03Γ. Γραμμική συνάρτηση
🎯 Αναγνωρίζω τη γραμμική συνάρτηση
1
Ποια από τις συναρτήσεις \(y=3x+2\), \(y=x^2+1\), \(y=\frac{2}{x}\) είναι γραμμική;

Γραμμική συνάρτηση έχει μορφή \(y=\alpha x+\beta\).

Άρα γραμμική είναι η \(y=3x+2\).

2
Η συνάρτηση \(y=-4x+7\) είναι γραμμική; Να αιτιολογήσετε.

Έχει τη μορφή \(y=\alpha x+\beta\), με \(\alpha=-4\) και \(\beta=7\).

Άρα είναι γραμμική συνάρτηση.

3
Η συνάρτηση \(y=5x\) μπορεί να θεωρηθεί γραμμική της μορφής \(y=\alpha x+\beta\);

Γράφεται \(y=5x+0\).

Άρα είναι γραμμική με \(\alpha=5\), \(\beta=0\).

4
Η συνάρτηση \(y=8\) είναι ειδική περίπτωση γραμμικής συνάρτησης;

Γράφεται \(y=0x+8\).

Άρα είναι γραμμική με \(\alpha=0\), \(\beta=8\).

5
Να εξετάσετε αν η σχέση \(y=2x^2-3\) είναι γραμμική.

Στον τύπο εμφανίζεται \(x^2\), άρα δεν έχει μορφή \(y=\alpha x+\beta\).

Επομένως δεν είναι γραμμική.

6
Να εξετάσετε αν η σχέση \(y=\frac{x}{3}-5\) είναι γραμμική.

Γράφεται \(y=\frac13x-5\).

Άρα είναι γραμμική συνάρτηση.

7
Η σχέση \(2y=6x+4\) ορίζει γραμμική συνάρτηση; Να τη γράψετε στη μορφή \(y=\alpha x+\beta\).

Διαιρούμε με \(2\): \(y=3x+2\).

Άρα είναι γραμμική συνάρτηση.

8
Η σχέση \(y-4=2x\) ορίζει γραμμική συνάρτηση; Να τη γράψετε στη βασική μορφή.

Προσθέτουμε \(4\): \(y=2x+4\).

Άρα είναι γραμμική συνάρτηση.

🎯 Βρίσκω τους συντελεστές \(lpha\) και \(eta\)
9
Στη συνάρτηση \(y=4x-3\), να βρείτε τους συντελεστές \(\alpha\) και \(\beta\).

Συγκρίνουμε με \(y=\alpha x+\beta\).

Έχουμε \(\alpha=4\), \(\beta=-3\).

10
Στη συνάρτηση \(y=-2x+5\), να βρείτε \(\alpha\) και \(\beta\).

Ο συντελεστής του \(x\) είναι \(-2\) και ο σταθερός όρος \(5\).

Άρα \(\alpha=-2\), \(\beta=5\).

11
Στη συνάρτηση \(y=\frac12x+6\), να βρείτε \(\alpha\) και \(\beta\).

Συγκρίνουμε με τη μορφή \(y=\alpha x+\beta\).

Άρα \(\alpha=\frac12\), \(\beta=6\).

12
Στη συνάρτηση \(y=7x\), να βρείτε \(\alpha\) και \(\beta\).

Γράφουμε \(y=7x+0\).

Άρα \(\alpha=7\), \(\beta=0\).

13
Στη συνάρτηση \(y=-9\), να βρείτε \(\alpha\) και \(\beta\).

Γράφουμε \(y=0x-9\).

Άρα \(\alpha=0\), \(\beta=-9\).

14
Η συνάρτηση είναι \(y=3-5x\). Να βρείτε \(\alpha\) και \(\beta\).

Γράφουμε \(y=-5x+3\).

Άρα \(\alpha=-5\), \(\beta=3\).

15
Η συνάρτηση είναι \(2y=8x-6\). Να βρείτε \(\alpha\) και \(\beta\).

Διαιρούμε με \(2\): \(y=4x-3\).

