,12,9,6,4\).

19
Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα και για \(x=5\) έχουμε \(y=8\). Να βρείτε το \(y\) όταν \(x=10\).

Η σταθερά είναι \(\alpha=5\cdot8=40\). Άρα \(y=\frac{40}{x}\).

Για \(x=10\), \(y=4\).

20
Σε πίνακα αντιστρόφως ανάλογων ποσών έχουμε \(x=3,4,6,12\) και \(y=16,12,8,\ ?\). Να βρείτε την άγνωστη τιμή.

Το σταθερό γινόμενο είναι \(3\cdot16=48\).

Για \(x=12\), \(y=\frac{48}{12}=4\).

21
Σε πίνακα αντιστρόφως ανάλογων ποσών έχουμε \(x=2,\ ?,8\) και \(y=30,12,7,5\). Να βρείτε το άγνωστο \(x\).

Από το πρώτο ζεύγος παίρνουμε \(\alpha=2\cdot30=60\).

Από \(12x=60\), βρίσκουμε \(x=5\).

22
Για τη συνάρτηση \(y=-\frac{20}{x}\), να βρείτε τα \(y\) για \(x=-5,-4,2,5\).

Αντικαθιστούμε κάθε τιμή του \(x\).

Οι τιμές είναι \(4,5,-10,-4\).

23
Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα και \(xy=72\). Να συμπληρώσετε τις τιμές του \(y\) για \(x=2,3,6,8\).

Ισχύει \(y=\frac{72}{x}\).

Οι τιμές είναι \(36,24,12,9\).

24
Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα και \(xy=96\). Για ποια τιμή του \(x\) έχουμε \(y=12\);

Έχουμε \(12x=96\).

Άρα \(x=8\).

🎯 Χρησιμοποιώ τον τύπο y=α/x
25
Δίνεται η συνάρτηση \(y=\frac{40}{x}\). Να βρείτε το \(y\) όταν \(x=5\).

Θέτουμε \(x=5\): \(y=\frac{40}{5}\).

Άρα \(y=8\).

26
Δίνεται η συνάρτηση \(y=\frac{54}{x}\). Να βρείτε το \(x\) όταν \(y=9\).

Έχουμε \(9=\frac{54}{x}\), άρα \(9x=54\).

Επομένως \(x=6\).

27
Δίνεται η συνάρτηση \(y=-\frac{28}{x}\). Να βρείτε το \(y\) όταν \(x=7\).

Υπολογίζουμε \(y=-\frac{28}{7}\).

Άρα \(y=-4\).

28
Δίνεται η συνάρτηση \(y=\frac{63}{x}\). Για ποια τιμή του \(x\) έχουμε \(y=7\);

Λύνουμε \(7=\frac{63}{x}\), δηλαδή \(7x=63\).

Άρα \(x=9\).

29
Δίνεται η συνάρτηση \(y=\frac{18}{x}\). Να βρείτε το \(y\) όταν \(x=-3\).

Έχουμε \(y=\frac{18}{-3}\).

Άρα \(y=-6\).

30
Δίνεται η συνάρτηση \(y=-\frac{42}{x}\). Για ποια τιμή του \(x\) έχουμε \(y=6\);

Έχουμε \(6=-\frac{42}{x}\), άρα \(6x=-42\).

Άρα \(x=-7\).

31
Στη συνάρτηση \(y=\frac{100}{x}\), τι συμβαίνει στο \(y\) όταν το \(x\) από \(5\) γίνει \(10\);

Για \(x=5\), \(y=20\). Για \(x=10\), \(y=10\).

Όταν το \(x\) διπλασιάστηκε, το \(y\) υποδιπλασιάστηκε.

32
Στη συνάρτηση \(y=\frac{48}{x}\), τι συμβαίνει στο \(y\) όταν το \(x\) από \(4\) γίνει \(12\);

Για \(x=4\), \(y=12\). Για \(x=12\), \(y=4\).

Το \(x\) τριπλασιάστηκε και το \(y\) υποτριπλασιάστηκε.

🎯 Ελέγχω σημεία και ιδιότητες της υπερβολής
33
Να εξετάσετε αν το σημείο \(A(4,6)\) ανήκει στη γραφική παράσταση της \(y=\frac{24}{x}\).

Για \(x=4\), παίρνουμε \(y=\frac{24}{4}=6\).