Άρα \(\alpha=4\), \(\beta=-3\).

16
Η συνάρτηση είναι \(y+2=3x\). Να βρείτε \(\alpha\) και \(\beta\).

Λύνουμε ως προς \(y\): \(y=3x-2\).

Άρα \(\alpha=3\), \(\beta=-2\).

🎯 Υπολογίζω τιμές και συμπληρώνω πίνακες
17
Για τη συνάρτηση \(y=2x+1\), να βρείτε το \(y\) όταν \(x=4\).

Θέτουμε \(x=4\): \(y=2\cdot4+1\).

Άρα \(y=9\).

18
Για τη συνάρτηση \(y=3x-5\), να βρείτε το \(y\) όταν \(x=6\).

Θέτουμε \(x=6\): \(y=18-5\).

Άρα \(y=13\).

19
Για τη συνάρτηση \(y=-2x+7\), να βρείτε το \(y\) όταν \(x=-3\).

Έχουμε \(y=-2(-3)+7=6+7\).

Άρα \(y=13\).

20
Για τη συνάρτηση \(y=x-4\), να βρείτε τις τιμές του \(y\) για \(x=0,2,5,8\).

Αντικαθιστούμε κάθε τιμή στον τύπο.

Οι τιμές είναι \(-4,-2,1,4\).

21
Για τη συνάρτηση \(y=2x+3\), να βρείτε τις τιμές του \(y\) για \(x=-2,-1,0,1,2\).

Υπολογίζουμε διαδοχικά \(2x+3\).

Οι τιμές είναι \(-1,1,3,5,7\).

22
Για τη συνάρτηση \(y=-x+4\), να βρείτε τις τιμές του \(y\) για \(x=0,1,2,4\).

Αντικαθιστούμε στον τύπο.

Οι τιμές είναι \(4,3,2,0\).

23
Για τη συνάρτηση \(y=\frac12x+2\), να βρείτε τις τιμές του \(y\) για \(x=0,2,4,6\).

Υπολογίζουμε \(\frac12x+2\).

Οι τιμές είναι \(2,3,4,5\).

24
Για τη συνάρτηση \(y=-3x+1\), να βρείτε τα ζεύγη \((x,y)\) για \(x=-1,0,1,2\).

Οι αντίστοιχες τιμές του \(y\) είναι \(4,1,-2,-5\).

Τα ζεύγη είναι \((-1,4)\), \((0,1)\), \((1,-2)\), \((2,-5)\).

🎯 Ελέγχω αν ένα σημείο ανήκει στην ευθεία
25
Να εξετάσετε αν το σημείο \(A(2,7)\) ανήκει στην ευθεία \(y=3x+1\).

Για \(x=2\), έχουμε \(y=3\cdot2+1=7\).

Άρα το σημείο \(A\) ανήκει στην ευθεία.

26
Να εξετάσετε αν το σημείο \(B(3,8)\) ανήκει στην ευθεία \(y=2x+1\).

Για \(x=3\), ο τύπος δίνει \(y=7\).

Επειδή \(8\neq7\), το σημείο δεν ανήκει.

27
Να εξετάσετε αν το σημείο \(A(-2,5)\) ανήκει στην ευθεία \(y=-2x+1\).

Για \(x=-2\), έχουμε \(y=4+1=5\).

Άρα το σημείο ανήκει.

28
Ποια από τα σημεία \(A(0,3)\), \(B(1,5)\), \(\Gamma(2,8)\) ανήκουν στην \(y=2x+3\);

Για \(x=0\) παίρνουμε \(3\), για \(x=1\) παίρνουμε \(5\), για \(x=2\) παίρνουμε \(7\).

Ανήκουν τα \(A\) και \(B\), όχι το \(\Gamma\).

29
Να βρείτε το \(k\), ώστε το σημείο \(A(2,k)\) να ανήκει στην ευθεία \(y=4x-3\).

Θέτουμε \(x=2\): \(k=4\cdot2-3\).

Άρα \(k=5\).