Άρα το σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση.

34
Να εξετάσετε αν το σημείο \(B(5,7)\) ανήκει στη γραφική παράσταση της \(y=\frac{30}{x}\).

Για \(x=5\), ο τύπος δίνει \(y=6\).

Επειδή \(7\neq6\), το σημείο δεν ανήκει.

35
Να εξετάσετε αν το σημείο \(A(-6,-4)\) ανήκει στη γραφική παράσταση της \(y=\frac{24}{x}\).

Για \(x=-6\), παίρνουμε \(y=-4\).

Άρα το σημείο ανήκει.

36
Για \(\alpha>0\), σε ποια τεταρτημόρια βρίσκονται οι κλάδοι της \(y=\frac{\alpha}{x}\);

Όταν \(x>0\), έχουμε \(y>0\), και όταν \(x<0\), έχουμε \(y<0\).

Οι κλάδοι βρίσκονται στο \(1ο\) και στο \(3ο\) τεταρτημόριο.

37
Για \(\alpha<0\), σε ποια τεταρτημόρια βρίσκονται οι κλάδοι της \(y=\frac{\alpha}{x}\);

Όταν \(x>0\), τότε \(y<0\), ενώ όταν \(x<0\), τότε \(y>0\).

Οι κλάδοι βρίσκονται στο \(2ο\) και στο \(4ο\) τεταρτημόριο.

38
Μπορεί η γραφική παράσταση της \(y=\frac{20}{x}\) να περάσει από το σημείο \(O(0,0)\);

Ο τύπος δεν ορίζεται για \(x=0\).

Άρα η γραφική παράσταση δεν περνά από την αρχή των αξόνων.

39
Η υπερβολή \(y=\frac{18}{x}\) τέμνει κάποιον από τους άξονες;

Για \(x=0\) η συνάρτηση δεν ορίζεται, ενώ \(y=0\) δεν μπορεί να προκύψει από \(\frac{18}{x}\).

Άρα δεν τέμνει κανέναν από τους δύο άξονες.

40
Η συνάρτηση \(y=-\frac{12}{x}\) έχει σημείο με \(x=3\). Σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται αυτό το σημείο;

Για \(x=3\), \(y=-4\).

Το σημείο \((3,-4)\) βρίσκεται στο \(4ο\) τεταρτημόριο.

🎯 Ξεχωρίζω ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσά
41
Η σχέση \(y=6x\) εκφράζει ανάλογα ή αντιστρόφως ανάλογα ποσά;

Ο τύπος έχει μορφή \(y=\alpha x\).

Άρα τα ποσά είναι ανάλογα.

42
Η σχέση \(y=\frac{36}{x}\) εκφράζει ανάλογα ή αντιστρόφως ανάλογα ποσά;

Ο τύπος έχει μορφή \(y=\frac{\alpha}{x}\).

Άρα τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα.

43
Σε έναν πίνακα έχουμε \((2,10)\), \((4,20)\), \((6,30)\). Τι είδους σχέση έχουν τα ποσά;

Ο λόγος \(\frac{y}{x}=5\) είναι σταθερός.

Άρα τα ποσά είναι ανάλογα.

44
Σε έναν πίνακα έχουμε \((2,24)\), \((4,12)\), \((8,6)\). Τι είδους σχέση έχουν τα ποσά;

Τα γινόμενα είναι όλα ίσα με \(48\).

Άρα τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα.

45
Σε έναν πίνακα έχουμε \((1,4)\), \((2,7)\), \((3,10)\). Είναι τα ποσά ανάλογα, αντιστρόφως ανάλογα ή τίποτα από τα δύο;

Ο λόγος δεν είναι σταθερός και ούτε το γινόμενο είναι σταθερό.

Άρα δεν είναι ούτε ανάλογα ούτε αντιστρόφως ανάλογα.

46
Η τιμή αγοράς και η ποσότητα ενός προϊόντος με σταθερή τιμή μονάδας είναι ανάλογα ή αντιστρόφως ανάλογα;

Όσο αυξάνεται η ποσότητα, αυξάνεται στην ίδια αναλογία και το κόστος.

Άρα είναι ανάλογα ποσά.

47
Ο αριθμός ίδιων εργατών και ο χρόνος ολοκλήρωσης μιας σταθερής εργασίας είναι συνήθως ανάλογα ή αντιστρόφως ανάλογα;

Με περισσότερους ίδιους εργάτες, ο χρόνος μειώνεται έτσι ώστε το γινόμενο εργάτες επί χρόνο να παραμένει σταθερό.

Άρα είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά.

48
Το μήκος και το πλάτος ορθογωνίων με σταθερό εμβαδόν είναι ανάλογα ή αντιστρόφως ανάλογα;

Το γινόμενο μήκος επί πλάτος παραμένει ίσο με το σταθερό εμβαδόν.

Άρα είναι αντιστρόφως ανάλογα.

🎯 Λύνω προβλήματα εργατών και χρόνου
49
Μια εργασία ολοκληρώνεται από \(6\) ίδιους εργάτες σε \(8\) ημέρες. Σε πόσες ημέρες θα ολοκληρωθεί από \(12\) ίδιους εργάτες;

Το γινόμενο εργάτες επί ημέρες είναι σταθερό: \(6\cdot8=48\).

Για \(12\) εργάτες, \(12x=48\), άρα \(x=4\) ημέρες.

50
Οκτώ ίδιοι τεχνίτες ολοκληρώνουν μια εργασία σε \(15\) ώρες. Πόσες ώρες χρειάζονται \(10\) ίδιοι τεχνίτες;

Η σταθερή ποσότητα εργασίας δίνει \(8\cdot15=120\) ανθρωποώρες.

Για \(10\) τεχνίτες, \(10x=120\), άρα \(x=12\) ώρες.

51
Τέσσερις ίδιες αντλίες αδειάζουν μια δεξαμενή σε \(18\) ώρες. Σε πόσες ώρες θα την αδειάσουν \(6\) ίδιες αντλίες;

Ισχύει \(4\cdot18=72\).

Άρα \(6x=72\) και \(x=12\) ώρες.

52
Δώδεκα εργάτες ολοκληρώνουν ένα έργο σε \(10\) ημέρες. Πόσοι εργάτες χρειάζονται για να ολοκληρωθεί σε \(6\) ημέρες;

Το σταθερό γινόμενο είναι \(12\cdot10=120\).

Από \(6x=120\), βρίσκουμε \(x=20\) εργάτες.

53
Πέντε μηχανές παράγουν μια συγκεκριμένη παραγγελία σε \(24\) ώρες. Πόσες ίδιες μηχανές χρειάζονται για να ολοκληρωθεί σε \(15\) ώρες;

Το γινόμενο είναι \(5\cdot24=120\).

Από \(15x=120\), βρίσκουμε \(x=8\) μηχανές.

54
Δεκαπέντε εθελοντές καθαρίζουν έναν χώρο σε \(4\) ώρες. Πόσοι εθελοντές χρειάζονται για να γίνει η ίδια εργασία σε \(3\) ώρες;

Το γινόμενο είναι \(15\cdot4=60\).

Από \(3x=60\), παίρνουμε \(x=20\) εθελοντές.

55
Εννέα ίδιοι εργάτες χρειάζονται \(16\) ώρες για μια εργασία. Πόσες ώρες θα χρειαστούν \(12\) ίδιοι εργάτες;

Η σταθερά είναι \(9\cdot16=144\).

Για \(12\) εργάτες, \(12x=144\), άρα \(x=12\) ώρες.

56
Τρεις ίδιες βρύσες γεμίζουν μια δεξαμενή σε \(20\) λεπτά. Σε πόσα λεπτά θα τη γεμίσουν \(5\) ίδιες βρύσες;

Ισχύει \(3\cdot20=60\).

Για \(5\) βρύσες, \(5x=60\), άρα \(x=12\) λεπτά.

🎯 Λύνω προβλήματα με σταθερό γινόμενο
57
Ένα όχημα πρέπει να διανύσει \(240\) km. Αν κινείται με \(60\) km/h, πόσες ώρες χρειάζεται;

Για σταθερή απόσταση ισχύει \(\text{ταχύτητα}\cdot\text{χρόνος}=240\).

Άρα \(60t=240\) και \(t=4\) ώρες.

58
Για μια διαδρομή \(360\) km, πόσος χρόνος χρειάζεται με ταχύτητα \(90\) km/h;

Ισχύει \(90t=360\).

Άρα \(t=4\) ώρες.