30
Να βρείτε το \(a\), ώστε το σημείο \(A(a,11)\) να ανήκει στην ευθεία \(y=3x+2\).

Έχουμε \(11=3a+2\).

Άρα \(3a=9\) και \(a=3\).

31
Το σημείο \(O(0,0)\) ανήκει στην ευθεία \(y=5x-2\);

Για \(x=0\), ο τύπος δίνει \(y=-2\).

Άρα το \(O(0,0)\) δεν ανήκει.

32
Το σημείο \(A(0,-4)\) ανήκει στην ευθεία \(y=2x-4\);

Για \(x=0\), έχουμε \(y=-4\).

Άρα το σημείο ανήκει.

🎯 Βρίσκω τομές με τους άξονες
33
Να βρείτε το σημείο τομής της ευθείας \(y=3x+6\) με τον άξονα \(y\).

Στον άξονα \(y\) έχουμε \(x=0\). Άρα \(y=6\).

Το σημείο τομής είναι \((0,6)\).

34
Να βρείτε το σημείο τομής της ευθείας \(y=2x-8\) με τον άξονα \(x\).

Στον άξονα \(x\) έχουμε \(y=0\). Άρα \(2x-8=0\).

Παίρνουμε \(x=4\), άρα το σημείο είναι \((4,0)\).

35
Να βρείτε τις τομές της ευθείας \(y=-x+5\) με τους δύο άξονες.

Για \(x=0\), \(y=5\), άρα \((0,5)\). Για \(y=0\), \(-x+5=0\), άρα \(x=5\).

Οι τομές είναι \((0,5)\) και \((5,0)\).

36
Να βρείτε τις τομές της ευθείας \(y=4x+12\) με τους άξονες.

Για \(x=0\), παίρνουμε \(y=12\). Για \(y=0\), \(4x+12=0\), άρα \(x=-3\).

Οι τομές είναι \((0,12)\) και \((-3,0)\).

37
Η ευθεία \(y=5x\) σε ποιο σημείο τέμνει τον άξονα \(y\);

Θέτουμε \(x=0\), οπότε \(y=0\).

Τέμνει τον άξονα \(y\) στο \(O(0,0)\).

38
Η ευθεία \(y=-3\) τέμνει τον άξονα \(y\) σε ποιο σημείο;

Για \(x=0\), έχουμε \(y=-3\).

Το σημείο τομής είναι \((0,-3)\).

39
Να βρείτε το \(\beta\), αν η ευθεία \(y=2x+\beta\) τέμνει τον άξονα \(y\) στο σημείο \((0,7)\).

Στον άξονα \(y\), η τεταγμένη τομής είναι \(\beta\).

Άρα \(\beta=7\).

40
Να βρείτε το \(\beta\), αν η ευθεία \(y=-x+\beta\) τέμνει τον άξονα \(x\) στο σημείο \((6,0)\).

Θέτουμε \(x=6\), \(y=0\): \(0=-6+\beta\).

Άρα \(\beta=6\).

🎯 Μελετώ την κλίση και τις παράλληλες ευθείες
41
Ποια είναι η κλίση της ευθείας \(y=5x-2\);

Η κλίση είναι ο συντελεστής του \(x\).

Άρα η κλίση είναι \(5\).

42
Ποια είναι η κλίση της ευθείας \(y=-3x+4\);

Ο συντελεστής του \(x\) είναι \(-3\).

Άρα η κλίση είναι \(-3\).

43
Οι ευθείες \(y=2x+1\) και \(y=2x-5\) είναι παράλληλες;

Έχουν την ίδια κλίση \(\alpha=2\).

Άρα είναι παράλληλες.

44
Οι ευθείες \(y=4x+3\) και \(y=-4x+3\) είναι παράλληλες;

Οι κλίσεις είναι \(4\) και \(-4\), άρα διαφορετικές.

Επομένως δεν είναι παράλληλες.

45
Να βρείτε το \(k\), ώστε οι ευθείες \(y=3x+2\) και \(y=kx-7\) να είναι παράλληλες.

Παράλληλες ευθείες έχουν ίσες κλίσεις.

Άρα \(k=3\).

46
Να βρείτε το \(a\), ώστε οι ευθείες \(y=-2x+5\) και \(y=ax+1\) να είναι παράλληλες.

Εξισώνουμε τις κλίσεις.

Άρα \(a=-2\).

47
Αν \(\alpha>0\), τι συμβαίνει γενικά στη γραφική παράσταση της \(y=\alpha x+\beta\) καθώς το \(x\) αυξάνεται;

Θετική κλίση σημαίνει ότι οι τιμές του \(y\) αυξάνονται όταν αυξάνεται το \(x\).

Άρα η ευθεία είναι αύξουσα.

48
Αν \(\alpha<0\), τι συμβαίνει γενικά στη γραφική παράσταση της \(y=\alpha x+\beta\) καθώς το \(x\) αυξάνεται;

Αρνητική κλίση σημαίνει ότι το \(y\) μειώνεται όταν αυξάνεται το \(x\).

Άρα η ευθεία είναι φθίνουσα.

🎯 Βρίσκω τον τύπο μιας γραμμικής συνάρτησης
49
Μια γραμμική συνάρτηση έχει \(\alpha=3\) και \(\beta=5\). Να γράψετε τον τύπο της.

Χρησιμοποιούμε \(y=\alpha x+\beta\).

Άρα \(y=3x+5\).

50
Μια γραμμική συνάρτηση έχει κλίση \(-2\) και τέμνει τον άξονα \(y\) στο \(4\). Να γράψετε τον τύπο της.

Έχουμε \(\alpha=-2\), \(\beta=4\).

Άρα \(y=-2x+4\).

51
Μια ευθεία έχει κλίση \(5\) και περνά από το σημείο \((0,-3)\). Να γράψετε τον τύπο της.

Το σημείο \((0,-3)\) δείχνει ότι \(\beta=-3\).

Άρα \(y=5x-3\).

52
Μια ευθεία είναι παράλληλη στην \(y=4x+1\) και περνά από το σημείο \((0,6)\). Να βρείτε τον τύπο της.

Η κλίση είναι \(4\) και από το σημείο \((0,6)\) έχουμε \(\beta=6\).

Άρα \(y=4x+6\).

53
Η ευθεία \(y=\alpha x+\beta\) περνά από τα σημεία \((0,2)\) και \((1,5)\). Να βρείτε \(\alpha,\beta\).

Από \((0,2)\) παίρνουμε \(\beta=2\). Από \((1,5)\): \(5=\alpha+2\).

Άρα \(\alpha=3\) και ο τύπος είναι \(y=3x+2\).

54
Η ευθεία περνά από τα σημεία \((0,-1)\) και \((2,5)\). Να βρείτε τον τύπο της.

Από \((0,-1)\), \(\beta=-1\). Από \((2,5)\): \(5=2\alpha-1\).

Άρα \(2\alpha=6\), \(\alpha=3\), επομένως \(y=3x-1\).

55
Η γραμμική συνάρτηση έχει τύπο \(y=\alpha x+4\) και περνά από το σημείο \((3,10)\). Να βρείτε το \(\alpha\).

Αντικαθιστούμε: \(10=3\alpha+4\).

Άρα \(3\alpha=6\) και \(\alpha=2\).

56
Η γραμμική συνάρτηση έχει τύπο \(y=-2x+\beta\) και περνά από το σημείο \((4,1)\). Να βρείτε το \(\beta\).

Αντικαθιστούμε: \(1=-8+\beta\).

Άρα \(\beta=9\).

🎯 Λύνω εξισώσεις με τη γραμμική συνάρτηση
57
Στη συνάρτηση \(y=3x+2\), να βρείτε το \(x\) όταν \(y=17\).

Λύνουμε \(3x+2=17\).

Άρα \(3x=15\) και \(x=5\).

58
Στη συνάρτηση \(y=4x-5\), να βρείτε το \(x\) όταν \(y=19\).

Λύνουμε \(4x-5=19\).

Άρα \(4x=24\) και \(x=6\).