59
Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν \(96\) cm\(^2\). Αν το μήκος του είναι \(12\) cm, να βρείτε το πλάτος.

Ισχύει \(12x=96\).

Άρα το πλάτος είναι \(8\) cm.

60
Ένα ορθογώνιο έχει σταθερό εμβαδόν \(120\) cm\(^2\). Αν το πλάτος γίνει \(10\) cm, ποιο πρέπει να είναι το μήκος;

Το γινόμενο των πλευρών είναι \(120\).

Άρα \(10x=120\) και \(x=12\) cm.

61
Μια ποσότητα \(72\) L μοιράζεται ισόποσα σε \(x\) δοχεία. Αν χρησιμοποιηθούν \(8\) δοχεία, πόσα λίτρα θα έχει το καθένα;

Η ποσότητα ανά δοχείο είναι \(y=\frac{72}{x}\).

Για \(x=8\), \(y=9\) L.

62
Τα \(84\) βιβλία τοποθετούνται ισόποσα σε ράφια. Αν κάθε ράφι έχει \(12\) βιβλία, πόσα ράφια χρειάζονται;

Ισχύει \(\text{ράφια}\cdot12=84\).

Άρα χρειάζονται \(7\) ράφια.

63
Ένα ποσό \(150\) ευρώ μοιράζεται ισόποσα σε \(x\) άτομα. Αν κάθε άτομο πάρει \(15\) ευρώ, πόσα άτομα είναι;

Ισχύει \(15x=150\).

Άρα \(x=10\) άτομα.

64
Ένα αρχείο \(480\) MB χωρίζεται σε ίσα μέρη. Αν δημιουργηθούν \(12\) ίσα μέρη, πόσα MB έχει το καθένα;

Η ποσότητα ανά μέρος είναι \(480:12\).

Άρα κάθε μέρος έχει \(40\) MB.

🎯 Μικτή εξάσκηση
65
Τα ποσά \(x,y\) είναι αντιστρόφως ανάλογα και για \(x=6\) έχουμε \(y=14\). Να βρείτε τον τύπο που τα συνδέει.

Η σταθερά είναι \(\alpha=6\cdot14=84\).

Άρα \(y=\frac{84}{x}\).

66
Για τη συνάρτηση \(y=\frac{84}{x}\), να βρείτε το \(y\) όταν \(x=12\).

Υπολογίζουμε \(y=\frac{84}{12}\).

Άρα \(y=7\).

67
Να εξετάσετε αν τα σημεία \((3,16)\), \((4,12)\), \((6,8)\) ανήκουν στην ίδια συνάρτηση αντίστροφης αναλογίας.

Τα γινόμενα είναι \(48\), \(48\), \(48\).

Άρα ανήκουν στη συνάρτηση \(y=\frac{48}{x}\).

68
Να εξετάσετε αν τα σημεία \((2,20)\), \((4,10)\), \((8,6)\) ανήκουν στην ίδια συνάρτηση αντίστροφης αναλογίας.

Τα γινόμενα είναι \(40\), \(40\), \(48\).

Άρα δεν ανήκουν όλα στην ίδια συνάρτηση αντίστροφης αναλογίας.

69
Η συνάρτηση \(y=\frac{\alpha}{x}\) περνά από το σημείο \((-4,9)\). Να βρείτε τον τύπο της.

Η σταθερά είναι \(\alpha=(-4)\cdot9=-36\).

Άρα \(y=-\frac{36}{x}\).

70
Για τη συνάρτηση \(y=-\frac{36}{x}\), να βρείτε το \(x\) όταν \(y=6\).

Λύνουμε \(6=-\frac{36}{x}\), άρα \(6x=-36\).

Επομένως \(x=-6\).

71
Σε αντιστρόφως ανάλογα ποσά, αν το \(x\) τετραπλασιαστεί, τι συμβαίνει στο \(y\);

Το γινόμενο \(xy\) πρέπει να μείνει σταθερό.

Άρα το \(y\) γίνεται το \(\frac14\) της αρχικής του τιμής.

72
Σε αντιστρόφως ανάλογα ποσά, αν το \(x\) υποδιπλασιαστεί, τι συμβαίνει στο \(y\);

Για να παραμείνει σταθερό το γινόμενο, η μείωση του \(x\) στο μισό πρέπει να αντισταθμιστεί.

Άρα το \(y\) διπλασιάζεται.

Τέλος