59
Στη συνάρτηση \(y=-2x+10\), να βρείτε το \(x\) όταν \(y=4\).

Λύνουμε \(-2x+10=4\).

Άρα \(-2x=-6\) και \(x=3\).

60
Στη συνάρτηση \(y=\frac12x+3\), να βρείτε το \(x\) όταν \(y=8\).

Έχουμε \(\frac12x+3=8\), άρα \(\frac12x=5\).

Επομένως \(x=10\).

61
Για ποια τιμή του \(x\) η συνάρτηση \(y=5x-15\) παίρνει την τιμή \(0\);

Λύνουμε \(5x-15=0\).

Άρα \(x=3\).

62
Για ποια τιμή του \(x\) η συνάρτηση \(y=7-3x\) παίρνει την τιμή \(1\);

Λύνουμε \(7-3x=1\).

Άρα \(-3x=-6\) και \(x=2\).

63
Να λύσετε την εξίσωση \(2x+5=13\) θεωρώντας το αριστερό μέλος ως τιμή της συνάρτησης \(y=2x+5\).

Ζητούμε την τιμή του \(x\) για την οποία \(y=13\). Άρα \(2x+5=13\).

Παίρνουμε \(2x=8\) και \(x=4\).

64
Να λύσετε την εξίσωση \(-4x+9=21\).

Μεταφέρουμε: \(-4x=12\).

Άρα \(x=-3\).

🎯 Εφαρμογές της γραμμικής συνάρτησης
65
Μια υπηρεσία μεταφοράς χρεώνει πάγιο \(4\) ευρώ και \(2\) ευρώ ανά χιλιόμετρο. Αν \(x\) είναι τα χιλιόμετρα και \(y\) το κόστος, να γράψετε τον τύπο.

Η μεταβλητή χρέωση είναι \(2x\) και το πάγιο \(4\).

Άρα \(y=2x+4\).

66
Με τον τύπο \(y=2x+4\), να βρείτε το κόστος για \(7\) km.

Θέτουμε \(x=7\): \(y=14+4\).

Άρα το κόστος είναι \(18\) ευρώ.

67
Μια εταιρεία ενοικίασης ποδηλάτων χρεώνει \(6\) ευρώ αρχικά και \(3\) ευρώ ανά ώρα. Να γράψετε τη συνάρτηση του κόστους.

Αν \(x\) είναι οι ώρες, η χρέωση είναι \(3x+6\).

Άρα \(y=3x+6\).

68
Στο προηγούμενο πρόβλημα, πόσες ώρες ενοικίασης αντιστοιχούν σε συνολικό κόστος \(24\) ευρώ;

Λύνουμε \(3x+6=24\).

Άρα \(3x=18\) και \(x=6\) ώρες.

69
Μια δεξαμενή έχει αρχικά \(20\) L νερό και γεμίζει με \(5\) L ανά λεπτό. Να γράψετε τον τύπο της ποσότητας \(y\) μετά από \(x\) λεπτά.

Στα αρχικά \(20\) L προστίθενται \(5x\) L.

Άρα \(y=5x+20\).

70
Με τον τύπο \(y=5x+20\), μετά από πόσα λεπτά η δεξαμενή θα έχει \(50\) L;

Λύνουμε \(5x+20=50\).

Άρα \(5x=30\) και \(x=6\) λεπτά.

71
Η θερμοκρασία ενός υγρού είναι αρχικά \(80^\circ C\) και μειώνεται κατά \(4^\circ C\) κάθε λεπτό. Να γράψετε τον τύπο \(T\) ως συνάρτηση του χρόνου \(t\).

Η αρχική τιμή είναι \(80\) και η μεταβολή ανά λεπτό είναι \(-4\).

Άρα \(T=80-4t\).

72
Με τον τύπο \(T=80-4t\), μετά από πόσα λεπτά η θερμοκρασία θα γίνει \(56^\circ C\);

Λύνουμε \(80-4t=56\).

Άρα \(-4t=-24\) και \(t=6\) λεπτά.

Τέλος